Πείραμα - 11 Ακτίνες-Χ και Μέτρηση Της Κβαντικής Σταθεράς του Planck Ακτίνες-Χ και Μέτρηση της Κβαντικής Σταθεράς του Planck 1
Ακτίνες-Χ και Μέτρηση της Κβαντικής Σταθεράς του Planck, h 1.1 Αρχή της άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με το συνεχές και διακριτό φάσμα των χαρακτηριστικών ακτινών Χ που εκπέμπονται από τα στερεά (Μολυβδαίνιο), η μέτρηση της συνεχούς συνιστώσας του φάσματος, και η μέσω αυτής μέτρηση της σταθεράς του Planck, h, με τη βοήθεια του σκεδασμού του Bragg από την κρυσταλλική δομή του NaCl. Βιβλιογραφία: Κεφάλαια: 1. Φώς 2. Στοιχεία της φυσικής στερεάς κατάστασης 7. Φωτοανιχνευτές 1.1.1 Επί μέρους σκοποί της άσκησης Να καταγραφεί η ένταση των ακτίνων Χ του φάσματος πεδήσεως που εκπέμπονται από την άνοδο από μολυβδαίνιο (Μο) υπό διαφορετικές υψηλές τάσεις VA με την μέθοδο της περιστροφής μονοκρυστάλλου του Bragg. Να προσδιοριστεί η πειραματική σχέση λmin = f(va), όπου λmin είναι το ελάχιστο μήκος κύματος του φάσματος ακτινοβολίας πεδήσεως (μήκος κύματος διακοπής). Να υπολογισθεί η σταθερά h του Planck από την παραπάνω σχέση.
1.2 Περιγραφή της συσκευής μέτρησης Ακτίνες-Χ και Μέτρηση της Κβαντικής Σταθεράς του Planck, h Η συσκευή μέτρησης αποτελείται από: συσκευή ακτίνων Χ, 42 kν, με μετρητή, γωνιακή βαθμολόγηση οπή για ευθυγραμμισμένες ακτίνες Χ, υποστηρικτή δειγμάτων και μονοκρύσταλλο NaCl. d = 2.8197 x 10-10 m Ψηφιακό μετρητή σωλήνα ακτινών Χ Χρονόμετρο Βολτόμετρο με πεδίο μετρήσεως 30 V a.c. Το σχήμα 5 δείχνει τη συστοιχία μέτρησης του φάσματος πεδήσεως σαν συνάρτηση της υψηλής τάσης της ανόδου. 60 Συσκευή Παραγωγής Ακτίνων Χ Σχήμα 5 - Συστοιχία για μέτρηση του συνεχούς φάσματος πεδήσεως του Μο. Για περιγραφή των συμβόλων δείτε τις οδηγίες για την εκτέλεση της άσκησης. 3
1.3 Θεωρία και υπολογισμοί Οι ακτίνες Χ παράγονται όταν ταχέως κινούμενα ηλεκτρόνια, που έχουν επιταχυνθεί μέσα από διαφορές δυναμικού μεταξύ 10 3 και 10 6 V, πέσουν πάνω σε ένα μεταλλικό στόχο. Παρήχθησαν για πρώτη φορά το 1895 από τον Wilhelm Rontgen (1845-1923). Η αρχή λειτουργίας της συσκευής που χρησιμοποίησε ο Rontgen είναι όμοια με αυτήν της διάταξης του σχήματος 1. Ηλεκτρόνια παράγονται με θερμιονική εκπομπή από μια θερμαινόμενη κάθοδο και επιταχύνονται προς την άνοδο (με στόχο) από μια μεγάλη διαφορά δυναμικού V. Το αέριο που υπάρχει στη λυχνία έχει αντληθεί (απομένουσα πίεση 10-7 atm ή μικρότερη) για να μπορέσουν τα ηλεκτρόνια να κινηθούν από την κάθοδο στην άνοδο χωρίς να συγκρούονται με τα μόρια του αερίου. Όταν το επιταχύνουν δυναμικό V είναι μερικές