ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 16 (σσ. 14-) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 16 (pp. 14-) Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία Νικόλαος Φαρµάκης Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Περίληψη Ο Συντελεστής Μεταβλητότητας είναι µία πολύ χρήσιµη έννοια για διάφορες εφαρµογές στη Στατιστική. Έχει ήδη χρησιµοποιηθεί στη διόρθωση µεροληψίας δεδοµένων, στην πολυωνυµική απόδοση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f() µιας τυχαίας µεταβλητής X, Farmaks (003,010), και σε πολλές άλλες περιπτώσεις ερευνών. Εδώ επιχειρείται µία προσέγγιση πολυωνυµικής µορφής διαφόρων ειδών συνεχών συναρτήσεων f() (όχι κατ ανάγκη σ.π.π.) µέσα από ένα συστηµατικό δείγµα τιµών της εκάστοτε συνάρτησης. Ακολουθείται στην συνέχεια µία διαδικασία ανάλογη µε την, ήδη γνωστή, διαδικασία που ακολουθήθηκε στην περίπτωση που η συνάρτηση f() ήταν µία σ.π.π., Farmaks (003). Η νέα ιδέα στην παρούσα φάση είναι η επέκταση της χρήσης του Συντελεστή Μεταβλητότητας και σε περιπτώσεις όπου η υπό µελέτη συνάρτηση f() είναι απλά κάποια συνεχής συνάρτηση f() ορισµένη στο διάστηµα [α, β] της ευθείας R, των Πραγµατικών Αριθµών. Γίνεται η µελέτη πάνω στις συµµετρικές συναρτήσεις f() και µε παραδείγµατα. Η εφαρµογή λειτουργεί ως αλγόριθµος µε χρήση πληροφορικών προγραµµάτων (EXCEL) για την επιτυχή και γρήγορη µετάβαση από τα δειγµατικά δεδοµένα στις παραµέτρους της συνάρτησης f() και τελικά στην ίδια τη συνάρτηση f(). 1. Εισαγωγή Θεωρητική προσέγγιση Θεωρούµε µία συνάρτηση f() συνεχή και ορισµένη στο διάστηµα [α, β] της ευθείας R, των Πραγµατικών Αριθµών. Η συνάρτηση µπορεί να είναι συµµετρική ή όχι. Εδώ θα µελετήσουµε την περίπτωση των συµµετρικών συναρτήσεων διεξοδικά: θεωρητικά και µε παραδείγµατα. Όταν η συνάρτηση f() δεν είναι συµµετρική χρειάζονται ειδικοί χειρισµοί που δεν είναι µέσα στους στόχους της εργασίας αυτής. Ειδικότερα θα παρουσιαστεί µία µέθοδος προσέγγισης της συνάρτησης f() µέσα από δεδοµένα δείγµατος και µε τη βοήθεια του Συντελεστή Μεταβλητότητας (ΣΜ).
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 15 Θα χρησιµοποιήσουµε ένα δείγµα τιµών y 0, y 1, y,..., yn της f() που αντιστοιχούν στις θέσεις 0 1 [ ] a =,,,..., = β α, β που ισαπέχουν µεταξύ τους (συστηµατικό δείγµα). Άρα είναι n = a + w, = 0,1,,..., n, w = ( β a) / n και παρατηρούµε ότι το όλο πεδίο ορισµού έχει διαµελιστεί σε n ισοµήκη διαστήµατα δ = [ 1, ], µε µήκος w έκαστο και µε µέσο το σηµείο 1 ( ) a + w = κ, 1,,3,..., = n. Στο καθένα διάστηµα δ αντιστοιχεί το ολοκλήρωµα I = f ( ) d της συνάρτηση f(), που δεν ξέρουµε την τιµή του ακριβώς αλλά µπορεί να 1 προσεγγιστεί από την ποσότητα y 1 f w + y =. Θεωρούµε τώρα τρία n-διάστατα διανύσµατα: k=(κ 1, κ,,κ n ), φ=(f 1, f,,f n ) και 