ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ενότητα 1: Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας: Προβλήματα Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων- Μέρος ΙΙI Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ιοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 1. Προβλήµατα Μεταφορών ροµολόγηση Στόλου Οχηµάτων - 1

Ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke & Wright Clarke, G. & Wright, J.W.: "Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points", Operations Research, Vol. 1, pp. 68-81, 196.

Ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke & Wright Η ιδέα: Εξοικονόµηση (βελτίωση) της συνολικής απόστασης εάν συνδέσουµε δύο κόµβους µεταξύ τους. Για ένα πρόβληµα µε Ν κόµβους θεωρούµε ότι έχουµε Ν-1 οχήµατα για να επισκεφθούµε Ν-1 κόµβους. Ο Ν-οστός είναι η αφετηρία.

Ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke & Wright Πως εξοικονοµώ απόσταση; i C i0 C 0j j C 0i 0 C j0

Ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke & Wright Πως εξοικονοµώ απόσταση; i C i0 C 0j j i C ij j C 0i 0 C j0 d = c0 + c 0 + c0 + c 0 i i j j C 0i 0 C j0 d ' = c0 + c + c 0 i ij j sij = d d ' = c 0 i + c 0 + c 0 i j + cj 0 (c 0 i + cij + cj 0 ) = ci 0 + c 0 j c ij

Ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke & Wright 1. Επέλεξε ένα κόµβο ως αφετηρία (έστω τον κόµβο 0). ηµιούργησε n περιηγήσεις (0, i, 0) i=1,,, n. Υπολόγισε την εξοικονόµηση S ij που προκύπτει από τη σύνδεση κάθε ζεύγους κόµβων i και j σύµφωνα µε την σχέση: S = C + C C. ij ij i0 ιέταξε τις εξοικονοµήσεις S κατά φθίνουσα σειρά.. Ξεκινώντας από την κορυφή της ταξινοµηµένης λίστας συνέδεε κόµβους µέχρι να φτιαχτεί ένα πλήρες TSP δροµολόγιο. 6 0j ij

Ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke & Wright Ανάλυση βήµατος : Κατασκευή TSP δροµολογίου: Υπάρχουν γενικές εκδόσεις για το βήµα : Η σειριακή µέθοδος: Σε κάθε επανάληψη δηµιουργείται ακριβώς ένα δροµολόγιο. Ζεύγος κόµβων που προκαλεί επιπλέον δροµολόγιο απορρίπτεται. Η παράλληλη µέθοδος: Σε κάθε επανάληψη µπορούν να δηµιουργηθούν πάνω από ένα δροµολόγια ταυτόχρονα. Βασική παρατήρηση: Έστω ότι το τρέχον δροµολόγιο είναι το 0,i,,j,0. Κάθε νέος κόµβος k µπορεί να συνδεθεί στο τρέχον δροµολόγιο µόνο στην η ή την πρωτελευταια θέση του. ηλαδή, νόµιµα δροµολόγια είναι, είτε το 0,k,i,,j,0 είτε το 0,i,,j,k,0. 7

Παράδειγµα αλγορίθµου εξοικονόµησης απόστασης 1 1 8

1 Παράδειγµα αλγορίθµου εξοικονόµησης απόστασης 1 Λύση: Αφετηρία ο κόµβος 1 Εξοικονόµηση απόστασης: S ij = C i1 + C 1j C ij S = C 1 + C 1 C = S = C 1 + C 1 C = 0 S = C 1 + C 1 C = S = C 1 + C 1 C = S = C 1 + C 1 C = S = C 1 + C 1 C = 0 S S S S S S ιάταξη εξοικονοµήσεων κατά φθίνουσα σειρά 9

Κατασκευή TSP δροµολογίου: Σειριακή µέθοδος Εξοικονοµήσεις Η (,) δεν µπορεί να συγχωνευθεί στην υπάρχουσα περιήγηση. Προσθήκη της (,). Προκύπτει η 1---1 1 S S S S S S Προσθήκη της (,). Προκύπτει η 1----1 10

Κατασκευή TSP δροµολογίου: Σειριακή µέθοδος Εξοικονοµήσεις Η (,) δεν µπορεί να συγχωνευθεί στην υπάρχουσα περιήγηση. Η (,) δεν µπορεί να συγχωνευθεί στην υπάρχουσα περιήγηση. S S S S S S Προσθήκη της (,). Προκύπτει η 1-----1 11