χιλιάδες βολτ (volts) ή μεγαλύτερο, από την επιφάνεια της ανόδου εκπέμπεται μια πολύ διεισδυτική ακτινοβολία. Σχήμα 1 - Συσκευή παραγωγής ακτίνων Χ, όμοια με εκείνη του Rontgen. Ηλεκτρόνια εκπέμπονται θερμιονικά από τη θερμαινόμενη κάθοδο και επιταχύνονται προς την άνοδο όταν προσκρούσουν στην κάθοδο, παράγονται ακτίνες Χ. Φωτόνια ακτινών Χ Είναι σαφές ότι λόγω της προέλευσής τους, οι ακτίνες Χ είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα, έτσι όπως συμβαίνει και με το φως, οι αλληλεπιδράσεις τους με την ύλη υπαγορεύονται και περιγράφονται από κβαντικές σχέσεις. Επομένως, μπορούμε να μιλάμε για φωτόνια η κβάντα ακτινών Χ, των οποίων η ενέργεια συνδέεται με τη συχνότητα ή το μήκος κύματός τους μέσω των ιδίων σχέσεων που ισχύουν για τα φωτόνια του φωτός, E=hc/λ. Χαρακτηριστικά μήκη κύματος ακτινών Χ είναι από 1 pm μέχρι 1 nm. Η εκπομπή ακτινών Χ είναι η αντίστροφη διεργασία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Στη φωτοηλεκτρική εκπομπή, η ενέργεια ενός φωτονίου μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου, ενώ στην παραγωγή ακτινών Χ η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου μετατρέπεται σε ενέργεια ενός φωτονίου. Η ενεργειακή σχέση είναι ακριβώς ίδια στις δύο περιπτώσεις. Στην παραγωγή ακτινών Χ αγνοούμε συνήθως το έργο εξαγωγής του στόχου γιατί είναι πολύ μικρό σε σύγκριση με τις άλλες ενέργειες. Η εκπομπή ακτινών Χ οφείλεται σε δύο διαφορετικές διεργασίες. Μερικά ηλεκτρόνια επιβραδύνονται ή ακινητοποιούνται από τον στόχο και μέρος ή όλη η κινητική τους ενέργεια μετατρέπεται απευθείας σε ένα συνεχές φάσμα φωτονίων, συμπεριλαμβανομένων και ακτινών Χ. Η διεργασία αυτή ονομάζεται εκπομπή ακτινοβολίας πέδησης (bremsstrahlung ). Άλλα ηλεκτρόνια μεταφέρουν μέρος ή όλη την ενέργειά τους σε μεμονωμένα άτομα του στόχου. Αυτά τα άτομα μεταπηδούν τότε σε διεγερμένες καταστάσεις και αποδιεγείρονται προς την θεμελιώδη κατάσταση εκπέμποντας φωτόνια ακτινών Χ. 4
Κάθε στοιχείο έχει ένα σύνολο ατομικών ενεργειακών σταθμών που σχετίζονται με φωτόνια ακτινών Χ. Για τον λόγο αυτό κάθε στοιχείο έχει το δικό του χαρακτηριστικό φάσμα ακτινών Χ. Ακτίνες Χ παράγονται όταν ενεργητικά ηλεκτρόνια συγκρούονται με ένα στερεό στόχο και ακινητοποιούνται εντός του στόχου. Το Σχ.2 δείχνει το φάσμα μηκών κύματος των ακτινών Χ που παράγονται όταν μία ακτίνα ηλεκτρονίων 35keV προσπίπτει σε στόχο μολυβδαινίου (1 ev = 1.6 x 10-19 J). Βλέπουμε ότι αποτελείται από ένα ευρύ φάσμα ακτινοβολίας συνεχώς κατανεμημένο σε μήκος κύματος, καθώς και από ένα διακριτό φάσμα