ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) = ( 3 3i)( + i) 4 + 3i β) = 9 + 9i γ) δ) 3 = + i 4 5 5λ κi 4 =, κ, λ R 5λ+κi * ε) = ( + i) + ( 3i) 5 3 3i i 3 3i i 3 3 = + = + = + + = α) ( )( ) ( ) 3 = 6 = (Το μέτρο του γινομένου δύο μιγαδικών αριθμών ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους) β) 4 + 3i 4 + 3i = = = = 9 + 9i 9 + 9i ( )

2 5 = 0 = (Το μέτρο του πηλίκου δύο μιγαδικών ισούται με το πηλίκο των μέτρων τους) γ) = + i i = + = + = = 4 6 ν * ν =, ν N (Το μέτρο μίας δύναμης ενός μιγαδικού αριθμού ισούται με την δύναμη του μέτρου του) δ) λ κi 5λ κi 5λ+κi 5λ+κi 5λ+κi = = = = 5 = = = 5λ+κi 5λ+κi 5λ+κi 5λ+κi 5λ+κi 5, N, ν ν * = ν = και του συζυγή του) = (Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού ισούται με το μέτρο ε) ( i) ( 3i ) i 4 i 9 5 0i 5( i) 5 = + + = + + = = + = 5 + i = 5 5 Για να βρούμε το μέτρο του αλγεβρικού αθροίσματος δύο γνωστών μιγαδικών, υπολογίζουμε πρώτα το αλγεβρικό άθροισμα τους και μετά το μέτρο τους

3 Παράδειγμα. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύει: 3 3 = και 5 w =, να βρείτε το 3 5 w. ( τρόποι λύσης) Α' Τρόπος: Είναι 5 w = w 3w = 5 3 w 5 = 3w ( w 5) = 3w 3w = w 5 (), 5 w Άρα 3 3 () 3 3w 6w 5 6w + 4 = 3 = 3 = w 5 ( w 5) = 3 = 3 w 5 w 5 ( ) ( ) 6 3 w 5 = w 5 = w 5 = 5 w = 6 6 Αν μας δίνονται δύο ισότητες της μορφής f ( ) =α> 0, w = g ( ) και ζητείται το h( w ), λύνουμε την η ισότητα ως προς το, αντικαθιστούμε στην η και βρίσκουμε το h(w). Β' Τρόπος: 5 5 w = 5 = = = 3 3 = = 3 3 = = 3 3 = =

4 Αντικαθιστούμε το w = g( ) στην παράσταση ( ) δημιουργούμε το f( ) που είναι γνωστό και με πράξεις βρίσκουμε το αποτέλεσμα. h w στην οποία με χρήση των ιδιοτήτων 4

5 Παράδειγμα 3. Αν για το μιγαδικό ισχύει η σχέση + 7 = 3 να υπολογίσετε το. + 7 = 3 () Θέτουμε w = = w+ () Οπότε η σχέση () γίνεται λόγω της (): ( ) ( ) w+ + 7 = 3 w+ w+ 9= 3w+ w 9 ( 3w ) ( w 9)( w 9) 9( w )( w ) + = = + + ( w 9)( w 9) 9( w )( w ) + + = + + ww + 9w + 9w + 8 = 9( ww + w + w + ) ww + 9w + 9w + 8= 9ww + 9w + 9w = 9ww ww 8ww = 7 8 w = 7 w = 9 w = 3 Άρα = 3 Αν μας δίνεται μία ισότητα της μορφής f ( ) =αg() ( ), α> 0 και ζητείται το ( ) θέτουμε w h ( ) () h, τότε =. Λύνουμε την () ως προς και αντικαθιστούμε στην (), της οποίας υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και γίνεται t w =α φ w t w t w =αφ w φ w και ισοδύναμα καταλήγουμε στο w, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δηλαδή στο h( ) που είναι και το ζητούμενο. 5