Κόστος τελικής λύσης παραδείγµατος βάσει Clarke & Wright 1 1 1 Τελικό κόστος περιήγησης = ++1++ = 1 1

Κατασκευή TSP δροµολογίου: Παράλληλη µέθοδος Εξοικονοµήσεις Προσθήκη της (,) δηµιουργεί την περιήγηση 1---1. Προσθήκη της (,) δηµιουργεί µια νέα περιήγηση 1---1. Προσθήκη της (,) δηµιουργεί την 1----1 από την 1 η περιήγηση και την 1----1 από τη η περιήγηση. Η (,) δεν µπορεί να προστεθεί σε καµιά περιήγηση. Η (,) δεν µπορεί να προστεθεί σε καµιά περιήγηση. Προσθήκη της (,) δηµιουργεί την 1-----1 από την 1 η περιήγηση και την 1-----1 από τη η περιήγηση Κόστος (1-----1) = 1 Κόστος (1-----1) = 1 1 1 S S S S S S 1

Επέκταση του αλγόριθµου Clarke & Wright Βασικό µειονέκτηµα του αρχικού αλγορίθµου των Clarke & Wright είναι η τάση του να δηµιουργεί καλές διαδροµές στην αρχή αλλά λιγότερο καλές προς το τέλος. Για επίλυση του προβλήµατος αυτού προτάθηκε η σχέση: sij = c1i + c1 j λ.cij όσο πιο µεγάλο λ τόσο µεγαλύτερη έµφαση δίδεται στις κορυφές που συνδέονται. Καλές τιµές: λ=0, ή λ=1 1

Το πρόβληµα δροµολόγησης στόλου οχηµάτων VRP (Vehicle Routing Problem) 1

Το πρόβληµα δροµολόγησης οχηµάτων (VRP) Αποτελεί επέκταση του TSP µε διάφορες µορφές εξυπηρέτησης στους κόµβους και πεπερασµένες χωρητικότητες στα οχήµατα. Παράδειγµα είναι η περίπτωση της διανοµής µπύρας ή αναψυκτικών µιας εταιρείας (αφήνει γεµάτα µπουκάλια σε σηµεία πελατών και παίρνει άδεια). H περίπτωση ενός σχολικού λεωφορείου που περνά από συγκεκριµένες στάσεις (bus-scheduling problem). Για ένα όχηµα µπορούν να εφαρµοστούν όλες οι µέθοδοι TSP λαµβάνοντας όµως υπόψη τη χωρητικότητα του. 16

Βασικές µέθοδοι δροµολόγησης στόλου οχηµάτων Αλγόριθµος Clarke & Write Αλγόριθµοι φάσεων: Πρώτα οµαδοποίησε, µετά δροµολόγησε (Cluster-first, Routesecond) Πρώτα δροµολόγησε, µετά οµαδοποίησε (Route-First, Cluster- Second) 17

Ο αλγόριθµος Clarke & Wright για VRP Επέλεξε ένα κόµβο ως αφετηρία (έστω τον κόµβο 0) Υπολόγισε την εξοικονόµηση S ij που προκύπτει από κάθε δυνατό ζευγάρι κόµβων i και j σύµφωνα µε την σχέση: sij = ci 0 + c0 j cij Ιεράρχησε τις εξοικονοµήσεις κατά φθίνουσα σειρά. Ξεκινώντας από την κορυφή της ταξινοµηµένης λίστας συνέδεε κόµβους λαµβάνοντας υπόψη την απαιτούµενη ποσότητα (διανοµής) σε κάθε κόµβο (πελάτη) µέχρι να καλυφθεί η χωρητικότητα του οχήµατος ή να έχουν ικανοποιηθεί όλοι οι κόµβοι. Εφόσον χρειαστεί πρόσθεσε και νέο όχηµα και επανέλαβε την διαδικασία. Ανδρέας Νεάρχου 18 Πανεπιστήµιο Πατρών

1 Παράδειγµα Clarke & Wright για VRP 0 Προς Έστω πελάτες µε απαιτήσεις 7,, 0,, και τελάρα µπύρας αντίστοιχα. Στόλος φορτηγών µέγιστης χωρητικότητας 100 τελάρων µπύρας έκαστο Οι αποστάσεις σε km µεταξύ πελατών και αφετηρίας φαίνονται στον πίνακα. Να εφαρµοστεί πρώτα η σειριακή και µετά η παράλληλη µέθοδος στο παράδειγµα. Από Νεάρχου 0 1 0 -- 8 1 0 1 -- 1 9 6 0 -- 8 0 -- 0 7 -- -- 19 Πανεπιστ

