ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος, στο σύγγραμμά του Διάλογος των Συστημάτων του Κόσμου, διαμόρφωσε μια νέα αντίληψη για την ερμηνεία της φυσικής πραγματικότητας, διαφορετική από την έως τότε επικρατούσα αριστοτελική παράδοση Από τα κείμενά του αναδύονται οι αντιλήψεις στις οποίες θεμελιώθηκε η Κλασική Μηχανική Το μαθηματικό πρότυπο του χρόνου και του χώρου αποκτά ορθολογική πληρότητα, εναρμονισμένη με τις γαλιλαϊκές αντιλήψεις, εφόσον προσδιοριστούν οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί του χωροχρόνου που αφήνουν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δομή του Πρόκειται για τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς που, από φυσική άποψη, εκφράζουν την ομογένεια του χρόνου, την ομογένεια και ισοτροπία του χώρου και την αδρανειακή συμπεριφορά της φύσης όπως την περιέγραψε ο Γαλιλαίος Στον αριθμητικό χώρο-χρόνο, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χαρακτηρίζονται από το ότι διατηρούν αμετάβλητες τις χρονικές αποστάσεις των γεγονότων, τις χωρικές αποστάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων και τον προσανατολισμό του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων Αυτό σημαίνει ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί προκύπτουν από τη σύνθεση των χρονικών μεταφορών, των χωρικών μεταφορών, των χωρικών στροφών και των χωρικών αδρανειακών μετατοπίσεων Galile Galilei : Dialgvs de Systemate Mvndi, 6

2 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Συνεπώς, κάθε γαλιλαϊκός μετασχηματισμός: εκφράζεται ως εξής: g, g :, (, t) (, t) g (, t) ( Sv t, tt ) και οι συνιστώντες γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ορίζονται ως εξής: χρονική μεταφορά: (, t) (, t t ) t, χωρική μεταφορά: (, t) (, t), χωρική στροφή: (, t) ( S, t) S (), αδρανειακή μετατόπιση: (, t) ( v t, t) v Το σύνολο των γαλιλαϊκών μετασχηματισμών, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης, αποτελεί μη αντιμεταθετική ομάδα που καλείται γαλιλαϊκή ομάδα και κάθε στοιχεί της καθορίζεται από τις τιμές 0 παραμέτρων: t, (,,, ), v v v v (,,, ), () S Η δράση της γαλιλαϊκής ομάδας στον αριθμητικό χώρο-χρόνο εκφράζεται ως εξής: v S v v t t t Οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί με μηδενική χρονική παράμετρο συγκροτούν μια υποομάδα της γαλιλαϊκής ομάδας που δρα ισομετρικά στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων διατηρώντας το χωρικό προσανατολισμό Άρα πρόκειται για χωρικές στροφές ακολουθούμενες από χωρικές μεταφορές και χωρικές αδρανειακές μετατοπίσεις Οι χωρικές στροφές συνιστούν μια αντμεταθετική ομάδα που τα στοιχεία της χαρακτηρίζονται ως εξής: S () T SS & det S ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συνεπώς, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκφράζονται ως εξής: v t S vt v t Κάθε χωρική στροφή εκτελείται γύρω από τον ιδιοάξονά της που προσανατολίζεται με την επιλογή ενός μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος Αυτό το ιδιοδιάνυσμα και δυο ακόμη κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου, με κατάλληλη διάταξη, συγκροτούν μια θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση στην οποία η χωρική στροφή, ακολουθούμενη από τη μεταφορά και την αδρανειακή μετατόπιση, εκφράζεται ως εξής: cs sin 0 v t sin cs 0 vt 0 0 vt Ο υπολογισμός της γωνίας στροφής προκύπτει από το ότι το ίχνος των πινάκων των γραμμικών μετασχηματισμών διατηρείται αναλλοίωτο κατά τις αλλαγές βάσης, άρα: S cstr S cs tr Ο προσανατολισμός της γωνίας στροφής προκύπτει από τη φορά του μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος που προσανατολίζει τον ιδιοάξονα περιστροφής και καθορίζεται από την ακόλουθη σχέση που ισχύει για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου: sin det, S,, Στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς του τρισδιάστατου χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων, ο πίνακας της στροφής γύρω από τον άξονα που ορίζεται από το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα =(,, ) εκφράζεται ως εξής: ( cs ) cs ( cs ) (sin ) ( cs ) (sin ) ( cs ) (sin ) ( cs ) cs ( cs ) (sin ) ( cs ) (sin ) ( cs ) (sin ) ( cs ) cs Κάθε ισομετρία αποσυντίθεται μονοσήμαντα σε ένα ορθογώνιο μετασχηματισμό ακολουθούμενο από μια μεταφορά Οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα των βάσεων και αυτοί που επιπλέον διατηρούν τον προσανατολισμό είναι ακριβώς οι χωρικές στροφές, δηλαδή τα στοιχεία της ομάδας χωρικών στροφών () ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

