ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΕΡΟΣΚΑΦΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΕΡΟΣΚΑΦΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ "Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων ΤΕΙ" Υποέργο: 5 Τίτλος: «Μοντελοποίηση καναλιού επικοινωνίας μη επανδρωμένων αεροσκαφών (UAVS) με χρήση οπτικών συστημάτων ελευθέρου χώρου» Επιστημονικός Υπεύθυνος: Δρ. Αντώνιος Χατζηευφραιμίδης ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Τίτλος Παραδοτέου: «Έκθεση ανάλυσης ρυθμού σφάλματος δεδομένων (BER) σε κινητή ζεύξη FSO μεταξύ μη επανδρωμένου α/φους και σταθερού επίγειου σταθμού» στο Πλαίσιο του Πακέτου Εργασίας: Ανάπτυξη μοντέλου διάδοσης και πρόβλεψης BER σε κινητή ζεύξη FSO Δεκέμβριος 013

Συντάκτες: 1. ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΑΤΖΗΕΥΦΡΑΙΜΙΔΗΣ, ΑΝΑΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΖΩΗΡΟΣ, ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ 3. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΠΛΕΡΟΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 4. ΚΩΣΤΑΣ ΖΑΡΓΑΝΗΣ, Μsc, ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ 1

Πίνακας περιεχομένων Εισαγωγή στα συστήματα FSO... 3 Ιστορική αναδρομή... 3 Εφαρμογές των FSO συστημάτων... 4 Σύγκριση FSO συστημάτων με RF συστήματα... 5 Προκλήσεις όρια των FSO συστημάτων... 6 Βασικά χαρακτηριστικά των FSO συστημάτων... 7 Αρχή λειτουργίας... 7 Θόρυβοι στο σύστημα του φωτοδέκτη... 8 Επίδραση της ατμόσφαιρας... 9 Απορρόφηση και σκέδαση... 9 Οπτικός στροβιλισμός... 11 Ισολογισμός ζεύξης εξίσωση ισχύος... 13 FSO συστήματα σε κινητό περιβάλλον... 15 Μη επανδρωμένα αεροσκάφη (Unmanned Aerial Vehicles UAVs)... 16 Εφαρμογή τεχνολογίας FSO στα UAVs... 17 Ανάλυση μοντέλου επικοινωνίας σε κινητό περιβάλλον... 18 Οπτική δέσμη κατανομής Gauss... 18 Μελέτη φαινομένου στροβιλισμού - σπινθηρισμού... 19 Μοντέλο συστήματος... 0

Εισαγωγή στα συστήματα FSO Τα τελευταία 0 χρόνια έχει εμφανιστεί μια τεχνολογία, αρκετά διαδεδομένη στις μέρες μας. Πρόκειται για μια τεχνολογία ασυρμάτων τηλεπικοινωνιών βασισμένη στη χρήση υπέρυθρης ακτινοβολίας. Η τεχνολογία αυτή είναι γνωστή στη ξένη βιβλιογραφία ως Free Space Optics (FSO). O όρος Free space αναφέρεται στο μέσο που διαδίδεται η ακτινοβολία, τον ατμοσφαιρικό αέρα ή ακόμα και την απουσία αυτού (κενό) όπως για παράδειγμα συμβαίνει σε μια ασύρματη ζεύξη μεταξύ δορυφόρων. Αρχικά η τεχνολογία αυτή προτάθηκε ως λύση για επικοινωνίες μικρής εμβελείας εφόσον το μήκος κύματος της υπέρυθρης ακτινοβολίας επέτρεπε, εκτός των άλλων, μεγάλο εύρος ζώνης, ικανοποιώντας τις υψηλές απαιτήσεις των πολυάριθμων τερματικών στο τέλος της ζεύξης (last mile problem). Η σημερινή τεχνολογική πρόοδος στην πληροφορία και τις τηλεπικοινωνίες έχουν ξεπεράσει τις συμβατικές τεχνολογίες, γεγονός που καθιστά τις καινοτόμες λύσεις ακόμα πιο πρόσφορες σε αυτό το απαιτητικό περιβάλλον. Η τεχνολογία των FSO συστημάτων αποτελεί μια τεχνολογία αιχμής στην υλοποίηση ζεύξεων με υψηλές ταχύτητες ροής δεδομένων, χωρητικότητας είτε πρόκειται για στατικές ασύρματες ζεύξεις είτε για κινητές, όπως στην περίπτωση ζεύξης ενός αεροσκάφους με σταθερό επίγειο σταθμό. Σε ένα FSO σύστημα η χρήση των lasers σε συνδυασμό με την φύση της υπέρυθρης ακτινοβολίας (σπανιότερα ακόμα και ορατής) προσφέρουν εκτός των άλλων υψηλής ποιότητας και επίδοσης ασύρματες ζεύξεις ικανοποιώντας τις όλο και αυξανόμενες απαιτήσεις του διαδικτύου αλλά και εν γένει βελτιώνοντας τις προσφερόμενες σύγχρονες υπηρεσίες. Αποτελεί μια δυναμική και σχετικά χαμηλού κόστους λύση για την διασύνδεση κτηρίων, με τεράστιο όγκο διακινούμενης πληροφορίας. Πέραν αυτού, τα πλεονεκτήματα των FSO συστημάτων επεκτείνονται και σε ζεύξεις οπού το ένα ή και τα δυο τερματικά βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους, κάτι που άλλωστε αποτελεί αντικείμενο ανάλυσης στην παρούσα έκθεση. Ιστορική αναδρομή Το 1880, πριν την εύρεση του ηλεκτρονίου, ο A.G. Graham Bell εφεύρε το φωτόφωνο, μια πρωτόγονη συσκευή, η οποία, χρησιμοποιώντας ηλιακό φως διαδιδόμενο στον αέρα, μετέφερε ηχητικά μηνύματα. Η συσκευή αυτή δεν πέτυχε σημαντικά πράγματα, εφόσον φορέας της πληροφορίας ήταν το ηλιακό φως - φως ασύμφωνης φύσης - που συνάμα διαδίδονταν στον αέρα, ένα έντονα σκεδάζoν μέσο. Το 1985, ο Sir J.C. Bose παρουσίασε τα πρώτα πειράματα του, χρησιμοποιώντας 3

