ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Ι ΚΑΙ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΙΙ: ΦΥΣΙΚΗ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ημιτελείς προτάσεις A1 έως και Α4 και, δίπλα του, το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμά της. A1. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις x1α1ημωt και xαημ(ωt+π). Οι ταλαντώσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Για τα πλάτη Α1 και Α των ταλαντώσεων ισχύει ότι Α > Α1. Η σύνθετη ταλάντωση που εκτελεί το σώμα έχει πλάτος α. Α+A1 β. Α - Α1 γ. Α1 - Α δ. 𝐴"# + 𝐴## Επιλέγουμε το β. Σύμφωνα με τις δύο χρονικές εξισώσεις απομάκρυνσης x1α1ημωt και xαημ(ωt+π) παρατηρούμε ότι η διαφορά φάσης ανάμεσά τους είναι ίση με Δφπ rad. Σχεδιάζοντας τα δύο πλάτη ως περιστρεφόμενα διανύσματα, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα 1
Το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης Α θα ισούται με τη διαφορά των δύο πλατών: Α Α Α1 A. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος 1, κατά τη φορά ροής του ιδανικού ρευστού από το σημείο Α στο σημείο Β της ίδιας οριζόντιας ρευματικής γραμμής α. η πυκνότητα μειώνεται. β. η παροχή του σωλήνα μειώνεται. γ. η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ιδανικού ρευστού αυξάνεται. δ. η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ιδανικού ρευστού αυξάνεται. Επιλέγουμε το δ. Η παροχή Π του του σωλήνα είναι σταθερή, οπότε αν υποθέσουμε ότι στο σημείο Α και στο σημείο Β, η διατομή του σωλήνα είναι Α1 και Α αντίστοιχα με Α1 > Α και η ταχύτητα του ρευστού στα σημεία αυτά που βρίσκονται κατά μήκος της ίδιας (οριζόντιας) ρευματικής γραμμής είναι u1 και u αντίστοιχα, ισχύει:
Π 1 Π A1u1 Au A1 A u u1 ( 1) όμως αφού A1 > A A1 A >1 () από τις (1) και () καταλήγουμε ότι u u1 > 1 u > u1 ( 3 ) Η πυκνότητα του ρευστού είναι σταθερή, οπότε: ΔK ΔK 1 1 1 u > u1 u > u1 ρu > ρu1 ρu > ρu1 > ΔV ΔV A3. Η συχνότητα ταλάντωσης μιας πηγής, που παράγει εγκάρσιο αρμονικό κύμα σε ένα ελαστικό μέσο, διπλασιάζεται χωρίς να μεταβληθεί το πλάτος της ταλάντωσης. Τότε α. η ταχύτητα διάδοσης του κύματος διπλασιάζεται. β. το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος διπλασιάζεται. γ. το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος υποδιπλασιάζεται. δ. η ενέργεια ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα διπλασιάζεται. Επιλέγουμε το γ. Γνωρίζουμε ότι αφού δεν αλλάζει το ελαστικό μέσο διάδοσης του κύματος, η ταχύτητα διατηρείται. Έτσι, αφού διπλασιάζεται η συχνότητα θα υποδιπλασιαστεί το μήκος του κύματος. uδ σταθ λ1 f1 λ f λ1 f1 λ f1 λ λ1 A4. Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκείται σταθερή ροπή, οπότε αρχίζει να κινείται. Τότε α. το στερεό σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος αυξάνεται συνεχώς. 3