6 Παράδειγμα 4. Αν C και + =. α) Να δείξετε ότι η εικόνα του βρίσκεται πάνω στον άξονα xx. β) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. α) + = = =. Άρα ο είναι πραγματικός αριθμός και παίρνει την μορφή = x + 0i, x. Επομένως η εικόνα του M( x,0 ) είναι σημείο του άξονα xx. β) Η αρχική εξίσωση γίνεται: x + x = x =, αν x 0 3 x =, αν x < 0 x+ x =, αν x 0 x + x =, αν x < 0 x = αποδεκτή ή x = απορρίπτεται. 3 Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση την =. 3 Για να δείξουμε οτι η εικόνα ενός μιγαδικού είναι σημείο του άξονα xx, αρκεί να δείξουμε ότι ο είναι πραγματικός. Αν πραγματικός, η εξίσωση με άγνωστο το, η οποία περιέχει το, ανάγεται σε επίλυση εξίσωσης πραγματικών αριθμών με απόλυτα. 6

7 Παράδειγμα 5. Αν * C και 3 = (), α) Να βρείτε το μέτρο του. β) Να δείξετε ότι γ) Να βρείτε τον. 4 =. α) Από την ισότητα δύο μιγαδικών μπορούμε να συμπεράνουμε την ισότητα των μέτρων τους, οπότε η ( ) γίνεται: = = = 3 = = = = β) ( ) 0 3 = = = = ( ) 4 γ) ( ) 0 = ( )( + ) = 0 ( )( )( ) + i = 0 ( + )( )( + i)( i) = 0 = ή = ή = i ή = i. α) Αν έχουμε ισότητα που περιέχει τον ή ή στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού και ζητείται το, τότε από την ισότητα αυτή προκύπτει ισότητα των μέτρων των δύο μελών της και με εφαρμογή των ιδιοτήτων υπολογίζουμε το. β) Για να δείξουμε ότι ν * = α, όπου α θετικός πραγματικός και ν N, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της αρχικής σχέσης με κατάλληλη δύναμη του ώστε να προκύψει το ν και με την βοήθεια των ιδιοτήτων του μέτρου και αντικατάσταση του (που είναι πλέον γνωστό) καταλήγουμε στη ζητούμενη σχέση. γ) Για να βρούμε το μιγαδικό, λύνουμε την εξίσωση του (β) ερωτήματος ως προς. 7

8 Παράδειγμα 6. Να υπολογίσετε τα μέτρα των παρακάτω μιγαδικών : α) ( i) ( i) + 3i = + β) = γ) i 3 3 = + i δ) 4 = + (4 3i) ( i) 3 + i ε) 5 + 3i = 3i 0 = 3i + + 5i στ) ( ) 6 α) ( i) ( i) ( i) ( i) = + = + = = + ( ) + = 5 5 = 5. β) + 3i + 3i = = i = = = i + 5 ( ) ( ) γ) = + i i = + = + = + = 4 4 δ) i + i = = = = 3 + i 3 + i ( 4 3i) ( i) ( ) ( ) ( 3) + ( ) 5 = = ε) i + 3i + 3i + 3i 5 = = = = = 0 0 3i 3i 3i + 3i = 3i + + 5i = 6i i = 6 i. στ) ( ) 6 = 6 + = 37. Τότε ( ) ( ) 6 8

9 Για τον υπολογισμό του μέτρου μιγαδικών χρησιμοποιούμε τον ορισμό και τις ιδιότητες = = = και = = =. ν ν,, Αν ο μιγαδικός αποτελείται από αλγεβρικό άθροισμα άλλων μιγαδικών, τότε πρώτα κάνουμε τις πράξεις, τον φέρνουμε στη μορφή =α+β i και μετά υπολογίζουμε το μέτρο του. 9