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μήκους κύματος μερικών μm ως mm, ενθουσιάζοντας με τα αποτελέσματα του, τον επιστημονικό κόσμο. Λίγο μετά, ακολούθησε ο Marconi, στα 1987, με παρόμοιου τύπου επιδείξεις. Ο δρόμος για τις ασύρματες επικοινωνίες είχε ανοίξει διάπλατα, αν και προβλήματα όπως η έλλειψη ισχυρών πηγών και η ιδιαίτερα σκεδάζουσα συμπεριφορά του ατμοσφαιρικού αέρα, δεν είχαν ακόμα αντιμετωπιστεί. Κατά την διάρκεια των δεκαετιών του 30 ως και του 50, πηγές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας προσέφεραν μήκη κύματος τα οποία αύξησαν δραματικά την χωρητικότητα των τηλεπικοινωνιακών καναλιών. Στα 1960 η εφεύρεση του πρώτου laser (Ruby laser) αποτέλεσε θεμέλιο, εκτός των άλλων, και του πρώτου FSO συστήματος, με το όνομα lightphone. Τα επόμενα χρόνια η ανάπτυξη της οπτικής ίνας και κατ επέκταση των ενσύρματων τηλεπικοινωνιών ως κύρια συστήματα επικοινωνιών, άφησε για λίγο στο περιθώριο τα ασύρματα συστήματα όπως τα FSO συστήματα. Στην πραγματικότητα, ενώ η εμπορική τους εκμετάλλευση δεν φαίνονταν ιδιαίτερα ελκυστική, για τα εργαστήρια στρατιωτικής και αεροναυπηγικής τεχνολογίας η ανάπτυξη τέτοιων συστημάτων δεν έπαψε ποτέ. Ιδιαίτερα τα τελευταία 30 χρόνια, στα οποία η ανάπτυξη και βελτιστοποίηση ηλεκτροοπτικών και οπτικοηλεκτρονικών διατάξεων έχει λάβει χώρα με έντονους ρυθμούς, τα FSO συστήματα ακολουθώντας την ανάπτυξη αυτή, έχουν καταστεί μια συμφέρουσα λύση σε παντός είδους ασύρματη ζεύξη (μεταξύ κτηρίων, επιγείων σταθμών με αεροσκάφη-δορυφόρους, μεταξύ αεροσκαφών και δορυφόρων κ.α.) Εφαρμογές των FSO συστημάτων Τα FSO συστήματα έχουν πια ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς των τηλεπικοινωνιών. Μερικές από αυτές παρατίθενται παρακάτω: Σε μικρά δίκτυα εταιριών για τη διασύνδεση των διαφόρων χώρων εργασίας της εταιρίας. Σε τοπικά δίκτυα (LAN Local Area Networks) όπως για παράδειγμα το δίκτυο συνεργαζόμενων εταιριών ή υπηρεσιών, τα γραφεία των οποίων βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Για εξυπηρέτηση εκτάκτων γεγονότων, εφόσον τα συστήματα αυτά εγκαθίστανται εύκολα. Η ευελιξία των συστημάτων αυτών τα καθιστά ιδανικά σε τέτοιες περιπτώσεις εφόσον πρόκειται για προσωρινή εγκατάσταση. Σε τηλεπικοινωνίες μεταξύ επιγείων σταθμών και αεροσκαφών (εικόνα 1) - αερόστατων - δορυφόρων. 4

Σε τηλεπικοινωνίες αεροσκαφών αεροσκαφών και δορυφόρων. Σε διαπλανητικές ζεύξεις όπως και σε διαστημικές αποστολές. Σε τηλεπικοινωνίες πλοίων-σκαφών με παράκτιους σταθμούς, με αεροσκάφη, όπως και πλοίων-σκαφών μεταξύ τους. Εικόνα 1: Εφαρμογές των FSO στη διασύνδεση διαφορετικών τερματικών. Σύγκριση FSO συστημάτων με RF συστήματα Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως λόγω της έλλειψης ισχυρών σύμφωνων πηγών laser, η τεχνολογία των FSO, άργησε να εμφανιστεί. Το ρόλο των ασύρματων επικοινωνιακών συστημάτων έπαιξαν κατά κόρον τα RF συστήματα. Εντούτοις η τεχνολογία τους, μετά την εμφάνιση των FSO συστημάτων, έπαψε να πρωταγωνιστεί εφόσον τα τελευταία ξεπέρασαν τα όρια που έθετε η συμβατική τεχνολογία στα ραδιοκύματα. Τα πλεονεκτήματα της χρήσης υπέρυθρης (ή ακόμα και ορατής) ακτινοβολίας έναντι των ραδιοκυμάτων είναι πολλαπλά. Οι εκπομποί (laser) και οι δέκτες (φωτοδίοδοι) είναι ικανοί να ανταλλάσσουν όγκο πληροφοριών με πολύ μεγάλη ταχύτητα και σε ιδιαίτερα προσιτό κόστος για την παροχή αυτή. Το φάσμα της υπέρυθρης ακτινοβολίας έχει τεράστιο εύρος και προς το παρόν δεν απαιτείται κάποιο είδος αδειοδότησης από τις υπεύθυνες Αρχές. Η υπέρυθρη ακτινοβολία 5