1 Παράδειγµα Clarke & Wright για VRP 0 Η ταξινοµηµένη Από λίστα µε τις εξοικονοµήσεις S ij είναι: ij Έστω πελάτες µε απαιτήσεις 7,, 0,, και τελάρα µπύρας αντίστοιχα. Στόλος φορτηγών µέγιστης χωρητικότητας 100 τελάρων µπύρας έκαστο Οι αποστάσεις σε km µεταξύ πελατών και αφετηρίας φαίνονται στον πίνακα. Προς Αποστάσεις παράλληλη µέθοδος στο παράδειγµα. Ανδρέας Νεάρχου 0 Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων

1 Παράδειγµα Clarke & Wright για VRP 0 Η ταξινοµηµένη Από λίστα µε τις εξοικονοµήσεις S ij είναι: S ij Έστω πελάτες µε απαιτήσεις 7,, 0,, και τελάρα µπύρας αντίστοιχα. Σειριακή µέθοδος: Στόλος φορτηγών µέγιστης χωρητικότητας 100 Με βάσει τη λίστα (S ij ) αριστερά προηγούνται οι τελάρων µπύρας έκαστο κόµβοι 1 και. Έτσι έχω την περιήγηση 0-1--0. Οι αποστάσεις σε km µεταξύ πελατών και που αντιστοιχεί σε φορτίο Q αφετηρίας φαίνονται στον πίνακα. 1 =7+=69 Μετά έχω τους κόµβους 1,. Συνδέω δηλαδή το 1 που Να έχω εφαρµοστεί ήδη στην πρώτα περιήγηση η σειριακή Αποστάσεις µου µε και το µετά. Όµως η το όχηµα παράλληλη δεν µπορεί µέθοδος στο παράδειγµα. Προς να εξυπηρετήσει και τον γιατί παραβιάζεται η χωρητικότητα του (>100). Προχωρώ στον κόµβο (ζεύγος -). Έχω τώρα την περιήγηση: 0-1---0 Q 1 =69+=9 Ελέγχοντας ένα-ένα και τις υπόλοιπες εξοικονοµήσεις διαπιστώνω ότι το όχηµα 1 έκλεισε. Έτσι ετοιµάζω ο όχηµα. Εξετάζω τις S ij που απέµειναν και επιλέγω αυτή που θα αποτελέσει νόµιµη λύση. Απορρίπτω τις -, 1-, -, 1-, και -. Έτσι µένει µόνο η τελευταία -. Η η περιήγηση µου θα είναι 0---0 µε Q =+0=6. Ανδρέας Νεάρχου 1 Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων

Λύση παραδείγµατος Όχηµα Β 0 1 Όχηµα Α Η σειριακή µέθοδος δίδει την πιο κάτω λύση: Όχηµα Α: ροµολόγιο 0-1---0 Κόστος (συνολική απόσταση) δροµολογίου = 98 Km Συνολικό φορτίο = 9 µονάδες προϊόντος Όχηµα Β: ροµολόγιο 0---0. Κόστος (συνολική απόσταση) δροµολογίου = 89 Km Συνολικό φορτίο = 6 µονάδες προϊόντος

1 Εφαρµογή της παράλληλης µεθόδου 0 Η ταξινοµηµένη Από λίστα µε τις εξοικονοµήσεις S ij είναι: S ij Έστω πελάτες µε απαιτήσεις 7,, 0,, και τελάρα µπύρας αντίστοιχα. Παράλληλη Στόλος φορτηγών µέθοδος: µέγιστης χωρητικότητας 100 τελάρων µπύρας έκαστο (1,): ηµιουργεί το δροµολόγιο 0-1--0 που Οι αποστάσεις σε km µεταξύ πελατών και αντιστοιχεί σε φορτίο Q1=7+=69. αφετηρίας φαίνονται στον πίνακα. (1,): ηµιουργεί το δροµολόγιο 0--1--0 το οποίο Να εφαρµοστεί πρώτα η σειριακή και µετά η όµως είναι άκυρο γιατί παραβιάζεται Αποστάσεις ο περιορισµός παράλληλη µέθοδος στο παράδειγµα. χωρητικότητας (Q1>100). Προς (,): ηµιουργεί νέο δροµολόγιο 0---0 µε φορτίο Q=+=60. (,): εν µπορεί να συγχωνευθεί σε δροµολόγιο. (,): εν µπορεί να συγχωνευθεί σε δροµολόγιο. (1,): εν µπορεί να συγχωνευθεί σε δροµολόγιο. (,): Μπορεί να συγχωνευθεί στο 1 ο δροµολόγιο και να δηµιουργηθεί το 0-1---0 µε φορτίο Q1=69+0=99 (1,): εν µπορεί να συγχωνευθεί σε δροµολόγιο. (,): εν µπορεί να συγχωνευθεί σε δροµολόγιο. Ανδρέας Νεάρχου Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων (,): εν µπορεί να συγχωνευθεί σε δροµολόγιο.