γ. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος είναι σταθερό. δ. η στροφορμή του σώματος είναι σταθερή. Επιλέγουμε το γ. Σύμφωνα με τον Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής για τη στροφική κίνηση, ισχύει: Στ Iaγων aγων Στ Ι A5. Να χαρακτηρίσετε, αν το περιεχόμενο των ακόλουθων προτάσεων είναι Σωστό ή Λάθος, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση. α. Κατά τον συντονισμό η ενέργεια του διεγέρτη μεταφέρεται στο ταλαντούμενο σύστημα, κατά τον βέλτιστο τρόπο. Σ Βλ. σελίδα 3, σχολικού εγχειριδίου Γ Λυκείου. β. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίδιο για κάθε σημείο μιας χορδής στην οποία δημιουργείται στάσιμο κύμα. Λ Βλ. σελίδα 53, σχολικού εγχειριδίου Γ Λυκείου. γ. Η παροχή υγρού σε σωλήνα μετριέται σε m3/s. Σ Βλ. σελίδα 93, σχολικού εγχειριδίου Γ Λυκείου. 4
δ. Όταν ένας αστέρας συρρικνώνεται, λόγω βαρύτητας, η γωνιακή ταχύτητά του, λόγω περιστροφής, ελαττώνεται. Λ Βλ. σελίδα 17, σχολικού εγχειριδίου Γ Λυκείου. ε. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων, η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. Λ Βλ. σελίδα 156, σχολικού εγχειριδίου Γ Λυκείου. B1. Δύο όμοιες και σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων, χωρίς αρχική φάση, παράγουν κύματα στην ελεύθερη επιφάνεια ηρεμούντος υγρού. Τα κύματα έχουν περίοδο Τ και πλάτος Α. Τα δύο κύματα φθάνουν σε σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού με χρονική διαφορά 3T/4. Το σημείο Σ ταλαντώνεται με πλάτος ίσο με: i. 𝐴 3 ii. 𝐴 iii. 𝐴 α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (μονάδες ) β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 6) 5
Μονάδες 8 Επιλέγουμε το ii. Αν υποθέσουμε ότι οι δύο εξισώσεις της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του σημείου Σ εξαιτίας των δύο κυμάτων που προέρχονται από τις πηγές Π1 και Π που απέχει από αυτές αποστάσεις r1 και r αντίστοιχα με r1 > r είναι: t r y1 Aηµ π 1 T λ και t r y Aηµ π T λ Η διαφορά φάσης ανάμεσά τους είναι: t r t r r r Δϕ ϕ ϕ 1 π π 1 Δϕ π 1 ( 1) λ T λ T λ Όμως Δϕ ωδt Δϕ π 3Τ 3π Δϕ () Τ 4 από (1) και () π r1 r λ 3π 3λ r1 r (3) 4 Οπότε το πλάτος Α της ταλάντωσης του σημείου Σ εξαιτίας της συμβολής θα είναι: A' A συν ( π r1 r λ ) A' A συν 3π A' A 4 A' A B. Το σχήμα παριστάνει την αρχή λειτουργίας του υδραυλικού ανυψωτήρα, που περιέχει ιδανικό ρευστό. Ασκούμε στο μικρό έμβολο του ανυψωτήρα, διατομής Α1, δύναμη μέτρου F1 κάθετη σε αυτό. Το μέτρο της δύναμης F, που ασκεί το υγρό στο έμβολο διατομής Α, είναι ίσο με: i. 𝐹" ii. 𝐹" ()) ()* (* () 6
iii. 𝐹" () (* Θεωρήστε ότι τα έμβολα είναι αβαρή. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (μονάδες ) β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 6) Μονάδες 8 Επιλέγουμε το iii. Σύμφωνα με την Αρχή του Pascal ισχύει: p1 p F1 A1 F A F F1 A A1 B3. Παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου A υ από ακίνητη ηχητική πηγή. Η διεύθυνση της ταχύτητας του παρατηρητή ταυτίζεται με την ευθεία που ενώνει την πηγή με τον παρατηρητή. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ. Ο αριθμός των μέγιστων του ήχου, που παράγει η πηγή σε χρόνο Δt, είναι Νs. Ο αριθμός ΝΑ των μέγιστων του ήχου, που φτάνουν στον παρατηρητή στον ίδιο χρόνο, είναι ίσος με: i. 𝒖,𝒖𝑨 ii. iii. 𝒖 𝒖 𝑵𝒔 𝑵𝒔 𝒖1𝒖𝑨 𝒖1𝒖𝑨 𝒖 𝑵𝒔 α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (μονάδες ) β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (μονάδες 7) Μονάδες 9 Επιλέγουμε το iii. Υπολογίζουμε τη συχνότητα με την οποία γίνεται αντιληπτός ο ήχος από τον παρατηρητή. 7