έχει όμοια χαρακτηριστικά με την ορατή, συνέπεια αυτού είναι να περιορίζεται αυστηρά σε χώρους που περιβάλλονται από τοίχους ή σχετικού πάχους μη διαφανή εμπόδια. Με τον τρόπο αυτό η ασφάλεια των επικοινωνιών σε περιορισμένο χώρο εξασφαλίζεται και συν τοις άλλοις φαινόμενα συμβολής άλλων παρακείμενων δικτύων αποφεύγονται. Τα FSO συστήματα τοπικών δικτύων, προσφέρονται σήμερα με υψηλή χωρητικότητα, ενώ λόγω της μικρής τιμής του μήκους κύματος τους, οι δέσμες τους έχουν μεγάλη κατευθυντικότητα σε σχέση με τα RF συστήματα. Τέλος ως συστήματα απαιτούν μικρότερο χώρο εγκατάστασης, μικρότερες κεραίες, και ενεργειακή δαπάνη λειτουργίας, καθιστώντας τα ελκυστικά σε εφαρμογές στην αεροναυπηγική και τη διαστημική τεχνολογία. Προκλήσεις όρια των FSO συστημάτων Τα FSO ως συστήματα που χρησιμοποιούν ως μέσο διάδοσης της πληροφορίας την ατμόσφαιρα, είναι επιρρεπή στις καιρικές συνθήκες αλλά και στη φύση του ίδιου του μέσου. Ομίχλη, βροχή, χιόνι, σκόνη, σωματίδια μικρότερων αλλά και μεγαλύτερων διαστάσεων, συμμετέχουν στην εξασθένιση της διαδιδόμενης ακτινοβολίας από τερματικό σε τερματικό. Η απορρόφηση λόγω των μορίων των αερίων που απαρτίζουν την ατμόσφαιρα αν και σε μερικές περιπτώσεις σημαντική, μπορεί να μετριαστεί αποτελεσματικά με την σωστή επιλογή του μήκους κύματος. Εν αντιθέσει η τυχαία κατανομή του δείκτη διάθλασης της ατμόσφαιρας από περιοχή σε περιοχή λόγω μεταβολών της θερμοκρασίας και πίεσης οδηγεί σε στροβιλισμό (turbulence) ο οποίος με την σειρά του προκαλεί τυχαίες διακυμάνσεις (χωρικές και χρονικές) στην διαδιδόμενη ισχύ του οπτικού σήματος. Οι απώλειες της οπτικής ισχύος λόγω του φαινόμενου αυτού παίζουν σημαντικό ρόλο στη σχεδίαση ενός FSO συστήματος και αυξάνονται δραστικά καθώς το μήκος της ζεύξης αυξάνει. Δυστυχώς δεν υπάρχει κάποιο «παράθυρο» όπου οι συνέπειες αυτές να μπορούν να μετριαστούν αλλά και ούτε η οπτική ενίσχυση, λόγω της φύσης του αιτίου της απώλειας ισχύος, μπορεί να οδηγήσει υποχρεωτικά σε βελτίωση της ποιότητας της ζεύξης. Σε πολλές περιπτώσεις η παρουσία ατμοσφαιρικού στροβιλισμού αποτελεί ανασχετικό παράγοντα στην επίτευξη αξιόπιστης ζεύξης σε ένα FSO σύστημα. Εντούτοις για την αντιμετώπιση του φαινόμενου αυτού έχουν προταθεί πολλές τεχνικές, μερικές από αυτές με ενθαρρυντικά αποτελέσματα. Η χρήση διαφορετικών διαμορφώσεων της οπτικής δέσμης, η τοποθέτηση πολλαπλών πηγών και φωτοανιχνευτών καταλλήλως τοποθετημένους (σε θέσεις που απέχουν μεταξύ τους απόσταση μεγαλύτερη από ένα καθορισμένο μήκος), η μεταβολή της διαμέτρου του φακού συλλογής στο δέκτη κ.α., έχουν αποδεικτεί κατά περίπτωση τεχνικές με μεγάλη αποτελεσματικότητα. 6

Βασικά χαρακτηριστικά των FSO συστημάτων Σκοπός ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος είναι η διάδοση δεδομένων και πληροφορίας από ένα σημείο σε ένα άλλο που απέχει κάποια απόσταση. Στην περίπτωση των FSO συστημάτων η διάδοση αυτή λαμβάνει χώρα από τον εκπομπό (transmitter) στον δέκτη (receiver) δια μέσου της ατμόσφαιρας (κανάλι-δίαυλος επικοινωνίας). Η μετάδοση αυτή πρέπει να γίνει με αξιόπιστο τρόπο και με ανεκτό ρυθμό σφάλματος, έτσι ώστε να μην αλλοιωθεί η πληροφορία που αρχικά στάλθηκε. Αρχή λειτουργίας Ο εκπομπός συστήνεται κυρίως από: ένα laser που παρέχει τη δέσμη φωτός (κατά κόρον υπέρυθρης ακτινοβολίας αν και δεν αποκλείεται σε αυτά τα συστήματα και ορατή ακτινοβολία) και οπτικής ισχύος P t. Ένα διαμορφωτή (modulator), ο οποίος διαμορφώνει το φέρον κύμα-δέσμη φωτός- με κατάλληλη τεχνική ώστε να κωδικοποιηθεί εντός αυτής η πληροφορία. Συγκεκριμένα ο διαμορφωτής μετατρέπει την πληροφορία σε ηλεκτρικά σήματα, τα οποία διαμορφώνουν την λειτουργία του laser και κατά συνέπεια της οπτικής δέσμης. Ηλεκτρικά και ηλεκτρονικά συστήματα για την εύρυθμη λειτουργία του laser. Ένα τηλεσκοπικό σύστημα αποτελούμενο από φακούς και διαφράγματα τοποθετημένα σε τέτοιες θέσεις ώστε η δέσμη του φωτός να εξέλθει από τον εκπομπό με καλά καθορισμένη διάμετρο, και έτσι να μετριαστούν φαινόμενα περίθλασης κατά την διάδοση της στην ατμόσφαιρα. Το οπτικό σήμα διαδίδεται μέσω του ατμοσφαιρικού καναλιού και συλλέγεται μέσω του δέκτη, ώστε από αυτό να εξέλθουν δεδομένα. Ο δέκτης αποτελείται κυρίως από: Ένα τηλεσκοπικό σύστημα που συγκεντρώνει την οπτική ισχύς και την εστιάζει. Ένα φωτοδέκτη, στον οποίο προσπίπτει η εστιασμένη ακτινοβολία ισχύος P r, και κατόπιν μετατρέπεται σε ηλεκτρικό σήμα. Ως φωτοδέκτη θεωρούμε ένα 7

