ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ
2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του παρόντος έργου µε οποιονδήποτε τρόπο ή µέσο, µηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό ή άλλο, απαγορεύεται χωρίς προηγούµενη γραπτή άδεια του συγγραφέα. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ & ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ ΑΥΛΙ ΟΣ 3, ΜΕΛΙΣΣΙΑ, 151 27, ΤΗΛ. 2108047458 ΖΑΪΜΗ 31-33, ΑΘΗΝΑ 106 83, ΤΗΛ 2108232823 ISBN 960-7258-70-3
Στον αδελφό µου Στέφανο, που µου είχε ζητήσει να γράψω αυτό το βιβλίο.
Αριστοτέλης (384-322 πχ) Ευκλείδης (330-270 πχ) ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Γαλιλαίος (1564-1642) Νεύτωνας (1642-1727)
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 1.1. Κλασική θεώρηση του χωρο-χρόνου 1.2. Μετασχηµατισµοί στο χωρο-χρόνο 1.3. Εξέλιξη στο χωρο-χρόνο 1.4. Ντετερµινισµός και σχετικότητα 1.5. Το αίτιο της κίνησης 1.6. Ορµή και στροφορµή 1.7. Ερωτήµατα και προβληµατισµοί 2. ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 2.1. Κίνηση σε πεδία δυνάµεων 2.2. Έργο ενός πεδίου δυνάµεων 2.3. Στροβιλισµός ενός πεδίου δυνάµεων 2.4. Κεντρικά πεδία δυνάµεων 2.5. Κινήσεις ουρανίων σωµάτων 2.6. Ερωτήµατα και προβληµατισµοί 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 3.1. Αδρανειακό κέντρο 3.2. Θεσεογραφικός χώρος 3.3. Τελεστής περιστροφής 3.4. Τελεστής αδράνειας 3.5. Εξισώσεις της κίνησης 3.6. Ερωτήµατα και προβληµατισµοί 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 4.1. Ευκλείδειοι και αφινικοί χώροι 4.2. Ισοµετρίες στους ευκλείδειους χώρους 4.3. Συντεταγµένες στους ευκλείδειους χώρους 4.4. Συστήµατα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων 4.5. ιαφορικές µορφές στους ευκλείδειους χώρους 4.6. Τοπικά πρότυπα συναρτήσεων δυναµικού 4.7. Τοπική ύπαρξη συναρτήσεων δυναµικού 4.8. Γαλιλαίος και Νεύτωνας 4.9. Lagrange και Hamilton
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο βιβλίο αυτό περιέχονται οι διαλέξεις που έχω απευθύνει τα πρόσφατα χρόνια στους τριτοετείς φοιτητές του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Πατρών στο προβλεπόµενο πλαίσιο του εξαµηνιαίου µαθήµατος της Κλασικής Μηχανικής. Το µάθηµα αυτό έχει ως σκοπό την κατανόηση και ερµηνεία φυσικών φαινοµένων που βρίσκονται στο επίκεντρο της Κλασικής Φυσικής, στο σκεπτικό της Μαθηµατικής Επιστήµης. Τα µαθήµατα Απειροστικού και ιαφορικού Λογισµού, ιαφορικών Εξισώσεων, Γεωµετρίας, Άλγεβρας και Γραµµικής Άλγεβρας, που έχουν ήδη διδαχθεί στα προηγούµενα έτη, προσφέρουν τη δυνατότητα ουσιαστικής συµµετοχής των φοιτητών στη διδασκαλία της Κλασικής Μηχανικής. Πέρα όµως από τη διδασκαλία και το διάλογο στο αµφιθέατρο είναι αναγκαία η ενεργός συµµετοχή τους στις φροντιστηριακές οµάδες όπου υπάρχει µεγαλύτερη ευχέρεια άσκησης, συνεργασίας και ανάπτυξης συλλογισµών. Οι φοιτητές, εκτός από το βιβλίο αυτό που έχουν στη διάθεσή τους, είναι σηµαντικό να αναζητήσουν στη βιβλιοθήκη αντίστοιχα βιβλία άλλων Πανεπιστηµίων προκειµένου να µορφώσουν άποψη και εικόνα διαφορετικών διδακτικών προσεγγίσεων. Άλλωστε, ζητούµενο της µαθησιακής διαδικασίας είναι η ανάπτυξη κριτικής επιστηµονικής σκέψης που οδηγεί στην ευρύτερη αντίληψη. Στο διεθνή ακαδηµαϊκό χώρο εκτιµάται ιδιαίτερα και χρησιµοποιείται συχνά στη διδασκαλία του γνωστικού αυτού αντικειµένου το εξαιρετικό σύγχρονο σύγγραµµα: Vladimir I. Arnold: Μαθηµατικές Μέθοδοι της Κλασικής Μηχανικής. * Εκφράζω τις ευχαριστίες µου στους φοιτητές που µε την ενεργό συµµετοχή τους στη µαθησιακή διαδικασία συµβάλλουν ουσιαστικά στην εξέλιξη του µαθήµατος, στους επιστηµονικούς συνεργάτες που έχουν την ευθύνη της φροντιστηριακής διδασκαλίας και στους συναδέλφους που έχουν συνεισφέρει στη διδασκαλία του µαθήµατος. Τη φιλική και συναδελφική εκτίµησή µου εκφράζω στον Τάσο Μπούντη, Καθηγητή Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Πατρών, µε τον οποίο, πέρα από την αγαστή συνεργασία στη διδασκαλία της Κλασικής Μηχανικής, µοιραζόµαστε για περίπου 20 χρόνια τη χαρά προσφοράς επιστηµονικής γνώσης στους φοιτητές των Μεταπτυχιακών Σχολείων Τάξης, Πολυπλοκότητας και Χάους. Ευχαριστώ τους φίλους, Γιώργο Φακιολάκη, Καθηγητή Πληροφορικής στην Εθνική Εστία Επιστηµών, και, ιονύση Βαβουγιό, Επίκουρο Καθηγητή Φυσικής στο Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, αναγνωρίζοντας την αµέριστη συµπαράστασή τους στην ολοκλήρωση αυτού του βιβλίου. Σπύρος Ν. Πνευµατικός Καθηγητής Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών Πάτρα, Νοέµβριος 2005. * Ρωσική έκδοση: Εκδόσεις Hayka, Μόσχα 1974, Γαλλική έκδοση: Εκδόσεις Mir, Μόσχα 1976, Αµερικανική έκδοση: Εκδόσεις Springer-Verlag, Νέα Υόρκη 1978. Πανεπιστηµιακές Σηµειώσεις Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης, 1982.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Κλασική Μηχανική σηµατοδοτεί την πρώτη µεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέψης, µετά τις φιλοσοφικές και επιστηµονικές αναζητήσεις που αναπτύχθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, στην προσπάθεια κατανόησης του φυσικού κόσµου. Οι βαθυστόχαστες σκέψεις του Αριστοτέλη και η θεµελίωση της Γεωµετρίας από τον Ευκλείδη διαµόρφωσαν το επιστηµονικό υπόβαθρο όπου, πολλούς αιώνες αργότερα, στηρίχτηκαν ο Γαλιλαίος και ο Νεύτωνας προκειµένου να θεµελιώσουν τη σύγ-χρονη αντίληψη της Φυσικής δίνοντας παράλληλα το έναυσµα στη νεότερη εξέλιξη των Μαθηµατικών. Galileo Galilei: Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 1632. Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687.