fa u ua u f S ( 1) Ισχύει ότι NA f A Δt f N ( 1 ) N A u ua u ua NA NS A A fs NS NS u u NS f S Δt Η ομογενής τροχαλία του σχήματος 3 έχει μάζα Μ4kg και ακτίνα R0,1m και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Τα σώματα Σ1 και Σ έχουν μάζες m1kg και m1kg αντίστοιχα και είναι δεμένα στα άκρα αβαρούς σχοινιού που διέρχεται από το αυλάκι της τροχαλίας. Αρχικά, τα σώματα Σ1 και Σ διατηρούνται ακίνητα και τα κέντρα μάζας τους βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t00 τα σώματα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. Γ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. Μονάδες 8 Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ1 τη χρονική στιγμή t13s. Γ3. Να υπολογίσετε τον αριθμό περιστροφών της τροχαλίας μέχρι τη χρονική στιγμή t13s. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των σωμάτων Σ1, Σ και τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. Μονάδες 6 Δίνονται: " Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της: 𝛪 𝛭𝑅# # Η επιτάχυνση της βαρύτητας g 10 m/s. Να θεωρήσετε ότι : Μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας η τριβή είναι μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Το μήκος του σχοινιού παραμένει σταθερό. 8
Τα σώματα Σ1 και Σ δεν φθάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται με την τροχαλία. Γ1. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στα τρία σώματα m1, m και Μ. Επειδή το νήμα είναι αβαρές τα μέτρα των δυνάμεων κατά μήκος του είναι ίδια, δηλαδή ισχύει: Τ 1 Τ 1' και Τ Τ ' Προφανώς το βάρος w1 σώματος m1 δημιουργεί μεγαλύτερη ροπή από το βάρος w του σώματος μάζας m, οπότε η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται αριστερόστροφα (anticlock wise). Επειδή τα νήματα είναι τυλιγμένα πάνω στην περιφέρεια της ίδιας τροχαλίας θα κινούνται έχοντας κάθε στιγμή την ίδια (κατά απόλυτη τιμή) μετατόπιση, η οποία θα ισούται με το αντίστοιχο μήκος τόξου ΔS που διαγράφει ένα σημείο της περιφέρειας της τροχαλίας, όταν έχει διαγράψει γωνία Δθ, δηλαδή: dx 1 dx ds Rdθ Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς το χρόνο (στοιχειώδεις μεταβολές στον ίδιο χρόνο), καταλήγουμε σε σχέση (μέτρων) ταχυτήτων: dx 1 dx ds dθ R u1 u u Rω και παραγωγίζοντας και πάλι, καταλήγουμε σε σχέσεις επιταχύνσεων: du1 du du Rdω du1 du du dω R a1 a aεπ Raγων Οπότε μπορούμε πλέον να μελετήσουμε κάθε σώμα με τη βοήθεια του Θεμελιώδους Νόμου της Μηχανικής. Για το σώμα μάζας m1 που εκτελεί μεταφορική κίνηση: Σ F m1a1 m1 g T1 m1raγων 0 Τ 1 0, aγων Τ 1 0 0, aγων ( 1) 9
Για το σώμα μάζας m που εκτελεί μεταφορική κίνηση: Σ F ma Τ m g m Raγων T m g 0,1 aγων Τ 10 + 0,1 aγων ( ) Για την τροχαλία θα έχουμε: 1 Στ Iaγων T1R T R MR aγων T1 T 0, aγων ( 3 ) Από τις (1), () και (3): 0 0, aγων 10 0,1 aγων 0, aγων 10 0,5 aγων aγων 0 r / s Γ. Το σώμα m1 εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με επιτάχυνση: a1 Raγων a1 m / s οπότε το μέτρο της ταχύτητάς του είναι: u1 a1t 1 u1 6m / s Γ3. Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας σε συνάρτηση με το χρόνο ωf(t) και από το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν που σχηματίζεται ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t0 μέχρι t3s και στο διάγραμμα υπολογίζουμε τη γωνιακή μετατόπιση Δθ της τροχαλίας: Επειδή aγων Δω ω 0 ω 60r / s Δt 3 Οπότε 10