10 Παράδειγμα 7. Αν, να δείξετε ότι: α) + i = i β) + = ο είναι φανταστικός. α) Α Τρόπος: + i = i + i = i ( + i) ( i) = ( i) ( + i) i + i + = + i i + i = i = Β Τρόπος: Επειδή + i = i ( i) = i συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες M() ανήκουν στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α(0,-) και Β(0,). Δηλαδή ανήκουν στην ευθεία y= 0, άρα = x+ 0i R β) Α Τρόπος: + = + = ( + ) ( + ) = ( ) ( ) = = 4 = ο είναι φανταστικός. Β Τρόπος: Επειδή + = ( + 0i) = ( + 0i) συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες M() ανήκουν στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α(-,0) και Β(,0). Δηλαδή ανήκουν στην ευθεία x = 0, άρα = 0 + yi που είναι φανταστικός 0

11 . Αν δίνεται μια ισότητα μέτρων μιγαδικών και θέλουμε να αποδείξουμε μια άλλη ισότητα, τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη της δεδομένης ισότητας στο τετράγωνο και κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα =.. Για να δείξουμε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός αρκεί να δείξουμε ότι =. 3. Για να δείξουμε ότι ο είναι φανταστικός αριθμός αρκεί να δείξουμε ότι =. ΠΡΟΣΟΧΗ: Για να χρησιμοποιηθούν οι παραπάνω προτάσεις πρέπει πρώτα να αποδεικνύονται

12 Παράδειγμα 8. Αν για τους μιγαδικούς, ισχύει = = και 4, να δείξετε ότι ο αριθμός w = 4 είναι πραγματικός. Επειδή 4 4 = = 4 = 4 =. Ομοίως προκύπτει =. w = = = = = = = 4 4 w. Άρα ο w είναι πραγματικός. α =α =α =α = R =

13 Παράδειγμα 9. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) + = β) ( ) 3 = α) Επειδή + R έπεται ότι R R Επομένως αν = x + yi, τότε y= 0 δηλαδή = x R και έχουμε: + = x+ = x () Πρέπει x 0 οπότε η () είναι ισοδύναμη με το σύστημα ( x+ ) = ( x) x + 4x + 4 = x x =. x 0 x 0 Άρα =. β) Έστω = x + yi με x, y. Τότε έχουμε: 3 ( ) = 3(x + y ) yi = (ισότητα μιγαδικών) ( ) + = x = 4 = ή = y = 0 y = 0 y = 0 3 x y x x. Άρα = ή =. = Re( ) = Re( ) και Im( ) = Im( ) Αν = x + yi, τότε = x + y 3

14 Παράδειγμα 0. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς, να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( ) Ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 που ισχύει. 0 = 4

15 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Αν,,3 C, με = = 3 = 0 να δείξετε ότι: = = 0 = 0 = 00 = Ομοίως αποδεικνύεται ότι: =, 3 =. Οπότε έχουμε: = + + = = = = = = = = Αν μας δίνεται = = 3 =α> 0 και ζητείται να δείξουμε ότι ( ) ( ) f,, = α g,,, τότε έχουμε 3 3 =α =α α ν ν ν =, ν=,, 3. ν Αντικαθιστούμε τα ν στο ένα μέλος της ισότητας που θέλουμε να δείξουμε και καταλήγουμε στο άλλο μέλος. ν 5

16 Παράδειγμα. Αν < και < να δείξετε ότι < (). Η σχέση () γίνεται ισοδύναμα: ( ) < ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) < < ( )( ) + < + < + + < + + < ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 < 0 < ( )( )( )( ) + + < 0, που ισχύει γιατί: < < 0 < > 0 + > 0 + > 0 Άρα ισοδύναμα ισχύει και η αρχική. Aν μας δίνονται, <α <β και ζητείται να δείξουμε ότι f(, ) g(, ) ( ) ( ) f(, ) g(, ) f(, ) f (, ) g(, ) g(, ) <, τότε: < < και με ισοδυναμίες και τη χρήση των δοσμένων ανισοτήτων καταλήγουμε σε κάτι που ισχύει. 6

17 Παράδειγμα 3. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών την εξίσωση = 0. Έστω = x + yi, x, y. Η εξίσωση γίνεται: = x + xyi y + 4 x + y + 5 = 0 ( ) x yi 4 x yi 5 0 ( ) ( ) x y + 4 x + y xy i= 0 x y + 4 x + y + 5= 0 και xy = 0 x y + 4 x + y + 5= 0 και (x = 0 ή y = 0) = x = 0 x y 4 x y 5 0 ή x y + 4 x + y + 5= 0 y= = y 4y 5 0 x = 0 ή + + = x 4x 5 0 y= 0 Θέτουμε y = κ και x = λ. Οπότε έχουμε: κ + κ+ = ( ) x = 0 ή λ + λ+ = ( ) y= 0 ( ) κ 4κ 5= 0 ( ) ( ) κ 5 κ+ = 0 κ= 5 ή y =κ κ= y = 5 ή y y 0 = y= 5 ή y= 5 Η εξίσωση ( ) έχει = = 4 < 0. 'Αρα δεν έχει λύσεις στο. Συνεπώς, η αρχική εξίσωση έχει δυο λύσεις τις = 5i, = 5i. Για να λύσουμε εξίσωση με άγνωστο το μιγαδικό η οποία περιέχει ή, θέτουμε = x + yi, x, y, αντικαθιστούμε το στην εξίσωση, η οποία ανάγεται σε επίλυση συστήματος εξισώσεων με αγνώστους. 7

18 Παράδειγμα 4. α) Αν ισχύει 3=, να υπολογίσετε το. β) Επιπλέον αν =, να υπολογίσετε το. α) Θέτω w = = w+. Τότε έχουμε 3= w = w ( ) ( ) ( ) ( ) w = w w w = w w w w w w + 4 = w w w w + w w = w = w =. Άρα = β) Έχουμε = = ( )( ) = ( )( ) + 4 = + = = = Αν δίνεται μια ισότητα της μορφής f () h() = g() () και ζητείται το h(), τότε θέτουμε = w, λύνουμε ως προς και αντικαθιστούμε στην (). Από αυτήν υπολογίζουμε το w. 8

19 Παράδειγμα 5. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, ισχύει + =. + 4 =, να δείξετε ότι Α Τρόπος: Από την δεδομένη ισότητα έχουμε 4 ( ) ( ) + = + 4 = + 4 ( ) + = 0 + = 0 (). + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) + + = = 4 + ( ) 4 + = 0 + = 0που ισχύει σύμφωνα με την (). Β Τρόπος: Έστω M και M οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα. Τότε M M = Το δεδομένο ( ) + 4 = σημαίνει ότι ( OM ) ( OM ) ( M M ) + =. Επομένως M ˆ OM = 90 και το OMM3M είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Όμως σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες του είναι ίσες. Δηλαδή ισχύει ( OM3) = ( MM). Άρα + = 9

20 = Η απόσταση των εικόνων δύο μιγαδικών είναι ίση με το μέτρο της διαφοράς τους 0

21 Παράδειγμα 6. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 για τους οποίους ισχύει = = 3 και = 0. Να δείξετε ότι : = 3 = 3. (Πανελλήνιες Εξετάσεις 006) Είναι = 0 = 3 (). Θα δείξουμε ότι: = 3. Με τη βοήθεια της () έχουμε: = = = + + = + ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) + + = = = 3 = = (που ισχύει) Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι = 3. α=β=γα=β και β=γ

22 Παράδειγμα 7. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει = =. Έχουμε = = = () και = () Αν = x + yi, από την () έχουμε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=, δηλαδή ισχύει x + y = (3) Από τη () έχουμε ότι η εικόνα των ανήκει και στη μεσοκάθετο του τμήματος ΟΑ με άκρα Ο(0,0) και Α(,0), δηλαδή η εικόνα του ανήκει στην ευθεία x = (4) Οι (3) και (4) πρέπει να ισχύουν συγχρόνως. Επομένως τα x,y θα είναι οι λύσεις του συστήματος x + y = y = y =. x = x = x = Επομένως ( x = και y= ) ή ( x = και y= ) Άρα = + i ή = i Αν 0 =ρ, τότε η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο K( 0) και ακτίνα ρ Αν =, τότε η εικόνα του ανήκει στη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος MM με άκρα τις εικόνες M ( ) και M ( ).