Διγραμμική προσέγγιση διαγραμμάτων μεγεθών δυνάμεων - παραμορφώσεων Bilinear approximations of force-displacement curves

1 Διγραμμική προσέγγιση διαγραμμάτων μεγεθών δυνάμεων - παραμορφώσεων Bilinear approximations of force-displacement curves Γεώργιος Παναγόπουλος 1, Ανδρέας I. Κάππος 2 Λέξεις κλειδιά: Ανελαστική ανάλυση, καμπύλη αντίστασης, διάγραμμα ροπών καμπυλοτήτων, σεισμική αποτίμηση ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Η εργασία αντιμετωπίζει τη μετατροπή διαγραμμάτων μεγεθών δυνάμεων παραμορφώσεων σε απλούστερα διγραμμικά, διαδικασία που συχνά είναι απαραίτητη για την εισαγωγή τους σε διάφορα πακέτα λογισμικού που υποστηρίζουν ανελαστικές μεθόδους ανάλυσης, ή για την εφαρμογή σύγχρονων μεθοδολογιών αποτίμησης της σεισμικής συμπεριφοράς των κατασκευών. Παρουσιάζονται κριτικά οι επικρατέστερες, διεθνώς, προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται για τις μετατροπές αυτές και προτείνεται ένας αλγόριθμος διγραμμικοποίησης. Ο αλγόριθμος αυτός έχει εισαχθεί σε κατάλληλο λογισμικό (BILIN) με το οποίο επιταχύνεται και τυποποιείται η όλη διαδικασία. Παρουσιάζονται διάφορα παραδείγματα διγραμμικοποίησης διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων και καμπυλών αντίστασης, στα οποία διερευνώνται τα κρίσιμα σημεία που υπεισέρχονται στη διαδικασία μετατροπής και ελέγχονται οι διαφοροποιήσεις που προκύπτουν στα τελικά αποτελέσματα. ABSTRACT : The present study tackles the reduction of force-displacement curves into simple bilinear ones that are often necessary as input to inelastic analysis software packages and/or for the application of modern seismic assessment methodologies. The most commonly used procedures for such reduction are critically reviewed and a new algorithm is proposed, which is integrated into an in-house developed software (BILIN) that permits a prompt and automated application of the procedure. Several examples of bilinear approximations are examined, involving both moment curvature and pushover curves, exploring the critical parameters of the reduction procedure and detecting their impact on final results. 1 Πολιτικός Μηχανικός, ΜΔΕ, Υποψ. Διδ., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., email: panagop@civil.auth.gr 2 Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., email: ajkap@civil.auth.gr

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια υπάρχει τάση για εκτεταμένη χρήση ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης, κυρίως για την αποτίμηση της σεισμικής συμπεριφοράς υφιστάμενων κατασκευών και σε μικρότερο βαθμό για το σχεδιασμό νέων. Η χρήση των μεθόδων αυτών έχει πλέον εισαχθεί και σε κανονιστικά κείμενα, επεκτείνοντας το πεδίο εφαρμογής τους από το καθαρά ερευνητικό στην καθημερινή πρακτική. Οι διαδικασίες που προτείνονται διεθνώς στα διάφορα κείμενα (κανονιστικού ή όχι χαρακτήρα) προϋποθέτουν συχνά τη μετατροπή διαγραμμάτων μεγεθών δυνάμεων παραμορφώσεων που προκύπτουν από την ανάλυση σε απλούστερα διγραμμικά, στα οποία μπορούν να οριστούν διακριτά σημεία όπως η διαρροή και η αστοχία (δομικών μελών ή και φορέων). Ως τέτοια διαγράμματα