με επίκεντρο δύο οξείες κορυφές. Αυτές οι δύο ακτινοβολίες εμφανίζονται από διαφορετικές πηγές. Εάν τα προσπίπτοντα ηλεκτρόνια επιταχυνθούν λόγω μιας υπάρχουσας διαφοράς δυναμικού V, η κινητική τους ενέργεια όταν συγκρούονται με τον στόχο είναι Ε = ev, όπου e συμβολίζει το στοιχειώδες φορτίο (=1.6 x 10-19 C). Συνεπώς, κατά τη διάρκεια της τροχιάς των ηλεκτρονίων εντός του στόχου, όλες οι κινητικές ενέργειες από το μηδέν μέχρι και την ev, θα είναι παρούσες. Αν θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο με κινητική ενέργεια Κ, ev~κ0, το οποίο τυχαίνει να διέρχεται κοντά σε ένα πυρήνα ατόμου μολυβδαινίου του στόχου, είναι πιθανό το ηλεκτρόνιο να βρεθεί κάτω από την επίδραση του πυρηνικού δυναμικού και να σκεδαστεί (δηλ. να αλλάξει την τροχιά του). Αυτή η αλλαγή της τροχιάς αποτελεί μια μορφή επιταχύνσεως (ή επιβραδύνσεως), κατά την οποία το ηλεκτρόνιο χάνει ένα ποσό ενεργείας ΔΚ. Σχήμα 2 - Φασματική κατανομή των ακτίνων Χ που παράγονται από την πρόσπτωση ηλεκτρονίων 35keV σέ στόχο Μολυβδαινίου. 1 pm = 10-12 m. Αυτή η ενέργεια θα εμφανισθεί σαν ένα φωτόνιο ακτίνας Χ το οποίο ακτινοβολείται από το σημείο του σκεδασμού. Όλα τα ηλεκτρόνια με κινητικές ενέργειες evκ0 μπορούν να υποστούν τέτοια φαινόμενα τα οποία καλούνται "φαινόμενα Bremsstrahlung" (σημαίνει στα Γερμανικά "Ακτινοβολία πεδήσεως"). Ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του συνεχούς φάσματος του σχήμα 2 είναι το μήκος κύματος διακοπής, λmin, κάτω από το οποίο το συνεχές φάσμα παύει να υπάρχει. Αυτό το ελάχιστο μήκος κύματος αντιστοιχεί σε σύγκρουση κατά την οποία ένα προσπίπτον ηλεκτρόνιο, με αρχική ενέργεια E ev, χάνει όλη αυτή την ενέργεια σαν ακτινοβολία φωτονίου Χ: ev h max hc min (1) ή min hc ev (μήκος κύματος διακοπής) (2) όπου h είναι η σταθερά του Planck, η οποία έχει την τιμή 6.63 x 10-34 J.s. Το μήκος κύματος 5
διακοπής είναι τελείως ανεξάρτητο από το υλικό του στερεού στόχου. Αλλάζοντας το στόχο και κρατώντας σταθερή την ενέργεια της ηλεκτρονικής δέσμης, όλα τα χαρακτηριστικά του φάσματος ακτινών Χ θα αλλάξουν, εκτός του μήκους κύματος διακοπής. Το χαρακτηριστικό (διακριτό) φάσμα ακτινών Χ Αυτό αποτελείται από τις διακριτές κορυφές Κα και Κβ στο σχήμα 3, που είναι χαρακτηριστικές του υλικού του στόχου. Αυτά τα φωτόνια δημιουργούνται όταν ένα ενεργητικό προσπίπτον ηλεκτρόνιο αποβάλλει ένα από τα ηλεκτρόνια του στόχου που βρίσκεται σε βαθιά ενεργειακή κατάσταση, ως εξής: Αν αυτό το αποβληθέν ηλεκτρόνιο βρίσκεται στη στοιβάδα με κύριο κβαντικό αριθμό n = 1 (αυτή καλείται για