ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Εαρινο Εξάµηνο Ρόδος, Ιούνιος 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: «ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΘΕΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ» Διδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ(*) Οι µαθητές έχουν αρκετές εµπειρίες µε τις έννοιες της γεωµετρίας, προτού ακόµα φοιτήσουν στο δηµοτικό σχολείο. Στην καθηµερινή τους ζωή ταξινοµούν τα παιγνίδιά τους ανάλογα µε το σχήµα ή το µέγεθός τους, ανακαλύπτουν τις ιδιότητες των σχηµάτων των παιγνιδιών τους και αναγνωρίζουν τα ονόµατά πολλών σχηµάτων. Οι γνώσεις αυτές των µαθητών πρέπει να αποτελέσουν τη βάση του αναλυτικού προγράµµατος της γεωµετρίας για την ανάπτυξη των εννοιών του χώρου και της µέτρησης. Παρόλο που τα εγχειρίδια των µαθηµατικών περιλαµβάνουν ενότητες γεωµετρίας, οι δάσκαλοι, πολλές φορές, δίνουν πολύ λίγη σηµασία στις έννοιες της γεωµετρίας (Fuys et al., 1992). Ωστόσο, τα σύγχρονα προγράµµατα των µαθηµατικών τονίζουν τη σπουδαιότητα της γεωµετρίας τόσο ως αυτόνοµου θέµατος όσο και ως µέσου για την ανάπτυξη πλείστων της γεωµετρίας µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως µέσο για την κατανόηση και ανάπτυξη του πολλαπλασιασµού ως συνεχούς πρόσθεσης ή ως διάταξης ( ραστηριότητα 1), των κλασµατικών αριθµών (δείτε σχετικό κεφάλαιο) κτλ. ραστηριότητα 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Πολλαπλασιασµός 2 x 3 σε αριθµητική γραµµή Πολλαπλασιασµός 2 x 3 σε διάταξη
Παράλληλα, η γεωµετρία παρέχει το πλαίσιο για την εξελικτική ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης. Το περιεχόµενο της γεωµετρίας είναι κατάλληλο τόσο για την ανάπτύξη κατώτερης µαθηµατικής σκέψης, όπως η αναγνώριση σχηµάτων, όσο και ανώτερης µαθηµατικής σκέψης, όπως η ανακάλυψη ιδιοτήτων των σχηµάτων, η δηµιουργία γεωµετρικών µοτίβων και η λύση µαθηµατικών προβληµάτων. Με αυτόν τον τρόπο η γεωµετρία αποτελεί το µέσο πραγµάτωσης των υπό έµφαση στόχων των µαθηµατικών, όπως είχαν καταγραφεί στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου, δηλαδή, της επίλυσης προβλήµατος, της επικοινωνίας και της ενοποίησης των µαθηµατικών. Στο πρώτο µέρος του κεφαλαίου αυτού θα ασχοληθούµε µε τους τρόπους µε τους οποίους οι µαθητές αναπτύσσουν την έννοια του χώρου. Στην συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τα στάδια ανάπτυξης της γεωµετρικής σκέψης, σύµφωνα µε το µοντέλο των van Hiele, και τέλος, θα δώσουµε µερικές εισηγήσεις για αξιολόγηση των µαθητών στις έννοιες της γεωµετρίας. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Σύµφωνα µε τον Piaget, η ανάπτυξη των γεωµετρικών ιδεών είναι εξελικτική και σχετίζεται άµεσα µε την ηλικία των παιδιών. Οι πρώτες έννοιες του παιδιού σχετίζονται µε το χώρο, γιατί είναι προλογικές, αφού το παιδί αντιµετωπίζει και διερευνά το περιβάλλον του χωρίς τη συνεπικουρία της γλώσσας. Η σκέψη του παιδιού κυριαρχείται από τις ερµηνείες που δίνει για τις εµπειρίες που αποκτά µέσω των αισθήσεων του. Η ανάπτυξη της γεωµετρικής σκέψης ριζώνει µε την επαφή του παιδιού µε το ευγενώς γεωµετρικό περιβάλλον. Η µελέτη των σχεδίων των παιδιών, στα πρώτα τους χρόνια, προσφέρει ενδείξεις για το πώς αναπτύσσεται η αντίληψη του παιδιού για το χώρο. Στις ενδείξεις αυτές στηρίχθηκαν οι πρώτες έρευνες του Piaget µε βάση τις οποίες κατέληξε στο συµπέρασµα ότι η ευκλείδεια γεωµετρία, που κυριαρχεί στα σχολεία όλου του κόσµου εδώ και 2000 χρόνια, δεν εναρµονίζεται µε το