3.12 Τριγωνική ανισότητα (ΛΥΣΕΙΣ) version

3.12 Τριγωνική ανισότητα (ΛΥΣΕΙΣ) version 30-11-2016 Θεώρημα Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. β γ < α < β + γ, β γ ή β γ < α < β + γ ΣΧΟΛΙΟ: Γενικότερα ισχύει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη γραμμή που έχει άκρα τα Α και Β Απόδειξη: Φέρνουμε την διαγώνιο ΑΔ. Στο τρίγωνο ΑΓΔ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ΑΔ<ΑΓ+ΓΔ (1) Στο τρίγωνο ΑΔΒ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ΑΒ<ΑΔ+ΔΒ (2) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε ΑΔ+ΑΒ <ΑΓ+ΓΔ +ΑΔ+ΔΒ ΑΒ <ΑΓ+ΓΔ +ΔΒ Πόρισμα: Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου. Απόδειξη: Εστω κύκλος (Ο,ρ) Αν η χορδή είναι διάμετρος τότε ισχύει το Πόρισμα ως ισότητα. Αν η χορδή δεν είναι διάμετρος όπως η ΑΒ στο διπλανό σχήμα, τότε φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ, οπότε σχηματίζεται το τρίγωνο ΟΑΒ.Σε αυτό από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ΑΒ<ΟΑ+ΟΒ ΑΒ<ρ+ρ ΑΒ<2ρ ΑΒ<δ Αρα τελικά για κάθε χορδή ΑΒ ισχύει ΑΒ δ. ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ Η ύλη των παραγράφων αυτών είναι νέα για τους μαθητές. Να επισημανθεί στους μαθητές ότι η τριγωνική ανισότητα αποτελεί κριτήριο για το πότε τρία ευθύγραμμα τμήματα αποτελούν πλευρές τριγώνου (προτείνεται η δραστηριότητα Δ.12 του ΑΠΣ). Στόχος είναι οι μαθητές να διαπιστώσουν την αναγκαιότητά της, αλλά και τη λειτουργικότητά της, για την κατασκευή ενός τριγώνου. Επίσης, προτείνονται οι ασκήσεις 4 και 6 (Αποδεικτικές), που διαπραγματεύονται την απόσταση σημείου από κύκλο και σχέσεις χορδών και τόξων αντίστοιχα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 1

Δραστηριότητα 12 Ο Ανδρέας ισχυρίζεται ότι: «Αν θέλουμε να ελέγξουμε την ύπαρξη τριγώνου με πλευρές α = 3,75cm, β = 4,08cm και γ = 7,82cm, θα πρέπει να δούμε αν ικανοποιούνται οι εξής 3 ανισότητες α < β + γ, β < α + γ, γ < α + β». Η Ειρήνη ρωτά: «Δεν αρκεί ο έλεγχος να γίνει μόνο για μια πλευρά;». Τι θα απαντούσατε στην Ειρήνη; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Απάντηση: Αν η μεγαλύτερη πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο τότε υπάρχει τρίγωνο (όπως άλλωστε μπορούμε να διαπιστώσουμε προσπαθώντας να το κατασκευάσουμε, δηλαδή σχεδιάζουμε την μεγαλύτερη πλευρά, και μετά με κέντρα τα δύο άκρα της και ακτίνες τα άλλα δύο τμήματα φέρνουμε κύκλους οι οποίοι τέμνονται σε ένα σημείο. Σημείωση: Αναρωτήθηκα αν ισχύουν οι άλλες ανισότητες δηλαδή αν καθεμιά από τις δύο μικρότερες είναι μικρότερη από την μεγαλύτερη και την άλλη μικρότερη τότε μπορώ να συμπεράνω ότι κατάσκευάζεται τέτοιο τρίγωνο;oμως δεν αρκεί γιατί καθεμιά από τις δύο μικρότερες είναι έτσι κι αλλιώς μικρότερες από το άθροισμα της μεγαλύτερης και της άλλης μικρότερης. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να εξετάσετε αν κατασκευάζονται τρίγωνα με μήκη πλευρών τις τιμές των α,β και γ για τις περιπτώσεις του παρακάτω πίνακα. α β γ 5 6 7 10 3 4 8 9 10 12 3 5 Λύση Αφού η μεγαλύτερη πλευρά γ είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων κατασκευάζεται Αφού η μεγαλύτερη πλευρά α δεν είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων δεν κατασκευάζεται Αφού η μεγαλύτερη πλευρα γ είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων κατασκευάζεται Αφού η μεγαλύτερη πλευρα α δεν είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων δεν κατασκευάζεται. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 2