Δθ Εµβ ( τριγωνου ) 3 60 Δθ 90r Ο αριθμός Ν των περιστροφών της τροχαλίας στο παραπάνω χρονικό διάστημα είναι: Ν Δθ 45 Ν π π Γ4. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ισούται με τη συνισταμένη ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα, δηλαδή του βάρους w1 και w των δύο μαζών m1 και m αντίστοιχα, οπότε: ΔL Στ Δt ( ) εξ w1r w R m1 gr m gr ( m1 m )gr ΔL 1kg.m / s Δt Σώμα Σ1, μάζας m11kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεδεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ 100N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα. Το σύστημα ελατήριο-σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x 0,4ημωt (SI). Τη χρονική στιγμή t1 π/10s το σώμα Σ1 συγκρούεται πλαστικά με ένα άλλο σώμα Σ μάζας m 3kg, που κινείται οριζόντια στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα u0/3m/s, όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Δ1. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση (μονάδες 3), το μέτρο (μονάδες 3) και τη φορά της ταχύτητας (μονάδα 1) του σώματος Σ1 τη χρονική στιγμή t1. Μονάδες 7 Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση (μονάδες 4), και να προσδιορίσετε τη φορά της (μονάδα 1). Δ3. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο της νέας αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση. Θεωρήστε ως t0 τη στιγμή της κρούσης και θετική φορά αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Μονάδες 8 Δ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής επί τοις εκατό (%) της κινητικής ενέργειας του 11
σώματος Σ1, κατά τη διάρκεια της κρούσης. Δ1. Αρχικά ο ταλαντωτής (μάζα m1 και το ελατήριο) διαθέτουν κυκλική συχνότητα ω1 η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: D k m1ω 1 100 ω 1 ω 1 10r / s Αντικαθιστούμε στη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης, όπου tt1 και υπολογίζουμε τη θέση του σώματος τη χρονική αυτή στιγμή: π tt1 x A1ηµ( ω 1t ) x 1 0,4ηµ 10 x 1 0,4ηµ0 x 1 0 10 Δηλαδή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. Υπολογίζουμε την ταχύτητα του σώματος τη χρονική αυτή στιγμή: π tt1 u ωα1συν ( ω 1t ) u1 10 0,4συν 10 u1 10 0,4συν π u1 4m / s 10 ( ) Δηλαδή, το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα αρνητικά! Δ. Εφαρμόζουμε τη Αρχή Διατήρησης της Ορμής για την κρούση: ( )!! 0 pπριν,συστ pµετα,συστ m1u1 + mu m1 + m V 1 ( 4 ) + 3 ( ) 4V V 6m / s 3 Το συσσωμάτωμα θα κινηθεί (προφανές;) προς τα αρνητικά! Δ3. Αρχικά ο ταλαντωτής (μάζα m1+m και το ελατήριο) διαθέτουν κυκλική συχνότητα ω η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: ( ) D k m1 + m ω 100 4ω ω 5r / s 1
Για το πλάτος Α της νέας ταλάντωσης: V ω Α Α 6 Α 1,m 5 Γενικά ισχύει ότι,x0 x Aηµ( ω t + ϕ ο ) t0 0 Aηµ( ϕ ο ) ηµ( ϕ ο ) 0 ηµ( ϕ ο ) ηµ0 ϕ ο κπ ϕ ο 0,V > 0 ϕο π ϕ ο κπ + π ϕ ο π,v < 0 Επομένως x 1,ηµ( 5t + π ) ( S.I.) Δ4. 1 K 1,πριν m1u1 K 1,πριν 8 J ΔK 1 K 1,µετα K 1,πριν ΔK 1 10 J 1 K m V K 1,µετα 18 J 1,µετα 1 ΔK 1 10 100% 100% 15% K 1,πριν 8 13