Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων

Transcript

1 Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Ζάντζος Ιωάννης 1, Κυνηγός Χρόνης 2 1 Καθηγητής Μαθηµατικών, Υποψήφιος ιδάκτωρ, ΕΚΠΑ izantzos@math.uoa.gr, 2 Καθηγητής, Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας, Φ.Π.Ψ, ΕΚΠΑ kynigos@ppp.uoa.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτό το άρθρο παρουσιάζουµε µια διδακτική πρόταση αξιοποίησης ενός 3D λογισµικού (MaLT), το οποίο στηρίζεται στη γλώσσα Logo και το δυναµικό χειρισµό µαθηµατικών αντικειµένων. Στόχος µας είναι να δείξουµε το πώς οι ψηφιακές τεχνολογίες σε συνδυασµό µε κατάλληλα δοµήµατα έχουν αλλάξει την πρόσβαση σε θεµελιώδεις έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας όπως οι έννοιες: της µικρότερης απόστασης µεταξύ δυο σηµείων σε µη επίπεδη επιφάνεια, της προσέγγισης καµπυλών του χώρου, της στρέψης, της καµπυλότητας και σε συγγενείς µε αυτήν έννοιες, και να τις κάνουν προσιτές ακόµα και σε µαθητές των µικρών τάξεων της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης. Μέσα από τους πειραµατισµούς των µαθητών µε το µισοψηµένο µικρόκοσµο που αναπτύξαµε, έχουµε τη δυνατότητα µελέτης των νοηµάτων που αναπτύσσουν οι µαθητές σε ένα µη οικείο πρόβληµα για αυτούς, όπως αυτό της εύρεσης και σχεδίασης της µικρότερης διαδροµής µεταξύ δυο σηµείων σε µη επίπεδες επιφάνειες. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: : Έλικα, καµπυλότητα, µισοψηµένος µικρόκοσµος ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο καθορισµός της συντοµότερης διαδροµής µεταξύ δυο σηµείων σε µια επιφάνεια, δηλαδή των γεωδαισιακών, είναι ένα πρόβληµα το οποίο καλούνται να αντιµετωπίσουν οι µαθητές από τις πιο µικρές τάξεις της σχολικής τους ηλικίας (γεωδαισιακές στο επίπεδο) έως και στις πανεπιστηµιακές σπουδές τους. Αυτό το πρόβληµα τυγχάνει επίσης ιδιαίτερης µελέτης και ανάλυσης και σε πολλές εφαρµογές, όπως είναι ο καθορισµός της συντοµότερης διαδροµής που ακολουθούν τα αεροπλάνα και στις δορυφορικές τροχιές. Στην αρχιτεκτονική, η έλικα, ως η γεωδαισιακή του κυλίνδρου, χρησιµοποιείται για να φτιάχνουµε σκάλες, ενώ χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της διπλής έλικας στο µόριο του DNA που αποτελεί το σύµβολο της επιστήµης του 20ού αιώνα. Αν και το πρόβληµα εύρεσης της µικρότερης απόστασης µεταξύ δυο σηµείων στο επίπεδο είναι µια εύκολη διαδικασία για τους µαθητές µιας και είναι η ευθεία που τα ενώνει, δεν συµβαίνει το ίδιο όταν καλούνται να αντιµετωπίσουν το ίδιο πρόβληµα σε µη επίπεδες επιφάνειες, όπως στην επιφάνεια της σφαίρας και του κυλίνδρου. Αυτό απαιτεί γενίκευση του όρου σύντοµη διαδροµή µεταξύ δυο σηµείων σε συνδυασµό µε την έννοια της ευθείας γραµµής στις αντίστοιχες επιφάνειες. Όταν οι µαθητές έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή µε έννοιες της γεωµετρίας, µαθαίνουν ότι η ευθεία είναι µη οριζόµενη έννοια και ότι αποτελεί το συντοµότερο δρόµο µεταξύ δυο σηµείων. Οι µαθητές βρίσκονται σε σύγχυση όταν αργότερα µαθαίνουν ότι µια ευθεία γραµµή πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας ορίζεται να είναι τόξο µέγιστου κύκλου, που αποτελεί και τη συντοµότερη διαδροµή που ενώνει τα δυο σηµεία (Taimina and Henderson, 2005). Και το ερώτηµα, και συγχρόνως προβληµατισµός για τους µαθητές, που εύλογα προκύπτει και τίθεται εύστοχα και από τους προηγούµενους ερευνητές είναι : Τελικά τι είναι ευθεία και πως µπορώ να την σχεδιάσω; Σύµφωνα µε τον Fischbein (1987), µια συγκεκριµένη ερµηνεία µιας έννοιας µπορεί να είναι αρχικά πολύ χρήσιµη για την διδακτική διαδικασία, ως αποτέλεσµα των διαισθητικών ιδιοτήτων της. Αλλά η υπεροχή αυτού του µοντέλου µπορεί να αποτελέσει εµπόδιο για το πέρασµα σε έννοιες γενικότερες και πιο αφηρηµένες. Με βάση αυτό, ο Greer (2006) προτείνει, όπου είναι δυνατόν, να προβλέπουµε επεκτάσεις των εννοιών που θα συναντήσουν οι µαθητές. Η έννοια του συντοµότερου δρόµου µεταξύ δυο σηµείων και η σχεδίαση της αντίστοιχης καµπύλης που να διέρχεται από αυτά, έχει άµεση σχέση µε τις έννοιες της καµπυλότητας και της Κ. Γλέζου & Ν. Τζιµόπουλος (Επιµ.), Πρακτικά Εργασιών 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη», σ. 1-5 Σύρος, 6-8 Μαΐου 2011