Ενδεικτική δραστηριότητα 2: Αν δύο πλευρές τριγώνου έχουν μήκη 5 και 9: α) Να δώσετε ενδεικτικές τιμές για την τρίτη πλευρά, β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές το μήκος της τρίτης πλευράς. Απάντηση α) Η διαφορά των δύο πλευρών είναι 9-5=4 και το άθροισμα τους 5+9=14 άρα δυνατές τιμές για την τρίτη πλευρά 5,6,7,8,9,10,11,12,13 β) Το ζητούμενο διάστημα είναι το (4,14) Σημείωση (2016) : Mαθητής (Μιλ) παρατήρησε ότι αν γνωρίζαμε ότι η ζητούμενη πλευρά είναι η μεγαλύτερη θα έπαιρνε τιμές στο (9,14). Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3

Α4. Έστω κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΑΒ και σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου να αποδειχθεί ότι ΣΑ ΣΜ ΣΒ. (Το τμήμα ΣΑ λέγεται απόσταση του Σ από τον κύκλο). Λύση: Αφού το Σ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου ισχύει ΟΣ>ακτίνα του κύκλου, οπότε ΟΣ>ΟΜ. Αν τα Σ,Ο, Μ δεν είναι συνευθειακά, με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΣΟΜ έχουμε: ΟΣ ΟΜ < ΣΜ < ΟΣ + ΜΟ ΟΣ ΟΑ < ΣΜ < ΟΣ + ΟΒ ΣΑ < ΣΜ < ΣΒ Αν Μ Ατότε: ΣΑ = ΣΜ < ΣΒ Αν Μ Βτότε: ΣΑ < ΣΜ = ΣΒ Σχόλιο: Εδώ τα παιδιά όταν τους είπα ότι για να εφαρμόσουμε τριγωνική ανισότητα πρέπει να υπάρχει τρίγωνο πρότειναν να φέρουμε την ΜΑ, την ΜΟ ή και την ΜΒ χωρίς να συζητήσουμε εκτενώς γιατί το πρότειναν. Ομως μετά από αυτή την συζήτηση αναρωτήθηκα αν λύνεται με άλλο τρόπος και μετά από αρκετή προσπάθεια ιδίως για το 2 ο μέρος της απόδειξης κατέληξα στο εξής: Β τρόπος: Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180 μοιρών οπότε Στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΜ έχουμε Α ˆ +Μ ˆ < 180 Α ˆ +Α ˆ < 180 2Α ˆ < 180 Α ˆ < 90 1 1 1 1 1 1 Αρα η Α ˆ 2 > 90 οπότε η μεγαλύτερη πλευρά θα είναι η ΜΣ οπότε ΣΑ<ΜΣ (1) Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4

Η γωνία Β ˆ ˆ 1 =Μ 1 οπότε επειδή Μ ˆ ˆ 1 < ΣΜΒ θα είναι και Β ˆ ˆ 1 < ΣΜΒ οπότε οι απέναντι πλευρές θα είναι ομοίως άνισες δηλαδή ΣΜ<ΣΒ. (2) Συνδιάζοντας της (1) και (2) παίρνουμε ΣΑ<ΜΣ< ΣΒ Επειδή μπορεί το Μ να ταυτίζεται με το Α ή το Β τελικά έχουμε: Σημείωση: Η απόδειξη αυτού του 2 ου μέρους της ανισότητας με ταλαιπώρησε κάπως. Α6. Εστω κύκλος (Ο, R) και δύο τόξα ΑΒ και Γ.Αν ΑΒ = 2Γ, να αποδείξετε ότι ΑΒ<2ΓΔ Λύση: Θεωρούμε το μέσο Μ του τόξου ΑΒ, οπότε ΑΜ = ΜΒ = Γ και επομένως αφού σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές ( 3.2 Πόρισμα IV) ΑΜ=ΜΒ=ΓΔ (1) Τότε λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΑΜΒ έχουμε ότι ( 1) ΑΒ < ΑΜ + ΜΒ ΑΒ < Γ + Γ ΑΒ < 2Γ Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5

Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Δίνεται ευθεία ε και δύο σημεία Α, Β εκατέρωθεν αυτής. α_i ) Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ της ευθείας, για το οποίο το άθροισμα ΑΜ+ΒΜ γίνεται ελάχιστο, α_ii ) Υπάρχει σημείο Μ, ώστε το άθροισμα να γίνει μέγιστο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Λύση Φέρνουμε το τμήμα ΑΒ που τέμνει στο σημείο την ε στο σημείο Μ0. Προφανώς ισχύει Μ0Α+Μ0Β=ΑΒ (1) Για ένα οποιοδήποτε άλλο σημείο της ευθείας ε από το τρίγωνο ΑΒΜ, από την τριγωνική ανισότητα ΜΑ+ΜΒ>ΑΒ (2). Αρα η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το ΜΑ + ΜΒ είναι ΑΒ και αυτή επιτυγχάνεται όταν το Μ είναι το σημείο τομής της ΑΒ με την ευθεία ε. α_ii ) Δεν υπάρχει σημείο για το οποίο το άθροισμα να γίνεται μέγιστο γιατί όσο το Μ απομακρύνεται προς τα αριστερά ή δεξιά ολοένα το άθροισμα μεγαλώνει. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6

Δίνεται ευθεία ε και δύο σημεία Α, Β προς το ίδιο μέρος αυτής. α_iii ) Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ της ευθείας ε, για το οποίο το άθροισμα ΑΜ+ΒΜ γίνεται ελάχιστο, α_iv ) Υπάρχει σημείο Μ, ώστε το άθροισμα να γίνει μέγιστο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Εδώ το πρόβλημα δεν φαίνεται τόσο εύκολο όπως στην περίπτωση που τα σημεία ήταν εκατέρωθεν της ευθείας. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να το αναγάγουμε στην προηγούμενη περίπτωση Φέρνουμε το συμμετρικό Α' του Α ως προς την ε. Τότε η ε είναι μεσοκάθετη του ΑΑ, οπότε ΜΑ = ΜΑ και επομένως ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ + ΜΒ (1). Αρα αρκεί να βρούμε το σημείο της ε που το άθροισμα των αποστάσεών του από τα Α και Β είναι ελάχιστο. Ομως όπως δείξαμε προηγουμένως αυτό είναι το σημείο τομής του Α Β με την ε. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7

β) Δίνεται ευθεία ε και δύο σημεία Α, Β εκατέρωθεν αυτής. Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ της ευθείας, για το οποίο i) η διαφορά ΑΜ-ΜΒ γίνεται μέγιστη. ii) Υπάρχει σημείο Μ, ώστε η διαφορά να γίνει ελάχιστη; Αν ναι, ποιο; [Σχόλιο-στόχος: Οι μαθητές χρησιμοποιούν τις ανισοτικές σχέσεις σε ένα τρίγωνο, σε επίλυση προβλήματος] Λύση (δες και Courant What is mathematics maxima and minima) Αν θεωρήσουμε το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι από την τριγωνική ανισότητα: ΜΑ-ΜΒ<ΑΒ και ακόμα Μ0Α-Μ0Β<0<ΑΒ.Αρα το ΑΒ είναι μεγαλύτερο από κάθε διαφορά, αλλά δεν υπάρχει σημείο για το οποίο η διαφορά να είναι ίση με ΑΒ.Δηλαδή η απόσταση ΑΒ είναι φράγμα όπως λέμε, αλλά όχι μέγιστο. Υποψιασμένοι από το προηγούμενο πρόβλημα σκεφτόμαστε μήπως το πρόβλημα αυτό αντίθετα από το προηγούμενο είναι πιο εύκολο όταν τα Α και Β είναι προς το ίδιο μέρος της ε. Πράγματι όταν τα Α και Β είναι προς το ίδιο μέρος της ε, για το σημείο τομής Μ0 της ΑΒ με την ε ισχύει Μ0Β- Μ0Α=ΑΒ ενώ για οποιοδήποτε άλλο σημείο της ε διαφορετικό του Μ0 ισχύει ΜΒ- ΜΑ<ΑΒ. Αρα λύση του προβλήματος είναι το Μ0. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 8

Πλέον γυρνώντας στην περίπτωση τα Α και Β είναι εκατέρωθεν της ε, αν θεωρήσουμε το συμμετρικό Α του Α ως προς την ε αναγόμαστε στο πρόβλημα που μόλις λύσαμε β_ii H διαφορά γίνεται 0 για το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ΑΒ με την ε. Οταν το x απομακρύνεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά στην ευθεία τότε η διαφορά ΜΑ-ΜΒ τείνει στο στο x είναι θετικό ή αρνητικό. Β x ή το x x Α Α Β που ανάλογα με την σχετική θέση των Α και Β μπορεί να Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 9