σύστημα αποτελούμενο κυρίως από μια φωτοδίοδο (συνήθως PIN ή APD), ένα φίλτρο συχνοτήτων και ένα ηλεκτρονικό ενισχυτή. Μια διάταξη κατωφλίου η οποία αποκωδικοποιεί τα ενισχυμένα ηλεκτρικά σήματα της φωτοδιόδου βάσει δεδομένου κατωφλίου ηλεκτρικής ισχύος και έτσι ανακτάται η πληροφορία υπό δυαδική μορφή (bits). Θόρυβοι στο σύστημα του φωτοδέκτη Ο φωτοδέκτης (ή φωτοανιχνευτής (photodetector)), όπως αναφέρθηκε μόλις παραπάνω αποτελείται από μια φωτοδίοδο, στην περίπτωση που εξετάζουμε έχει επιλεχθεί μια φωτοδίοδος APD (Αvalance PhotoDiode), με εσωτερική ενίσχυση G, ένα ηλεκτρονικό φίλτρο και έναν ενισχυτή. Οι θόρυβοι (noises) που αποτελούν τυχαίες διακυμάνσεις σήματος που αλλοιώνουν το αυθεντικό σήμα που μεταφέρει την πληροφορία, μπορούν να συνοψιστούν στους έξης: Θόρυβος φωτοδιόδου (θόρυβος βολής (shot noise)), σ s, ο οποίος έγκειται στην κβαντική φύση του φωτός. Θερμικός θόρυβος (ή θόρυβος Johnson (thermal noise)), σ th, οφείλεται στην τυχαιότητα της θερμικής κίνησης των ελευθέρων ηλεκτρονίων των αγωγών του κυκλώματος. Θόρυβος ενισχυτή, σ a, ο οποίος προέρχεται από την ύπαρξη χωρητικών και επαγωγικών στοιχείων, εντός του κυκλώματος. Ο θόρυβος αυτός είναι αμελητέος έναντι του θερμικού και ως εκ τούτου δε λαμβάνεται υπόψη. Θόρυβος λόγω σκοτεινού ρεύματος (dark current noise), σ d, ο οποίος προκύπτει από την ύπαρξη ενός μικρού ηλεκτρικού ρεύματος χωρίς να έχει προηγηθεί πρόσπτωση φωτονίων στη δίοδο. Τέλος, ένας άλλος παράγοντας θορύβου που μπορούμε να λάβουμε υπόψη, κάνοντας περισσότερο ρεαλιστικό το μοντέλο που τίθενται υπό ανάλυση, είναι η ακτινοβολία υποβάθρου, η οποία οφείλεται στις διαφορετικές πηγές φωτός (φυσικές ή τεχνητές) που συνυπάρχουν στον χώρο που έχει εγκατασταθεί η ζεύξη. Κυρίαρχη αυτών, μπορούμε να θεωρήσουμε την ηλιακή ακτινοβολία, ισχύος P bg. 8

Με βάση όλα τα παραπάνω και θεωρώντας ότι οι φύσεις των θορύβων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, μπορούμε να γράψουμε ότι η διασπορά (τυπική απόκλιση) του σήματος δηλαδή ο συνολικός θόρυβος του σήματος σ Ν είναι: σ = σ + σ + σ + σ = N s bg th d 4K TB = + + + + (1) B W qerg FBW ( Pr Pbg ) Fn qebw ( G FIbl Isl ) RL Επίδραση της ατμόσφαιρας Είναι καθημερινή εμπειρία η μεταβολή της θέας ενός αντικειμένου ή του ορίζοντα από μέρα σε μέρα καθώς οι ατμοσφαιρικές συνθήκες αλλάζουν. Το γεγονός αυτό οφείλεται σε ατμοσφαιρικά ή καλύτερα μετεωρολογικά φαινόμενα, όπως η βροχή,το χιόνι, η ομίχλη, η μόλυνση κ.τ.λ.. Τα φαινόμενα αυτά είναι ικανά να περιορίσουν την ορατότητα μας και κατ επέκταση την ικανότητα μας να διακρίνουμε με λεπτομέρεια όλο και μακρύτερα αντικείμενα. Ακριβώς οι ίδιοι παράγοντες είναι υπεύθυνοι για την εξασθένιση μιας ακτινοβολίας καθώς αυτή διαδίδεται στην ατμόσφαιρα. Οι τρεις κυριότεροι παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν τα οδεύοντα οπτικά κύματα είναι η απορρόφηση (absorbion), η σκέδαση (scattering) και η χωρική-χρονική μεταβολή του δείκτη διάθλασης του ατμοσφαιρικού αέρα που οδηγεί σε φαινόμενα στροβιλισμού (turbulence), στίλβης (το λαμπύρισμα μιας οπτικής πηγής καθώς την παρατηρούμε από μακριά) και κηλιδώσεων ισχύος (τη μη ομοιόμορφη χωρική κατανομή της οπτικής ισχύος στη διατομή της δέσμης). Τα δυο τελευταία φαινόμενα τα αναγνωρίζουμε στη ξένη βιβλιογραφία με τον όρο optical scintillation αλλά από τούδε και στο έξης η απόδοση του όρου στα ελληνικά θα γίνεται με τη λέξη οπτικός σπινθηρισμός. Η απορρόφηση και η σκέδαση από συγκεκριμένα αέρια και σωματίδια είναι μια συνάρτηση του μήκους κύματος και κατά περιπτώσεις αποτελούν κύριο παράγοντα εξασθένησης της οπτικής δέσμης. Οι τυχαίες μεταβολές του δείκτη διάθλασης οδηγούν σε μεταβολές της οπτικής ισχύος και εκ νέου περίθλαση και εκτροπή της δέσμης (beam wander). Απορρόφηση και σκέδαση Η Γήινη ατμόσφαιρα είναι ένα απορροφητικό μέσο. Η απορρόφηση λαμβάνει χώρα όταν από ένα φωτόνιο της διαδιδόμενη ακτινοβολίας απορροφάται από ένα μόριο του αερίου και κατόπιν αυτό οδηγεί στην αύξηση της κινητικής ενέργειας ενός μορίου. Γίνεται αντιληπτό πώς η αύξηση της κινητικής ενέργειας ενός μορίου, μακροσκοπικά 9