2 2 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ στρέψης µιας καµπύλης. Η γνώση αυτών τω σχέσεων µας δίνει τη δυνατότητα χάραξης της καµπύλης, όπως θα εξηγήσουµε και παρακάτω. Αυτές οι δυο τελευταίες έννοιες είναι ο πυρήνας στον οποίο στηρίζεται όλη η µελέτη ενός σηµαντικού κλάδου των µαθηµατικών: της ιαφορικής Γεωµετρίας. Οι έρευνες έχουν αναδείξει προβλήµατα µε τη µελέτη και µάθηση εννοιών αυτού του κλάδου. Για παράδειγµα, η γλώσσα της γεωµετρίας σαν µια από τις πιο ακριβείς σε όλους τους τοµείς των µαθηµατικών, κάνει τη διαφορική γεωµετρία αποθαρρυντική για όσους δεν ασχολούνται συστηµατικά µε αυτόν τον τοµέα. Η γλώσσα της γεωµετρίας έχει γίνει επίσης άρρηκτα συνυφασµένη µε την άλγεβρα, αλλά δυστυχώς πολλοί από τους τύπους που προκύπτουν είναι αρκετά πολύπλοκοι γεγονός που κάνει και πάλι την πρόσβαση δύσκολη (Kawski, 2003). Επιπλέον δυσκολίες προκύπτουν γενικά από τη µελέτη της γεωµετρίας στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και τη χρήση 2D αντικειµένων για τη µελέτη των σχηµάτων και των ιδιοτήτων των τριών διαστάσεων αντικειµένων (Kynigos and Latsi,2007; Laborde, 2010). Παρά τις παραπάνω δυσκολίες, υπάρχουν ενδείξεις ότι έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας µε τη χρήση κατάλληλων λογισµικών µπορούν να βοηθήσουν ακόµα και µικρούς µαθητές να ασχοληθούν και να δηµιουργήσουν νοήµατα για αυτές. Για παράδειγµα, σύµφωνα µε τους Kynigos & Psycharis (2003), µαθητές ετών, µε τη βοήθεια του χελωνόκοσµου, ο οποίος συνδυάζει δυναµικό χειρισµό και συµβολική έκφραση µέσα από τη γλώσσα προγραµµατισµού Logo, κατάφεραν να δηµιουργήσουν νοήµατα σχετικά µε έννοιες που ανήκουν στο εννοιολογικό πεδίο της καµπυλότητας. Η έννοια της καµπυλότητας όµως, δεν είναι τελείως άγνωστη για τους µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, αν και δεν αναφέρεται ρητά στα σχολικά εγχειρίδια. Στα σχολικά προγράµµατα η έννοια της καµπυλότητας εντοπίζεται σε πολλές περιοχές της ύλης όπως για παράδειγµα: Στην αναλυτική γεωµετρία στην έννοια των κωνικών τοµών και στη γεωµετρία στους κύκλους. Πολλές από τις παραπάνω έννοιες φαίνεται να εστιάζουν σε διάφορες ιδιότητες παρά «στην έννοια της φύσης της καµπύλης ως αντίθεσης στην ευθεία γραµµή» και «Η εστίαση, ωστόσο, δεν τίθεται στην έννοια της καµπυλότητας ως πεδίο δηµιουργίας µαθηµατικών νοηµάτων» (Κυνηγός, 2006,σελ.137). Ίσως τώρα µε τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας και µε την εµφάνιση τα τελευταία χρόνια 3D περιβαλλόντων, να υπάρχει η δυνατότατα µελέτης και απόκτησης εµπειριών εκ µέρους των µαθητών µε τέτοιες αφηρηµένες έννοιες γενικά στο χώρο, τουλάχιστον σε διαισθητικό επίπεδο, πριν φτάσουν στους πολύπλοκους τύπους της διαφορικής γεωµετρίας. Οι δυνατότητες για διερεύνηση και η χρήση του δυναµικού χειρισµού που παρέχουν σήµερα οι ψηφιακές τεχνολογίες, µπορούν να µεσολαβήσουν στη µετάβαση από το διαισθητικό στο θεωρητικό επίπεδο (Jones, 2000). Ο Vergnaud (1988), εισήγαγε την έννοια του εννοιολογικού πεδίου ως ένα σύνολο καταστάσεων, η γνώση των οποίων απαιτεί γνώση πολλών εννοιών διαφορετικής φύσης. Υποστήριξε ότι έχει νόηµα η θεώρηση µιας έννοιας σε σχέση µε άλλες συγγενείς έννοιες, µε καταστάσεις στις οποίες µπορεί να χρησιµοποιηθεί και µε τις διαθέσιµες αναπαραστάσεις της και δεν έχει νόηµα η αντίληψή της σε αποµόνωση. Με βάση λοιπόν τα παραπάνω δεν έχει νόηµα να µελετήσουµε στο πλαίσιο στο οποίο αναφερόµαστε µόνο την έννοια της µικρότερης απόστασης µεταξύ δυο σηµείων στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Θεωρούµε ότι η προηγούµενη έννοια ανήκει στο εννοιολογικό πεδίο της καµπυλότητας (Κυνηγός, 2006) µιας και συνδέεται άµεσα µε έννοιες όπως η καµπυλότητα και η στρέψη στο χώρο, ο ρυθµός