2 0 4 t(s) www.ylikonet.gr 1

3.1.. 3.1.1. Γωνιακή επιτάχυνση και γωνία στροφής Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας ενός στερεού που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα δίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Να υπολογίσετε: i) Τη γωνιακή επιτάχυνση του στερεού. ii) Τη γωνιά κατά την οποία περιστρέφεται το στερεό από 0-4s. iii) Ποια χρονική στιγµή το στερεό έχει γωνιακή ταχύτητα ω=40rad/s; ω rad/s 10 2 0 4 t(s) 3.1.2. ιανύσµατα γωνιακών και γραµµικών µεγεθών. Μια οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους l =4m στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το µέσον της Ο, ευρισκόµενη σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή στρέφεται όπως δείχνει το σχήµα µε γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s ενώ έχει γωνιακή επιτάχυνση α γων = -1rad/s 2. i) Σχεδιάστε στο διπλανό σχήµα τα διανύσµατα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου. ii) Σχεδιάστε επίσης την γραµµική ταχύτητα του άκρου Α καθώς και τα διανύσµατα της κεντροµόλου και της επιτρόχιας επιτάχυνσης του σηµείου Α. iii) Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής του µέτρου της γραµµικής ταχύτητας του σηµείου Α. 3.1.3. Οµαλά επιταχυνόµενη στροφική κίνηση. Ένας οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=0,5m για t=0 αρχίζει να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο ο- ποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων =2rad/s 2. Για τη χρονική στιγµή t=10s, ζητούνται: i) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου. ii) Ο αριθµός των περιστροφών που πραγµατοποίησε ο δίσκος. iii) Αναφερόµενοι σε ένα σηµείο Α στην περιφέρεια του δίσκου: α) Βρείτε την επιτρόχια και την κεντροµόλο επιτάχυνση του σηµείου Α. β) Ποια η γραµµική ταχύτητα του σηµείου Α; γ) Υπολογίστε το µήκος του τόξου που διέγραψε το σηµείο Α στο παραπάνω χρονικό διάστηµα. 3.1.4. ιάγραµµα συχνότητας και µια εκµετάλλευσή του.. Ένας δίσκος µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και ηρεµεί. Για t=0 δέχεται κατάλληλη ροπή, οπότε αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων =0,2π rad/s 2 µέχρι τη στιγµή t 1 =20s. i) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συχνότητας του δίσκου σε συνάρτηση µε το χρόνο ii) Με τη βοήθεια του παραπάνω διαγράµµατος να βρείτε πόσες στροφές πραγµατοποίησε ο δίσκος µέχρι τη στιγµή t 1. www.ylikonet.gr 1

3.1.5. Ταχύτητες σηµείων ενός στερεού Μια οµογενής δοκός µήκους l=2m κινείται ελεύθερα οριζόντια πάνω σε µια παγωµένη λίµνη, χωρίς τριβές και για t=0 δίνονται οι ταχύτητες του µέσου Ο και του άκρου Α, υ 0 =10m/s και υ Α =4m/s αντίστοιχα. Να βρεθούν οι ταχύτητες των παραπάνω σηµείων τη π χρονική στιγµή t 1 = s. 6 3.1.6. Με ποια ταχύτητα κινείται το χέρι; Ο κύλινδρος του σχήµατος, ακτίνας R= 0, 3m, φέρει κυκλική εγκοπή ακτίνας r= 0,1m. Τυλίγουµε σχοινί στην εγκοπή και τραβάµε µε το χέρι µας. Ο κύλινδρος κινείται µε ταχύτητα υ = 3 m s χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Με ποια ταχύτητα κινείται το χέρι; 3.1.7. Η κύλιση ενός τροχού Ένας τροχός ακτίνας R=0,5m, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή επιτάχυνση 2m/s 2 ξεκινώντας από την ηρεµία. Μετά από χρονικό διάστηµα t=5s, να βρείτε: i) Την ταχύτητα του κέντρου µάζας του τροχού Ο. ii) Την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού. iii) Τη ταχύτητα και την οριζόντια επιτάχυνση του σηµείου επαφής του τροχού µε το έδαφος, σηµείο Α, καθώς και του αντιδιαµετρικού του σηµείου Β. 3.1.8. Κύλιση και κέντρο µάζας. Ο τροχός ενός κάρου έχει µάζα Μ=10kg και ακτίνα R=0,8m, ενώ ένα σώµα Σ µάζας m 1 =10kg, το οποίο θεωρείται υλικό σηµείο, είναι προσδεδεµένο σε απόσταση r=0,6m από τον άξονα Ο του τροχού. Το κάρο κινείται µε ταχύτη- Σ υ Ο τα υ=1,6m/s και ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. i) Σε πόσο χρόνο ο τροχός ολοκληρώνει µια περιστροφή; ii) Ποια η µέγιστη και ποια η ελάχιστη ταχύτητα του σώµατος Σ; iii) Ποια η υ cm τη στιγµή που το σώµα Σ βρίσκεται στην κατακόρυφο που περνά από τον άξονα Ο του τροχού, όπως στο σχήµα; 3.1.9. Επιτάχυνση κέντρου µάζας και του άκρου µιας ράβδου. Μια οµογενής ράβδος ΑΒ στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Σε µια στιγµή διέρχεται από τη θέση που φαίνεται στο σχήµα και τη στιγµή αυτή το κέντρο µάζας Ο έχει καwww.ylikonet.gr 2