οδηγεί στην αύξηση της θερμοκρασίας του ίδιου του αερίου. Η ατμοσφαιρική απορρόφηση έχει έντονη εξάρτηση από το μήκος κύματος της διαδιδόμενης ακτινοβολίας. Για παράδειγμα, μόρια όπως το Ο και το όζον (Ο 3 ) απορροφούν έντονα μήκη κύματος κάτω των 0.μm αλλά ελάχιστα τα μήκη κύματος του ορατού φάσματος (0.4μm 0.7μm). Η σκέδαση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων ορατής και υπέρυθρης ακτινοβολίας λαμβάνει χώρα όταν η ακτινοβολία διαδίδεται μέσω μορίων και σωματιδίων με ποικίλες διαστάσεις. Και στην περίπτωση αυτή, η σκέδαση ως φαινόμενο εξαρτάται από το μήκος κύματος αλλά και ως μηχανισμός δε σχετίζεται με την απώλεια ενέργειας (όπως στην απορρόφηση) αλλά με την εκτροπή των φωτονίων από την αρχική τους διεύθυνση. Δυο είδη σκεδάσεων θεωρούνται σημαντικά στη μελέτη μας: Σκέδαση Rayleigh: η σκέδαση αυτή προκύπτει από σωματίδια διαστάσεων πολύ μικρότερων από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Έγκειται κυρίως στα μόρια των ατμοσφαιρικών αερίων και είναι υπεύθυνη για τη σκέδαση του ηλιακού φωτός προσδίδοντας στον ουρανό το γαλάζιο χρώμα του. Ο συντελεστής της σκέδασης, σε αυτή την περίπτωση, είναι ανάλογος του λ -4, γνωστός και ως νόμος του Rayleigh. Σύμφωνα με αυτό το νόμο, τα μόρια των αερίων σκεδάζουν ελάχιστα σε μήκη κύματος πάνω από 3μm, ενώ όσο το μήκος κύματος ελαττώνεται τόσο εντονότερη είναι η σκέδαση. Σκέδαση Mie: Η σκέδαση αυτή προέρχεται από σωματίδια διαστάσεων περίπου ίσου και μεγαλύτερου από το μήκος κύματος της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας. Τα σωματίδια αυτά θεωρούνται σχετικώς μεγάλα και αποκαλούνται aerosols. Εν αντιθέσει με την σκέδαση Rayleigh, η ακτινοβολία ομπροσθοσκεδάζεται κυρίως και γίνεται εντονότερη στα μικρά μήκη κύματος όπως άλλωστε συμβαίνει και με τη σκέδαση Rayleigh. Στη σκέδαση Mie οφείλεται το κόκκινο χρώμα του ουρανού κατά το ηλιοβασίλεμα. Ο συνδυασμός απορρόφησης και σκέδασης συχνά αναφέρεται ως εξάλειψη (extinction), έτσι ώστε να περιγράφει πλήρως η απώλεια ισχύος μέσα από την ατμοσφαιρική διάδοση. Μια παράμετρος που ποσοτικοποιεί τα παραπάνω είναι η διαπεράτοτητα (transmittance), τ, της οποίας, για δεδομένη απόσταση L, η τιμή δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: [ ] ( ) τ = exp a( λ) L = exp aα ( λ) + as ( λ) L () όπου ο συντελεστής εξάλειψης να είναι ίσος με τους επιμέρους συντελεστές απώλειας a α ( λ ) και a ( λ ) λόγω απορρόφησης και σκέδασης αντίστοιχα. s Παρακάτω παρουσιάζεται ένα διάγραμμα της διαπερατότητας στην ατμόσφαιρα για διάφορα μήκη κύματος ακτινοβολίας. Παρατηρούμε ότι πολύ καλές ζώνες μήκους κύματος με ελάχιστη απορρόφηση και σκέδαση (οπότε και μέγιστη διαπερατότητα) είναι κοντά στα 1.5μm από (.-.4) μm, (3.5-4) μm, κ.τ.λ. 10

Εικόνα : Φάσμα διαπερατότητας (χαρακτηριστικά : μήκος ζεύξης 1km, υψόμετρο h=3m, χωρίς βροχή και σύννεφα) για ένα εύρος μηκών κύματος από το 1μm ως και τα 10 μm. Ένας όρος που χρησιμοποιείται κατά κόρον για να περιγράψει την διαφάνεια της ατμόσφαιρας είναι το μέγεθος της ορατότητας (Visibility -V) που ορίζεται ως η απόσταση εκείνη για την οποία μια ακτινοβολία μήκους κύματος 0.55μm, έχει ένταση ίση με το % της αρχικής της, μετά την διάδοση της για την απόσταση αυτή. Οπτικός στροβιλισμός Ο στροβιλισμός δημιουργείται πρωτογενώς λόγω της διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ εδάφους και ατμόσφαιρας αλλά δευτερογενώς λόγω των ανέμων που εμφανίζονται κατά τόπους. Κατά την διάρκεια της ημέρας, η επιφάνεια της Γης είναι θερμότερη από τον αέρα, με συνέπεια ο εγγύς, στο έδαφος, αέρας να είναι θερμότερος από αυτόν των υπερκείμενων στρωμάτων. Μια τέτοια κατάσταση ανάγεται σε χωρικά και χρονικά μεταβαλλόμενο δείκτη διάθλασης του ατμοσφαιρικού αέρα, εξαιτίας του οποίου οι ακτίνες φωτός καμπυλώνονται εκδηλώνοντας φαινόμενα όπως αντικατοπτρισμός. Τα κυματομέτωπα διαταράσσονται με συνέπεια η δέσμη να περιθλάται επιπλέον, πέραν της δεδομένης περίθλασης λόγω διάδοσης της σε ένα χώρο απουσία ατμόσφαιρας (free space propagation). Εκτός των άλλων, η εγκάρσια κατανομή της οπτικής ισχύος παύει να είναι ομοιόμορφη αλλά παρατηρούνται κατά μήκος της διατομής της δέσμης, περιοχές διαφορετικής οπτικής έντασης (κηλιδώσεις), φαινόμενο γνωστό ως σπινθηρισμός. 11

