Ενότητα: «Επίλυση προβληµάτων στα Μαθηµατικά Mathematica Παραδείγµατα»

Ενότητα: «Επίλυση προβληµάτων στα Μαθηµατικά Mathematica Παραδείγµατα» Ανακαλυπτικές και κατασκευαστικές προσεγγίσεις µε τη βοήθεια ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας του Mathematica ιδάσκων: Περιεχόµενο ενότητας Σύγχρονες θεωρίες µάθησης Ανακαλυπτικές και κατασκευαστικές προσεγγίσεις στη µάθηση Γνωστικά εργαλεία (Cognitive tools) Το υπολογιστικό πείραµα (Computational experiment) Το µαθηµατικό πακέτο Mathematica Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica ιδακτικές εφαρµογές σε θέµατα Μαθηµατικών και Θετικών Επιστηµών 2

Σύγχρονες θεωρίες µάθησης Σύµφωνα µε τους υποστηρικτές της Θεωρίας Κατασκευής της Γνώσης (Constructivism), η µάθηση είναι (Κορρές, 2007): η ενεργητική κατασκευή της γνώσης από το µαθητή κατά την οποία χρησιµοποιεί τις προϋπάρχουσες γνώσεις του και η οποία ενεργοποιείται µέσω της δράσης του µαθητή σε προβληµατικές καταστάσεις Ο J. Bruner υποστήριξε: την ανακαλυπτική προσέγγιση στη µάθηση τη σηµασία της καλλιέργειας της διαισθητικής σκέψης και τη σηµασία της µελέτης της δοµής των διαφόρων θεµάτων Σύµφωνα µε τον J. Piaget, η µάθηση είναι: η ενεργητική κατασκευή της γνώσης µέσω της οργάνωσης και της προσαρµογής των ψυχολογικών δοµών του ατόµου ώστε το άτοµο να µπορεί να ανταποκριθεί στις ανάγκες του περιβάλλοντος του Ο Ernst Von Glasersfeld ασχολήθηκε µε την ανοικοδόµηση της έννοιας της γνώσης, διατυπώνοντας το 1975 τις παρακάτω αρχές του ριζοσπαστικού κονστρουκτιβισµού: Η γνώση δεν λαµβάνεται παθητικά είτε µέσω των αισθήσεων, είτε µέσω της επικοινωνίας, αλλά οικοδοµείται ενεργητικά από το υποκείµενο του «γιγνώσκειν». Η γνώση είναι µια διαδικασία προσαρµογής µε τον κόσµο των εµπειριών και όχι η ανακάλυψη ενός προϋπάρχοντος κόσµου ο οποίος είναι ανεξάρτητος από το γνώστη. 3 Σύγχρονες θεωρίες µάθησης Οι κοινωνικο πολιτιστικές θεωρίες για τη µάθηση επικεντρώνουν το ενδιαφέρον στην επικοινωνιακή και πολιτιστική διάσταση της µάθησης, υποστηρίζοντας ότι: Η µάθηση προέρχεται από την κοινωνική αλληλεπίδραση Η κοινωνική µάθηση οδηγεί ουσιαστικά στην γνωστική ανάπτυξη Οι άνθρωποι χρησιµοποιούν «εργαλεία»: τα οποία προέρχονται από µία «κουλτούρα» (culture) για να επικοινωνήσουν µε το κοινωνικό τους περιβάλλον η εσωτερίκευση των οποίων, οδηγεί σε ανώτερες δεξιότητες σκέψης (Κορρές, 2007) 4

5/11/2015 (1) Οι µαθητές να ασχολούνται ενεργητικά µε την εξερεύνηση προβληµατικών καταστάσεων. Να ψάχνουν για πρότυπα, να διαµορφώνουν υποθέσεις τις οποίες να αξιολογούν και να γενικεύουν, να επεξεργάζονται διάφορα υλικά (φυσικά µοντέλα, διαγράµµατα κλπ), να χειρίζονται σύµβολα και να συσχετίζουν τα παραπάνω, να επικοινωνούν και να ανταλλάσσουν ιδέες µεταξύ τους και µε το δάσκαλο. Ενδείκνυται επίσης να ασχολούνται µε πρωτότυπα γι' αυτούς προβλήµατα. (2) Ο δάσκαλος να είναι ο δηµιουργός των προβληµατικών καταστάσεων. Να επιλέγει (ο δάσκαλος) κατάλληλα θέµατα, τα οποία να βασίζονται σε πραγµατικές εµπειρίες ή θέµατα οικεία στους µαθητές, να απευθύνει στους µαθητές διερευνητικές ή επεξηγηµατικές ερωτήσεις, να διευθύνει και να εστιάζει τη συζήτηση στα σηµαντικά σηµεία. 5 (3) Η τάξη να εξετάζει κριτικά τις εξηγήσεις και αιτιολογήσεις που δίνουν οι µαθητές και αποφασίζει για την εγκυρότητα και την αλήθεια των ιδεών που εκφράζονται. Το λάθος να θεωρείται ως ένα φυσιολογικό συστατικό της ανθρώπινης σκέψης, του οποίου η ανάλυση και η διερεύνηση οδηγεί σε νέες εξερευνήσεις και σε νέες γνώσεις. Να γίνεται ξεκάθαρο ότι η γνώση είναι µία κοινωνική κατασκευή, η οποία αναπτύσσεται µε τη διαµόρφωση τολµηρών υποθέσεων και εικασιών που ελέγχονται και αµφισβητούνται. Στη συνέχεια είτε γίνονται αποδεκτές µέσω συµφωνίας ή µετασχηµατίζονται για να επαναληφθεί η ίδια διαδικασία ελέγχου και αµφισβήτησης. (4) Η αλληλεπίδραση µεταξύ δασκάλου και µαθητών αλλά και των µαθητών µεταξύ τους, να δηµιουργεί µία συνεργατική ατµόσφαιρα µάθησης, ώστε να καλλιεργείται αµοιβαία εµπιστοσύνη. 6 3