ιστορικούς λόγους, "στοιβάδα Κ"), παραμένει μια οπή σ' αυτή τη στοιβάδα. Όταν ένα ηλεκτρόνιο από εξωτερική στοιβάδα έρχεται να γεμίσει αυτή την οπή, το άτομο εκπέμπει ένα φωτόνιο ακτίνας Χ. Εάν αυτό το εξωτερικό ηλεκτρόνιο είναι από την στοιβάδα με n = 2 (λεγόμενη στοιβάδα L), τότε έχουμε την φασματική γραμμή Κα του Σχ.2. Εάν πέσει από την στοιβάδα με n = 3 (λεγόμενη στοιβάδα Μ), τότε έχουμε την φασματική γραμμή Κβ, κ.ο.κ. Βέβαια, αυτή η διαδικασία αφήνει κάποια άλλη οπή σε πιο εξωτερικά ενεργειακά επίπεδα στο άτομο, η οποία θα πληρωθεί από άλλο ηλεκτρόνιο, ενώ το άτομο εκπέμπει ένα χαρακτηριστικό φωτόνιο άλλου ενεργειακού περιεχομένου. Το σχήμα 3 δείχνει το ενεργειακό διάγραμμα του φάσματος των ακτινών Χ του μολυβδαινίου (Μο). Το επίπεδο με ενέργεια Ε = 0, αντιπροσωπεύει το ουδέτερο άτομο στη βασική κατάσταση (grοund state). Είναι ευκολότερο να προσδιοριστεί η ενεργειακή κατάσταση της (μιας) οπής, παρά του συνόλου των ηλεκτρονίων της στοιβάδας. Γι' αυτό η βασική κατάσταση εδώ εννοείται αυτή που αντιστοιχεί στην ενέργεια του ατόμου Μο, όταν η οπή έχει αποχωρήσει τελείως από το άτομο. Το επίπεδο Κ (Ε = 20 kev),αντιπροσωπεύει το άτομο Μο με μία οπή στη στοιβάδα Κ. Επίσης, το επίπεδο L (E = 2.7 kev) υποδηλεί την ενέργεια του ατόμου με μία οπή στη στοιβάδα L, κλπ. Οι μεταπτώσεις Κα και Κβ στο σχήμα 3 αντιστοιχούν στις δύο οξείες φασματικές γραμμές του σχήματος 2 20 K(n=1) Ενέργεια (kev) 15 10 k line α k line β 5 L(n=2) L β L α M(n=3) 0 N(n=4) Σχήμα 3 - Διάγραμμα των ενεργειακών καταστάσεων του ατόμου Μο. Δείχνει τις μεταπτώσεις οπών που δημιουργούν το φάσμα των χαρακτηριστικών ακτίνων Χ του στοιχείου αυτού. Ανάλυση του φάσματος ακτινών Χ του μολυβδαινίου Η ανάλυση του συνεχούς φάσματος (των πολυχρωματικών ακτίνων) Χ καθίσταται δυνατή με την βοήθεια ενός μονοκρυσταλλου. Όταν ακτίνες Χ με μήκος κύματος λ προσπίπτουν στον μονοκρύσταλλο υπό γωνία θ, μετά από την προσπτωση σε ένα επίπεδο ατόμων με γωνία πρόσπτωσης 6
θ, οι ακτίνες θα διαπεράσουν τα στρώματα των ατόμων και θα συμβάλουν. Αυτό μπορούμε να το δούμε και στο παρακάτω σχήμα (σχήμα 4α) Σχήμα 4a - Ανάκλαση ακτίνων Χ από παράλληλα επίπεδα Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι η a ακτίνα ανακλάται από το πρώτο επίπεδο, η b από το δεύτερο και η c από το τρίτο κ.τ.