εξελικτικό στάδιο του παιδιού των πρώτων τάξεων του δηµοτικού σχολείου. Ο Piaget υποστήριζε ότι οι πρώτες έννοιες του παιδιού για το χώρο είναι τοπολογικές. Τα αποτελέσµατα των ερευνών του Piaget είχαν επιβεβαιωθεί και από άλλες έρευνες που έκαναν οι Pyshkalo (1981), Reifel (1984) και Robinson (1975). Με βάση τις εισηγήσεις των τελευταίων, είχαν εισαχθεί σε ορισµένα αναλυτικά προγράµµατα των µαθηµατικών διάφορες έννοιες της τοπολογίας. Σε µια έρευνα του όµως ο Schipper (1983), στην οποία έλαβαν µέρος περισσότερα από 600 παιδιά της Α τάξης, έδειξε ότι οι µαθητές µπορούν να απαντήσουν ορθά 70% των ερωτήσεων µε τοπολογικό περιεχόµενο, χωρίς προηγουµένως να διδαχθούν τοπολογία. Επιπρόσθετα, ισχυρίσθηκε ότι οι µαθητές µπορούν να διδαχθούν µε κατανόηση την ευκλείδεια γεωµετρία, χωρίς να προηγηθεί η τοπολογία. Ως αποτέλεσµα των αντιφάσεων της έρευνα στον τοµέα αυτό, γίνεται σήµερα αποδεκτό ότι αυτό που προέχεις τις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου είναι η ανάπτυξη της γεωµετρικής σκέψης µε δραστηριότητες που δίνουν την ευκαιρία στους µαθητές να οικοδοµήσουν τις γνώσεις τους. «Ο πρωταρχικός στόχος µας στη διδασκαλία της γεωµετρίας στο δηµοτικό σχολείο δεν είναι να διδάξουµε τα βασικά στοιχεία της τοπολογίας, ούτε να µεταδώσουµε τις γνώσεις µας για την ευκλείδεια
γεωµετρία. Αντί αυτού, το αρχικό πρόγραµµα της γεωµετρίας πρέπει να περιλαµβάνει δραστηριότητες γεωµετρίας που δίνουν έµφαση στον πειραµατισµό των παιδιών µε τη χρήση ποικίλων υλικών, όπως χαρτιού, ψαλιδιών, σπάγκου, κύβων και άλλων µοντέλων και που ενθαρρύνουν τους µαθητές να κατασκευάζουν και να σχεδιάζουν γεωµετρικά σχήµατα. Με λίγα λόγια το πρόγραµµα γεωµετρίας πρέπει να περιλαµβάνει δραστηριότητες κατασκευών, σχεδιάσµατος και σκέψης.» (Fuys και Liebov, 1992, σ.54). Με βάση αυτές τις σκέψεις οι Fuys και Liebov (1992) θέτουν ως πρωταρχικούς στόχους στο πρόγραµµα της γεωµετρίας των πρώτων τάξεων του δηµοτικού σχολείου: Το συντονισµό όρασης και κίνησης Την ερµηνεία των πληροφοριών που δέχονται οι µαθητές µέσω της όρασής τους Την ανάπτυξη της οπτικής µνήµης, όπως είναι οι νοεροί µετασχηµατισµοί και Την ανακάλυψη σχέσεων µεταξύ των διαφόρων µερών ενός σχήµατος. Τα παραδείγµατα που ακολουθούν αποτελούν εισηγήσεις για δραστηριότητες που αναπτύσσουν τους τρεις πιο πάνω στόχους. ραστηριότητες που αναπτύσσουν τον τέταρτο στόχο θα αναφερθούν σε άλλες σελίδες αυτού του κεφαλαίου. ραστηριότητα 2 Στόχος: Συντονισµός όρασης και κίνησης Να κατασκευάσεις µε κύβους και να ζωγραφίσεις το ίδιο σχήµα δίπλα. ραστηριότητα 3 Στόχος: Ανάπτυξη οπτικής µνήµης Βάλε σε κύκλο το σχήµα που είναι διαφορετικό από τα άλλα. ραστηριότητα 4 Στόχος: Ανάπτυξη νοερών µετασχηµατισµών. Συνέχισε το µοτίβο:
Κατανόηση γεωµετρικών εννοιών µε παράδειγµα αντιπαράδειγµα Οι µαθητές µπορούν να οικοδοµήσουν µια έννοια, αφού δουν ή έλθουν σε επαφή µε τις χαρακτηριστικές περιπτώσεις της έννοιας. Πολύ συχνά, δηλαδή, οι µαθητές χρησιµοποιώντας την επαγωγική µέθοδο δηµιουργούν µέσα στο µυαλό τους µια έννοια ή φτάνουν σε γενικεύσεις. Με βάση αυτές τις έννοιες κατηγοριοποιούν νέα παραδείγµατα της έννοιας και τα εντάσσουν ή όχι στο αντίστοιχο σχήµα, ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν. Ο τρόπος αυτός σχηµατισµού µιας έννοιας εµπερικλείει τον κίνδυνο να οδηγήσει τους µαθητές σε παρανοήσεις, εκτός και αν χρησιµοποιούνται κατάλληλα παραδείγµατα και αντιπαραδείγµατα (Clements & Battista, 1992). Η διδασκαλία των εννοιών µε τη µέθοδο των «παραδειγµάτων