μπορούν να θεωρηθούν οι καμπύλες αντίστασης που προκύπτουν από την ανελαστική στατική ανάλυση προσομοιωμάτων κατασκευών (pushover curves) ή ακόμα και σε επίπεδο διατομών των δομικών στοιχείων τα διαγράμματα ροπών καμπυλοτήτων ή ροπών στροφών τα οποία εισάγονται στη συνέχεια ως δεδομένα για τις ανελαστικές αναλύσεις. Στην εργασία παρουσιάζονται καταρχήν οι μορφές διγραμμικοποίησης που χρησιμοποιούνται διεθνώς σε ορισμένα από τα γνωστότερα σχετικά κείμενα (αμερικανικά, ευρωπαϊκά). Στο Εργαστήριο Κατασκευών Οπλισμένου Σκυροδέματος και Φέρουσας Τοιχοποιίας (EKOΣΦΤ) του ΑΠΘ ακολουθείται μια διαδικασία παρόμοια με τις προτάσεις ATC-FEMA, λαμβάνοντας ίσα εμβαδά μεταξύ του πραγματικού και του διγραμμικού διαγράμματος, αλλά εκτελώντας τη διαδικασία με βάση το σημείο θεωρητικής αστοχίας (προδιαγεγραμμένη πτώση αντοχής) και όχι το σημείο που ορίζει την (εξαρτώμενη από τη στάθμη σεισμικής διέγερσης) στοχευόμενη μετακίνηση. Η διαδικασία αυτή έχει πρόσφατα υιοθετηθεί και από το τελικό σχέδιο του Ελληνικού Κανονισμού Επεμβάσεων (ΚΑΝΕΠΕ). Ο αλγόριθμος που αναπτύχθηκε έχει εισαχθεί σε κατάλληλο λογισμικό (BILIN) που επιτρέπει τον ταχύτερο και ακριβέστερο υπολογισμό των διγραμμικών διαγραμμάτων, με εποπτικό μάλιστα τρόπο, δίνοντας στον χρήστη τη δυνατότητα για επιλογή των διάφορων παραμέτρων της διγραμμικοποίησης. Η ΔΙΕΘΝΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Η μέθοδος των FEMA-ASCE Η επικρατέστερη, ίσως, μέθοδος διγραμμικοποίησης που χρησιμοποιείται διεθνώς είναι αυτή που παρουσιάστηκε αρχικά στο εγχειρίδιο FEMA-273 (1997), το οποίο οριστικοποιήθηκε σε τελική μορφή ως εγχειρίδιο FEMA-356 (2000) και απετέλεσε τη βάση του Αμερικανικού κανονισμού σεισμικής αναβάθμισης των κτιρίων (ASCE/SEI, 2007). Η μέθοδος αναφέρεται στη διγραμμική προσέγγιση καμπυλών αντίστασης προσομοιωμάτων κατασκευών και συνοψίζεται στο Σχήμα 1. Τελικός στόχος της διγραμμικής προσέγγισης είναι ο υπολογισμός της στοχευ-

3 όμενης μετακίνησης για δεδομένη σεισμική δράση (για τον υπολογισμό αυτόν απαιτείται αφενός η ενεργός δυσκαμψία και αφετέρου η τέμνουσα διαρροής V y ). Η ενεργός δυσκαμψία K e και η τέμνουσα διαρροής του φορέα V y υπολογίζονται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας έτσι ώστε αφενός τα διαγράμματα κάτω από τη διγραμμική και την πραγματική καμπύλη να είναι περίπου ίσα και αφετέρου ο αρχικός κλάδος της διγραμμικής καμπύλης να διέρχεται από το σημείο της πραγματικής καμπύλης που αντιστοιχεί στο 60% της προκύπτουσας V y. Σημαντικό σημείο στη μεθοδολογία αυτή είναι ότι η διγραμμική προσέγγιση ορίζεται με βάση τη στοχευόμενη μετακίνηση δ t, ουσιαστικά δηλαδή για δεδομένη στάθμη της σεισμικής διέγερσης και δεν είναι ανεξάρτητη από αυτήν. Η κλίση α του μετελαστικού κλάδου προκύπτει μέσω της θεώρησης των ίσων εμβαδών και του σημείου της πραγματικής καμπύλης που αντιστοιχεί στη δ t και είναι δυνατό να πάρει ακόμα και αρνητικές τιμές, ενώ δεν επιτρέπεται η τέμνουσα διαρροής να ληφθεί μεγαλύτερη από τη μέγιστη τιμή της τέμνουσας στην πραγματική καμπύλη. Σχήμα 1. Γενική μορφή διγραμμικοποίησης σύμφωνα με το FEMA 356 για διαγράμματα με θετική (αριστερά) και αρνητική (δεξιά) κλίση στο μετελαστικό κλάδο Για τα διαγράμματα προσομοίωσης των διατομών των δομικών στοιχείων (π.