5/11/2015 (1) Ο δάσκαλος αντί να υπαγορεύει τα προσωπικά του νοήµατα ενδείκνυται να συνεργάζεται µε τους µαθητές του στην δηµιουργία νοηµάτων, µε τρόπους ώστε οι µαθητές να δηµιουργούν τα δικά τους. (2) Εφόσον η γνωστική αλλαγή εµφανίζεται µέσα στη ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης, η διδασκαλία ενδείκνυται να απευθύνεται σε ένα επίπεδο ανάπτυξης που είναι µόλις πάνω από το επίπεδο ανάπτυξης των µαθητών, εφόσον «η µάθηση η οποία είναι προσανατολισµένη σε επίπεδα ανάπτυξης που έχουν ήδη επιτευχθεί, είναι αναποτελεσµατική ως προς τη συνολική ανάπτυξη του παιδιού. εν στοχεύει προς ένα νέο στάδιο της διαδικασίας ανάπτυξης, αλλά µάλλον επιβραδύνει τη διαδικασία». 7 (3) Τα άτοµα που συµµετέχουν σε µία συνεργασία µε οµοτίµους (peers) ή σε µία καθοδηγούµενη διδασκαλία από το δάσκαλο, πρέπει να έχουν την ίδια εστίαση (focus) προκειµένου να προσεγγίσουν τη ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης. «Η οµαδική προσοχή (joint attention) και η µοιρασµένη επίλυση προβλήµατος (shared problem solving) είναι απαραίτητη, προκειµένου να δηµιουργηθεί µία γνωστική, κοινωνική και συναισθηµατική ανταλλαγή». Επιπρόσθετα, είναι ουσιαστικό για τους συνεργάτες να είναι σε διαφορετικά επίπεδα ανάπτυξης και ο συνεργάτης του ανώτερου επιπέδου να είναι ενήµερος για το επίπεδο του συνεργάτη του κατώτερου επιπέδου. Αν αυτό δε συµβεί ή ο ένας συνεργάτης κυριαρχεί, η αλληλεπίδραση είναι λιγότερο επιτυχηµένη. 8 4

ραστηριότητες ανακαλυπτικής και κατασκευαστικής µάθησης Αρχικά ενδείκνυται να έχουµε κινητοποίηση ενδιαφέροντος των µαθητών µέσω της σύνδεσης της ενότητας µε την πραγµατικότητα ή µε άλλες Επιστήµες. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν εικόνες, ιστορίες, προβλήµατα, βίντεο, ταινίες κλπ. Από τα υλικά ερεθίσµατος θα πρέπει να προκύπτουν κάποια ερωτήµατα για τη συνέχεια του µαθήµατος. Στη συνέχεια δίνονται στους µαθητές δραστηριότητες ή προβλήµατα ανακαλυπτικής και κατασκευαστικής µάθησης, πολλές φορές υπό τη µορφή ενός ηλεκτρονικού ή έντυπου φύλλου εργασίας. Χρησιµοποιώντας κατάλληλες ερωτήσεις αναδεικνύονται οι ιδέες των µαθητών. Οι µαθητές εργαζόµενοι ατοµικά ή σε οµάδες, µέσω της ενασχόλησης µε κατάλληλα επιλεγµένο ή διαµορφωµένο υλικό και τη χρήση κατάλληλων εργαλείων του υπολογιστή, διατυπώνουν εικασίες ή υποθέσεις. Οι µαθητές µέσω του πειραµατισµού µε τις έννοιες, ελέγχουν αν ισχύουν οι υποθέσεις και οι εικασίες τους και έρχονται σε γνωστική σύγκρουση. Μέσω συζήτησης οι µαθητές καταλήγουν σε συµπεράσµατα, τα οποία καταγράφονται, έχοντας µία κοινωνική κατασκευή της γνώσης. Γίνεται µία σύνοψη και αναστοχασµός των συµπερασµάτων που προέκυψαν από τη διδασκαλία, αλλά και των διαδικασιών που ακολουθήθηκαν για τη µάθηση και τα παραπάνω παρουσιάζονται αν είναι εφικτό σε ένα πίνακα σχεδιάγραµµα ή σε ένα χάρτη εννοιών (µεταγνώση). 9 Τι είναι τα γνωστικά εργαλεία Η χρήση των Η/Υ στην εκπαίδευση ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1970 και πέρασε από τρεις µεγάλες φάσεις ως τις µέρες µας (Jonassen, 2000): Mάθηση από τους υπολογιστές (Computer Assisted Instruction CAI), όπου ο υπολογιστής θεωρείτο ότι έπρεπε να είναι προγραµµατισµένος να διδάσκει το µαθητή και να κατευθύνει τις δραστηριότητες του προς την απόκτηση προκαθορισµένων γνώσεων ή ικανοτήτων. Mάθηση σχετικά µε τους υπολογιστές (εναλφαβητισµός στους Η/Υ), όπου ο υπολογιστής έγινε το γνωστικό αντικείµενο και οι µαθητές διδάσκονταν και διδάσκονται µαθήµατα σχετικά µε τα µηχανικά µέρη και πώς να προγραµµατίζουν τον υπολογιστή. Η τρίτη φάση, η οποία και απορρίπτει τις υποθέσεις του CAI και του εναλφαβητισµού στους υπολογιστές, είναι η χρήση του Η/Υ ως γνωστικού ή νοητικού εργαλείου στη διδασκαλία των διαφόρων µαθηµάτων. Τα γνωστικά εργαλεία (cognitive tools) ή νοητικά εργαλεία (mindtools) είναι (Jonassen, 2000): µαθησιακά περιβάλλοντα και εργαλεία βασισµένα στον υπολογιστή τα οποία έχουν αναπτυχθεί ή προσαρµοστεί προκειµένου να λειτουργούν ως διανοητικοί συνεργάτες του µαθητή, για να ενεργοποιούν και να διευκολύνουν την κριτική σκέψη (critical thinking) και τη µάθηση ικανοτήτων ανώτερης τάξης (higher order learning). 10