Η εκδήλωση αλλά και τα αποτελέσματα τέτοιων φαινομένων είναι στοχαστικά. Μια τέτοια συμπεριφορά πρέπει να τεθεί υπό στατιστική βάση και αποτελεί κύριο μέλημα όλων των θεωριών που σχετίζονται με την διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στην ατμόσφαιρα. Τα αυτά φαινόμενα όπως γίνεται κατανοητό αφορούν και τα FSO συστήματα. Η μελέτη πάνω στο στροβιλισμό και τα επακόλουθα του, μπορεί να καταταχθεί σε δυο βασικές κατηγορίες με κριτήριο της ισχύ του φαινομένου: στον ασθενή στροβιλισμό (weak turbulence) που οδηγεί και σε ασθενείς αλλοιώσεις της ομοιογένειας της έντασης στη διατομή της δέσμης (weak fluctuations) και στον ισχυρό στροβιλισμό (strong turbulence-strong fluctuations). Η θεωρία που αφορά τα αποτελέσματα από τον ασθενή στροβιλισμό είναι κυρίως βασισμένη στη θεωρία του Rytov (Rytov perturbation approximation). Μέσα από αυτή τη θεωρία προκύπτει η μεταβλητή του Rytov, σ R, της οποίας οι τιμές δίνουν τις περιοχές που μπορούμε να θεωρήσουμε το φαινόμενο του στροβιλισμού ασθενές (όταν σ R < 0.3 ), μέτριας ισχύος (moderate) (όταν σ R = 1) και ισχυρό (όταν σ R >> 1 ). Η τιμή της σταθεράς αυτής, για επίπεδο κύμα (plane wave) δίνεται από την παρακάτω έκφραση και χρησιμοποιείται κατά κόρον στις διάφορες εξισώσεις που αφορούν την ανάλυση του φαινομένου: σ = 1.3c k L (3) 7/6 11/6 R n όπου c n είναι η δομική παράμετρος του δείκτη διάθλασης (refractive-index structure parameter) και η οποία δηλώνει την ισχύ του στροβιλισμού, εφόσον διαμέσου αυτής η σ R, χαρακτηρίζει τα όσα παραπάνω αναφέρθηκαν για την ισχύ του στροβιλισμού. π Το k είναι ο κυματαριθμός ( k = ), ενώ το L είναι η απόσταση μεταξύ των λ τερματικών της ζεύξης. Για την έκφραση του c n έχουν προταθεί πολλά μοντέλα καθένα από αυτά προσαρμοσμένο σε συγκεκριμένες περιβαλλοντικές και γεωγραφικές συνθήκες. Το μοντέλο που χρησιμοποιούμε για τις συνθήκες μας, είναι το μοντέλο Hufnagel- Valley, το οποίο δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε ζεύξεις όπου τα τερματικά βρίσκονται σε διαφορετικές κατακόρυφες θέσεις. Το μοντέλο, που χρησιμοποιούμε στην παρούσα εργασία, αφορά κυρίως την διάρκεια της ημέρας και λαμβάνει υπόψη τον στροβιλισμό λόγω των ανέμων κοντά στο έδαφος, κάτι που λόγω της γεωμετρίας της ζεύξης μεταξύ του επιγείου σταθμού και του μη επανδρωμένου αεροσκάφους, δε μπορεί να αγνοηθεί. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, η έκφραση που δίνει την τιμή της c είναι μια συνάρτηση του ύψους h από το έδαφος: n 1

5 u 5 10 rms h 16 h h n = ( ) + + 3 c ( h) 594 10 10 h exp.7 10 exp A exp (4) 7 10 1500 10 14 /3 όπου A= c ( h= 0) = 1.7 10 m ενώ το u rms είναι η ενεργός ταχύτητα του n ανέμου, που έχει τιμή 1m/s (μοντέλο H/V-1). Τέλος σχετικά με το μήκος της ζεύξης, δηλαδή την απόσταση μεταξύ μη επανδρωμένου αεροσκάφους (UAV) και επίγειου σταθμού, πρέπει να ειπωθεί ότι είναι μεταβλητή καθώς το UAV κινείται σε ένα δεδομένο υψόμετρο h. Η έκφραση που δίνει το L είναι: h L= z + (5) sin θ όπου θ η γωνία που σχηματίζει η ευθεία, που ενώνει την προβολή του UAV στο επίπεδο xy, με τον άξονα της κίνησης x. Η γωνία αυτή είναι χρονικά μεταβαλλόμενη εφόσον το UAV κινείται και οι τιμές που παίρνει στη μελέτη μας είναι από 10 ο ως και 90 ο. Εικόνα 3: To μήκος της ζεύξης L ως συνάρτηση των καρτεσιανών συντεταγμένων του UAV, θεωρώντας ότι ο επίγειος σταθμός βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Το αεροσκάφος κινείται (cruising) με δεδομένη ταχύτητα u κατά τον άξονα των x. Ισολογισμός ζεύξης εξίσωση ισχύος Η επίδοση ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος μπορεί να υπολογιστεί καταρτίζοντας έναν ισολογισμό ζεύξης ο οποίος είναι βασισμένος στην εξίσωση της ισχύος, η οποία και υπολογίζει την ληφθείσα από τον ανιχνευτή οπτική ισχύς όταν λάβουμε υπόψη όλες τις δυνατές απώλειες κατά μήκος της διάδοσης της δέσμης. Οι εξαρτήσεις αυτές της ισχύος φαίνονται στην παρακάτω εικόνα και βάσει αυτών θα 13