λ. Αυτές οι ακτίνες όμως βρίσκονται σε φάση. Είναι δυνατό να εμφανισθεί ενισχυτική συμβολή των ακτινών Χ μόνον αν οι διαδρομές των επί μέρους κυμάτων αφ' ότου έχουν σκεδαστεί από γειτονικά πλεγματικά επίπεδα πληρούν την συνθήκη του Bragg: 2d sin όπου n είναι η τάξη της περίθλασης των ακτίνων Χ, Σχ. 4β ( n = 1, 2, 3,...) λ το μήκος κύματος των ακτίνων Χ, d είναι η απόσταση μεταξύ γειτονικών επιπέδων του πλέγματος θ η συμπληρωματική της γωνίας πρόσπτωσης.. n (3) d θ Σχήμα 4β - Σκέδαση Bragg στην επιφάνεια του πλέγματος ενός μονοκρυστάλλου. Aν η απόσταση d είναι γνωστή, είναι δυνατό να υπολογισθεί η ενέργεια των ακτίνων Χ από την γωνία προσπτώσεως θ του φάσματος και τη σχέση Συνδυάζοντας την Εξ. (4) με την (3), η ενέργεια βρίσκεται από τη σχέση: 1.4 Εκτέλεση του πειράματος E h hc (4) E nhc 2d sin (5) Πριν από την εκτέλεση της άσκησης θα πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά την της συσκευής 7
Βεβαιωθείτε ότι και οι δύο πόρτες 21 και 22 είναι κλειστές και ο μηχανισμός ασφαλείας 23 έχει ενεργοποιηθεί Ανάψετε τον κεντρικό Διακόπτη Δυναμικού χρησιμοποιώντας το διακόπτη 1. (Ο λαμπτήρας 1 θα ανάψει) Προσδιορίστε χρησιμοποιώντας το διακόπτη 4 την απαιτούμενη χρονική διάρκεια Τοποθετείστε το διακόπτη 11 για τη ψηλή τάση, V A, στη θέση "1" και μετά ενώστε τη ψηλή τάση δυναμικού V A πιέζοντας το διακόπτη 12. (Οι λαμπτήρες 9 και 18 ανάβουν, ένδειξη ότι έχουμε ακτίνες X) Καθορίστε την τάση δυναμικού V A με το σταδιακό διακόπτη 11 και το ρεύμα εκπομπής IEM με το διακόπτη 13 στην αναγκαία τιμή για το πείραμα Σημειώσεις. Διακόπτης 10: Διακόπτης για τη ψηλή τάση δυναμικού V A. Η ψηλή τάση δυναμικού μπορεί να αποσυνδεθεί εάν η καθορισμένη ώρα έχει τελειώσει, με το διακόπτη ασφαλείας που είναι τοποθετημένος για τις συρόμενες πόρτες 22 ή 21 Διακόπτης 12: Διακόπτης για τη σύνδεση της τάσης ψηλού δυναμικού Uz. Το 8
Να ακολουθηθεί η κάτω διαδικασία για τη εκτέλεση του πειράματος: 1. Ανάψατε τη συσκευή των ακτινών Χ από τον διακόπτη (1). Διαλέξατε χρόνο λειτουργίας > 1 ώρας στο ρολόι (4). Ρυθμίστε την υψηλή τάση ανόδου V A στη βαθμίδα 1 του πολλαπλού διακόπτη (11). Πιέστε το διακόπτη (12) για να ενεργοποιηθεί η συσκευή. Θέσατε την υψηλή τάση στη θέση 8 με τον πολλαπλό διακόπτη (11). Κατόπι θέσατε το ρεύμα εκπομπής IEM στο 1 ma με τον μοχλό (13). 2. Διαβάστε την τάση V, που είναι ανάλογη της υψηλής τάσης V A, στο βολτόμετρο σύμφωνα με την σχέση VA 3 2 10 V [V] (6) 3. Με τα ρυθμιστικά κουμπιά (5,6,7), θέσατε το μηχανισμό του περιστρεφόμενου μονοκρυστάλλου στην γωνιακή τιμή (crystal angle) θ = 2.5 ο (δείκτης (14)), και στη γωνία του σωλήνα μετρητή (cοunter tube angle) 2θ = 5 ο (δείκτης (15)) στο ίδιο εξάρτημα 4. Μετρήσατε τον αριθμό παλμών σε χρονική περίοδο 100 s 5. Αυξήσατε την γωνία θ σταδιακά από τις 0.5 ο ως τις 6.5 ο, και μετρήσατε