Τα βασικά χαρακτηριστικά των γνωστικών εργαλείων Εργαλεία γνωστικής ενίσχυσης και αναδιοργάνωσης (Jonassen, 2000). Υπηρετούν πολιτιστικούς σκοπούς και απαιτούν έναν ικανό χρήστη προκειµένου να λειτουργήσουν χρήσιµα (Salomon, 1993). Αναδιοργανώνουν (ανακατασκευάζουν ριζικά) τον τρόπο που οι µαθητευόµενοι σκέφτονται (Pea, 1985). Είναι γενικεύσιµα υπολογιστικά εργαλεία, τα οποία έχουν ως στόχο να ενεργοποιήσουν και να διευκολύνουν τη γνωστική διαδικασία (Kommers, Jonassen & Mayes, 1992). Είναι νοητικές και υπολογιστικές συσκευές που υποστηρίζουν, καθοδηγούν και επεκτείνουν τις διαδικασίες σκέψης των χρηστών τους (Derry, 1990). εν είναι συσκευές τις οποίες οι µαθητές χρησιµοποιούν φυσικά χωρίς προσπάθεια («fingertip» tools) (Perkins, 1993). Είναι συσκευές κριτικής σκέψης µέσω της µοντελοποίησης των ικανοτήτων κριτικής σκέψης στις λειτουργίες τους (Jonassen, 2000). ηµιουργούν µια «διανοητική σκαλωσιά» (Intellectual Scaffolding) προς τη σκέψη που έχει «νόηµα» (meaningful thinking), δηλαδή ενεργοποιούν τους µαθητές και τους υποστηρίζουν όταν έχουν ενεργοποιηθεί (Jonassen, 2000). 11 Πότε µία εφαρµογή λογισµικού µπορεί να θεωρηθεί γνωστικό εργαλείο Ο D. Jonassen έχει αναπτύξει µια σειρά από κριτήρια σχετικά µε το πότε ένα εργαλείο µπορεί να θεωρηθεί νοητικό εργαλείο (Jonassen, 2000). Τα κριτήρια αυτά δεν είναι απόλυτα κριτήρια, είναι µάλλον δείκτες εµφάνισης χαρακτηριστικών νοητικού εργαλείου. Ένα εργαλείο µπορεί να θεωρηθεί νοητικό εργαλείο όταν είναι (Jonassen, 2000): Βασισµένο στον υπολογιστή (Computer based) ιαθέσιµη εφαρµογή (Available application) Εντός των οικονοµικών δυνατοτήτων των µαθητευοµένων (Affordable) Υποστηρίζει την κατασκευή της γνώσης (Knowledge Construction) Γενικεύσιµο (Generalizable) Υποστηρίζει την κριτική σκέψη (Critical thinking) Ευνοεί τη µεταφορά της µάθησης σε άλλες περιοχές (Transferable learning) Έχει απλό, δυναµικό φορµαλισµό (Simple, powerful formalism) Εύκολο να το µάθει κανείς (Easily learnable) 12