χ. ροπών πλαστικών στροφών) τα εγχειρίδια της FEMA προτείνουν συγκεκριμένες τιμές με τις οποίες ορίζεται ένα τετραγραμμικό διάγραμμα στο οποίο λαμβάνεται υπόψη και η πτώση αντοχής μετά τη θεωρητική αστοχία καθώς και ένας τελευταίος οριζόντιος κλάδος που αντιστοιχεί στην παραμένουσα αντοχή. Η μέθοδος του HAZUS Στο γνωστό διεθνώς εγχειρίδιο της μεθόδου HAZUS (FEMA-NIBS, 2003) που αποσκοπεί στην εκτίμηση των αναμενόμενων απωλειών έπειτα από ένα σεισμό, προτείνεται μια μέθοδος διγραμμικοποίησης η οποία αρχικά παρουσιάστηκε στο εγχειρίδιο ATC-40 (1996) και αναφέρεται στις καμπύλες αντίστασης ισοδύναμων μονοβάθμιων συστημάτων, γνωστών και ως «φασματικών» καμπυλών

4 αντίστασης (capacity spectra). Οι καμπύλες αυτές προκύπτουν από την αναγωγή των καμπυλών αντίστασης του (πολυβάθμιου) φορέα, υπολογισμένων από την ανελαστική στατική ανάλυση κατάλληλων προσομοιωμάτων, σε «φάσματα» αντίστασης σε όρους ψευδοεπιτάχυνσης (Α) μετακίνησης (D). Η μετατροπή στη διγραμμική μορφή γίνεται συνδυάζοντας την κρίση του μηχανικού και τους εξής κανόνες. 1) Το σημείο πρώτης διαρροής (D y, A y ) ορίζεται ως αυτό στο οποίο αρχίζει να παρατηρείται η πτώση της κλίσης του πραγματικού διαγράμματος. 2) Η οριακή φασματική επιτάχυνση A u επιλέγεται είτε ως το σημείο της μέγιστης αντοχής της κατασκευής, είτε αυτό στο οποίο ο φορέας έχει μετατραπεί σε μηχανισμό, αγνοώντας την ενδεχόμενη αύξηση της αντοχής λόγω της κράτυνσης, αλλά και την μείωση της αντοχής λόγω αστοχίας μελών του φορέα (Σχ. 2-πάνω). 3) Η φασματική μετακίνηση D u που αντιστοιχεί στην οριακή αντοχή (A u ) επιλέγεται ως η μεγαλύτερη τιμή μεταξύ αυτής που παρατηρείται στη θέση της A u και αυτής που προκύπτει από τη σχέση D u =2 D y (A u /A y ). Διευκρινίζεται ότι η D u δεν είναι η μετακίνηση στην οποία αστοχεί ο φορέας και δεν πρέπει να συγχέεται με τη δ u που αναφέρεται στη συνέχεια, όπως επίσης ότι στη μέθοδο HAZUS η αρχική κλίση είναι η ελαστική δυσκαμψία (K i ) του φορέα και δεν πρέπει να συγχέεται με την ενεργό δυσκαμψία K e της FEMA (K i >K e ). Σχήμα 2. Γενική μορφή διγραμμικοποίησης σύμφωνα με το HAZUS για διαγράμματα με πριονωτή (πάνω), ψαθυρή (κάτω αριστερά) και πλάστιμη (κάτω δεξιά) συμπεριφορά Ευρωκώδικας 8 Ο Ευρωκώδικας 8 αντιμετωπίζει το θέμα της απλοποίησης των διαγραμμάτων δυνάμεων παραμορφώσεων μέσω μιας ελαστοπλαστικής προσέγγισης (μηδενική κράτυνση) που βασίζεται στη θεώρηση ίσων εμβαδών και εφαρμόζεται

5 τόσο στα διαγράμματα ροπών καμπυλοτήτων των διατομών όσο και στις καμπύλες αντίστασης των φορέων. Αντίστοιχα με τη μέθοδο του HAZUS και στον EC8 το οριακό φορτίο στις καμπύλες αντίστασης λαμβάνεται στο σημείο που ο φορέας μετατρέπεται σε μηχανισμό. Σχήμα 3. Η διγραμμική προσέγγιση του EC8 για διαγράμματα Μ φ (αριστερά) και καμπύλες αντίστασης (δεξιά) Άλλες μεθοδολογίες Αντίστοιχες διαδικασίες μετατροπής διαγραμμάτων μεγεθών δυνάμεων παραμορφώσεων σε απλούστερα διγραμμικά έχουν προταθεί κατά καιρούς σε εργασίες διάφορων ερευνητών αφορώντας είτε σε καμπύλες αντίστασης προσομοιωμάτων κατασκευών, π.