καταρτίσουμε της έκφραση της ισχύος, P r. Σύμφωνα με αυτή, η τελική ισχύς όπου λαμβάνει δέκτης είναι: P = P G L L L L G (6) r t t P s i P r t r Transmit Power P t Transmit Antenna Gain G t Pointing Errors L Pt Free Space Losses L s Receiver Power P r Receiver Antenna Gain G r Pointing Errors L Pr Atmospher ic Losses L i Εικόνα 4: Σχηματική αναπαράσταση των παραγόντων απώλειας από τον εκπομπό στο δέκτη. 14

FSO συστήματα σε κινητό περιβάλλον Οι υψηλές απαιτήσεις των επιβατών στα εμπορικά αεροσκάφη, ιδιαίτερα στην περίπτωση ταξιδιών μεγάλης διάρκειας, η όλο και αυξανόμενη χρήση των αεροσκαφών στις μετακινήσεις των ανθρώπων, αλλά και η αύξηση του όγκου ανταλλαγής πληροφορίας μεταξύ πληρώματος και επίγειων σταθμών έφερε στην επιφάνεια την ανάγκη για υψηλούς ρυθμούς και μεγάλες ταχύτητες στην ανταλλαγή πληροφορίας. Τέτοιες ζεύξεις μεταξύ αεροσκαφών και εδάφους με ρυθμούς μετάδοσης μεγαλύτερους των 100Mbps είναι εφικτές μόνο μέσω της FSO τεχνολογίας. Τα FSO συστήματα έχουν εκτεταμένη πια χρήση σε κινητό περιβάλλον, εφόσον ως τεχνολογία πολύ σύντομα κάλυψε τις προσδοκίες όσον αφορά την ταχύτητα, το εύρος αλλά και την ασφάλεια των τηλεπικοινωνιών. Τα παραδείγματα αρκετά σήμερα. Ενδοδορυφορικές ζεύξεις με ρυθμούς μετάδοσης στα 50Mbps. Το σχέδιο Capanina- Stropex μεταξύ δορυφόρων και επίγειων σταθμών με ρυθμούς μετάδοσης στα 150Mbps σε απόσταση 60Km. Μεταξύ αεροσκαφών εν πτήση το είδος της επικοινωνίας που πια επιλέγεται είναι μέσω FSO συστημάτων. Παρόλα αυτά στην διάρκεια της ανόδου του αεροσκάφους, τα συστήματα αυτά πάσχουν λόγω της ύπαρξης νεφώσεων, οι οποίες και επιτείνουν τις οπτικές απώλειες. Συν τοις άλλοις το γεγονός ότι τα FSO συστήματα επιλέγονται βασικά για χρήση όταν το αεροσκάφος είναι εν πτήση, οφείλεται ότι σε εκείνο το διάστημα οι απαιτήσεις των επιβατών για τηλεπικοινωνίες αυξάνονται ραγδαία. Μελέτες έχουν δείξει ότι ταχύτητες της τάξης των 100Mbps θα είναι απαραίτητες σε λίγα χρόνια εφόσον το είδος των επιβατών με εξειδικευμένες απαιτήσεις στην διασκέδαση-πληροφόρηση-ενημέρωση όλο και περισσότερο αυξάνει. Παρακάτω (εικόνα 5) εμφανίζεται ένα σενάριο επικοινωνίας αεροσκαφών και πλατφορμών μεγάλου ύψους με βάση οπτικές ζεύξεις, ενώ για να ξεπεραστεί το ζήτημα των νεφώσεων επιλέγεται μια RF διασύνδεση με τα χαμηλότερου ύψους εν κινήσει αεροσκάφη. 15

Εικόνα 5: Σενάριο επικοινωνίας αεροσκαφών και πλατφορμών μεγάλου ύψους Μη επανδρωμένα αεροσκάφη (Unmanned Aerial Vehicles UAVs) Τα UAVs είναι αεροσκάφη χωρίς πιλότο. Η αποστολή τους είναι καταχωρημένη εντός υπολογιστή ο οποίος και είναι υπεύθυνος για την πτήση ή η πλοήγηση και αποστολή του πραγματοποιείται μέσω του τηλελέγχου από πιλότο στο έδαφος ή από άλλο κινούμενο όχημα. Υπάρχουν πολλών ειδών τύποι και μεγέθη τέτοιων αεροσκαφών. Η ανάπτυξη τους βασίζεται κυρίως στην στρατιωτική τεχνολογία αλλά εντούτοις τελευταία έχουν βρει εφαρμογές σε περιβάλλοντα πόλεων-αγροτικών περιοχών και βιομηχανιών είτε για παρακολουθήσεις, κατάσβεση πυρκαγιών, έλεγχος εγκαταστάσεων κ.α. Παρακάτω εικονίζεται το περίφημο UAV Predator, αμερικανικής κατασκευής με αρκετές επιχειρήσεις στο ενεργητικό του. Εικόνα 6: To UAV Predator 16