Τελική λύση παραδείγµατος Όχηµα Α 0 1 Όχηµα Β Η παράλληλη µέθοδος δίδει την πιο κάτω λύση: Όχηµα Α: ροµολόγιο 0-1---0. Κόστος (συνολική απόσταση) δροµολογίου = 9 Km Συνολικό φορτίο = 99 µονάδες προϊόντος Όχηµα Β: ροµολόγιο 0---0 Κόστος (συνολική απόσταση) δροµολογίου = 76 Km Συνολικό φορτίο = 60 µονάδες προϊόντος

Άσκηση Εφαρµόστε τον αλγόριθµο των Clarke & Write στο πιο κάτω πρόβληµα θεωρώντας: (α) 1 όχηµα άπειρης χωρητικότητας δηλαδή κλασσικό TSP και (β) στόλο οχηµάτων µέγιστης χωρητικότητας 0 το καθένα. Ζήτηση στους κόµβους ίπλα φαίνονται οι αποστάσεις µεταξύ των κόµβων. Αφετηρία ο κόµβος 1 Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων

Αλγόριθµοι φάσεων για VRP

Οµαδοποίηση πελατών (clustering) Επιτυγχάνεται µε τον αλγόριθµο σάρωσης (sweep algorithm): 1. Επιλέγοµε ένα σύστηµα συν/νων µε αρχή τον κόµβο αφετηρίας.. Κατασκευάζοµε τον άξονα Χ επιλέγοντας αυθαίρετα να περνά από έναν οποιοδήποτε κόµβο, έστω τον i. Με βάση τον κόµβο i που έχει κλίση θ=0 προσδιορίζοµε τις κλίσεις των άλλων κόµβων.. Ταξινοµούµε τους κόµβους κατά αύξουσα σειρά της γωνιάς κλίσης τους.. Με βάση αυτή τη διάταξη κατασκευάζουµε δροµολόγια για κάθε όχηµα λαµβάνοντας υπόψη τη διαθέσιµη χωρητικότητα του οχήµατος. Όταν ένα όχηµα γεµίσει επιστρατεύοµε στον στόλο µας ένα νέο όχηµα. 7

Παράδειγµα οµαδοποίησης 10 11 1 1 9 6 8 7 8

Παράδειγµα οµαδοποίησης 10 11 1 Θ=0 ο 1 9 6 8 7 9

Παράδειγµα οµαδοποίησης 10 11 1 Θ=0 ο 1 9 6 8 7

Παράδειγµα οµαδοποίησης Η λίστα σάρωσης {,,1,11,10, 9, 8, 7, 6,, }. 10 11 1 Θ=0 ο 1 9 6 8 7

Παράδειγµα οµαδοποίησης Έστω ότι σε κάθε κόµβο υπάρχει ένα φορτίο τόνων και ότι διαθέτουµε οχήµατα µέγιστης χωρητικότητας τόνων το καθένα. Η λίστα σάρωσης είναι: {,,1,11,10, 9, 8, 7, 6,, }. Άρα τα δροµολόγια µας θα είναι: 10 11 1 1 9 6 8 7

Παράδειγµα οµαδοποίησης Έστω ότι σε κάθε κόµβο υπάρχει ένα φορτίο τόνων και ότι διαθέτουµε οχήµατα µέγιστης χωρητικότητας τόνων το καθένα. Η λίστα σάρωσης είναι: {,,1,11,10, 9, 8, 7, 6,, }. Άρα τα δροµολόγια µας θα είναι: 1 10 11 Όχηµα 1 1 9 Όχηµα 6 8 7 6