τακόρυφη επιτάχυνση µέτρου 6m/s 2 µε φορά προς τα κάτω. Να βρεθεί η επιτάχυνση (µέτρο και κατεύθυνση) του άκρου Β στη θέση αυτή. 3.1.10. Μια σύνθετη κίνηση ενός µολυβιού. ιαθέτουµε ένα µολύβι µήκους 20cm, το οποίο κρατάµε στο χέρι µας σε οριζόντιο θέση. Σε µια στιγµή ε- κτοξεύουµε κατακόρυφα το µολύβι, το οποίο ξαναπιάνουµε µετά από 0,4s, στην ίδια θέση, µε τον ίδιο προσανατολισµό, ενώ στο µεταξύ το µολύβι έχει κάνει δύο περιστροφές στον αέρα. Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο άκρων του µολυβιού, τη στιγµή που εγκαταλείπει το χέρι µας. Θεωρείστε ότι το κέντρο µάζας του µολυβιού το µέσον του Ο και g=10m/s 2. 3.1.11. Σύνθετη κίνηση ράβδου. Μια οµογενής ράβδος µήκους l=48/5π m 3 m εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω και φτάνει σε ύψος Η. Στο σχήµα, η πάνω θέση της ράβδου θέση (1), αντιστοιχεί στο µέγιστο ύψος, ενώ µετά από λίγο η ράβδος φτάνει στη θέση (2) έχοντας στραφεί κατά γωνία θ=π/3, έχοντας κατέλθει κατά h=0,8m. i) Βρείτε το χρονικό διάστηµα για την µετακίνηση της ράβδου από τη θέση (1) στη θέση (2). ii) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου; iii) Να υπολογίστε τις ταχύτητες των άκρων Α και Β της ράβδου στις δύο παραπάνω θέσεις και να τις σχεδιάστε πάνω στο σχήµα. ίνεται g=10m/s 2. 3.1.12. Μια σύνθετη κίνηση στερεού. Ένα στερεό αποτελείται από δύο οµογενείς, από διαφορετικό υλικό ράβδους, οι οποίες είναι συνδεδεµένες, όπως στο σχήµα. Οι ράβδοι έχουν µήκη (ΑΒ)=0,8m και (Γ )= 1,2m. Το στερεό κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο εκτελώντας σύνθετη κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο που περνά από το κέντρο µάζας του Κ, όπου (ΚΓ)=0,3m και σε µια στιγµή βρίσκεται σε µια θέση, όπου τα σηµεία Μ και, όπου Μ το µέσον της ράβδου, έχουν Α Γ B Κ οριζόντιες ταχύτητες µε µέτρα υ Μ =1m/s και υ =5m/s, όπως στο σχήµα. www.ylikonet.gr 3 υ Μ υm

i) Να υπολογίστε την ταχύτητα του κέντρου µάζας Κ και του άκρου Γ της ράβδου Γ. ii) Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας του άκρου Β. iii) Να βρεθεί η θέση ενός σηµείου Ο του στερεού η ταχύτητα του οποίου είναι µηδενική. Ποια η γωνία µεταξύ της (ΟΒ) και της ταχύτητας του άκρου Β; 3.1.13. Σύνθετη κίνηση στερεού µετά από κρούση. Πάνω σε µια παγωµένη λίµνη ηρεµεί µια οµογενής σανίδα µήκους 4m. Σε µια στιγµή t=0 ένα κινούµενο υ- λικό σηµείο Σ, συγκρούεται µε τη σανίδα µε αποτέλεσµα, αµέσως µετά την κρούση τα άκρα Α και Β της σανίδας να αποκτήσουν ταχύτητες υ Α =20m/s και υ Β =40m/s αντίστοιχα, όπως στο σχήµα (α). i) Ποια η ταχύτητα του µέσου Ο της σανίδας. ii) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σανίδας, γύρω από το κέντρο µάζας της Ο. iii) Σε πόσο χρόνο για πρώτη φορά η σανίδα θα βρεθεί στη θέση του σχήµατος β; iv) Για τη θέση (β): α) Ποιο είναι το άκρο Α και ποιο το Β; β) Το άκρο Α ή το Β έχει µεγαλύτερη ταχύτητα; γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Ο και του άκρου Α της σανίδας. 3.1.14. Ο τροχός ολισθαίνει ή σπινάρει; Ο τροχός ενός αυτοκινήτου έχει ακτίνα R=0,8m. Τα αυτοκίνητο για t=0 ξεκινά από την ηρεµία µε επιτάχυνση 2m/s 2 ενώ ο τροχός αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων =2rad/s 2. Για τη χρονική στιγµή t=5s, να υπολογιστούν: i) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η µετατόπιση του κέντρου Ο του τροχού του. ii) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού. iii) Η ταχύτητα και η οριζόντια επιτάχυνση του σηµείου επαφής Α του τροχού µε το έδαφος. iv) Ο τροχός του αυτοκινήτου: α) Κυλίεται χωρίς ολίσθηση β) Ολισθαίνει γ) Σπινάρει. Επιλέξτε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την άποψή σας. 3.1.15. υο µπάλες µέσα στο τραίνο. Το τραίνο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 10 m/s. Οι µπάλες είναι όµοιες, έχουν ακτίνα 20 cm και στρέφονται όπως στο σχήµα µε σταθερές γωνιακές ταχύτητες, ίδιου µέτρου 10 rad/s. www.ylikonet.gr 4

i) Να υπολογίσετε την ταχύτητα κάθε µπάλας ως προς το έδαφος. ii) Πόση είναι η δύναµη τριβής σε κάθε µπάλα; 3.1.16. Κύλιση Κυλίνδρου Κατά Μήκος Πλατφόρµας η οποία Κινείται - Εξισώσεις Κινη- µατικής Στην πλατφόρµα ενός τραίνου που κινείται µε σταθερή ταχύτητα u τ προς τα δεξιά, ηρεµεί κυλινδρικό σώµα ακτίνας r=40cm. Τη χρονική στιγµή t=0, ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει προς τα πίσω χωρίς να ολισθαίνει µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων., όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Αν ο συνολικός χρόνος κίνησης του κυλίνδρου, µέχρι να εγκαταλείψει τη πλατφόρµα, είναι t 1 =40s και η συνολική γωνία που διαγράφει φ=50rad, να υπολογιστούν ως προς ακίνητο παρατηρητή που βρίσκεται πάνω στο τραίνο: i) το µήκος της πλατφόρµας του τραίνου ii) η γωνιακή επιτάχυνση και η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου iii) η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου τη στιγµή που εγκαταλείπει τη πλατφόρµα iv) ο αριθµός των περιστροφών του κυλίνδρου, ως τη στιγµή που εγκαταλείπει την πλατφόρµα Aν η απόσταση που έχει διανύσει το τρένο, µέχρι να πέσει ο κύλινδρος από την πλατφόρµα, είναι x 1 =30m v) να υπολογιστεί η ταχύτητα µε την οποία κινείται το τρένο vi) να σχεδιαστούν οι γραφικές: ω=f(t), α γων. =f(t) και θ=f(t), µέχρι τι στιγµή που το κυλινδρικό σώµα εγκαταλείπει την πλατφόρµα. 3.1.17. Κίνηση ράβδου. www.ylikonet.gr 5

Μια οµογενής δοκός µήκους l=2m κινείται ελεύθερα οριζόντια πάνω σε µια παγωµένη λίµνη, χωρίς τριβές και για t=0 δίνονται οι ταχύτητες του µέσου Ο και του άκρου Α, υ 0 =10m/s και υ Α =4m/s αντίστοιχα. Να βρεθούν οι ταχύτητες των παραπάνω σηµείων τη χρονική στιγµή t 1 =π/6s. 3.1.18. Κύλιση χωρίς ολίσθηση, u=u cm και στιγµιαίος άξονας περιστροφής. Ένας συµπαγής οµογενής δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει µε το επίπεδό του κατακόρυφο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο έχοντας ταχύτητα κέντρου µάζας u cm. i) Πόσα και ποια σηµεία της περιφέρειας του δίσκου έχουν ταχύτητα µέτρου ίσου µε το µέτρο τη ταχύτητας του κέντρου µάζας (ως προς παρατηρητή ακίνητο στο έδαφος); ii) Ποια σηµεία του δίσκου (ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος τους;) έχουν ταχύτητα µε µέτρο ίσο µε το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας (ως προς παρατηρητή ακίνητο στο έδαφος); 3.1.19. Ένα φορτηγό επιταχύνεται. Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα υ 0 =6m/s. Σε µια α γων rad/s 2 4 στιγµή, που θεωρούµε ότι t=0, το φορτηγό επιταχύνεται και η γωνιακή επιτάχυνση ενός τροχού του, ακτίνας R=0,4m, δίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. i) Να βρεθεί η µεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του τροχού από 0-2s. 0,0 2 4 5 t(s) ii) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγµή t 1 =5s και πόση τη στιγµή t 2 =10s; iii) Ποια είναι τελικά η ταχύτητα του φορτηγού; 3.1.20. Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα βαρούλκο. Α Α Σ www.ylikonet.gr 6

Στο παραπάνω σχήµα βλέπετε ένα βαρούλκο, µε την βοήθεια του οποίο ανεβάζουµε ένα βαρύ σώµα Σ. ίνονται η ακτίνα του τυµπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σηµείου Α είναι ίση µε R=50cm. Σε µια στιγµή το σώµα Σ ανέρχεται µε επιτάχυνση α=0,2m/s 2 έχοντας ταχύτητα υ=0,4m/s i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σηµείου Α. ii) Ποιος ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας (η επιτρόχιος επιτάχυνση) του σηµείου Α; iii) Να υπολογιστεί η κεντροµόλος επιτάχυνση του Α. www.ylikonet.gr 7