1=(1,1,,1). Αν στιγµιαία θεωρήσουµε ότι η συνάρτηση f() παριστάνει την απόλυτη συχνότητα των τιµών του X, τότε η µέση τιµή του Χ στο [α, β] προσεγγίζεται από n 1 1 ˆ µ = = κ f = ϕ 1 ϕ 1 = 1 < k,φ >, και <k, φ> είναι το εσωτερικό γινόµενο των δύο συµβαλλοµένων διανυσµάτων. Η τιµή της µέσης τιµής συµπίπτει θεωρητικά µε τη µέση τιµή των άκρων α και β του διαστήµατος λόγω και της συµµετρίας της συνάρτησης f(). Στην πράξη όµως είναι µία πολύ κοντινή τιµή της µέσης τιµής τους. Με ανάλογο τρόπο και κάνοντας χρήση γνωστών µεθόδων (Φαρµάκης, 001) βρίσκουµε τη διασπορά s και την τυπική απόκλιση s του Χ και µε βάση το προαναφερόµενο δείγµα. Από τα παραπάνω υπολογίζουµε τον συντελεστή µεταβλητότητας (ΣΜ) από τη σχέση σ Cv = µ µε εκτιµήτρια συνάρτηση Cv ˆ = σˆ s =. (1.1) µ ˆ Θεωρώντας συµµετρική τη συνάρτηση f(), της οποίας έχουµε γνωστές τις n τιµές των ολοκληρωµάτων της (ανά διάστηµα) που προαναφέρθηκαν, µπορούµε να παραστήσουµε µε την παρακάτω πολυωνυµική µορφή δύο κλάδων µία άλλη, επίσης συµµετρική συνάρτηση που θα χρησιµοποιηθεί βοηθητικά: ν β + α h ( - a), [ a, ) ν β+ g()= h (β - ), [ α, β ) 0, [ α, β ] Αν θεωρήσουµε ότι α=0 τότε έχουµε την απλούστερη µορφή της: ν h g()= h ( β ) ν [0, ) β β (1.) [, β ]. (1.3) [0, β ] Αυτό που συνδέει τις δύο συναρτήσεις f()και g() είναι η συµµετρική τους ιδιότητα. Θα προσδιορίσουµε την g() και µετά την f() έτσι ώστε η δεύτερη να προκύπτει από την πρώτη µε
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 16 προσέγγιση ενός αριθµητικού συντελεστή. Το ολοκλήρωµα της g() στο [α, β] είναι ίσο µε µονάδα, Farmaks (003). Η g() είναι εύκολο να προσδιοριστεί από τα δεδοµένα που αναφέρθηκαν παραπάνω, στην αρχή της παραγράφου. Τα δεδοµένα είναι τα n+1 ζεύγη ( ), y, = 0,1,,..., n και τα τρία διανύσµατα n-διαστάσεων, τα k, φ και 1. Ο προσδιορισµός της g() γίνεται µε βάση µέθοδο προσδιορισµού σ.π.π. τυχαίας µεταβλητής Χ, από δείγµα τιµών της Χ, µε τη µορφή πολυωνυµικής εκτιµήτριας, Farmaks (003). Η µέθοδος αξιοποιεί ιδιότητες του ΣΜ της εκάστοτε τυχαίας µεταβλητής (τµ) Χ. ίνουµε περιγραφή της µεθόδου σε αδρές γραµµές: 1 ο ) Από δείγµα της τµ Χ, µεγέθους Μ>45 βρίσκουµε τη µέση τιµή, τη διασπορά, την τυπική απόκλιση και τελικά τον ΣΜ. Επειδή η τµ (εδώ) είναι συνεχής οµαδοποιούµε τα δεδοµένα σε µικρό αριθµό τάξεων και έχουµε τις συντεταγµένες του διανύσµατος k, τα µέσα των τάξεων. Η συχνότητα της κάθε τιµής(=µέσο τάξης) είναι η αντίστοιχη συντεταγµένη τιµή του φ. Το µέγεθος του δείγµατος είναι το Μ= φ.1, όπου το 1 είναι το διάνυσµα-στήλη µε στοιχεία µονάδες. ο ) Έχει αποδειχτεί ότι (Farmaks, 003) οι παράµετροι της g() των σχέσεων (1.), (1.3) δίνονται από: ν ν 5+ 1+ 8 λ ( ν + 1) ( ν + 1) ν = και h = ή h = ν + 1 ν + 1 ( β α) β όπου είναι λ = Cv. 3 ο ) Σύµφωνα µε όσα περιλαµβάνονται στην εργασία Farmaks (003) η συνάρτηση g() έχει ολοκλήρωµα ίσο µε τη µονάδα επειδή είναι σ.