4 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Παραδείγματα γαλιλαϊκών μετασχηματισμών στον αριθμητικό χώρο-χρόνο Στον αριθμητικό χώρο-χρόνο θεωρούμε το χωροχρονικό μετασχηματισμό: g, g :, (, t) ( Svt, tt) που ορίζεται αριθμητικά ως εξής: t t 0 Πρόκειται για γαλιλαϊκό μετασχηματισμό αφού: T SS & det S Η χρονική παράμετρος είναι μηδενική, t 0, και έτσι ο γαλιλαϊκός μετασχηματισμός δρα αποκλειστικά στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων ως εξής: 0 0 t 0 0 t 0 0 t Στο μετασχηματισμό αυτό υπεισέρχονται οι παράμετροι της αδρανειακής μετατόπισης ( v, v, v) (,,), της χωρικής μεταφοράς (,, ) (,,) και της χωρικής στροφής που, όπως διακρίνουμε, ορίζουν στροφή γωνίας / γύρω από τον τρίτο άξονα του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων: cs / sin / 0 t sin / cs / 0 t 0 0 t Τα χαρακτηριστικά της χωρικής στροφής δεν είναι πάντα ευδιάκριτα αλλά εύκολα υπολογίσιμα και για το σκοπό αυτό αρκεί να κατασκευάσουμε την κατάλληλη ορθοκανονική βάση στην οποία προκύπτει η κανονική της έκφραση όπως ήδη υποδείχτηκε στην προηγούμενη ενότητα Για παράδειγμα, στον ακόλουθο γαλιλαϊκό μετασχηματισμό, με μηδενική χρονική παράμετρο, εκτός από την αδρανειακή μετατόπιση και τη χωρική μεταφορά, εμπεριέχεται χωρική στροφή γωνίας / γύρω από τον άξονα που ορίζεται στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων από το ιδιοδιάνυσμα (,,) : ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

5 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ / / / v / / / v / / / v t t 0 Πρόκειται πράγματι για γαλιλαϊκό μετασχηματισμό αφού: T SS & det S Στον αριθμητικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκφράζεται ως εξής: v t vt vt Η χωρική στροφή πραγματοποιείται γύρω από την ιδιοδιεύθυνση που ορίζεται από την χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακά της ως εξής: και την οποία προσανατολίζουμε με την επιλογή του ιδιοδιανύσματος: (,,) Συγκροτούμε μια θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση αποτελούμενη από το μοναδιαίο διάνυσμα του ιδιοάξονα και δυο μοναδιαία κάθετα μεταξύ τους διανύσματα του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου: (,, ) / 0 Στην ορθοκανονική αυτή βάση του αριθμητικού χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων ο γαλιλαϊκός μετασχηματισμός αποκτά την ακόλουθη έκφραση: cs sin 0 v t 0 0 sin cs 0 v0t v0t 0 Η ορθοκανονική αυτή βάση του αριθμητικού χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων μπορεί για παράδειγμα να συγκροτηθεί ως εξής: /, /,0, 6/6, 6/6, 6/, /, /, / και ο θετικός προσανατολισμός της να ελεγχθεί ως εξής:, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