αντιπαραδειγµάτων» συµβάλλει στην ορθή κατανόηση και σχηµατισµό των εννοιών, όταν τα παραδείγµατα και αντιπαραδείγµατα συµπεριλαµβάνουν τις χαρακτηριστικές ιδιότητες της έννοιας. Σύµφωνα µε τους Clements & Battista (1992), η χρήση αντιπαραδειγµα των είναι πολύ πιο σηµαντική από τη χρήση παραδειγµάτων στις περιπτώσεις διδασκαλίας δύσκολων εννοιών. Το πιο κάτω παράδειγµα διασφηνίζει την κατανόηση της έννοιας των παραλληλογράµµων µε τη χρήση παραδειγµάτων και αντιπαραδειγµάτων. ραστηριότητα 5 Παράδειγµα Αντιπαράδειγµα : Παραλληλόγραµµα Είναι παραλληλόγραµµα: εν είναι παραλληλόγραµµα: Ποια από τα πιο κάτω είναι παραλληλόγραµµα;
Τι είναι παραλληλόγραµµο; Ευθύγραµµα σχήµατα Σύµφωνα µε τους Cruikshang και Sheffield (1988), οι µαθητές που είναι ικανοί να αναγνωρίζουν παρόµοια σχήµατα σε διάφορες καταστάσεις ή που µπορούν να ζωγραφίσουν ένα σχήµα που τους δίνεται, µπορούν να προχωρήσο6υν σε πιο συστηµατική µελέτη της ευκλείδειας γεωµετρίας. Οι Piaget και Inhelder (1967) έχουν δείξει ότι η µάθηση των σχηµάτων προϋποθέτει δύο αλληλοεξαρτώµενες πράξεις. Η πρώτη αναφέρεται στην ικανότητα των παιδιών να δείχνουν µε τα δάκτυλά τους το περίγραµµα ενός σχήµατος και η δεύτερη αναφέρεται στην ικανότητά τους για οπτική αντίληψη του σχήµατος. Τονίζεται ότι δεν είναι αρκετό για τους µαθητές απλώς να δουν ένα σχήµα. Χρειάζεται συστηµατική παρουσίαση των σχηµάτων µε διάφορα εποπτικά µέσα και ενασχόληση των µαθητών µε ποικιλία δραστηριοτήτων, όπως αυτές που παρουσιάζονται στη συνέχεια. ραστηριότητα 6 Στόχος: Κατανόηση επίπεδων σχηµάτων 1. ίνονται στους µαθητές τα «σχήµατα ιδιοτήτων» και ζητείται από αυτούς να κάνουν δικές τους κατασκευές. Κάνουν επίσης µοτίβα και τα περιγράφουν. 2. Οι µαθητές κατασκευάζουν «κινέζικα τετράγωνα» και µε αυτά δηµιουργούν άλλα σχήµατα και απαντούν σε ερωτήσεις, όπως: Πάρε δύο κοµµάτια από το κινέζικο τετράγωνο και κάνε ένα τρίγωνο, ένα τραπέζιο και ένα παραλληλόγραµµο. Κάνε ένα τετράγωνο: (α) µε 2 κοµµάτια, (β) µε τρία κοµµάτια, (γ) µε τέσσερα κοµµάτια, (δ) µε πέντε κοµµάτια. 3. Οι µαθητές κατασκευάζουν διάφορα σχήµατα στο βελονοπίνακα και απαντούν σε ερωτήσεις, όπως:
Μπορείς να κάνεις στο βελονοπίνκακα ένα τετράπλευρο που να έχει δύο πλευρές ίσες; Μπορείς να κάνεις ένα οκτάγωνο που να έχει τέσσερις πλευρές ίσες; ραστηριότητα 7 Στόχος: Οι µαθητές να ανακαλύψουν ποια σχήµατα µπορούν να καλύψουν πλήρως µια επιφάνεια. 1. Οι µαθητές χρησιµοποιούν τα σχήµατα µοτίβων και καλύπτουν µια επιφάνεια µε διάφορα σχήµατα (τοίχωµα, τετράγωνα, εξάγωνα) ή συνδυασµούς σχηµάτων (τρίγωνα και τετράγωνα, εξάγωνα και τρίγωνα κτλ.), για να εξαγάγουν τον κανόνα πλήρους κάλυψης των επιπέδων (δείτε σχετική άσκηση στις εργασίες στο τέλος του κεφαλαίου). ραστηριότητα 8 Στόχος: Κατανόηση της έννοιας της γωνίας 1. Οι µαθητές περπατούν σε ευθεία γραµµή και σε κάποιο σηµείο αλλάσσουν κατεύθυνση. Ορίζουν µε άτυπο τρόπο την έννοια την γωνίας ως «αλλαγή της κατεύθυνσης», όπως φαίνεται στο σχήµα πιο κάτω. 2. Οι µαθητές αναγνωρίζουν στα σχήµατά τους γωνίες. 3. ίνουν οδηγίες στη χελώνα της logo να σχηµατίσει διάφορες γωνίες στην οθόνη του ηλεκτρονικού υπολογιστή. ραστηριότητα 9 Στόχος: Οι µαθητές να κατανοήσουν την έννοια της συµµετρίας. 1. Οι µαθητές διπλώνουν σχήµατα, για να ανακαλύψουν τους άξονες συµµετρίας. 2. Οι µαθητές κάνουν συλλογές συµµετρικών αντικειµένων που βρίσκονται στο περιβάλλον τους, όπως διάφορα φύλλα δέντρων. 3. Οι µαθητές περιστρέφουν σχήµατα, για να διαπιστώσουν ότι παραµένουν αµετάβλητα.