π.π. της τµ Χ. Η συνάρτηση όµως f() έχει ολοκλήρωµα διάφορο της µονάδας και που προσεγγίζεται δειγµατοληπτικά από: β f ( ) d I ˆ = φ 1=Μ, a 0 (1.5) a Η σχέση άρα f()= M g() (συστηµατικό) τιµών της. (1.4) δίνει την εκτίµηση της f() από τα δεδοµένα του δείγµατος Σηµείωση 1 η : Το αρχικό συστηµατικό δείγµα έχει n+1 ζεύγη τιµών (, f()). Από αυτά προκύπτουν τα n ζεύγη (κ, f ), =1,,,n. Το λειτουργικό όµως (για την µέθοδο αυτή) δείγµα έχει φ 1=Μ στοιχεία-τιµές. Αυτό είναι το µέγεθος του δείγµατος από το οποίο εξαρτάται και η ακρίβεια της προσέγγισης. Το µέγεθος Μ προκύπτει από τη διαδικασία προσδιορισµού της µέσης τιµής και της διασποράς και εξαρτάται και από τις τιµές της προς προσδιορισµό συνάρτησης f() και από το n µέσω του εύρους w. Είναι γνωστό από τη βιβλιογραφία ότι αυτά τα δύο µεγέθη συνδέονται µε µια προσεγγιστική σχέση της µορφής n q ln M, q (1.3,1.4), Φαρµάκης (001). Άρα µία τιµή του Μ>45, απαιτεί το n να είναι τουλάχιστο 5.
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 17 Σηµείωση η : Στις περιπτώσεις που είναι α>0 αντί της τµ Χ παίρνουµε την Χ-α. Άρα µας ενδιαφέρει πάντα η σχέση (1.3) και αυτό αρκεί για την g(). Γενικότερα µπορούµε για όποιες τιµές άκρων του πεδίου ορισµού [ρ, ξ] να έχουµε το µετασχηµατισµό [0, ξ-ρ], οπότε η µέθοδος επεκτείνεται για όλες τις συµµετρικές συναρτήσεις ανεξάρτητα από το αν έχουµε και αρνητικές τιµές της Χ. Υιοθετείται δηλαδή το [0, β]= [0, ξ-ρ] γενικά. Σηµείωση 3 η : Στην περίπτωση που η f() είναι σ.π.π. µιας τµ Χ, τότε η µέθοδος προσδιορισµού της είναι αυτή που περιγράφεται στην εργασία Farmaks (003).. Παραδείγµατα Πρακτική προσέγγιση Θα δώσουµε παραδείγµατα που θα υλοποιούν την παραπάνω µέθοδο και θα φωτίζουν το θέµα µε πρακτικές εφαρµογές. Παράδειγµα 1 ο : ίνεται δείγµα τιµών της συνάρτησης f()/[α, β] που είναι συµµετρική και συνεχής. Τα δεδοµένα του δείγµατος που είναι συστηµατικό ως προς είναι στον επόµενο Πίνακα 1: Πίνακας 1: Συστηµατικό δείγµα ως προς για τη συνάρτηση y=f() 0 1 3 4 5 6 7 8=n 5 9 13 17 1 5 9 33 37 y 18 3 8 3 36 3 8 17 Να βρεθεί µία προσέγγισή της συνάρτησης πολυωνυµικής µορφής. Λύση: Από τη γραµµή των διαπιστώνουµε ότι είναι α=5 και β=37. Άρα w=4=(β-α)/n. Μετασχηµατίζουµε σε Χ-5 το Χ και παίρνουµε τον παρακάτω Πίνακα, επεξεργασίας οµαδοποιηµένων στοιχείων, µε 8 κλάσεις στοιχείων, Φαρµάκης (001): Πίνακας : Επεξεργασία ταξινοµηµένων στοιχείων σε 8 τάξεις εύρους w=4 Τάξεις κ f = w (y-1 + y ) / κ =(κ -m)/w f κ f κ f (θεωρητικά) [0, 4) 8-3 -46 738 79.9 [4, 8) 6 10 - -04 408 106.86 [8, 1) 10 10-1 -10 10 10.51 [1, 16) 14 136 0 0 0 130.34 [16, 0) 18 136 1 136 136 130.34 [0, 4) 10 40 480 10.51 [4, 8) 6 100 3 300 900 106.51 [8, 3] 30 78 4 31 148 79.9 Σύνολα Μ=874 Τ 1 =418 Τ =4030 Μ=874.00
