4.6-4.8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 5--06) Σ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ος τρόπος Η γωνία Α είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΕΔ οπότε ισχύει: Α=Ε+ Oμως αφού ΑΕ = ΑΔ θα ισχύει Ε= Α Α= + Α= = () Αρα Α+Β+Γ= Αλλά 80 Α+Β+Β= 80 Α+ Β= 80 Β=Γ = ως κατακορυφήν Α ( ) +Β= 90 +Β= 90 +Β= 90 Οπότε στο τρίγωνο ΚΔΒ, αφού οι δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90, η τρίτη θα είναι Κ= 90 οπότε: ΔΕ ΒΓ. ος τρόπος Η γωνία Α είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΕΔ οπότε ισχύει: Α=Ε+ Oμως αφού ΑΕ = ΑΔ θα ισχύει Ε= Αρα Α=Ε+Ε Α= Ε Φέρνουμε την διχοτόμο ΑΖ της γωνίας Α οπότε Α= Α Αρα Α = Ε Α =Ε. Οι ευθείες ΕΔ και ΑΖ σχηματίζουν δύο εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες άρα είναι παράλληλες. Ομως η διχοτόμος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι και ύψος οπότε ΑΖ ΒΓ Αρα και Ε ΒΓ. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Σ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ και η διχοτόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΔ, που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι Β Γ ΕΒΓ =. Στο τρίγωνο ΑΒΕ η διχοτόμος ΑΖ είναι και ύψος, οπότε αυτό είναι ισοσκελές και συνεπώς Β =Ε. Η γωνία Ε είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΕΒΓ οπότε ισχύε: Ε = ΕΒΓ + Γ () ( ) ( ) ΕΒΓ=Β Β =Β Ε =Β ΕΒΓ+Γ =Β ΕΒΓ Γ Δείξαμε λοιπόν ότι: ΕΒΓ = Β ΕΒΓ Γ ΕΒΓ + ΕΒΓ = Β Γ Β Γ ΕΒΓ=Β Γ ΕΒΓ= Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Σ3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε την υποτείνουσα ΓΒ κατά τμήμα ΒΔ = ΑΒ. Φέρουμε κάθετη στη ΒΓ στο σημείο Γ και παίρνουμε σε αυτή (προς το μέρος του Α) τμήμα ΓΕ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά. Aφού ΒΑ=ΒΔ θα είναι Α = Ομως η Β είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΔΑ επομένως Β Β=Α + Β=Α +Α Β= Α Α = Aφού ΓΕ=ΓΑ θα είναι Α =Ε Γ +Α +Ε= 80 Γ +Α +Α = 80 90 Γ+ Α = 80 Α = 80 90 +Γ 90 Γ Α = 90 +Γ Α = + Αρα Β 90 Γ 90 Β+Γ 90 90 Α +Α+Α = + 90 + + = 90 + + = 90 + + = 90 + 90 = 80 Αρα η γωνία ΑΕ = 80 οπότε τα Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά. Σημειώσεις:. Εβαλα διαφορετικό χρώμα στα τμήματα ΔΑ και ΑΕ για να τονίσω ότι αρχικά δεν ξέρουμε ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία.. Στην έκδοση του σχολικού που χρησιμοποιώ νομίζω η απόδειξη δεν είναι σωστή γιατί αναφέρεται στο τρίγωνο ΕΓΔ αλλά αφού δεν γνωρίζουμε ότι ΕΔ είναι τμήμα και όχι τεθλασμένη γραμμή δεν μπορώ να το χρησιμοποιήσω. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
Σ4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και το ύψος του ΒΔ. Φέρουμε ΔΗ ΑΒ, που τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι: i) ΒΔ = ΔΕ, ii) ΒΓ > ΓΕ. Σκέψη: Αφού τα τρίγωνα που θέλουμε να δείξουμε ότι είναι ίσα έχουν κοινό άκρο αρκεί να δείξουμε ότι σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΕΒ έχουμε: Ε= 90 Β () Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε: Β = 90 Γ () Ομως αφού ΑΒ=ΑΓ θα είναι Β=Γ οπότε από () και () προκύπτει ότι Β =Ε.Aρα ΔΕ=ΒΔ ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ είκναι ΒΓ>ΒΔ.Ομως όπως δείξαμε στο i) ΒΔ=ΔΕ άρα ΒΓ>ΓΕ. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
Σ5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, προεκτείνουμε τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ, προς το μέρος των κορυφών και επί των προεκτάσεων παίρνουμε τμήματα ΒΖ=ΑΓ και ΓΗ=ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) ΑΖ=ΑΗ, ii) ΑΖ ΑΗ. Η γωνία ΑΒΖ είναι εξωτερική γωνία στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΒ, επομένως ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών δηλαδή Η γωνία ΑΒΖ = 90 + Α. ΑΓΗ ΑΒΖ είναι εξωτερική γωνία στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΑΓ επομένως ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών δηλαδή ΑΒΖ = 90 + Α. Tα τρίγωνα ΒΑΖ και ΓΗΑ έχουν: ΒΖ = ΑΓ ΑΒ = ΓΗ 90 ΑΒΖ = ΑΓΗ = + Α Π-Γ-Π είναι ίσα οπότε θα έχουν και ΑΖ=ΑΗ καθώς και Α = Ζ ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΖ ii) ΖΑΗ = ΖΑ + Α = ΖΑ + Ζ = 90, οπότε ΑΖ ΑΗ. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5
Σ6. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με A > Γ και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία των διχοτόμων των γωνιών Β και Δ. Να αποδείξετε ότι φ = Α + Γ. Στο τρίγωνο ΑΔΕ είναι: ϕ + +Ε = 80 ϕ + +Ε = 80 () Ομως η Ε είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΕΓ οπότε: Β Ε =Β +Γ= +Γ Aντικαθιστώντας στην () παίρνουμε: ϕ + + Β +Γ= 80 Ομως γνωρίζουμε ότι: 360 Α Β Γ Α Β Γ Α+Β+Γ+ = 360 + + + = + + + = 80 ϕ + + Β +Γ= Α + Β + Γ + ϕ +Γ= Α + Γ ϕ = Α + Γ Γ ϕ = Α Γ ϕ = Α Γ Σημείωση: Στο παλιό σχολικό (Αλιμπίνίσης Δημάκος Κοντογιάννης κά) αποδεικνύει ότι όντως οι διχοτόμοι τέμνονται ως εξής: Αρχικά δείχνει ότι η διχοτόμος της Β τέμνει την ΓΔ: (Πρόταση IV της 4.) Β Β+ Γ Β+Γ+Γ Β+Α+Γ Β+Α+Γ+ 360 Β +Γ= +Γ= = = = 80 Ακολούθως δείχνει ότι η διχοτόμος της τέμνει την ΒΕ: (Πρόταση IV της 4.) Β +Β+ Γ +Β+Γ+Γ +Β+Γ+Α 360 +Ε = + +Γ= = = 80 Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6
Σ7. Δύο επίπεδα κάτοπτρα Κ,Κ είναι κάθετα. Φωτεινή ακτίνα α προσπίπτει αρχικά στο Κ και μετά την ανάκλαση στο Κ, εξέρχεται κατά την ακτίνα β. Τι πορεία θα ακολουθήσει, σε σχέση με την αρχική ακτίνα α; Α Ο Β Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε ότι: ω+ ϕ = 90. Γνωρίζουμε ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης ( ) Α +Β = 80 ω+ 80 ϕ = 360 ω+ ϕ = 360 90 = 360 80 = 80 δηλαδή οι ευθείες α και β τεμνόμενες από την ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές, άρα είναι παράλληλες. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7