µεταβολής και το µήκος τόξου. Έχοντας ως στόχο τη διερεύνηση των νοηµάτων που αναπτύσσουν οι µαθητές σχετικά µε έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας, σχεδιάσαµε δραστηριότητες στηριζόµενοι στη θεωρία µάθησης µέσω κατασκευών (constructionism, Kafai and Resnick, 1996). Ένα κεντρικό χαρακτηριστικό της µεθόδου που θεωρούµε κατάλληλο για τη συγκεκριµένη περίπτωση, είναι να τους δώσουµε να ξεκινήσουν µε έναν «µισοψηµένο» µικρόκοσµο (Kynigos, 2007) µε την ονοµασία shortroad (σύντοµος δρόµος). Οι µισοψηµένοι µικρόκοσµοι είναι λογισµικά σχεδιασµένα µε τέτοιο τρόπο ώστε να προκαλούν µαθητές αλλά και εκπαιδευτικούς να κατασκευάσουν κάτι µε αυτούς ή ακόµα να τους αλλάξουν αλλά και να τους αποδοµήσουν. εν αποτελούν έτοιµα περιβάλλοντα για να κατανοηθούν από τους εκπαιδευτικούς και µετά να χρησιµοποιηθούν από τους µαθητές. Ενσωµατώνουν διάφορες έννοιες και προσφέρουν στο µαθητή τα εργαλεία για να αλληλεπιδράσει µε το µικρόκοσµο. Στόχος τους είναι να λειτουργούν ως σηµεία εκκίνησης, και ο χρήστης να οικειοποιηθεί τις ιδέες που βρίσκονται πίσω από τη διαδικασία κατασκευής τους. Αφού πρώτα δώσουµε µερικά βασικά στοιχεία διαφορικής γεωµετρίας που έχουν σχέση µε τη καµπυλότητα και τη στρέψη (τα οποία µπορούν να βρεθούν σε οποιοδήποτε βιβλίο ιαφορικής Γεωµετρίας, π.χ. O Neill,B.,1997) και παρουσιάσουµε και το λογισµικό, µετά θα προχωρήσουµε στη διδακτική µας πρόταση.

3 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Μια καµπύλη στο χώρο µπορεί να θεωρηθεί ως η διαδροµή ενός κινητού σηµείου και µπορεί να καθοριστεί από την κίνηση του τριέδρου (F-S) των Frenet-Serret, T,N,B (Τ= µοναδιαίο διάνυσµα της εφαπτοµένης, Ν= µοναδιαίο πρώτο κάθετο διάνυσµα, Β= µοναδιαίο δεύτερο κάθετο διάνυσµα). Αυτά τα τρία διανύσµατα ορίζουν µια δεξιόστροφη ορθοκανονική βάση η οποία καλείται κινούµενο τρίεδρο της καµπύλης. Τα διανύσµατα Τ και Ν ορίζουν ένα επίπεδο που λέγεται εγγύτατο επίπεδο της καµπύλης σε αυτό το σηµείο. Ο ρόλος του εγγύτατου επιπέδου είναι παρόµοιος µε εκείνον της εφαπτοµένης, δηλαδή για µια περιοχή πολύ κοντά σε ένα σηµείο, το εγγύτατο επίπεδο είναι εκείνο το επίπεδο που βρίσκεται πλησιέστερα στην καµπύλη από οποιοδήποτε άλλο. Έτσι προσεγγιστικά µπορούµε σε αυτή την πολύ µικρή περιοχή να θεωρούµε την καµπύλη επίπεδη και να έχουµε τη δυνατότητα να την προσεγγίσουµε µε βάση την εφαπτοµένη της σε αυτό. Από σηµείο σε σηµείο κατά µήκος της καµπύλης η θέση του εγγύτατου επιπέδου αλλάζει. Προφανώς, αν το εγγύτατο επίπεδο δεν αλλάζει, έχουµε επίπεδη καµπύλη και το επίπεδό της ταυτίζεται µε το εγγύτατο. Η περιστροφή του τριέδρου καθώς αυτό κινείται, δίνεται από την καµπυλότητα και την στρέψη. Ακριβώς όπως ο ρυθµός αλλαγής της κατεύθυνσης της εφαπτοµένης χαρακτηρίζεται από την καµπυλότητα, έτσι ο ρυθµός αλλαγής της κατεύθυνσης του εγγύτατου επιπέδου χαρακτηρίζεται από την στρέψη της καµπύλης. Αναφερόµαστε παρακάτω πιο αναλυτικά στον ορισµό της καµπυλότητας και της στρέψης για να γίνει κατανοητή και η προσέγγιση που θα εφαρµόσουµε στη διδακτική µας πρόταση. Έστω Α και Μ δυο σηµεία µιας καµπύλης κοντά το ένα µε το άλλο, µε µήκος τόξου χ. Έστω φ η γωνία που σχηµατίζουν οι εφαπτόµενες σε αυτά τα σηµεία. Ο µέσος όρος αλλαγής της κατεύθυνσης της εφαπτοµένης δίνεται από το λόγο φ/ χ. Τότε το όριο του λόγου αυτού καθώς το Μ προσεγγίζει το Α, δηλαδή καθώς χ 0 (στιγµιαίος ρυθµός µεταβολής), ονοµάζεται καµπυλότητα κ της καµπύλης στο σηµείο Α. ηλαδή ισχύει η εξής σχέση : φ κ = lim χ 0 χ Για τη στρέψη ισχύουν ανάλογα πράγµατα µόνο που τώρα φ είναι η γωνία µεταξύ των εγγυτάτων επιπέδων στα γειτονικά σηµεία. Αποδεικνύεται ότι η στρέψη µετράει την περιστροφή του εγγυτάτου επιπέδου περί της εφαπτοµένης. Να σηµειώσουµε επίσης ότι σύµφωνα µε το Θεµελιώδες Θεώρηµα της ιαφορικής Γεωµετρίας, µια κανονική καµπύλη στο χώρο καθορίζεται πλήρως (εκτός από τη θέση της στο χώρο) από την καµπυλότητα και την στρέψη. Η γενίκευση της κίνησης της χελώνας στον τρισδιάστατο