6 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 5 Ο πίνακας της χωρικής στροφής που εμπεριέχεται στο γαλιλαϊκό μετασχηματισμό εκφράζεται αντίστοιχα στις δυο ορθοκανονικές βάσεις ως εξής: S και cs sin 0 S sin cs Επειδή το ίχνος ενός πίνακα δεν επηρεάζεται από την αλλαγή βάσης, προκύπτει: cs / και ο προσανατολισμός της στροφής προκύπτει από την ακόλουθη σχέση που ισχύει για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα u : sin det u, Su, / / Η νέα ορθοκανονική βάση στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Η σχέση των δυο ορθοκανονικών βάσεων του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων εκφράζεται ως εξής: /e /e 0e, 6/6e 6/6e 6/e, /e /e /e, και η μετάβαση του πίνακα της χωρικής στροφής από τη μια βάση στην άλλη καθορίζεται από τη σχέση: P SP S όπου ο πίνακας μετάβασης οφείλει στην περίπτωση αυτή να είναι ορθογώνιος: P / 6/6 / / 6/6 / 0 6/ / P / / 0 6/6 6/6 6/ / / / / / 0 / / / / 6/6 / cs sin 0 6/6 6/6 6/ / / / / 6/6 / sin cs 0 / / / / / / 0 6/ / 0 0 ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

7 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: Τι σε πείθει για το ότι ο χρόνος είναι ομογενής και ο χώρος είναι ομογενής και ισότροπος; Πες μου, γιατί σε ενδιαφέρουν αποκλειστικά οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί και όχι όλοι οι μετασχηματισμοί του χωροχρόνου; Πες μου, γιατί στους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς θέλεις να συμπεριληφθούν οι αδρανειακές μετατοπίσεις και δεν σου αρκούν οι χωρικές μεταφορές στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων; 4 Πες μου, γιατί θέλεις οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί να διατηρούν τον προσανατολισμό του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: Λες ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί συγκροτούν μια ομάδα Γιατί πρέπει να μου προκαλέσει ενδιαφέρον η συγκρότησή τους σε ομάδα; Λες ότι η γαλιλαϊκή ομάδα δεν είναι αντιμεταθετική Πες μου τι σημαίνει αυτό από μαθηματική άποψη ώστε να αντιληφθώ το φυσικό του νόημα Λες ότι η γαλιλαϊκή ομάδα διαθέτει αντιμεταθετικές υποομάδες; Πες μου ποιες είναι αυτές οι αντιμεταθετικές υποομάδες ώστε να αναζητήσω το φυσικό τους νόημα 4 Πες μου ποια είναι η μαθηματική διαφορά μεταξύ αδρανειακής μετατόπισης και χωρικής μεταφοράς, ώστε να πειστώ ότι συμπίπτουν οι απόψεις μας 5 Λες ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί αφήνουν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δομή του χωροχρόνου Τι σημαίνει αυτός ο μαθηματικός όρος; 6 Γιατί ισχυρίζεσαι ότι η ομογένεια του χρόνου και του χώρου εκφράζονται με τις χρονικές και τις χωρικές μεταφορές και ότι η ισοτροπία του χώρου εκφράζεται με τις χωρικές στροφές; 7 Λες ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί είναι χρονικές και χωρικές ισομετρίες, αλλά δεν συμπεριλαμβάνεις σε αυτούς όλες τις χωρικές ισομετρίες Εξήγησε μου το γιατί 8 Πώς αποδεικνύεις το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων; 9 Oι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί που ορίζουν τις αδρανειακές μετατοπίσεις στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων συγκροτούν αντιμεταθετική υποομάδα της γαλιλαϊκής ομάδας; ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