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 18 Πήραµε προσωρινή µέση τιµή την m=14. Από τα αποτελέσµατα του Πίνακα έχουµε: Μέση τιµή: ιασπορά: 4 418 = 14 + = 15.91 874 4 418 s = 4030 = 70.1963 873 874 Τυπική απόκλιση: s = 70.1963 = 8.38 Συντελεστής µεταβλητότητας: και άρα 8.38 Cv = = 0.567 και λ = Cv = 3.6047 15.91 5+ 1+ 8 3.6047 Άρα εκθέτης ν = = 0.31 και συντελεστής h = 0.00. Από τα ανωτέρω και τον τύπο (1.3) έχουµε και τελικά 0.0067 g()= 0.0067 (3 ) 0.31 17.713358 f()= 17.713358 (3 ) 0.31 0.31 0.31 [0,16) [16,3]. (.1) [0,3] [0,16) [16,3]. (.) [0,3] είναι η εκτιµήτρια της συνάρτησης f() από την οποία είχαµε τα αρχικά δεδοµένα σε συστηµατική παρατήρηση µε βήµα w=4. Οίκοθεν νοείται ότι για κάθε (π.χ. =13) που µας δίνεται παίρνουµε το αντίστοιχο -5 και το θέτουµε στην (.). Έτσι για =13 θα µπει η τιµή 13-5=8 και η τιµή της συνάρτησης θα είναι: f(8)=8.65. Στη συνέχεια επιχειρούµε να ελέγξουµε αν η συνάρτηση (.) δίνει δεδοµένα σε καθεµία από τις 8 τάξεις (θεωρητικά δεδοµένα) µε τέτοιο τρόπο κατανοµής ώστε να είναι συγκρίσιµα µε τα δεδοµένα του δείγµατος στην 3 η στήλη του Πίνακα. Τα θεωρητικά αυτά µεγέθη τα υπολογίζουµε µε τα αντίστοιχα ολοκληρώµατα της f()στα οικεία διαστήµατα και τα καταγράφουµε στην τελευταία στήλη του Πίνακα. Μία δοκιµασία Χ δίνει τιµή της παραµέτρου Χ =1.709 <14.00671=Χ 7;0.05. Άρα οι δειγµατικές συχνότητες προσαρµόζονται καλά στις θεωρητικές συχνότητες. Έχουµε ικανοποιητική προσέγγιση. Παράδειγµα ο : ίνεται δείγµα τιµών της συνάρτησης f()/[α, β] που είναι συµµετρική και συνεχής. Τα δεδοµένα του δείγµατος που είναι συστηµατικό ως προς είναι: Πίνακας 3: εδοµένα από συστηµατικό δείγµα ως προς για τη συνάρτηση y=f() 0 1 3 4 5 6 7 8=n
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 19 5 9 13 17 1 5 9 33 37 y 5 4 5 3 4 4 3 Να βρεθεί µία προσέγγισή της συνάρτησης πολυωνυµικής µορφής. Λύση: Από τη γραµµή των διαπιστώνουµε ότι είναι α=5 και β=37. Άρα w=4=(β-α)/n. Μετασχηµατίζουµε σε Χ-5 το Χ και παίρνουµε τον παρακάτω Πίνακα 4 επεξεργασίας οµαδοποιηµένων στοιχείων, µε 8 κλάσεις στοιχείων, Φαρµάκης (001): Πίνακας 4: Επεξεργασία ταξινοµηµένων στοιχείων σε 8 τάξεις εύρους w=4 Τάξεις κ f = w (y-1 + y ) / κ =(κ -m)/w f κ f κ f (θεωρητι κά) [0, 4) 88-3 -64 79 87.41 [4, 8) 6 94 - -188 376 94.60 [8, 1) 10 98-1 -98 98 97.5 [1, 16) 14 98 0 0 0 99.47 [16, 0) 18 96 1 96 96 99.47 [0, 4) 94 188 376 97.5 [4, 8) 6 96 3 88 864 94.60 [8, 3] 30 94 4 376 1504 87.41 Σύνολα Μ=758 Τ 1 =398 Τ =4106 M=758.00 Πήραµε προσωρινή µέση τιµή την m=14. Από τα αποτελέσµατα του Πίνακα 4 προκύπτει: Μέση τιµή: ιασπορά: 4 398 = 14 + = 16.10 758 4 398 s = 4106 = 8.3677 757 758 Τυπική απόκλιση: s = 8.3677 = 9.08 Συντελεστής µεταβλητότητας: και άρα 9.08 Cv = = 0.5637 και λ = Cv = 3.1471 16.10 5+ 1+ 8 3.1471 Άρα εκθέτης ν = = 0.058 και συντελεστής h = 0.08143. Από τα ανωτέρω και τον τύπο (1.3) έχουµε