τον αριθμό των παλμών σήματος μέσα στα 100 s κάθε φορά. 6. Με τον διακόπτη (11) χαμηλώσατε την τάση σταδιακά, ώσπου να φθάσει στη θέση 2.. Κάθε φορά προσδιορίσατε την τάση V A σύμφωνα με την Εξ. 6, και επαναλάβατε τη μέτρηση του αριθμού των παλμών Ν = f(θ) (δηλ. το φάσμα πεδήσεως), όπως παραπάνω στο 2 και 3. Να γραφθούν τα διάφορα φάσματα σαν συναρτήσεις της γωνίας θ. Παρατηρήσατε ότι στο όριο του φάσματος στην πλευρά των υψηλών ενεργειών, ενώ θεωρητικά πρέπει να διακοπεί απότομα στο θmin, το οποίο αντιστοιχεί στο λmin, εν τούτοις το χείλος αποκρύβεται λόγω επήρειας μηχανικών περιορισμών της συσκευής. Ο τρόπος εξαγωγής της τιμής αυτής δείχνεται στο Σχ.6. Παρατηρήσατε την μετατόπιση του φάσματος πεδήσεως σε μεγαλύτερες γωνίες θ, όσο ελαττώνεται η τάση VA. N λ min Θ,λ Σχήμα 6 - Γραφικός προσδιορισμός του μήκους κύματος διακοπής λmin,ή θmin, με επέκταση της καμπύλης των μετρήσεων Ν = f(θ)
Ερωτήσεις 1. Να υπολογισθούν τα λmin από τις γωνίες θmin με την εξίσωση του Bragg. 2. Να δειχθεί γραφικά η σχέση Εξ.2 : λmin στον άξονα y και 1/VA στον άξονα x. Nα υπολογισθεί η κλίση της γραμμής. Να υπολογισθεί η τιμή της σταθεράς του Planck, h [J.s], από την κλίση της γραμμής στην Ερώτηση 2, και τις τιμές των σταθερών. e = στοιχειώδες φορτίο = 1.6021 x 10-19 C c = ταχύτης του φωτός στο κενό = 2.9979 x 10 8 m/s 3. Να συγκριθεί η ευρεθείσα τιμή με την παραδεδεγμένη τιμή της σταθεράς του Planck Ερωτήσεις για την κατανόηση της αρχής λειτουργία του πειράματος 1. Δώστε μια ιστορική αναδρομή των ακτίνων X 2. Περιγράψετε το θεωρητικό υπόβαθρο για τη δημιουργία των ακτίνων Χ καθώς και την τεχνική παραγωγής τους. 3. Περιγράψετε το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (μήκος κύματος, συχνότητα, ενέργεια από τα ραδιοκύματα μέχρι την ακτινοβολία γ). Τοποθετείστε τις ακτίνες Χ στο πιο πάνω φάσμα. 4. Δώστε μια λεπτομερή περιγραφή της συσκευής παραγωγής ακτίνων Χ που χρησιμοποιούμε στο πείραμα αυτό. 5. Περιγράψετε τον ανιχνευτή ακτίνων Χ που χρησιμοποιείται στο πείραμα. Εξηγείστε τον τρόπο λειτουργίας του. 6. Περιγράψετε τις συνδέσεις του απαριθμητή που χρησιμοποιείται στο πείραμα. 7. Τι είναι οι κρυσταλλικές δομές; 8. Περιγράψετε την περίθλαση Bragg. Πως χρησιμοποιούμε στο συγκεκριμένο πείραμα τις ακτίνες Χ για τη ανίχνευση της κρυσταλλικής δομής του δείγματος; 9. Περιγράψετε τη συσκευή XRD. Πώς χρησιμοποιείται αυτή συσκευή σε ερευνητικά εργαστήρια, για την ανεύρεση της κρυσταλλικής δομής των υλικών; Υπολογίστε τη σταθερά του Planck χρησιμοποιώντας τα μεγέθη που μετρούνται στο πείραμα 10