1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν τα ακόλουθα τρία είδη τριγώνων: Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του άνισες Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές του ίσες α Το σημείο τομής των ίσων πλευρών του λέγεται κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου β Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση Ισοπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες Αν εξετάσουμε ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του θα προκύψουν τα ακόλουθα τρία είδη τριγώνων: Οξυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες Ορθογώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα Αμβλυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία αμβλεία γωνία 112 Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Διάμεσος Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς Διχοτόμος Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά Ύψος Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς http://usersschgr/kpratsoli 1 Το Μήλο
12 Κριτήρια ισότητας τριγώνων Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους 1ο Κριτήριο (ΠΓΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα 2ο Κριτήριο (ΓΠΓ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα 3ο Κριτήριο (ΠΠΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα 121 Πορίσματα Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχοτόμο του ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουν: ΑΔΒ ΑΔΓ ΑΒ=ΑΓ ΠΓΠ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα ΑΔ κοινή A = A υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε B = Γ Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες http://usersschgr/kpratsoli 2 Το Μήλο
Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και ύψος Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχοτόμο του, ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουν: ΑΔΒ ΑΔΓ ΑΒ=ΑΓ ΠΓΠ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα ΑΔ κοινή A = A υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε: BΔ = ΔΓ που σημαίνει ότι η ΑΔ είναι διάμεσος και Δ = Δ Έχουμε ότι: Δ = Δ Δ + Δ = 180 Δ = Δ = 90 Επομένως, το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διάμεσο ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ ΑΔΒ ΑΔΓ ΑΒ=ΑΓ ΠΠΠ Αυτά έχουν: Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ΑΔ κοινή ΒΔ=ΔΓ ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους A = A που σημαίνει ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της A ίσα, οπότε: και Δ = Δ Έχουμε ότι: Δ = Δ Δ + Δ = 180 είναι ύψος του τριγώνου Δ = Δ = 90 Επομένως, το ΑΔ http://usersschgr/kpratsoli 3 Το Μήλο
Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ και Μ ένα σημείο της Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ Αυτά έχουν: ΜΚΑ ΜΚΒ ΑΚ=ΚΒ ΠΓΠ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και ΜΚ κοινή Κ = Κ = 90 τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε: ΜΑ=ΜΒ Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, Μ ένα σημείο, ώστε ΜΑ=ΜΒ και Κ το μέσο του ΑΒ Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ είναι διάμεσός του Όμως γνωρίζουμε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος Έχουμε, λοιπόν, ότι ΚΑ=ΚΒ και Συνεπώς η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ ΜΚ ΑΒ H μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος http://usersschgr/kpratsoli 4 Το Μήλο
Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες Έστω AB και ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ο,ρ) Συγκρίνουμε τα ΑΟΒ ΓΟΔ ΑΟ=ΟΓ=ρ ΠΓΠ τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν: Συνεπώς τα ΟΒ=ΟΔ=ρ Α ΟΒ = Γ ΟΔ τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε: ΑΒ=ΓΔ Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα Έστω δύο τόξα AB και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,ρ), μικρότερα του ημικυκλίου, που έχουν τις χορδές τους ίσες, δηλαδή ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε ΑΟΒ ΓΟΔ ΑΟ=ΟΓ=ρ ΠΠΠ τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν: τα τρίγωνα ΟΒ=ΟΔ=ρ ΑΒ=ΓΔ είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε: Α ΟΒ = Γ ΟΔ, οπότε AB = ΓΔ Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μεγαλύτερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα http://usersschgr/kpratsoli 5 Το Μήλο
13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων του θεωρήματος ΠΓΠ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα Θεώρημα Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι, αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο: Συνοπτικά:Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία του θεωρήματος ΓΠΓ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα Θεώρημα Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείας γωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι, αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο: Συνοπτικά:Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία http://usersschgr/kpratsoli 6 Το Μήλο
131 Πορίσματα Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔ Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν: ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινή Γνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομένως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα ΒΔ=ΓΔ, δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος ισχύει: Α = Α, δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος Συγκεντρωτικά, οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο,ρ) και μια χορδή του, ΑΒ Θεωρούμε την κάθετη ΟΚ, της ΑΒ, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής, δηλαδή το Κ είναι μέσο του ΑΒ και Ο = Ο Αφού Ο = Ο προκύπτει ότι ΑΜ = MB http://usersschgr/kpratsoli 7 Το Μήλο
Θεώρημα Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα Έστω κύκλος (Ο,ρ) Οι ΑΒ, ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚ, ΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους, επομένως, θα είναι και διάμεσοι, δηλαδή: ΑΚ = = ΚΒ και ΛΓ = = ΛΔ (*) Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν: ΑΟΚ ΓΟΛ Κ = Λ = 90 Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα ΟA=ΟΓ=ρ ΑΚ = = λ = = ΓΛ τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε: ΟΚ=ΟΛ Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν: ΑΟΚ ΓΟΛ Κ = Λ = 90 Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, ΟA=ΟΓ=ρ ΟΚ = ΟΛ οπότε: ΚΑ=ΛΓ δηλαδή (*) = AΒ = ΓΔ http://usersschgr/kpratsoli 8 Το Μήλο
Θεώρημα Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου Έστω μια γωνία x Oy και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της, Οδ Θα αποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Φέρουμε ΜΑ Ox και ΜΒ Oy Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ ΑΟΜ ΒΟΜ Α = Β = 90 Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων και ΒΟΜ έχουν: τα ΟΜ κοινή Μ ΟΑ = Μ ΟΒ τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε: ΜΑ=ΜΒ Έστω μια γωνία x Oy και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέρουμε ΜΑ Ox και ΜΒ Oy και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα αποδείξουμε ότι Μ ΟΑ = Μ ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ ΑΟΜ ΒΟΜ Α = Β = 90 Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Αυτά έχουν: τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία ΟΜ κοινή ΜΑ = ΜΒ τους ίσα, άρα: Μ ΟΑ = Μ ΟΒ, οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι: Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίας, που ισαπέχουν από τις πλευρές της http://usersschgr/kpratsoli 9 Το Μήλο