χώρο γίνεται µε την εφαρµογή της θεωρίας της ιαφορικής Γεωµετρίας των καµπυλών στο χώρο. Σύµφωνα µε τους Abelson and disessa (1986), για την περιγραφή της κίνησης της χελώνας στις τρεις διαστάσεις χρειαζόµαστε τρία αµοιβαίως κάθετα διανύσµατα: Το ένα να έχει την κατεύθυνση της κίνησης, το άλλο να είναι κάθετο σε αυτό, και το τρίτο να είναι κάθετο στο επίπεδο των δυο πρώτων για να µπορούµε να οδηγούµε τη χελώνα έξω από το επίπεδο των δυο πρώτων. Συνδυάζοντας τώρα τα παραπάνω στοιχεία µε εκείνα της διαφορικής γεωµετρίας, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η χελώνα κινείται στην κατεύθυνση της εφαπτοµένης και το επίπεδο που βρίσκεται κάθε φορά είναι το εγγύτατο επίπεδο όπως καθορίστηκε παραπάνω. Μια από τις βασικές τεχνικές στην διαφορική γεωµετρία είναι η εξής: Ένα αντικείµενο µελέτης, για παράδειγµα µια καµπύλη, αντικαθίσταται από µια γραµµική της προσέγγιση, δηλαδή την εφαπτοµένη της καµπύλης σε ένα σηµείο και για µια περιοχή πολύ κοντά σε αυτό. Για να µπορέσουµε τώρα µε τη βοήθεια της γλώσσας Logo και στο MaLT να κατασκευάσουµε µια καµπύλη, θα πρέπει να βρούµε τρόπους να περιγράψουµε τη γωνία στροφής και το µήκος βήµατος της χελώνας. Από τη θεωρία του διαφορικού λογισµού είναι γνωστό ότι όταν το χ γίνεται αρκετά µικρό, ο αριθµητής του πηλίκου της σχέσης (1) γίνεται σχεδόν ίσος προς το γινόµενο κ. χ. ηλαδή οι ποσότητες φ και κ. χ είναι σχεδόν ίσες για αρκετά µικρές τιµές του χ. Τα παραπάνω µας δίνουν και τη σχέση που συνδέει τη γωνία στροφής της χελώνας µε τη καµπυλότητα και τη στρέψη. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Το υπολογιστικό περιβάλλον που χρησιµοποιούµε στη παρούσα πρότασή µας είναι το MaLT ( το οποίο συνδυάζει τη συµβολική έκφραση µέσα από µια γλώσσα προγραµµατισµού (Logo) και το δυναµικό χειρισµό µαθηµατικών αντικειµένων και το οποίο αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου ReMath (ReMath, ). Είναι (1)

4 4 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ επέκταση της Γεωµετρίας της Χελώνας του Χελωνόκοσµου στον τρισδιάστατο γεωµετρικό χώρο, κατάλληλο για κατασκευή και εξερεύνηση γεωµετρικών αντικειµένων. Οι κινήσεις της χελώνας καθορίζονται από τις εξής εντολές: fd(:n) και bk(:n) οι οποίες δίνουν εντολή στη χελώνα να κινηθεί n βήµατα µπροστά ή πίσω, lt(:n) και rt(:n) κινούν τη χελώνα n µοίρες αριστερά ή δεξιά γύρω από τη ευθεία της κίνησης της στο εγγύτατο επίπεδο, dp(:n) και up(:n) στρέφουν τη χελώνα προς τα κάτω ή προς τα πάνω και rr(:n), lr(:n) περιστρέφουν τη χελώνα γύρω από την εφαπτοµένη της. Τα βασικά εργαλεία του MaLT είναι (εικόνα 1): Ο απλός µεταβολέας ο οποίος παρέχει στο χρήστη τη δυνατότητα δυναµικού χειρισµού των τιµών των µεταβλητών σε ένα αναπαριστώµενο σχήµα. Ενεργοποιείται όταν ο χρήστης κάνει «κλικ» σε οποιαδήποτε σηµείο του ίχνους της χελώνας στο αναπαριστώµενο αντικείµενο, αφού προηγουµένως εκτελέσει την επιθυµητή διαδικασία. Εµφανίζεται έτσι ένα παράθυρο το οποίο περιέχει τις µεταβλητές και ένα εύρος στο οποίο κάθε µεταβλητή µπορεί να πάρει τιµές. Ο χρήστης έχει την δυνατότητα κάνοντας χρήση του ολισθητή να µεταβάλει τις τιµές της κάθε µεταβλητής να πειραµατίζεται και να παρατηρεί ταυτόχρονα την αλλαγή που υφίσταται το σχήµα κατά την διάρκεια της µεταβολής. Ο δισδιάστατος µεταβολέας είναι ένα δυσδιάστατο ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Χρησιµοποιείται για να καθοριστεί η συµµεταβολή δύο µεταβλητών οι οποίες επιλέγονται από τον χρήστη και περιέχονται σε µια διαδικασία που δοµείται τουλάχιστον από δύο µεταβλητές. Ο δισδιάστατος µεταβολέας ενεργοποιείται µέσω του µονοδιάστατου και ο χρήστης επιλέγει τις δύο παραµέτρους έτσι ώστε η µια να κινηθεί στον άξονα των χ και η άλλη στον άξονα των ψ. Κάνοντας κλικ και σύροντας µε πατηµένο το κουµπί προκαλείται συµµεταβολή των δυο παραµέτρων αφήνοντας γραµµικό ίχνος στο επίπεδο του µεταβολέα. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα επίσης να επιλέξει ένα τυχαίο σηµείο στον δυσδιάστατο µεταβολέα και µετακινώντας το να βλέπει τη συµµεταβολή των δυο µεταβλητών. Επαναλαµβάνοντας το ίδιο και µε άλλα σηµεία, στο επίπεδο του δυσδιάστατου µεταβολέα σχηµατίζεται η γραφική παράσταση των δυο µεταβλητών. υο ακόµη χαρακτηριστικά είναι ο τρισδιάστατος µεταβολέας που καθορίζει τη συµµεταβολή τριών µεταβλητών και η δυνατότητα που έχει ο χρήστης να χειρίζεται δυναµικά την κάµερα µέσω του ενεργού διανύσµατος και να παρατηρεί το αντικείµενο στη σκηνή από όποια πλευρά και κατεύθυνση επιθυµεί. Να σηµειώσουµε επίσης τη δυνατότητα που έχει ο χρήστης για εισαγωγή έτοιµων 3d αντικειµένων στη σκηνή, όπως σφαίρας και κυλίνδρου. Εικόνα 1: Το περιβάλλον του MaLT

5 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ «Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τη µικρότερη διαδροµή µεταξύ δυο σηµείων σε µια κυλινδρική επιφάνεια». Για τους πειραµατισµούς, αναφέρουµε στους µαθητές ότι µπορούν να χρησιµοποιήσουν όποια υλικά θέλουν ( π.χ χαρτόνι), και το µικρόκοσµο µε την ονοµασία shortroad (σύντοµος δρόµος), χωρίς όµως να ξέρουν από την αρχή το τι ακριβώς αυτός κάνει. Τους γνωστοποιούµε ότι το πρόγραµµα αυτό θα τους είναι χρήσιµο για την εύρεση του τρόπου σχεδίασης µιας τέτοιας διαδροµής και ότι στο τέλος µπορούν να τον χρησιµοποιήσουν για να φτιάξουν τα δικά τους µοντέλα. Οι πειραµατισµοί µε το χαρτόνι είναι µια γνωστή διαδικασία για τους µικρούς µαθητές από την περίπτωση εύρεσης του εµβαδού της επιφάνειας ενός κυλίνδρου. Σε αυτή την περίπτωση οι µαθητές έπρεπε να ξετυλίξουν την επιφάνεια του κυλίνδρου και να παρατηρήσουν ότι σχηµατίζεται ένα ορθογώνιο. Στην περίπτωσή µας µπορούν µε το χαρτόνι να δηµιουργήσουν µια κυλινδρική επιφάνεια και να πάρουν δυο τυχαία σηµεία στην επιφάνειά της. Μπορούν µάλιστα να διπλώσουν το χαρτί κατάλληλα και τα δυο σηµεία να αποτελούν τα άκρα µιας γενέτειρας ενός κυλίνδρου. Ξετυλίγοντας το χαρτόνι σχηµατίζεται ένα ορθογώνιο (επίπεδη επιφάνεια) και µάλιστα τα δύο σηµεία ανήκουν στη διαγώνιο του ορθογωνίου, ενώ διπλώνοντας το χαρτόνι σχηµατίζεται έλικα. Με βάση το παρακάτω σχήµα (1) στο οποίο έχουν οι µαθητές καταλήξει, και µε απλή εφαρµογή του πυθαγόρειου θεωρήµατος µπορούν να φτάσουν σε έναν γενικευµένο µαθηµατικό τύπο που να τους δίνει το µήκος µιας έλιξης της έλικας. Στο ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα µας δίνει το µήκος της έλικας, η µια κάθετη πλευρά το ύψος του κυλίνδρου και η άλλη κάθετη ισούται µε το µήκος της βάσης του κυλίνδρου. Σχήµα 1: Υπολογισµός του µήκους της Έλικας Από πυθαγόρειο θεώρηµα για το µήκος της έλικας έχουµε: 2 2 s = h +(2πr) Το παραπάνω συµπέρασµα συµβαδίζει και µε τον τύπο για το µήκος τόξου µιας έλικας που βρίσκουµε µε όρους διαφορικής γεωµετρίας και µε το ολοκλήρωµα της ταχύτητας. Το πρόβληµα όµως βρίσκεται στη γενίκευσή του και στην κατασκευή µιας καµπύλης στο χώρο χωρίς τη χρήση υλικών όπως το χαρτόνι. Για παράδειγµα, όταν θέλουν να αντιµετωπίσουν το πρόβληµα της σχεδίασης µιας υποτιθέµενης διαδροµής ενός αεροπλάνου. Μέσα από τους προηγούµενους πειραµατισµούς οι µαθητές διαπιστώνουν ότι ο συντοµότερος δρόµος είναι µια έλικα και ίσως διαπιστώσουν ότι µπορεί να είναι και µια ευθεία (γενέτειρα του κυλίνδρου ) ή ότι είναι ένας κύκλος παράλληλος στη βάση, ανάλογα µε τη θέση των σηµείων που θα επιλέξουν. Για να σχεδιαστεί όµως µια τέτοια καµπύλη, χρειάζεται να ξέρουµε τη καµπυλότητα και τη στρέψη της, η µελέτη των οποίων γίνεται µέσω της κίνησης του τριέδρου των F-S στο χώρο, που τουλάχιστον µε τα στατικά παραδοσιακά µέσα και χωρίς τη χρήση κατάλληλων εργαλείων είναι αδύνατη. Ο παρακάτω µισοψηµένος µικρόκοσµος θεωρούµε ότι είναι ένα τέτοιο εργαλείο όπως θα φανεί και από την περιγραφή ενός υποτιθέµενου σεναρίου. Ο ΜΙΣΟΨΗΜΕΝΟΣ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟΣ shortroad : to shortroad :n :s :dx :c repeat :n [rr(:s) rt(:c) fd(:dx)] end Ο παραπάνω µικρόκοσµος περιλαµβάνει ένα πρόγραµµα µε τέσσερις παραµέτρους. Ερµηνεία των παραµέτρων: n: πλήθος επαναλήψεων s: στροφή της χελώνας γύρω από την κατεύθυνση της κίνησής της (καθορίζει τη στρέψη) dx: καθορίζει το µήκος του βήµατος της χελώνας