Η υπολογιστική επιστήµη (Computational Science) H Υπολογιστική Επιστήµη (Computational Science) ορίζεται ως η επιστήµη που περιλαµβάνει τρεις περιοχές: τη µαθηµατική µοντελοποίηση φαινοµένων τις αριθµητικές µεθόδους για επιστηµονικούς υπολογισµούς και την επιστηµονική οπτικοποίηση. Στην Υπολογιστική Επιστήµη το µοντέλο, η προσοµοίωση και το υπολογιστικό πείραµα παίρνουν τη θέση του «κλασικού» πειράµατος (Psycharis, 2008). Ένα από τα βασικά συστατικά αυτού του πεδίου έρευνας είναι Sloot (1994): η σωστή αφαίρεση ενός φυσικού φαινοµένου σε ένα εννοιολογικό µοντέλο και η µετάφραση σε ένα υπολογιστικό µοντέλο το οποίο να µπορεί να επαληθευτεί Αυτό µας οδηγεί στη έννοια του υπολογιστικού πειράµατος, όπου το µοντέλο και ο υπολογιστής παίρνουν τη θέση της «κλασικής» πειραµατικής διάταξης και η προσοµοίωση αντικαθιστά το πείραµα. 13 Η υπολογιστική επιστήµη (Computational Science) Η υποστήριξη της διαδικασίας της µάθησης («σκαλωσιά») (scaffolding) βοηθάει τους µαθητευόµενους στο να µικρύνουν την απόσταση µεταξύ αυτών που µπορούν να κάνουν µόνοι τους και αυτών που µπορούν να κάνουν υπό καθοδήγηση (Hartman, 2001). Η υποστήριξη, η οποία µπορεί να πάρει πολλές µορφές παρέχει την απαιτούµενη βοήθεια λαµβάνοντας υπόψη τα ατοµικά χαρακτηριστικά του/της κάθε µαθητευόµενου/ης, όπως το ποσό της βοήθειας που εκείνος/η χρειάζεται ή τις ειδικές δυσκολίες που αντιµετωπίζει. Ειδικότερα η µάθηση η οποία είναι βασισµένη στην προσοµοίωση (simulation based learning), περιλαµβάνει τη µάθηση: η οποία πραγµατοποιείται σε ένα υπολογιστικό περιβάλλον στο οποίο ο/η µαθητευόµενος/η αλληλεπιδρά µε τις οντότητες του περιβάλλοντος και σταδιακά εξάγει συµπεράσµατα σχετικά µε τα χαρακτηριστικά του εννοιολογικού µοντέλου (concept model) καθώς προχωρά στην προσοµοίωση διαδικασία η οποία ενδέχεται να οδηγήσει σε αλλαγές της αρχικής διαµορφωµένης έννοιας (Van Joolingen & de Jong, 2003). 14

Ψηφιακά σενάρια διδασκαλίας Τα τελευταία χρόνια ο σχεδιασµός και η ανάπτυξη σεναρίων διδασκαλίας τα οποία ενσωµατώνουν καινοτόµες διδακτικές προσεγγίσεις και στρατηγικές (διερευνητική, οµαδοσυνεργατική κλπ) και αξιοποιούν τη δυναµική των ψηφιακών τεχνολογιών γίνεται ολοένα και πιο σηµαντικό κοµµάτι της δουλειάς των εκπαιδευτικών (Σοφός κ.α., 2015). Ως αποτέλεσµα της έντονης κινητικότητας στο πεδίο του εκπαιδευτικού σχεδιασµού έχουµε: α) Ανάπτυξη και αξιοποίηση πληθώρας εργαλείων µαθησιακού σχεδιασµού (learning design tools). β) Ολοένα αυξανόµενη ανάπτυξη και αξιοποίηση διαδικτυακών πυλών αποθετηρίων που φιλοξενούν πολλαπλά σενάρια µάθησης για ποικίλα γνωστικά αντικείµενα. Ενδεικτικά παραδείγµατα διαδικτυακών πυλών αποθετηρίων αποτελούν: Η πλατφόρµα WISE (Web based Inquiry Science Environment) (https://wise.berkeley.edu/), η οποία αναπτύχθηκε από το Πανεπιστήµιο της Καλιφόρνια Berkeley. Το αποθετήριο του συστήµατος διαχείρισης µάθησης HotChalk (www.hotchalk.com). Η πλατφόρµα «Αίσωπος» του ΙΕΠ (aesop.iep.edu.gr) Παραδείγµατα ψηφιακών σεναρίων τα οποία ενσωµατώνουν δραστηριότητες διερευνητικής ανακαλυπτικής µάθησης για τα Μαθηµατικά από την πλατφόρµα «Αίσωπος»: Η έννοια της παραγώγου συνάρτησης (http://aesop.iep.edu.gr/node/21139 ) Μελέτη συνάρτησης (Μονοτονία Ακρότατα) (http://aesop.iep.edu.gr/node/21119 ) Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις (http://aesop.iep.edu.gr/node/7810 ) 15 Το Mathematica Το Mathematica είναι το πρώτο ολοκληρωµένο περιβάλλον για τεχνικούς υπολογισµούς. Η ανάπτυξη του Mathematica έχει γίνει από την Wolfram Research, της οποίας ηγείται ο Stephen Wolfram. Σε τεχνικό επίπεδο, το Mathematica περιλαµβάνει ένα µεγάλο πλήθος από πρωτότυπους αλγορίθµους και σηµαντικές τεχνικές καινοτοµίες. Μεταξύ αυτών των καινοτοµιών είναι η έννοια του «notebook», δηλαδή του ανεξαρτήτου πλατφόρµας αλληλεπιδραστικού εγγράφου (platform independent interactive document) ή αλλιώς «computable document», όπως αναφέρεται στις τελευταίες εκδόσεις από το Wolfram. Τα «notebooks» ή «computable documents» έχουν γίνει τα τελευταία χρόνια ήδη βασικό στοιχείο για πολλά είδη σηµειώσεων µαθηµάτων και άρθρων. To Mathematica είναι εµπορικό πακέτο. Είναι διαθέσιµες εκδόσεις για καθηγητές (teacher editions) και για µαθητές (student editions), οι οποίες είναι σηµαντικά χαµηλότερες σε κόστος. Είναι διαθέσιµες δοκιµαστικές εκδόσεις (trial versions), οι οποίες δίνουν τη δυνατότητα για πρόσβαση σε όλες τις δυνατότητες του πακέτου για 15 ηµέρες (ενεργοποίηση µε εγγραφή και αποστολή κωδικών στο e-mail του χρήστη). Ειδικότερα: https://www.wolfram.com/mathematica/trial/ 16