Εφαρμογή τεχνολογίας FSO στα UAVs Υπάρχουν πολλές εφαρμογές των FSO συστημάτων σήμερα, μια από τις πιο ενδιαφέρουσες είναι η εφαρμογή στα UAVs. Σχετικά με τα UAVs, λόγω των αποστολών που αναλαμβάνουν μεγάλη ποσότητα δεδομένων ανταλλάσσεται είτε μεταξύ τους είτε με έναν επίγειο σταθμό. Εξαιτίας των υψηλών απαιτήσεων των ζεύξεων, τη δυνατότητα τους να παρέχουν υψηλή ασφάλεια (λόγω της στενής δέσμης laser μέσω της οποίας είναι εφικτή η ζεύξη), είναι ως συστήματα προτιμητέα σε σχέση με τα RF συστήματα. Ένα σημαντικό μειονέκτημα τους είναι η δυσκολία ευθυγράμμισης των τερματικών λόγω της σχετικής τους κίνησης είτε και των δυο τερματικών (σχηματισμός UAVs) είτε ακόμα και του ενός (UAV-επίγειος σταθμός). Ασφαλώς η μεγαλύτερη δυσκολία συναντάται στην αντιμετώπιση φαινομένων όπως ο στροβιλισμός που απαντάται στην ατμόσφαιρα. Για αυτό το λόγο είναι απαραίτητο να προσεχθεί η ισχύς εκπομπής, καθώς και το μήκος κύματος ακτινοβολίας που θα επιλεχθεί για μια δεδομένη ζεύξη. Η επίτευξη μιας FSO ζεύξης μεταξύ UAV και επίγειου σταθμού είναι μια πραγματική πρόκληση. Πριν λάβει χώρα οποιαδήποτε αποστολή δεδομένων, θα πρέπει το σύστημα να διερευνηθεί ως προς την εύρεση στίγματος εν πτήση (pointing), την ευθυγράμμιση (acquisition) αλλά και τη διαρκή παρακολούθηση (tracking). Πάνω σε αυτό το ζήτημα υπάρχουν αρκετές μελέτες. Στην παρούσα έκθεση, δε θα επεκταθούμε περαιτέρω μιας και δεν αποτελεί αντικείμενο μελέτης μας. 17

Ανάλυση μοντέλου επικοινωνίας σε κινητό περιβάλλον Στην μελέτη αυτή χρησιμοποιούμε ως εκπεμπόμενη ακτινοβολία, ακτινοβολία laser, που ως γνωστόν είναι γκαουσιανής κατανομής. Η επίδραση του φαινόμενου του στροβιλισμού-σπινθηρισμού εξαρτάται από το είδος της δέσμης και έν γένει περιγράφεται από μεγέθη τα οποία μεταβάλλονται χωροχρονικά. Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά διάδοσης μιας γκαουσιανής δέσμης σε ένα τέτοιο περιβάλλον (χωρίς και με στροβιλισμό) καταλήγοντας σε μεγέθη που περιγράφουν την επίδοση μιας οπτικής ζεύξης FSO, σε κάθε περίπτωση. Οπτική δέσμη κατανομής Gauss Καταρχάς, υποθέτουμε ότι μεταξύ εκπομπού και δέκτη, η δέσμη laser είναι γκαουσιανής κατανομής και διατηρείται ως τέτοια σε όλο το μήκος της ζεύξης. Ακόμη υποθέτουμε τη διάδοση μόνο του θεμελιώδους εγκάρσιου ηλεκτρομαγνητικού κύματος (TEM 00 ) στη δέσμη. Χωρίς να λάβουμε υπόψη τις ατμοσφαιρικές απώλειες ή τα φαινόμενα στροβιλισμού και σπινθηρισμού, το μιγαδικό πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου μιας καλά ευθυγραμμισμένης δέσμης στο επίπεδο που βρίσκεται ο δέκτης δίνεται από την έκφραση: kλr k(1 Θ) r U0( r, L) = A0 Θ +Λ exp exp i kl φ + L L (7) Στην παραπάνω έκφραση το r είναι η εγκάρσια απόσταση ( r = x + y ), ενώ το L είναι το μήκος της ζεύξης και άρα η απόσταση που διαδίδεται η εν λόγω ακτινοβολία. Κατόπιν ορίζουμε παράμετρο διάθλασης Θ και περίθλασης Λ, παράμετροι υπεύθυνοι για τη μεταβολή του πλάτους λόγω διάθλασης και περίθλασης αντίστοιχα, για μια καλά ευθυγραμμισμένη γκαουσιανή δέσμη: 1 Λ L Θ=, Λ=, Λ = 1+Λ 1+Λ 0 0 0 0 kw0, όπου Λ 0 είναι ο λόγος του Fresnel της δέσμης στον εκπομπό (laser), W 0 είναι η ελάχιστη διάμετρος της δέσμης (beam waist) και φ ( μετατόπιση της φάσης του οδεύοντος κύματος. φ 1 = tan ( Λ/ Θ ) ) η διαμήκης 18

Η οπτική ένταση σε αυτή την περίπτωση μπορεί να γραφτεί ως: r Ι ( rl, ) = U( rl, ) =Ι(0, L)exp W και 0 W0 Ι (0, L) =Ι (0,0) =Ι(0,0) ( Θ +Λ ) (9) W όπου I(0, ) L είναι η ένταση για r=0 στο κέντρο του δέκτη, και W η διάμετρος της δέσμης όταν προσπίπτει σε αυτόν. Με βάση τα παραπάνω, η ισχύς που καταλήγει στο δέκτη (χωρίς οπτικές απώλειες ή φαινόμενα στροβιλισμού) και θεωρώντας στην είσοδο του φωτοδέκτη, φακό διαμέτρου D υπολογίζεται από την σχέση: 1 8 (0, ) Pr π DI L = (10) (8) Μελέτη φαινομένου στροβιλισμού - σπινθηρισμού Για τη μελέτη των φαινομένων στροβιλισμού και σπινθηρισμού είναι απαραίτητη η εισαγωγή του μεγέθους του δείκτη σπινθηρισμού (scintillation index S.I.), σ Ι. Με βάση αυτόν είναι δυνατή η ανάλυση της επίδοσης μιας FSO ζεύξης. Εκφράζουμε τον S.I. ως άθροισμα της ακτινικής (radial) και διαμήκους (longitudinal) συνιστώσας: σ ( rl, ) = σ ( rl, ) + σ (0, L) (11) I, total I, rad I, lon Η συνιστώσα που έχει ενδιαφέρον στην ανάλυση μας είναι η διαμήκης σ I, lon(0, L). Χρησιμοποιώντας την τροποποιημένη θεωρία του Rytov (modified Rytov theory) και επεκτείνοντας τα αποτελέσματα της σε κάθε περιοχή στροβιλισμού (ασθενήςισχυρός) μπορούμε να την αποτυπώσουμε ως: σ (0, L) = σ (0, L) = exp( σ + σ ) 1 (1) I, lon I ln x ln y 19