6 6 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ c: στροφή της χελώνας στο επίπεδό της (εγγύτατο επίπεδο, καθορίζει την καµπυλότητα). Στο συγκεκριµένο µικρόκοσµο προκύπτουν τριών ειδών καµπύλες, που ουσιαστικά αντιπροσωπεύουν τις γεωδαισιακές του κυλίνδρου: Για s=0 και c=0, Ευθείες Για s=0 και c 0, Κύκλους Για s 0 και c 0, Έλικες Το γραφικό αποτέλεσµα του προγράµµατος µπορεί να λάβει πολλές µορφές πολυγωνικών γραµµών: 1D, 2D, και 3D ανάλογα µε τις τιµές που δίνονται στις παραµέτρους. Για να δίνει αυτός ο µικρόκοσµος την καµπύλη (και όχι απλά πολυγωνική γραµµή) του κύκλου ή της έλικας πρέπει να λάβουµε υπόψη αυτά που αναφέραµε παραπάνω. ηλαδή θα πρέπει οι σχέσεις που µας δίνουν τις στροφές και περιστροφές της χελώνας (rt,rr) να αντικατασταθούν από τις εξής: c*dx (αντί για το c) και s*dx (αντί για το s). Αυτές οι σχέσεις δίνουν τις στροφές της χελώνας σε σχέση µε τη καµπυλότητα και τη στρέψη της αντίστοιχης καµπύλης. Τελικά ο διορθωµένος µικρόκοσµος που µας δίνει τις αντίστοιχες καµπύλες για κύκλο, ευθεία και έλικα για κάθε τιµή των παραµέτρων που θα περιέχει, είναι ο εξής: to shortroad :n :dx :s :c repeat :n [rr(:s*(:dx)) rt(:c*(:dx)) fd(:dx)] end Τώρα οι παράµετροι s,c εκφράζουν την µοναδική καµπυλότητα και στρέψη µιας συγκεκριµένης καµπύλης. Αν δηλαδή θέλω να σχεδιάσω µια έλικα που έχει καµπυλότητα 25 και στρέψη 5, αρκεί να αντικαταστήσω στο παραπάνω πρόγραµµα όπου c=25 και s=5. Έτσι ο µικρόκοσµος θα δίνει αυτήν την µοναδική έλικα και καθώς το dx θα τείνει στο µηδέν θα έχουµε και την καλύτερη δυνατή προσέγγιση. Η ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Στην αρχή µπορούµε να ζητήσουµε από τους µαθητές να πειραµατιστούν µε το µικρόκοσµο και να ανακαλύψουν το ρόλο που παίζουν οι παράµετροι καθώς και τα είδη των καµπύλων που δηµιουργούνται. Στη συνέχεια µπορούµε να τους ζητήσουµε να σχεδιάσουν µια καµπύλη όπως αυτή που βρήκανε µε τους πειραµατισµούς µε το χαρτόνι, και έτσι ώστε ο µικρόκοσµος να δίνει αυτήν την καµπύλη (την έλικα δηλαδή µε τη µικρότερη απόσταση) για κάθε τιµή των παραµέτρων που θα περιέχει. Εδώ βέβαια επιθυµητό είναι να παρακινήσουµε τους µαθητές να ασχοληθούν και µε τις τρεις περιπτώσεις: Ευθεία, κύκλο και έλικα, παίρνοντας τα δύο σηµεία σε όλες τις δυνατές θέσεις πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Στην περίπτωσή µας, για διευκόλυνση, µπορούµε να υποθέσουµε ότι τα δύο σηµεία µπορούµε να τα φέρουµε σε τέτοια θέση ώστε αυτά να ανήκουν στην ίδια γενέτειρα του κυλίνδρου (για παράδειγµα διπλώνοντας το χαρτόνι οι µαθητές µπορούν να αντιληφθούν ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό). Έτσι ο στόχος τώρα θα είναι να σχεδιάσουν εκείνη την έλικα που περνάει από τα δυο σηµεία και συγχρόνως αυτά να αποτελούν τα άκρα µιας περιέλιξης ενώ συγχρόνως η έλικα θα εφάπτεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Η εντολή στην προκειµένη περίπτωση print (µας δείχνει τις συντεταγµένες της θέσης της χελώνας) µπορεί να βοηθήσει,µιας και έστω προσεγγιστικά, θα είναι µια ένδειξη ότι η χελώνα έχει φτάσει στο δεύτερο σηµείο. Σηµαντικό στοιχείο στους πειραµατισµούς αποτελεί και η εισαγωγή ενός κυλίνδρου από τα έτοιµα αντικείµενα και έστω, ως υπόθεση εργασίας, ότι αυτός έχει ακτίνα βάσης 2.05 και ύψος 5.54 Στο ξεκίνηµα οι πειραµατισµοί µπορούν να γίνουν µε το µονοδιάστατο είτε µε το δισδιάστατο µεταβολέα. Ένα ίσως πιο πιθανό σενάριο και το οποίο θα περιγράψουµε πιο αναλυτικά, είναι το ξεκίνηµα των πειραµατισµών να γίνει µε τη χρήση του µονοδιάστατου µεταβολέα. Σταθεροποιώντας την τιµή του dx, έστω dx=1 ψάχνουν ζεύγη τιµών για τις παραµέτρους s, c που να τους δίνει το επιθυµητό αποτέλεσµα. Ένα τέτοιο ζεύγος θα µπορούσε να είναι και το (s,c)=(5,25) µε κατάλληλο n, που στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι το n=14, και όπως φαίνονται στην εικόνα 1. Να σηµειώσουµε ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση ο ρόλος της κάµερας είναι σηµαντικός, αφού µας επιτρέπει να αλλάξουµε τη θέση θέασης του σχήµατος και να δούµε το κατά πόσο η έλικα περιελίσσεται ή όχι στον κύλινδρο. Η εύρεση όµως αυτών των στοιχείων δεν αρκεί για να θεωρήσουµε ότι φτάσαµε στη λύση. Ο στόχος µας είναι τριπλός: Να πάρω την καµπύλη έλικα (και όχι πολυγωνική γραµµή), να έχω την έλικα µε το µικρότερο µήκος (για dx=1 προφανώς δεν έχω την µικρότερη διαδροµή) και ο κώδικας που θα φτιάξω να ικανοποιεί τις προηγούµενες προϋποθέσεις αλλά και να µου δίνει την ίδια έλικα για

7 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 7 κάθε τιµή των παραµέτρων που θα περιέχει. εν θα είναι δύσκολο να υποθέσουν και να συνεχίσουν τους πειραµατισµούς τους αλλάζοντας το βήµα της χελώνας για να πετύχουν οµαλή καµπύλη και όχι πολύγωνο (ή για να πετύχουν µικρότερη διαδροµή). Οι πειραµατισµοί, και πιθανόν και η δηµιουργία πίνακα µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα, θα τους οδηγήσουν σε συµπεράσµατα όπως: 1. c c dx = 1 = 0.5 = =, δηλαδή καθώς dx 0, έχουµε: lim = 25, και dx 0 dx ουσιαστικά έχουµε τον ορισµό της καµπυλότητας. Εδώ βέβαια έχουµε πάντα σταθερό λόγο, αλλά η ίδια η διαδικασία είναι οριακή µε dx να παίρνει συνεχώς µικρότερες τιµές που πλησιάζουν το µηδέν. 2. s dx = 1 = 0.5 = = s (στρέψη), δηλαδή καθώς dx 0, έχουµε: lim = 5 dx 0 dx 3. c s = 5 = 2.5 = =. ηλαδή ο λόγος της καµπυλότητας προς τη στρέψη παραµένει σταθερός (Θεώρηµα Lancret). Μια ακόµη σηµαντική παρατήρηση που µπορούµε να κάνουµε συνδυάζοντας τα πειραµατικά αποτελέσµατα και το σχήµα είναι και η εξής: Καθώς µεταβάλουµε το dx, στο σηµείο (0 0 0) έχουµε εφαρµογή του ορισµού της στιγµιαίας καµπυλότητας. ηλαδή παρατηρούµε ότι διατηρώντας σταθερό το σηµείο (0 0 0) και καθώς το µήκος τόξου (dx) τείνει στο µηδέν, το όριο του λόγου c/dx, δηλαδή η στιγµιαία καµπυλότητα είναι 25. Παρατηρούµε επίσης ότι και ο λόγος c/dx είναι σταθερός για οποιοδήποτε διάστηµα dx στην περιοχή του µηδενός και µάλιστα ίσος µε 25, δηλαδή ο µέσος ρυθµός µεταβολής παραµένει σταθερός και ίσος µε 25. Ένας λόγος για τον οποίο συµβαίνει αυτό είναι ότι η έλικα έχει σταθερή καµπυλότητα και στρέψη, και άρα έχουµε ταύτιση της στιγµιαίας και µέσης καµπυλότητας και στρέψης. Το τροποποιηµένο πρόγραµµα γίνεται: to helix :n :dx repeat :n [rr(5*(:dx)) rt(25*(:dx)) fd(:dx)] end και το οποίο βέβαια δίνει την συγκεκριµένη έλικα (καµπύλη) µε dx 0. ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ Η παραπάνω διδακτική µας πρόταση αναδεικνύει κατά ένα µεγάλο µέρος αυτό που στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως πρόσθετη παιδαγωγική αξία : «Τι µπορεί να κάνει ο µαθητής και ο εκπαιδευτικός µε την τεχνολογία αυτή που είτε είναι αδύνατο είτε είναι πολύ δύσκολο πρακτικά όταν δεν τη διαθέτει;» Κυνηγός (2006, σελ.31). Το να προσεγγίσουµε και να σχεδιάσουµε δηλαδή µια καµπύλη στο χώρο χρειαζόµαστε τις έννοιες της καµπυλότητας και της στρέψης, η µελέτη των οποίων γίνεται µέσω της κίνησης του τριέδρου των F-S στο χώρο, που τουλάχιστον µε τα στατικά παραδοσιακά µέσα είναι αδύνατη. Στο MaLT, το οποίο αποτελεί ένα µικρόκοσµο Γεωµετρίας της Χελώνας, οι κινήσεις αυτού του τριέδρου είναι ανάλογες µε τις κινήσεις της χελώνας άρα και ένα πλαίσιο κατάλληλο για µελέτη εννοιών διαφορικής γεωµετρίας αφού σύµφωνα και µε τον Papert (1980), η γεωµετρία της χελώνας είναι ένα είδος διαφορικής γεωµετρίας. Έτσι δίνεται και η δυνατότητα στους µαθητές να περιγράψουν συµβολικά φαινόµενα µέσω της γλώσσας Logo και να αντιµετωπίσουµε σε ένα πρώτο επίπεδο τις τεράστιες δυσκολίες των µαθητών σε σχέση µε τη συµβολική και ακριβή γλώσσα της διαφορικής γεωµετρίας (Kawski, 2003). Μέσα από τους προηγούµενους πειραµατισµούς και µε τα διαθέσιµα εργαλεία του λογισµικού που χρησιµοποιούµε, υπάρχει επίσης η δυνατότητα να αξιοποιήσουµε περιφερειακές έννοιες του αναλυτικού