χ. Fajfar & Gašperšič (1996), Krawinkler & Seneviratna (1998), Fajfar (2000), Chopra (2001), Makarios (2005), είτε σε διαγράμματα ροπών καμπυλοτήτων και κατ επέκταση ροπών πλαστικών στροφών, π.χ. Park (1988), Paulay & Priestley (1992), Penelis & Kappos (1996), Paulotto et al (2007). Δεν είναι σπάνιο το φαινόμενο τα απλοποιημένα διαγράμματα να έχουν διαφορετικές από τις συνήθεις διγραμμικές μορφές, όπως για παράδειγμα τριγραμμικά, π.χ. El- Sheikh et al (1999), ή τετραγραμμικά, π.χ. FEMA-356 (2000) για τα διαγράμματα Μ θ, όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Ακόμα είναι πιθανό να αναφέρονται σε άλλα αντίστοιχα μεγέθη, όπως για παράδειγμα διαγράμματα τέμνουσας διατμητικής παραμόρφωσης, π.χ. Mergos & Kappos (2008). Επιπλέον, αναπτύσσονται κατάλληλοι αλγόριθμοι υπολογισμού μέσω των οποίων τυποποιείται και επιταχύνεται η διαδικασία διγραμμικοποίησης, π.χ. Spacone et al. (1999). ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙHΣΗΣ Η μεθοδολογία διγραμμικοποίησης που ακολουθείται στο ΕΚΟΣΦΤ του ΑΠΘ έχει κοινή αφετηρία, είτε πρόκειται για καμπύλη αντίστασης, είτε για διάγραμμα ροπών καμπυλοτήτων (φυσικά η ίδια διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τη διγραμμική προσέγγιση οποιουδήποτε άλλου διαγράμματος παρόμοιας

6 μορφής). Υιοθετεί ορισμένες από τις προτάσεις της μεθόδου της FEMA, παρουσιάζει όμως κάποιες τροποποιήσεις που τη διαφοροποιούν σημαντικά. Διγραμμική προσέγγιση καμπυλών αντίστασης Τα βασικά σημεία του αλγόριθμου που χρησιμοποιείται συνοψίζονται στα εξής: Θεώρηση ίσων εμβαδών κάτω από την πραγματική και την απλοποιημένη διγραμμική καμπύλη Το σημείο της θεωρητικής αστοχίας υπολογίζεται μέσω μιας προδιαγεγραμμένης πτώσης αντοχής η οποία λαμβάνεται ίση με 15% ως 25% της μέγιστης τιμής της τέμνουσας βάσης V max. Η προσέγγιση αυτή είναι σημαντικό σημείο της μεθόδου, καθώς με τον τρόπο αυτόν η διγραμμική καμπύλη αντίστασης χαρακτηρίζει τη συνολική σεισμική συμπεριφορά του φορέα, κάτι που δεν ισχύει στη μέθοδο της FEMA στην οποία το τελικό σημείο της καμπύλης ορίζεται μέσω της, εξαρτώμενης από τη στάθμη της σεισμικής διέγερσης, στοχευόμενης μετακίνησης. Η ενεργός δυσκαμψία K e και η τέμνουσα διαρροής του φορέα V y υπολογίζονται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας έτσι ώστε ο αρχικός κλάδος της διγραμμικής καμπύλης να διέρχεται από το σημείο της πραγματικής καμπύλης που αντιστοιχεί στο 60% της προκύπτουσας V y. Η τιμή της τέμνουσας βάσης στη θεωρητική αστοχία υπολογίζεται από τη σχέση: V u =(2 V max +V τελ )/3, όπου V τελ η τέμνουσα βάσης που αντιστοιχεί στη μετακίνηση αστοχίας δ u. Το σημείο που προκύπτει μπορεί να βρίσκεται πάνω στην πραγματική καμπύλη ή και όχι, ανάλογα με τη μορφή που παρουσιάζει ο κατερχόμενος κλάδος του διαγράμματος (Σχ. 4). Δεν επιτρέπεται η μετελαστική κλίση α K e να πάρει αρνητικές τιμές και αν προκύψει κάτι τέτοιο τότε λαμβάνεται α=0 οπότε και V y =V u. Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει θεωρητική ασυνέπεια στην προσέγγιση των αρνητικών κλίσεων (άλλωστε ορισμένες μέθοδοι την προτείνουν), ωστόσο είναι προβληματική η χρήση της στα διάφορα πακέτα λογισμικού που δεν περιλαμβάνουν αλγορίθμους που χειρίζονται φθίνοντες κλάδους. Σχήμα 4. Διγραμμική προσέγγιση καμπυλών αντίστασης βάσει της μεθόδου του ΑΠΘ για απότομη (αριστερά) ή σταδιακή (δεξιά) πτώση αντοχής στο σημείο αστοχίας