4. Οι µαθητές προβλέπουν το σχήµα που θα προκύψει, µετά το κόψιµο ενός κοµµατιού χαρτιού, όταν είναι δεδοµένος ο άξονας συµµετρίας, όπως φαίνεται στην πιο κάτω άσκηση: Να µαντέψεις το σχήµατα που θα προκύψεις, αν κόψουµε το χαρτί στο σηµείο της διακεκοµµένης γραµµής. 5. Οι µαθητές βρίσκουν άξονες συµµετρίας µε τη χρήση καθρέφτη. Με τη βοήθεια του καθρέφτη (ή καλύτερα mira, αν υπάρχει) συµπληρώνουν σχήµατα, όταν δίνεται ο άξονας συµµετρίας. 6. Με τα «σχήµατα µοτίβων» οι µαθητές κατασκευάζουν συµµετρικά σχήµατα. 7. Οι µαθητές χρησιµοποιούν το βελονοπίνακα και κατασκευάζουν συµµετρικά σχήµατα, όπως φαίνεται πιο κάτω: 8. Οι µαθητές διερευνούν τα σχήµατα του αλφαβήτου, για να δουν ποια είναι συµµετρικά. ΠΟΛΥΕ ΡΑ Ο άνθρωπος περιβάλλεται από στερεά σώµατα. Γι αυτό πολλοί ερευνητές υποστήριξαν την άποψη ότι οι πρώτες γεωµετρικές έννοιες των παιδιών έχουν σχέση µε τα τρισδιάστατα σχήµατα και, εποµένως, η διδασκαλία της γεωµετρίας θα έπρεπε να αρχίζει µε τις έννοιες αυτές (Piaget & Inhelder, 1967). Παρ όλο αυτά οι έρευνες έχουν δείξει ότι οι µαθητές µαθαίνουν εξίσου καλά τις γεωµετρικές έννοιες είτε η διδασκαλία αρχίσει µε τα στερεά είτε µε τα επίπεδα σχήµατα. Αυτό που έχει σηµασία είναι η ποιότητα των δραστηριοτήτων που δίνονται στους µαθητές καθώς και τα προβλήµατα που αντιµετωπίζουν. Οι πιο κάτω δραστηριότητες έχουν ως στόχο να βοηθήσουν τους µαθητές να κατανοήσουν τις ιδιότητες των στερεών σωµάτων που συναντούν στο περιβάλλον τους. Τονίζεται ότι στις δραστηριότητες που ακολουθούν
σηµασία έχει ο διαδικαστικός χαρακτήρας της γεωµετρίας, γι αυτό και οι πλείστες δραστηριότητες εµπεριέχουν εργασίες για ταξινόµηση, κατασκευές και διερεύνηση. Οι Reys, Suydam και Lindquist (1989) διαχωρίζουν τις δρστηριότητες που αναφέρονται στα στερεά σε τρία επίπεδα: το αρχικό, µεσαίο και προχωρηµένο επίπεδο. Αρχικό επίπεδο: Στο επίπεδο αυτό η προσπάθεια επικεντρώνεται στη µάθηση των ονοµάτων των σχηµάτων µπορεί να γίνει µέσα από δραστηριότητες, όπως οι πιο κάτω: ραστηριότητα 10 Ποιο σχήµα είναι; Ο δάσκαλος παρουσιάζει τρία αντικείµενα στους µαθητές (µια µπάλα, ένα κώνο, ένα κουτί) και περιγράφει το ένα από αυτά (π.χ. είναι στρογγυλό γύρω - γύρω) και αφήνει τα απιδιά να µαντέψουν το σχήµα. Ποιο σχήµα είναι; Οι µαθητές ταξινοµούν τα στερεά ανάλογα µε την κίνηση που µπορούν να κάνουν. Για παράδειγµα µπορούν να ταξινοµήσουν τα αντικείµενα σε εκείνα που κυλούν (π.χ. µπάλα, κύλινδρος) και σε εκείνα που δεν µπορούν να κυλήσουν (π.χ. κύβος). Οι ταξινοµήσεις µπορούν να επεκταθούν χρησιµοποιώντας διάφορα κριτήρια ραστηριότητα 11 Σε τι µοιάζουν και σε τι διαφέρουν τα αντικείµενα; Ο δάσκαλος παρουσιάζει στην τάξη δύο αντικείµενα και ρωτά τους µαθητές να εντοπίσουν οµοιότητες και διαφορές. Οι δραστηριότητες αυτές µπορούν να επεκταθούν µε τρόπο που να περιλαµβάνουν τον αριθµό των εδρών ή των κορυφών των σχηµάτων. Μεσαίο επίπεδο: Σε αυτό το επίπεδο βασικός στόχος της διδασκαλίας είναι η ανακάλυψη µερικών σχέσεων και η εκµάθηση της τυπικής ονοµασίας των στερεών, όπως φαίνεται στα παραδείγµατα που ακολουθούν: ραστηριότητα 12 Κορυφές, ακµές και έδρες Μετά την εισαγωγή των όρων κορυφές, ακµές και έδρες οι µαθητές προσπαθούν να µαντέψουν το στερεό, ακολουθώντας τις οδηγίες πιο κάτω: (α) έχει 8 ακµές έχει 6 ακµές έχει 5 κορυφές Είµαι ένα στερεό που: έχει τον ίδιο αριθµό κορυφών και εδρών δεν έχει έδρες
έχει µια έδρα και δεν έχει κορυφές (β) Να βρεις το στερεό που έχει: Ακριβώς 2 έδρες ίσες Ακριβώς 3 έδρες ίσες Όλες τις ακµές ίσες Τρία διαφορετικά µήκη ακµών Να σχεδιάσετε τα πιο πάνω στερεά. Προχωρηµένο επίπεδο: Στο επίπεδο αυτό περιλαµβάνονται δραστηριότητες που αναφέρονται σε ιδιότητες των στερεών και σε πιο σχολαστικούς ορισµούς των εννοιών τους. ραστηριότητα 13 Α. Οι µαθητές απαντούν στις ερωτήσεις: Γιατί τα ράφια είναι παράλληλα προς το πάτωµα; Γιατί οι οροφές σε ορεινά θέρετρα δεν είναι παράλληλες προς το έδαφος; Β. Οι µαθητές κατασκευάζουν στερεά µε διάφορα υλικά, όπως καλαµάκια, πλαστελίνη κλωστές κτλ. Μετά τις κατασκευές αυτές οι µαθητές µπορούν να ανακαλύψουν το νόµο του Euler, σύµφωνα µε τον οποίο οι κορυφές, οι ακµές και έδρες ενός στερεού συνδέονται µε τη σχέση: Κορυφές + Έδρες = Ακµές + 2. Γ. ίνονται στους µαθητές αναπτύγµατα και τους ζητείται να πουν ποια από αυτά µπορούν να δώσουν συγκεκριµένα στερεά, όπως: Ποια από τα πιο κάτω µπορούν, αφού διπλωθούν, να µας δώσουν ένα τριγωνικό πρίσµα; ΕΠΙΠΕ Α ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ VAN HIELE Το µοντέλο των van Hiele προέκυψε από τις διδακτορικές διατριβές των Dina και Pierre van Hiele στο Πανεπιστήµιο της Ουτρέχτης το 1957. Το µοντέλο, που αποτελεί πρωτότυπη συµβολή στη διδασκαλία της Γεωµετρίας, αποτελείται από πέντε επίπεδα: Επίπεδο 0: το επίπεδο της σφαιρικής ή ολικής αντίληψης. Επίπεδο 1: το επίπεδο της ανάλυσης. Επίπεδο 2: το επίπεδο της άτυπης παραγωγικής σκέψης. Επίπεδο 3: το επίπεδο της παραγωγικής σκέψης και Επίπεδο 4: το καθαρά θεωρητικό επίπεδο.
Επίπεδο 0: το επίπεδο σφαιρικής ή ολικής αντίληψης Στο επίπεδο αυτό το παιδί γνωρίζει το χώρο ως κάτι που υπάρχει γύρω του και αντιλαµβάνεται τις γεωµετρικές µορφές ως ενιαίες οντότητες. Τα παιδιά, δηλαδή, αναγνωρίζουν τα γεωµετρικά σχήµατα από τις µορφές τους και όχι από τις ιδιότητές τους. Οι µαθητές που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο µπορούν να µάθουν τη γεωµετρική ορολογία που είναι συνυφασµένη µε δεδοµένα σχήµατα και να τα αναπαράγουν σχεδιάζοντάς τα ή κατασκευάζοντάς τα µε πρόχειρα υλικά. Για παράδειγµα, αν δοθο9ύν στους µαθητές τα πιο κάτω σχήµατα, µπορούν να διακρίνουν ότι σχήµατα που βρίσκονται στην οµάδα (α) είναι ορθογώνια και αυτά που βρίσκονται στην οµάδα (β) είναι τρίγωνα, γιατί τα έχουν ξανασυναντήσει. (α) (β) Επίπεδο 1: το επίπεδο της ανάλυσης Οι µαθητές που βρίσκουν στο επίπεδο της ανάλυσης µπορούν να διακρίνουν τα χαρακτηριστικά των σχηµάτων και να τα ταξινοµούν, ανάλογα µε τις ιδιότητες τους. Όταν, για παράδειγµα, δοθούν στους µαθητές ορθογώνια σχήµατα, µπορούν να παρατηρήσουν ότι αυτά έχουν όλες τις γωνίες και ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Το ίδιο µπορούν να κάνουν και µε τα παραλληλόγραµµα και πειραµατιζόµενοι µπορούν να αναχθούν σε γενικεύσεις. Παρ όλα αυτά, οι µαθητές σε αυτό το επίπεδο δεν µπορούν να αντιληφθούν της σχέσεις ανάµεσα στις ιδιότητες των σχηµάτων και να δουν τις σχέσεις ανάµεσα σε σχήµατα. Οι σχέσεις αυτές είναι χαρακτηριστικές του επιπέδου 2. Επίπεδο 2: το επίπεδο της άτυπης παραγωγικής σκέψης Στο επίπεδο αυτό οι µαθητές µπορούν να αντιληφθούν πλήρως: (α) τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στο ίδιο το σχήµα (π.χ. για να είναι οι απέναντι πλευρές ενός τετραπλεύρου παράλληλες, πρέπει οι απέναντι γωνίες να είναι ίσες) και (β) τις σχέσεις που υπάρχουν µεταξύ των σχηµάτων (π.χ. ένα τετράγωνο είναι παραλληλόγραµµο και ορθογώνιο). Σε αυτό δηλαδή το επίπεδο οι µαθητές αναπτύσσουν την έννοια του εγκλεισµού και αναγνωρίζουν τάξεις σχηµάτων. Παράλληλα, αρχίζουν να αντιλαµβάνονται τους ορισµούς, αλλά δεν µπορούν να κατανοήσουν τη σηµασία της παραγωγικής σκέψης. Επίπεδο 3: το επίπεδο της παραγωγικής σκέψης Οι µαθητές σε αυτό το επίπεδο αντιλαµβάνονται τη σηµασία της παραγωγικής σκέψης και µπορούν όχι µόνο να παρακολουθήσουν την αυστηρή σειρά επιχειρηµάτων, αλλά και να στοιχειοθετήσουν από µόνοι τους αποδείξεις µε βάση δεδοµένου αξιώµατα. Στο επίπεδο αυτό οι µαθητές κατανοούν και συσχετίζουν την έννοια των αναγκαίων συνθηκών και διακρίνουν µια πρόταση από την αντίστροφη της. Επίπεδο 4: το καθαρά θεωρητικό επίπεδο (αυστηρότητα) Το επίπεδο αυτό αναπτύχθηκε πολύ λίγο από τους van Hiele, γιατί πολύ λίγοι µαθητές µπορούν να το φτάσουν. Στο επίπεδο αυτό οι µαθητές κατανοούν διάφορα αξιωµατικά συστήµατα και µπορούν να ενασχοληθούν και µε µη ευκλείδειες γεωµετρικές.
Ανάπτυξη δεξιοτήτων Σύµφωνα µε τους van Hiele, σε κάθε επίπεδο γεωµετρικής σκέψης ο δάσκαλος επιδιώκει την ανάπτυξη ορισµένων δεξιοτήτων που ανταποκρίνονται στις ικανότητες των µαθητών και που τους βοηθούν να φτάσουν στο αµέσως ανώτερο επίπεδο. Οι δεξιότητες αυτές είναι οι οπτικές, οι γλωσσικές, οι λογικές, οι εφαρµοσµένες δεξιότητες και οι δεξιότητες στο σχεδίασµα. Έτσι, µε βάση τα επίπεδα νοητικής ανάπτυξης κατά τους van Hiele, µπορούµε να καταρτίσουµε τον πιο κάτω κατάλογο δεξιοτήτων: (Ο κατάλογος αναφέρει δεξιότητες των πρώτων τριών επιπέδων, γιατί οι µαθητές του δηµοτικού σχολείου σπάνια ξεπερνούν το δεύτερο ή τρίτο επίπεδο). Επίπεδο 0: Οπτικές δεξιότητες: Ο µαθητής Αναγνωρίζει διάφορα σχήµατα από εικόνες και πληροφορίες σχετικές µε τα σχήµατα. Αναγνωρίζει ένα σχήµα ή γεωµετρική σχέση σε απλά σχέδια, σε σύνολο χειροπιαστών αντικειµένων, σε φυσικές καταστάσεις, στην τάξη, στο σπίτι, σε φωτογραφίες κτλ. Γλωσσικές δεξιότητες: Ο µαθητής Συσχετίζει τα σχήµατα µε τις κατάλληλες λέξεις έννοιες Ερµηνεύει προτάσεις που περιγράφουν σχήµατα Περιγράφει σχήµατα χρησιµοποιώντας τυπική ή µη ορολογία. εξιότητες στο σχεδίασµα: Ο µαθητής Χρωµατίζει γεωµετρικά σχήµατα ηµιουργεί σχήµατα σχεδιάζοντάς τα. Λογικές δεξιότητες: Ο µαθητής Αναγνωρίζει ότι υπάρχουν οµοιότητες και διαφορές µεταξύ των σχηµάτων Κατανοεί τη διατήρηση του σχήµατος, όταν αυτό αλλάζει θέση. Εφαρµοσµένες δεξιότητες: Ο µαθητής ιπλώνει και κατασκευάζει σχήµατα µε ξυλάκια, καλαµάκια κτλ. Αντιγράφει σχήµατα σε χαρτί ή στο βελονοπίνακα Λύνει προβλήµατα (βρίσκει, για παράδειγµα, το εµβαδόν ενός σχήµατος καλύπτοντας το µε µικρές επιφάνειες και µετρώντας τες). Επίπεδο 1: Οπτικές δεξιότητες: Ο µαθητής Επισηµαίνει ιδιότητες σχηµάτων και άλλες γεωµετρικές σχέσεις Αναγνωρίζει ένα σχήµα ως µέρος µεγαλύτερου σχήµατος. Γλωσσικές δεξιότητες: Ο µαθητής Περιγράφει σχήµατα αναφέροντας τις ιδιότητές τους Περιγράφει σχήµατα σε κάποιον που δεν τα βλέπει Αναφέρει οµοιότητες και διαφορές σχηµάτων σε σχέση µε τις ιδιότητές τους. εξιότητες στο σχεδιασµό: Ο µαθητής
Χρωµατίζει και διπλώνει σχήµατα, για να ανακαλύψει τις ιδιότητές τους (π.χ. διπλώνει ένα χαρταετό κατά µήκος της διαγωνίου του και εξετάζει κατά πόσο τα µέρη εφαρµόζουν) Ζωγραφίζει σχήµατα, όταν του δίνονται οι ιδιότητές τους. Λογικές δεξιότητες: Ο µαθητής Συγκρίνει σχήµατα ως προς τις χαρακτηριστικές τους ιδιότητες Ταξινοµεί και αναταξινοµεί σχήµατα ως προς µια ιδιότητα. Εφαρµοσµένες δεξιότητες: Ο µαθητής Βρίσκει, εµπειρικά, κανόνες και γενικεύσεις (π.χ. χρησιµοποιεί την επαγωγή για να ανακαλύψει ότι το άθροισµα των γωνιών τριγώνου είναι 2 ορθές) Λύνει προβλήµατα. Επίπεδο 2: Οπτικές δεξιότητες: Ο µαθητής Αναγνωρίζει σχέσεις εγκλεισµού και συνεπαγωγής Αναγνωρίζει κοινές ιδιότητες ανάµεσα σε διάφορα σχήµατα Γλωσσικές δεξιότητες: Ο µαθητής ιατυπώνει και χρησιµοποιεί ορισµούς ιατυπώνει προτάσεις που δείχνουν σχέσεις ανάµεσα σε σχήµατα. εξιότητες στο σχεδιασµό: Ο µαθητής Εργάζεται σε βελονοπίνακα και µετατρέπει, για παράδειγµα, ένα τετράπλευρο σε τραπέζιο, τραπέζιο σε παραλληλόγραµµο, παραλληλόγραµµο σε ορθογώνιο κτλ. Λογικές δεξιότητες: Ο µαθητής Επισηµαίνει τον ελάχιστο αριθµό ιδιοτήτων που χρειάζονται για την περιγραφή ενός σχήµατος Χρησιµοποιεί ιδιότητες σχηµάτων, για να αποφανθεί αν µια τάξη σχηµάτων εγκλείεται σε µια άλλη. Εφαρµοσµένες δεξιότητες: Ο µαθητής Λύνει προβλήµατα Κατανοεί την έννοια του µαθηµατικού µοντέλου που αντιπροσωπεύει σχέσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολλές από τις δραστηριότητες που έχουν δοθεί σε αυτό το κεφάλαιο έχουν ως στόχο τον προβληµατισµό του µαθητή και µπορούν να λειτουργήσουν ως κίνητρο για περαιτέρω εξερεύνηση των γεωµετρικών εννοιών. Στη συνέχεια θα δοθούν παραδείγµατα και άλλων δραστηριοτήτων που έχουν ως στόχο να προβληµατίσουν τους µαθητές και να τους δώσουν την ευκαιρία να αναπτύξουν τη δηµιουργικότητά τους. Παράδειγµα 1: Μοτίβα
ίνονται στους µαθητές τα σχήµατα ιδιοτήτων και του ζητείται να συµπληρώσουν τις σειρές, όπως: Παράδειγµα 2: Κινέζικα Τετράγωνα Με τα κινέζικα τετράγωνα οι µαθητές κατασκευάζουν σχήµατα που δίνονται χωρίς κλίµακα, όπως ζώα (γάτοι), κηροπήγια, βάρκες κτλ. Να κάνεις τετράγωνα χρησιµοποιώντας 2 κοµµάτια του κινέζικου τετραγώνου 3 κοµµάτια του κινέζικου τετραγώνου 4 κοµµάτια του κινέζικου τετραγώνου 5 κοµµάτια του κινέζικου τετραγώνου 7 κοµµάτια του κινέζικου τετραγώνου Γιατί δεν µπορείς να κάνεις τετράγωνο µε 6 κοµµάτια; Παράδειγµα 3: Γεωπίνακες Οι µαθητές κατασκευάζουν στους γεωπίνακες σχήµατα που Έχουν στην περίµετρό τους 4 βελόνες και στο εσωτερικό τους καµιά Έχουν στην περίµετρό τους 10 βελόνες και στο εσωτερικό τους 2. Παράδειγµα 4: Πεντόµινο Οι µαθητές κατασκευάζουν όσο το δυνατό περισσότερο πεντόµινο σε τετραγωνισµένο χαρτί. (µπορούν να κατασκευάσουν 12 διαφορετικά πεντόµινο). Με τα πεντόµινο προσπαθούν να κάνουν διάφορα σχήµατα, όπως τετράγωνα ή ορθογώνια. Τα σχήµατα δίπλα είναι πεντόµινο: Τα σχήµατα αυτά δεν είναι πεντόµινο:
Παράδειγµα 5: ίκτυα Είναι δυνατό να σχεδιάσεις το σχήµα δίπλα, Χωρίς να σηκώσει το µολύβι σου. οκίµασέ του. Ποια κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου µπορείς να γράψεις, χωρίς να σηκώσεις το µολύβι σου; Παράδειγµα 6: Σχήµατα Μοτίβων Με τα σχήµατα µοτίβων να κάνεις τα πιο κάτω: Να καλύψεις µε τα σχήµατά σου ένα φύλλο του τετραδίου σου. Μπορείς να χρησιµοποιήσεις όσα σχήµατα θέλεις. Μπορείς να κάνεις το ίδιο χρησιµοποιώντας µόνο (α) τα τρίγωνα, (β) τα τετράγωνα, (γ) τα τραπέζια, (δ) του ρόµβους; Κάνε ένα µεγάλο τρίγωνο χρησιµοποιώντας 10 µικρά πράσινα τρίγωνα Κάνε ένα σχήµα µε τα κοµµάτια των «σχηµάτων µοτίβων», που να έχει περίµετρο 16 µονάδες και ένα άλλο, που να έχει περίµετρο 21 µονάδες. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Κατά την αξιολόγηση των στόχων ης γεωµε3τρίας, ο δάσκαλος στηρίζεται κυρίως στις παρατηρήσεις του κατά τη διάρκεια των µαθηµάτων. Η παρατήρηση είναι η µόνη µέθοδος που µπορεί να βοηθήσει το δάσκαλο να αντιληφθεί τις δυσκολίες που συναντούν οι µαθητές και να εντοπίσει τις τυχόν παρανοήσεις τους για τις γεωµετρικές έννοιες. Κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεών του ο δάσκαλος µπορεί να κατασκευάσει φύλλα αξιολόγησης µε διαφοροποιηµένου στόχους, ανάλογα µε τα επίπεδα των van Hiele. Η συστηµατική καταγραφή στα φύλλα αξιολόγησης βοηθεί το δάσκαλο να οργανώσει δραστηριότητες που θα ενθαρρύνουν τους µαθητές να εργαστούν για την κατάκτηση του αµέσως ανώτερου επιπέδου µάθησης, σύµφωνα µε το µοντέλο van Hiele. Στην περίπτωση που ο δάσκαλος κατασκευάζει δικά του δοκίµια αξιολόγησης, πρέπει να λαµβάνει υπόψη του ότι είναι πολύ βασικό να αξιολογεί µια έννοια µέσα από πολλές δραστηριότητες. Για παράδειγµα, µπορεί να ζητήσει από τους µαθητές να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο τόσο µε το χάρακά όσο και στο βελονοπίνακα ή στο ηλεκτρονικό υπολογιστή. Με αυτόν τον τρόπο ο δάσκαλος, όχι µόνο αντιλαµβάνεται τις αδυναµίες των µαθητών, αλλά έχει κατ τη δυνατότητα να προσαρµόσει τη διδασκαλία του στον τύπο µάθησης κάθε µαθητή. ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Συγκεντρώστε υλικό για τη διδασκαλία µιας έννοιας της γεωµετρίας. Ταξινοµήστε τις δραστηριότητες που συγκεντρώσατε ανάλογα µε τα επίπεδα του µοντέλου των van Hiele. 2. Μελετήστε µια ενότητα της γεωµετρίας στο βιβλίο των µαθηµατικών µιας τάξης του δηµοτικού σχολείου και ταξινοµήστε τις δραστηριότητες και ασκήσεις στα διάφορα επίπεδα γεωµετρικής σκέψης των van Hiele.
3. Να κατασκευάσετε ένα τεστ, για να ελέγξετε το επίπεδο της γεωµετρικής σκέψης, σύµφωνα µε το µοντέλο των van Hiele, στο οποίο βρίσκονται οι µαθητές της Στ τάξης του δηµοτικού σχολείου. 4. Κατασκευάστε ένα πρίσµα µε τρεις τουλάχιστον τρόπους. Κάνετε το ίδιο και για άλλα στερεά. 5. Να αναφέρετε τρεις ιδιότητες των στερεών που πρέπει να µάθουν οι µαθητές στα τρία επίπεδα: αρχικό, µεσαίο και προχωρηµένο. 6. Να αναφέρετε δραστηριότητες συµµετρίας που να συνδυάζονται µε το µάθηµα της τέχνης. Οι δραστηριότητες αυτές να οδηγούν τους µαθητές στην κατασκευή ενός έργου τέχνης. 7. Να κάνετε µια συλλογή µε δραστηριότητες που µπορούν να γίνουν σε βελονοπίνακα. Οι δραστηριότητες να καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα εννοιών, όπως περίµετρος, εµβαδόν, γωνίες, παραλληλία, συµµετρία, περιστροφή κτλ. Να κάνετε το ίδιο µε δραστηριότητες που να γίνουν µε το κινέζικο τετράγωνο, τα σχήµατα ιδιοτήτων και µοτίβων. 8. Να αναφέρετε τρεις λόγους για τους οποίους η γεωµετρία πρέπει να διδάσκεται στο δηµοτικό σχολείο. 9. Να βρείτε προβλήµατα γεωµετρίας που µπορούν να χρησιµοποιηθούν στο δηµοτικό σχολείο. 10. Να αναφέρετε τρόπους µε τους οποίους µπορείτε να βοηθήσετε τους µαθητές που συγχύζουν την έννοια της περιµέτρους µε την έννοια του εµβαδού. ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ Clements, d.h. & Battista, M.T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. Grouws (ed.) Handbook of research on mathematics teaching and learning. (p.p. 420 464). Reston, Va. : NCTM. Fuys, d., & Liebov, A. (1992). Geometry and spatial sense. In R. Jensen (Ed.), Research ideas for the classroom. Early childhood mathematics. New York: NCTM, & Macmillan Publishing Company. NCTM. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. Piaget, J. & Ingelder, B. The child s conception of space. London Routldege & Kegan Paul. Pyshkalo, A.M. (1981). The differential effects of the use of manipulative aids on the learning of geometric concepts by elementary school children. Journal for research in mathematics education, 9, 361 367. Reifel, F. (1987). Block construction: Children s development landmarks in representation of space. Young Children, 40, 61 67. Reys, R., Suydam, M., & Lindquist, M. (1989). Helping Children learn mathematics. New Jersey: Prentice Hall, Englewood Cliffs. Robinson, E. (1975). Geometry. In N. Payne (Ed.), Mathematics learning in early childhood (pp. 206 225). Reston, VA: NCTM. Schipper, W. (1983). The topological primacy thesis: Geometric and didactic aspects. Educational Studies in Mathematics; 14, 285 296. (*) Αποσπασμα από το βιβλιο «Διδακτικη των Μαθηματικων» Γ. Φιλιππου-Κ. Χρηστου, εκδ Guteberg, Αθηνα 1995