προγράµµατος, όπως οι έννοιες της καµπυλότητας και της στρέψης και γενικά έννοιες του εννοιολογικού πεδίου της καµπυλότητας του χώρου, για τη δηµιουργία µαθηµατικών νοηµάτων. Φτάνουµε έτσι και σε συµπεράσµατα που δείχνουν και απαντούν κατά κάποιο τρόπο, στο πως πρέπει να θεωρούµε την ευθεία (καµπυλότητα µηδέν) και σε τι διαφέρει από µια καµπύλη. Μας δίνεται επίσης η δυνατότητα αντιµετώπισης και άλλων θεµάτων που συναντούν οι µαθητές στο σχολείο και τα οποία απλά περιγράφονται ή διατυπώνονται µε τη µορφή θεωρηµάτων. Όπως για παράδειγµα ο τρόπος που στα σχολικά εγχειρίδια εισάγεται η έννοια του µήκους του κύκλου. Η παραπάνω πρόταση µας δίνει ένα τρόπο προσέγγισης του µήκους του κύκλου µε περιγεγραµµένα κανονικά πολύγωνα, και πειραµατιζόµενοι (αν θέσουµε τη στρέψη µηδέν, s=0), µπορούµε να φτάσουµε σε συµπεράσµατα που

8 8 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ δείχνουν ότι η καµπυλότητα και η ακτίνα του κύκλου είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Με παρόµοιο τρόπο όπως µε την κυλινδρική έλικα της πρότασης µας, µπορούµε να µελετήσουµε καµπύλες µε µεταβλητή καµπυλότητα και στρέψη. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η κωνοειδής έλικα. Αρκεί να αντικαταστήσουµε τις σχέσεις για την σταθερή καµπυλότητα και στρέψη της έλικας µε τις σχέσεις: 200/c και 200/s που µας δίνουν την καµπυλότητα και τη στρέψη αντίστοιχα µιας κωνοειδούς έλικας. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κυνηγός, Χ.(2006). Το µάθηµα της διερεύνησης. Παιδαγωγική αξιοποίηση των ψηφιακών τεχνολογιών για τη διδακτική των µαθηµατικών. Από την έρευνα στη σχολική τάξη. Αθήνα: Εκδ Ελληνικά γράµµατα Abelson H. and DiSessa A.(1981). Turtle Geometry: The Computer as a Medium for Exploring Mathematics. Cambridge M.A.: MIT Press Fischbein, E.(1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Press Harel, I., & Papert, S. (1991). Constructionism. Norwood, NJ: Ablex Publishing Greer, B. (2006). Designing for conceptual change PME CONFERENCE 2006, VOL 1, pages Jones, K. (2000). Providing a Foundation for Deductive Reasoning: students interpretations when using Dynamic Geometry Software and Their Evolving Mathematical Explanations. Educational Studies in Mathematics, 44 (1-2), Kafai, Y. and Resnick, M. (eds.) (1996). Constructionism in practice: Designing, thinking and learning in a digital world. Lawrence Erlbaum Publishers, Mahwah Kawski, Μ (2003). Curvature for everyone. 8th Asian Technology Conf Math, Hsin-Chu, Taiwan Kynigos, C., & Psycharis, G. (2003). 13 year-olds meanings around intrinsic curves with a medium for symbolic expression and dynamic manipulation. In N. A. Paterman, B. Dougherty, & J. Zilliox (Ed.), Proc. 27th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Honolulu, Hawaii, U.S.A: PME. Kynigos, C. (2007). Half-Baked Logo Microworlds as Boundary Objects in Integrated Design, Informatics in Education, 2007, Vol. 6, No. 2, 1 24, Institute of Mathematics and Informatics, Vilnius Kynigos, C. & Latsi, Μ. (2007). Turtle s navigation and manipulation of geometrical figures constructed by variable processes in 3d simulated space. Informatics in Education, Vol. 6, No. 2, Laborde, J-M (2010).Manipulating 3D objects in a computer environment. In Usiskin, Z., Andersen, K, Zotto,N (Ed.) Future curricular in school algebra and Geometry. Proceedings of a conference, information age publishing O Neill,B.(1997) Elementary Differential Geometry, Second Edition. Academic press Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas. New York: Basic Books. ReMath - Representing Mathematics with Digital Media FP6, IST-4, STREP ( ) Taimina and Henderson (2005). From calculus to computers: using 200 years of mathematics history in the teaching of mathematics. In Shell-Gellasch, A., & Jardine, D. (Eds.). No. 68 in MAA Notes. Washington: The Mathematical Association of America. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates