o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. β.. α. 3. δ. 4. α. 5. α-λ, β-σ, γ-λ, δ-λ, ε-σ. ΘΕΜΑ B. Η σωστή απάντηση είναι το γ. Το μέγιστο ρεύμα σε μια ηλεκτρική ταλάντωση βρίσκεται από τη σχέση I Από το σχήμα προκύπτει QA = QB και TA = TB () Από τη σχέση () για τις γωνιακές συχνότητες προκύπτει: π π = ω B = ω ω ω A B A = ω Q () Με αντικατάσταση στη σχέση (), για το πηλίκο των μέγιστων ρευμάτων παίρνουμε: I ω A AQA ωa IA = = = I ω Q ω I B B B A B. Η σωστή απάντηση είναι το γ. Το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος παίρνει τη μέγιστη τιμή όταν η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης (διεγέρτης) γίνει ίση με τη συχνότητα της ελεύθερης ηλεκτρικής ταλάντωσης (ιδιοσυχνότητα f ): f = f = (συντονισμός). π LC Σελίδα από 6
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στο σχήμα φαίνεται η συχνότητα συντονισμού f = f, η αρχική συχνότητα f = f =, για την οποία το πλάτος της έντασης του ρεύματος είναι ίσο με I και η π LC συχνότητα f, για την οποία το πλάτος της έντασης του ρεύματος γίνεται ξανά ίσο με I. Παρατηρούμε ότι η συχνότητα f είναι μικρότερη από την f, δηλαδή μικρότερη από π LC. 3. Η σωστή απάντηση είναι το β. Από το σχήμα υπολογίζουμε την περίοδο του διακροτήματος. T =, 75s, 5s T =,5 s δ δ Επομένως, η συχνότητα του διακροτήματος είναι: fδ = fδ = Hz T δ Για τη συχνότητα του διακροτήματος ισχύει: f = f δ f και f > f, άρα f f = Hz f 9Hz = Hz f = Hz Η γωνιακή συχνότητά της ισούται με τη μέση τιμή των ω, ω υπολογίζεται ως εξής: ω +ω π f + π f f + f f f f Hz ω= π = = = ΘΕΜΑ Γ α) Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ρεύματος είναι T, οπότε T 5 s T 4 5 = π = π s. Σελίδα από 6
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Από τον τύπο της περιόδου έχουμε T (4π s) 4π C 4π 4 F 5 3 T = π LC L = = L = H 7 β)τη χρονική στιγμή t = έχουμε q= + Q, οπότε η εξίσωση του φορτίου με το χρόνο είναι: q = Q συνω t () Η γωνιακή συχνότητα ω είναι: π π 4 rad ω= = ω= 5 5 T 4π s s Το μέγιστο φορτίο υπολογίζεται από τη σχέση I = ω Q. Έχουμε 5 I A 9 Q = = Q =, C 4 rad ω 5 s 9 4 Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: q =, συν(5 t) ( SI) γ) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση q 4 F 6 9 9 UE = U 7 E =,5 q ( SI) µε, C q, C U E q =, C 9 Για q =, C προκύπτει σχήμα. =. Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο 4 UE 5 J δ) VC (q / C) q VC i = = = t t C t t C () Σελίδα 3 από 6
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρέπει να βρούμε τη συνάρτηση i = f(t). Όταν το φορτίο μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση q = Q συνω t, η ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση i= ωq ηµω t, οπότε έχουμε: ( ) ( ) 4 9 4 5 4 i = 5, ηµ (5 t) SI i = ηµ (5 t) SI Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: VC V t 4 F t 5 4 ηµ (5 t) C 4 = = 5 ηµ (5 t) (SI) 7 ΘΕΜΑ Δ α) Για τη σύγκρουση των δύο σωμάτων ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής. m υ + m = (m + m )V () κ Η σύγκρουση γίνεται στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, οπότε η ταχύτητα υ δηλώνει τη μέγιστη ταχύτητα της αρχικής ταλάντωσης, υ =υ max. Από τη διατήρηση της ενέργειας, για την αρχική ταλάντωση, μεταξύ της θέσης ισορροπίας και της ακραίας θέσης, βρίσκουμε τη υ. max Σελίδα 4 από 6
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ k 576N / m m K = U mυ = ka υ = A = m υ = 4 max max max m 3kg s Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: m υ 3kg 4m / s m = = = m m 3kg kg s Vκ Vκ 3 + + β) Η ζητούμενη σχέση στη γενική της μορφή γράφεται: ( ) x = A ηµ ( ω t + ϕ ) Πρέπει να υπολογίσουμε τα A, ω, ϕ. Επειδή το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, η θέση ισορροπίας της νέας ταλάντωσης παραμένει ίδια με την παλιά, οπότε τη χρονική στιγμή t = το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και έχει θετική ταχύτητα. Αυτό μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι: - η νέα ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση, ϕ = - η ταχύτητα του συσσωματώματος, V = κ 3m / s, αποτελεί τη μέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης. Η γωνιακή συχνότητα της νέας ταλάντωσης είναι: k 576 N / m rad ω= = ω= m + m 3kg + kg s Από τη σχέση της μέγιστης ταχύτητας βρίσκουμε το πλάτος της νέας ταλάντωσης: Vκ 3m / s Vκ =υ max =ω A A = = A = m =, 5m ω rad / s 4 Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: x =, 5 ηµ (t) (SI) (3) γ) F = Σ F = kx F = 576x (SI) µε,5m x,5m επαν επαν Για x =,5m προκύπτει F = 44N. Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα. Σελίδα 5 από 6
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ δ) dk dwσ F ΣF x dk dk = = =ΣF υ = kx υ (4) dt dt t dt dt K Υπολογίζουμε τα x, υ τη χρονική στιγμή που ισχύει U = ή K = 5U. 5 Από τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση παίρνουμε: A 6 6 4 6 U + K = E U + 5U = E U = E kx = ka x =± x =± m Επειδή αναφερόμαστε σε στιγμή με θετική απομάκρυνση αποδεκτή τιμή είναι μόνο η x = + m. 6 Η ταχύτητα βρίσκεται με εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας στην ταλάντωση. k U + K = E kx + (m + m ) υ = ka υ=± (A x ) m m + 576N / m 5 m υ=± ( m) ( m) υ=± 3 3kg + kg 4 6 4 s Επειδή αναφερόμαστε σε χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα κινείται από θετική 5 m απομάκρυνση προς τη θέση ισορροπίας, αποδεκτή τιμή είναι η υ= 3. 4 s Με αντικατάσταση στη σχέση (4) βρίσκουμε: dk N 5 m dk J = 576 m ( 3 ) = 7 5 dt m 6 4 s dt s Σελίδα 6 από 6