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 0 και τελικά η 0.08143 g()= 0.08143 (3 ) 0.058 0.15995 f()= 0.15995 (3 ) 0.058 0.058 0.058 [0,16) [16,3]. (.3) [0,3] [0,16) [16,3]. (.4) [0,3] είναι η εκτιµήτρια της συνάρτησης f() από την οποία είχαµε τα αρχικά δεδοµένα σε συστηµατική παρατήρηση µε βήµα w=4. Οίκοθεν νοείται ότι για κάθε (π.χ. =13) που µας δίνεται παίρνουµε το αντίστοιχο -5 και το θέτουµε στην (.4). Έτσι για =13 θα µπει η τιµή 13-5=8 και η τιµή της συνάρτησης θα είναι: f(8)=.75 Στη συνέχεια επιχειρούµε να ελέγξουµε αν η συνάρτηση (.4) δίνει δεδοµένα σε καθεµία από τις 8 τάξεις (θεωρητικά δεδοµένα) µε τέτοιο τρόπο κατανοµής ώστε να είναι συγκρίσιµα µε τα δεδοµένα του δείγµατος στην 3 η στήλη του Πίνακα 4. Τα θεωρητικά αυτά µεγέθη τα υπολογίζουµε µε τα αντίστοιχα ολοκληρώµατα της f() στα οικεία διαστήµατα και τα καταγράφουµε στην τελευταία στήλη του Πίνακα 4. Μία δοκιµασία Χ δίνει τιµή της παραµέτρου Χ =0.797084<14.00671=Χ 7;0.05. Άρα οι δειγµατικές συχνότητες προσαρµόζονται καλά στις θεωρητικές συχνότητες. Έχουµε µια πολύ ικανοποιητική προσέγγιση. Στο παράδειγµα αυτό οι απόλυτες συχνότητες φαίνονται περίπου ίσες κυµαινόµενες ελαφρά γύρω από το 95. Αυτό υποβάλει την ιδέα της οµοιόµορφης κατανοµής, που είναι συµµετρική επίσης, ως προέλευση των δεδοµένων. Θεωρώντας άλλωστε τη διασπορά s = 8.3677του δείγµατος και εκείνη της οµοιόµορφης κατανοµής 85.333=(β-α) /1 διαπιστώνουµε ότι είναι περίπου ισοδύναµες. Αυτή η παρατήρηση και το αποτέλεσµα της δοκιµασίας Χ µας βεβαιώνουν ότι η κατανοµή που µελετάµε είναι η οµοιόµορφη. 3. Συµπεράσµατα Η σηµασία της χρήσης του ΣΜ σε διάφορες εφαρµογές είναι από παλιά γνωστή, κύρια στις Βιολογικές και Oικονοµικές Επιστήµες. Στην παρούσα εργασία αναδεικνύεται ο ρόλος του ΣΜ στην επίτευξη ενός πιο κεντρικού στόχου στα Μαθηµατικά και ιδιαίτερα στη Στατιστική: «Ο ΣΜ βοηθάει στον προσδιορισµό των συναρτήσεων µέσα από δειγµατικά δεδοµένα, αρκεί αυτές να πληρούν κάποιες συνθήκες, όπως να είναι συµµετρικές. Όταν δεν είναι συµµετρικές υπάρχουν δυσκολίες αλλά υπάρχουν κι εκεί κάποιες ευκαιρίες χρήσης του. Ο προσδιορισµός των συναρτήσεων γίνεται φυσικά κατ εκτίµηση µέσα από την πολύ εύχρηστη µορφή του πολυωνύµου, πράγµα που βοηθάει να χρησιµοποιείται η µέθοδος και από ερευνητές που δεν είναι Μαθηµατικοί κατ ανάγκη. Μπορούν µάλιστα οι ερευνητές να κάνουν χρήση και των
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 1 δυνατοτήτων της Πληροφορικής κατασκευάζοντας κάποιο πρόγραµµα που να βρίσκει αυτόµατα τη συνάρτηση µε το που θα δίνονται τα δειγµατικά δεδοµένα. Αυτό το τελευταίο µάλιστα είναι µία καλή ιδέα που προτείνεται η χρήση της από τους διδάσκοντες Στατιστική και ειδικά στο κεφάλαιο περί κατανοµών». Σηµειώνεται η ανάγκη να συσχετιστεί η παρούσα µελέτη µε άλλες µελέτες άλλων κατανοµών, π.χ. αύξουσας µορφής, ώστε να αντιµετωπίζονται και πιο σύνθετες σ.π.π. ή έστω απλά συναρτήσεις. Αυτό όµως ξεφεύγει από το πλαίσιο της παρούσας εργασίας και θα αποτελέσει αντικείµενο άλλων άρθρων στο µέλλον, µόλις αντιµετωπιστούν και κάποια ευαίσθητα σηµεία τέτοιων συναρτήσεων. Contnuous functons and coeffcent of varaton: Reachng va samplng Nkolaos Farmaks Department of Mathematcs Arstotle Unversty of Thessalonk, Greece Abstract Coeffcent of Varaton (Cv) s a very useful tool for several statstcal applcatons. It has been used for bas correcton of some knd of data, Also t s used for a polynomal epresson, estmatng the probablty densty functon (pdf) f(), of a random varable X n Statstcs, Farmaks (003, 010), and n too many other Economcal or Bologcal studes. In ths paper we try to reach wth a polynomal form some knd of contnuous functons f()(not only pdf) va samplng data of ths functons. We try va Systematc sample. After the data collecton we try to work wth a process lke the known from Farmaks (003) for the pdf. So the new dea here s to etend the use of the process for the pdf to any other contnuous functon f() defned n a space [α, β] subset of the Real Numbers set R. At frst we try to work on symmetrcal functons and a more general goal of ours s to work afterwards on some other forms of functons f() lke Increasng and decreasng ones or some combnaton of them. Some llustratve eamples are presented and wth the proposed method we reach the studed functon f(), va sampled data as a polynomal functon. Note that the above proposed method ncludes also the dea of an algorthm and some computer programs can be used, lke EXCEL, etc. Therefore, a successful and fast way s establshed n order to obtan the parameters of the studed functon f() from samplng data.
ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 Βιβλιογραφία Sachs, L., (1984). Appled Statstcs, Sprnger-Verlang Inc, New York. Φαρµάκης, Ν., (001). Στατιστική, Περιληπτική Θεωρία-Ασκήσεις, Α & Π Χριστοδουλίδη, Θεσσαλονίκη Farmaks, N., (003). Estmaton of Coeffcent of Varaton: Scalng of Symmetrc Contnuous Dstrbutons, Statstcs n Transton, Vol. 6, Nr 1, pp 83 96. Φαρµάκης, Ν., (009). Εισαγωγή στη ειγµατοληψία, Α & Π Χριστοδουλίδη, Θεσσαλονίκη Farmaks, N., (010). Coeffcent of Varaton: Connectng Samplng wth some Increasng Dstrbuton Models, Proceedngs of Stochastc Modellng Technques and Data Analyss Internatonal Conference, SMTDA-010, Chana, Crete, Greece, part A-H, pp 59-67. Ευχαριστίες: Εκφράζονται ευχαριστίες στους κριτές για τις εύστοχες και εποικοδοµητικές παρατηρήσεις και διορθώσεις.