Το Mathematica Το Mathematica είναι ένα γνωστικό εργαλείο, το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί αποτελεσµατικά ως λογισµικό υποστήριξης (scaffolding software) σε µαθήµατα Μαθηµατικών και Θετικών Επιστηµών, κυρίως επειδή (Κορρές, 2007): Ο συµβολισµός των πράξεων, συµβόλων και αντικειµένων είναι παρόµοιος µε το συνήθη συµβολισµό των Θετικών Επιστηµών. Έχει µία δοµή βασισµένη στις συναρτήσεις, η οποία µας επιτρέπει να ορίσουµε και να µελετήσουµε γεωµετρικά αντικείµενα, έννοιες και ιδιότητες ως πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικών µεταβλητών. Προσφέρει πολλές δυνατότητες στην εύκολη, γρήγορη και ακριβή σχεδίαση γραφηµάτων στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο. Προτείνουµε το σχεδιασµό και τη χρήση ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας τα οποία (Κορρές, 2007): Είναι υλοποιηµένα στο Mathematica. Υποστηρίζουν την ανακαλυπτική µάθηση. Περιέχουν δραστηριότητες οι οποίες µέσω βηµάτων, ενεργειών και ερωτήσεων, καθοδηγούν τους/τις µαθητευόµενους/ες στον πειραµατισµό µε τις έννοιες, στη διαµόρφωση και τον έλεγχο εικασιών και στη διαµόρφωση γενικών συµπερασµάτων µετά από συζήτηση. 17 To Wolfram Demonstrations project Τα τελευταία χρόνια (από το 2007) έχει αναπτυχθεί από την Wolfram Research το πρόγραµµα Wolfram Demonstrations project. Έχει δηµιουργηθεί µία πλατφόρµα αποθετήριο στην οποία επιστήµονες από όλο τον κόσµο έχουν συνεισφέρει και συνεισφέρουν παρουσιάσεις σε ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica ή αλλιώς σε «computable document format» όπως αναφέρεται από την Wolfram Research. http://demonstrations.wolfram.com/topics.html Η θεµατολογία των εφαρµογών του Wolfram Demonstrations project καλύπτει όλες τις γνωστικές περιοχές του STEM (Μαθηµατικά, Πληροφορική, Φυσικές Επιστήµες, Επιστήµες Μηχανικών), επίσης τις Οικονοµικές Επιστήµες, τις Επιστήµες Υγείας κλπ. Υπάρχει η δυνατότητα µε το «κατέβασµα» και εγκατάσταση της δωρεάν εφαρµογής CDF Player, να «τρέχει» κανείς τις εφαρµογές που είναι ανεβασµένες στο Wolfram Demonstrations project, χωρίς βέβαια να έχει δυνατότητα τροποποίησης τους. http://www.wolfram.com/cdf-player/ 18

Παραδείγµατα εφαρµογών από το Wolfram Demonstrations project 19 Παραδείγµατα εφαρµογών από το Wolfram Demonstrations project 20

Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica Τα ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας ενδείκνυται να περιέχουν (Κορρές, 2007): α) ραστηριότητες σχετικές µε τα θέµατα υπό διαπραγµάτευση, οι οποίες υπό τη µορφή βηµάτων, ενεργειών και ερωτήσεων, να καθοδηγούν τους εκπαιδευοµένους στον πειραµατισµό µε τις έννοιες, στη διατύπωση και τον έλεγχο εικασιών και στη διατύπωση µέσω συζήτησης γενικών συµπερασµάτων, β) Βασικές εντολές του νοητικού εργαλείου και τα απαιτούµενα προγράµµατα για τα θέµατα υπό διαπραγµάτευση, γ) Υποδείξεις σχετικά µε το µαθηµατικό αντικείµενο και τις λειτουργίες του νοητικού εργαλείου και δ) Ασκήσεις οι οποίες µπορούν να επιλυθούν µε τη χρήση και τροποποίηση των υπαρχόντων στο φύλλο εργασίας εντολών και προγραµµάτων του νοητικού εργαλείου. Οι εκπαιδευόµενοι ενδείκνυται να είναι χωρισµένοι σε οµάδες των 2 ή 3 ατόµων ανά υπολογιστή. Πρέπει να συνεργάζονται µε τα µέλη των οµάδων τους, µε τα µέλη άλλων οµάδων και µε τον εκπαιδευτικό στην αντιµετώπιση των προβληµατικών καταστάσεων που συναντούν κατά την εργασία τους µε το ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας. Πρέπει επίσης να τους δίνεται η δυνατότητα να θέτουν υπό συζήτηση ερωτήσεις, εικασίες και συµπεράσµατα στην κοινότητα της τάξης. Επίσης να µπορούν ανά πάσα στιγµή να ζητήσουν τη βοήθεια του εκπαιδευτικού, σχετικά µε την κατανόηση των στοιχείων της θεωρίας που αναφέρονται στο µάθηµα και τη χρήση, τη σύνταξη και τη λειτουργία των εντολών του λογισµικού. 21 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις συναρτήσεις 2 µεταβλητών 22

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις συναρτήσεις 2 µεταβλητών 23 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους πολλαπλασιαστές Langrance 24

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους πολλαπλασιαστές Langrance 25 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους πολλαπλασιαστές Langrance 26

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους πολλαπλασιαστές Langrance 27 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους πολλαπλασιαστές Langrance 28

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους πολλαπλασιαστές Langrance 29 Το υπολογιστικό πείραµα (Computational experiment) Η µεθοδολογία του υπολογιστικού πειράµατος (computational experiment), όπως αναπτύχθηκε από τον Sloot (1994), περιλαµβάνει τις παρακάτω τρείς κύριες φάσεις: 1) Η φάση της µοντελοποίησης: Στη φάση αυτή αναπτύσσεται ένα αφηρηµένο µοντέλο που αντιστοιχεί στο φαινόµενο που θέλουµε να µελετήσουµε. 2) Η φάση της προσοµοίωσης: Στη φάση αυτή εφαρµόζονται οι µαθηµατικές µεθόδοι επίλυσης του µοντέλου. Η φάση αυτή είναι ουσιαστικά µια πειραµατική µέθοδος µε σκοπό τη βελτιστοποίηση του συστήµατος που µελετάµε αλλά και την ανάλυση της ευαισθησίας του, τον έλεγχο των υποθέσεων σχετικά µε το σύστηµα και την εκτίµηση ή την πρόβλεψη της εξέλιξης του συστήµατος. 3) Η υπολογιστική φάση: Η φάση αυτή αναφέρεται στην υλοποίηση αλγορίθµων και αριθµητικών τεχνικών και στη συνέχεια στη συγγραφή κώδικα σε κάποια γλώσσα για την επίλυση και «οπτικοποίηση» της προσοµοίωσης. Οι Landau, Paez & Bordeianu (2008) προτείνουν µια προσέγγιση παρόµοια µε την προσέγγιση του Sloot. Οργανώνουν την Υπολογιστική Επιστήµη (Computational science) σε ένα πλαίσιο της επιστηµονικής επίλυσης προβλήµατος (scientific problem solving) όπως ακολουθεί: Πρόβληµα Θεωρία Μοντέλο Μέθοδος Υλοποίηση Αποτίµηση. 30

Χώροι στην επιστηµονική ανακαλυπτική µάθηση Οι Shunn και Klahr (1995) και οι Klahr και Dunbar (1988), προκειµένου να περιγράψουν την ανακαλυπτική µάθηση ως ερευνητική εργασία, εισήγαγαν τους χώρους στην επιστηµονική ανακαλυπτική µάθηση, οι οποίοι περιλαµβάνουν το Χώρο υποθέσεων (Hypothesis space) και το Xώρο πειραµάτων (Experiment space). Στο µοντέλο των Klahr και Dunbar, ο χώρος υποθέσεων περιέχει όλους τους κανόνες και τις µεταβλητές που περιγράφουν την ειδική επιστηµονική περιοχή, ενώ ο χώρος πειραµάτων περιέχει όλα τα πειράµατα τα οποία µπορούν να υλοποιηθούν στην περιοχή αυτή. Οι Van Joolingen και De Jong (1997) επέκτειναν το µοντέλο των Klahr και Dunbar, εισάγοντας διαφορετικές υπο περιοχές στο Χώρο υποθέσεων και πρότειναν µία ταξινοµία (taxonomy) προκειµένου να περιγράψουν λειτουργίες αναζήτησης σε κάθε χώρο. 31 Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica και χώροι στην επιστηµονική ανακαλυπτική µάθηση Βασισµένοι στις αρχές που αναπτύχθηκαν παραπάνω, προτείνουµε την παρακάτω δοµή για τα ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica (Kyriazis, Psycharis & Korres, 2009): α) Χώρος υποθέσεων (Hypotheses space), όπου οι εκπαιδευόµενοι σε συνεργασία µε τον εκπαιδευτικό, αποφασίζουν, ξεκαθαρίζουν και διατυπώνουν τις υποθέσεις του προβλήµατος ή των προβληµάτων ή της επιστηµονικής περιοχής υπό µελέτη. β) Χώρος πειραµάτων (Experiments space), όπου το υπολογιστικό πείραµα πραγµατοποιείται, ο οποίος περιλαµβάνει ανακαλυπτικές δραστηριότητες προσοµοίωσης, µέσω των οποίων οι εκπαιδευόµενοι, µέσω της συζήτησης και της κοινωνικής αλληλεπίδρασης (µεταξύ εκπαιδευοµένων και µεταξύ εκπαιδευτικού και εκπαιδευοµένων), κατασκευάζουν ενεργητικά τη γνώση και διατυπώνουν συµπεράσµατα, γενικεύσεις αποτελεσµάτων και λύσεις των προβληµάτων ή θεµάτων υπό διαπραγµάτευση. γ) Χώρος προβλέψεων (Predictions space), όπου τα αποτελέσµατα, τα συµπεράσµατα ή οι λύσεις που διατυπώθηκαν στο χώρο πειραµάτων ελέγχονται µε τις αναλυτικές (µαθηµατικές) (analytic mathematical) λύσεις του προβλήµατος / προβληµάτων ή της αναλυτικής διαπραγµάτευσης της θεµατικής περιοχής που µελετάµε, ώστε να ελεγχθεί η εγκυρότητα τους (credibility). 32

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων 33 Χώρος υποθέσεων (Hypotheses space) Ο Χώρος υποθέσεων περιλαµβάνει την οριοθέτηση του αντίστοιχου θέµατος ή προβλήµατος (Setting the problem) για την κάθε δραστηριότητα και εδώ ορίζονται οι υποθέσεις του κάθε θέµατος ή προβλήµατος, οι συναρτήσεις και τα µεγέθη που εµπλέκονται, όπως επίσης οι αρχικές τιµές των διαφόρων µεταβλητών και οι σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών. 34

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος υποθέσεων) 35 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος υποθέσεων) 36

Χώρος πειραµάτων (Experiments space) Στο Χώρο πειραµάτων γίνονται οι πειραµατικές εξερευνητικές λύσεις από τους εκπαιδευοµένους, λύσεις οι οποίες βασίζονται στην πρακτική διαπραγµάτευση των διαφόρων θεµάτων ή προβληµάτων, λύσεις οι οποίες βασίζονται στην εποπτεία, όπως επίσης στην κατασκευή και παρατήρηση γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιµών των διαφόρων µεγεθών. Στο φύλλο εργασίας υπάρχει καθοδήγηση των εκπαιδευοµένων µε συγκεκριµένες ενέργειες τις οποίες καλούνται να εκτελέσουν ή ερωτήσεις τις οποίες καλούνται να απαντήσουν. 37 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος Πειραµάτων) 38

Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος Πειραµάτων) 39 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος Πειραµάτων) 40

Χώρος προβλέψεων (Predictions space) Στο Χώρο προβλέψεων γίνονται οι αναλυτικές µαθηµατικές λύσεις (analytical solutions) από τους εκπαιδευοµένους, λύσεις οι οποίες βασίζονται στην θεωρητική διαπραγµάτευση των διαφόρων θεµάτων ή προβληµάτων, λύσεις οι οποίες βασίζονται στη µαθηµατική (αναλυτική) απόδειξη των διαφόρων νόµων ή σχέσεων µεταξύ µεγεθών, όπως επίσης στην επίλυση των αντίστοιχων θεµάτων ή προβληµάτων κάνοντας χρήση του τι προβλέπει η θεωρία, ώστε να υπάρχει έλεγχος της εγκυρότητας των αποτελεσµάτων (credibility of the results) που προέκυψαν από την πειραµατική εξερευνητική επίλυση. Τόσο στο Χώρο πειραµάτων όσο και στο Χώρο προβλέψεων υπάρχουν ασκήσεις, τις οποίες ο εκπαιδευόµενος καλείται να επιλύσει τροποποιώντας τις τιµές των παραµέτρων των αντίστοιχων δραστηριοτήτων, και τις αντίστοιχες εντολές και τα προγράµµατα του Mathematica τα οποία υπάρχουν στο ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας. Ο δυναµικός φορµαλισµός του Mathematica καθιστά την παραπάνω διαδικασία εύκολη και προσιτή στους µαθητές των µεγαλύτερων τάξεων του Λυκείου και στους φοιτητές. 41 Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος Προβλέψεων) 42

Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στη σύνθεση ταλαντώσεων (Χώρος Προβλέψεων) 43 Βιβλιογραφία Jonassen D. H. (2000). Computers as Mindtools for Schools: Engaging Critical Thinking (2nd Edition). New Jersey: Prentice Hall, Inc. Kyriazis, A., Psycharis, S. & Korres, K. (2009). Discovery Learning and the Computational Experiment in Higher Mathematics and Science Education: A combined approach. International Journal of Emerging Technologies in Learning of the International Association of Online Engineering, Volume 4, Issue 4 (doi:10.3991/ijet.v4i4.1044). Κυριαζής Αθανάσιος, Ψυχάρης Σαράντος & Κορρές Κωνσταντίνος (2012). Η διδασκαλία και µάθηση των Θετικών Επιστηµών µε τη βοήθεια του Υπολογιστή: Μοντελοποίηση, Προσοµοίωση και εφαρµογές. Εκδόσεις Παπαζήση. Κορρές Κ. (2007). Μία διδακτική προσέγγιση των µαθηµάτων Θετικών Επιστηµών µε τη βοήθεια νέων τεχνολογιών. ιδακτορική διατριβή. Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. Torrence Br. Torrence E. (1999). The Students Introduction to Mathematica, Cambridge University Press. Σοφός A., Μητσικοπούλου B., Καλογιαννάκης M., Καλογερόπουλος N. και Πετροπούλου Ο. (2015α). Τεύχος µελέτης προδιαγραφών και µεθοδολογίας ανάπτυξης ψηφιακών σεναρίων για όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης. ΙΕΠ, 2015. 44

Βιβλιογραφία Psycharis, S. (2008). Computerized Models in Physics Teaching: Computational Physics and ICT. International Journal of Learning, 2008, Volume 15, Number 9, 111 116. Shiflet, A. B. & Shiflet, G. W. (2006). Introduction to Computational Science: Modeling and Simulation for the Sciences. Princeton University Press. Shunn, C. & Klahr, D. (1995). A 4-space model for scientific discovery. Paper presented at the AAAI Symposium Systematic Methods of Scientific Discovery, Menlo Park, CA. Klahr, D. & Dunbar, K. (1988). Dual space search during scientific reasoning. Cognitive Science, 12, 1-48. Sloot, P. (1994). Lecture on Parallel Scientific Computing and Simulations. CERN school on computing, Sopron, Hungary August 1994. Van Joolingen, W. R., & de Jong, T. (2003). Sim-Quest: Authoring educational simulations. In T. Murray, S. Blessing & S. Ainsworth (Eds.). Authoring tools for advanced technology educational software: Toward cost-effective production of adaptive, interactive, and intelligent educational software (pp. 1-31). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Van Joolingen, W. R. and De Jong, T. (1997). An extended dual search space model of learning with computer simulations. Instructional Science, 25, 307-346. 45 Βιβλιογραφία De Jong, T. (2006). Computer Simulations: Technological Advances in Inquiry Learning. Science 2006. Fund, Z. (2007). The Effects of Scaffolded Computerized Science Problem-Solving on Achievement Outcomes: A Comparative Study of Support Programs. Journal of Computer Assisted Learning, v.23, n.5. Guzdial, M. (1995). Software-realized scaffolding to facilitate programming for science learning. Interactive Learning Environments, 4(1), 1 44. Hartman, H. J. (2001). Developing students metacognitive knowledge and strategies. In H. J. Hart-man (Ed.), Metacognition in Learning and Instruction: Theory, Research, and Practice, Chapter 3, pp. 33 68. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. Landau, R. H., Pαez, J. & Bordeianu, C. (2008). A Survey of Computational Physics Introductory Computational Science. Princeton University Press, Princeton and Oxford. Korres, K. & Kyriazis, A. (2010). Instructional Design using computers as cognitive tools in Mathematics and Science Higher Education. Σύγχρονα θέµατα Εκπαίδευσης, 1 (1), σελ. 43 65. Εκδόσεις Παπαζήση. 46

Βιβλιογραφία Derry S. J. (1990). Flexible cognitive tools for problem solving instruction. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, Boston, April. Κορρές Κ. (2003). Η χρήση του Η/Υ ως γνωστικού εργαλείου στη διδασκαλία των µαθηµατικών. Πρακτικά του 20ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηµατικής Παιδείας της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, µε τίτλο «Η διαδροµή του παιδιού από την προσχολική ηλικία µέχρι την ενηλικίωση». Βέροια, 7 9 Νοεµβρίου 2003. Kommers P. A. M., Jonassen D. H. & Mayes T. M. (1992). Cognitive tools for learning. Heidelberg, Germany: Springer Verlag. Pea R. D. (1985). "Beyond amplification: using the computer to reorganize mental functioning". Educational Psychologist, 20 (4). Perkins D. N. (1993). "Person plus: A distributed view of thinking and learning". In G. Salomon (Ed.), Distributed Cognitions: Psychological and Educational Considerations. Cambridge: Cambridge University Press. Salomon G. (1993). On the nature of pedagogic computer tools. The case of the writing partner. In S. J. Derry & S. P. Lajoie (1993), Computers as Cognitive Tools. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 47