Παράδειγµα οµαδοποίησης Έστω ότι σε κάθε κόµβο υπάρχει ένα φορτίο τόνων και ότι διαθέτουµε οχήµατα µέγιστης χωρητικότητας τόνων το καθένα. Η λίστα σάρωσης είναι: {,,1,11,10, 9, 8, 7, 6,, }. Άρα τα δροµολόγια µας θα είναι: 1 10 11 Όχηµα 1 1 Όχηµα 9 Όχηµα 6 8 7 7

Παράδειγµα οµαδοποίησης Έστω ότι σε κάθε κόµβο υπάρχει ένα φορτίο τόνων και ότι διαθέτουµε οχήµατα τα µέγιστης δροµολόγια χωρητικότητας 1 και µπορούν τόνων το να καθένα. βελτιωθούν Η λίστα σάρωσ ης είναι: {,,1,11,10, 9, 8, 7, 6,, }. Άρα τα δροµολόγια µας θα είναι: εφαρµόζοντας κάποια από τις µεθόδους που είδαµε. 1 10 11 Όχηµα 1 1 Όχηµα 9 Όχηµα 6 8 7 8

ο Παράδειγµα αλγορίθµου σάρωσης Είσοδοι: n = πλήθος πελατών K = πλήθος διαθέσιµων οχηµάτων = κόστος ταξιδιού από πελάτη i σε πελάτη j = απαιτήσεις πελάτη i = χωρητικότητα οχήµατος k c ij d i Q k n=1, K=, Q k =100 10 10 6 0 7 60 8 1 0 9 1 0 80 10 11 1 1 1 9

ο Παράδειγµα αλγορίθµου σάρωσης Είσοδοι: n = πλήθος πελατών K = πλήθος διαθέσιµων οχηµάτων = κόστος ταξιδιού από πελάτη i σε πελάτη j = απαιτήσεις πελάτη i = χωρητικότητα οχήµατος k c ij d i Q k 10 0 1 0 1 1 1 1 10 6 7 8 60 9 0 0 10 80 11

Πρώτα δροµολόγησε, µετά οµαδοποίησε (Route-First, Cluster-Second) 1 η φάση: Φτιάχνεται µια γιγάντια TSP διαδροµή για την οποία δεν λαµβάνονται υπόψη περιορισµοί σχετικοί µε τα οχήµατα. η φάση: Η γιγάντια διαδροµή σπάει σε µικρές έγκυρες διαδροµές µία για κάθε όχηµα. Μπορεί να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος εξοικονόµησης απόστασης των Clarke and Wright για εντοπισµό των διαδροµών ανά όχηµα 1

Παράδειγµα: Route-first, Cluster-second Έστω η TSP διαδροµή { 1,,,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,, 1}. 10 11 1 1 9 6 8 7

Παράδειγµα: Route-first, Cluster-second Έστω η TSP διαδροµή { 1,,,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,, 1}. θεωρώντας τα προηγούµενα δεδοµένα. Θα έχουµε τις οµαδοποιήσεις: Όχηµα 11 10 1 1 Όχηµα 9 6 8 Όχηµα 1 7

ο παράδειγµα Route-first, Cluster-second 0 10 1 Q=60 0 10 1 10 Η TSP περιήγηση

ο παράδειγµα Route-first, Cluster-second 0 10 1 Q=60 0 10 1 10

Βιβλιογραφία για το VRP Πολύ σηµαντικοί Ιστότοποι: http://en.wikipedia.org/wiki/vehicle_routing_problem http://www.bernabe.dorronsoro.es/vrp/ http://neo.lcc.uma.es/vrp/ http://en.wikipedia.org/wiki/travelling_salesman_problem (για το TSP) Σηµαντικά άρθρα: Bodin, Lawrence, Bruce Golden, Arjang Assad, and Michael Ball. Routing and Scheduling of Vehicles and Crews: The State of the Art. Computers and Operations Research 10, no. (198): 6 11. Fitzsimmons, J. A., and R. S. Sullivan. Service Vehicle Scheduling and Routing. In Service Operations Management. New York: McGraw-Hill (198): 1 6. Hall, R. W. Change of Direction OR/MS Today 9, no. (February 00): 8 1.. 6

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/από-nc-sa/.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.