7 Διγραμμική προσέγγιση διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων Με παρόμοιο τρόπο με τις καμπύλες αντίστασης αντιμετωπίζεται και η διγραμμική προσέγγιση των διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων. Τα σημεία στα οποία παρατηρείται διαφορά και τροποποιείται η διαδικασία είναι τα εξής: Στην ανάλυση των διατομών των δομικών στοιχείων λαμβάνονται υπόψη διάφορα κριτήρια αστοχίας (Σχήμα 5) τα οποία είναι πιθανό να εμφανιστούν πριν παρουσιαστεί πτώση αντοχής στο διάγραμμα Μ φ. Στην περίπτωση αυτή η θεωρητική αστοχία μπορεί να λαμβάνεται στο σημείο όπου πληρούται το πρώτο από τα κριτήρια αστοχίας. Στο σημείο της αποφλοίωσης της επικάλυψης του οπλισμού των διατομών Ο/Σ παρουσιάζεται μια σχετικά απότομη πτώση της αντοχής των διατομών η οποία είναι περισσότερο έντονη για μεγάλες τιμές του αξονικού φορτίου και μεγάλα πάχη επικάλυψης. Η πτώση αντοχής ενδέχεται να υπερβαίνει το 25%, ωστόσο μετά από το σημείο αυτό το διάγραμμα συνεχίζει και η διατομή εμφανίζει σημαντική διαθέσιμη πλαστιμότητα έως ότου παρουσιαστεί το κρίσιμο κριτήριο αστοχίας. Είναι προφανές ότι τα διαγράμματα αυτά δεν αντιμετωπίζονται σωστά από μια διγραμμική προσέγγιση αλλά είναι πλησιέστερα στην τετραγραμμική. Αν ωστόσο η επιλογή τετραγραμμικών διαγραμμάτων δεν είναι εφικτή, ο αλγόριθμος υποστηρίζει την επιλογή της διγραμμικής προσέγγισης, πρέπει όμως ο μηχανικός να έχει γνώση των ασυνεπειών που αυτή συνεπάγεται. Σχήμα 5. Διγραμμική προσέγγιση διαγραμμάτων Μ φ βάσει της μεθόδου του ΑΠΘ Ανάπτυξη λογισμικού διγραμμικοποίησης Ο αλγόριθμος που περιγράφηκε έχει εισαχθεί σε κατάλληλο λογισμικό (BILIN) που αναπτύχθηκε στο ΑΠΘ σε περιβάλλον VB.NET (Σχήμα 6) και επιτρέπει τον ταχύτερο και ορθότερο υπολογισμό των διγραμμικών διαγραμμάτων με εποπτικό τρόπο, δίνοντας στον χρήστη τη δυνατότητα για επιλογή των διάφορων παραμέτρων της διγραμμικοποίησης (οι βασικές λειτουργίες του αλγόριθμου υπολογισμού έχουν εισαχθεί και ως πρόσθετη συνάρτηση στο MS Excel). Οι

8 προεπιλεγμένες επιλογές (defaults) διγραμμικοποίησης είναι αυτές που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, ωστόσο ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να επέμβει και να τροποποιήσει τις εξής παραμέτρους: Την τιμή της δ ή της φ στην οποία λαμβάνεται η θεωρητική αστοχία. Με τον τρόπο αυτόν είναι εφικτή και η διγραμμικοποίηση στη στοχευόμενη μετακίνηση (όπως στη μέθοδο FEMA) Το ποσοστό της πτώσης αντοχής για το οποίο θα λαμβάνεται ότι επέρχεται η θεωρητική αστοχία, δεν συνιστώνται, πάντως, τιμές μεγαλύτερες του 25% διότι προκύπτουν μεγάλες αποκλίσεις μεταξύ πραγματικής και διγραμμικοποιημένης καμπύλης. Δίνεται η δυνατότητα για την επιλογή ελαστοπλαστικού διγραμμικού διαγράμματος (μηδενική κράτυνση, βλ. και Ευρωκώδικα 8) Δίνεται η δυνατότητα να δοθεί ένας φραγμός στην κλίση του μετελαστικού κλάδου στο 10% της αρχικής (α=0.10) καθώς οι μεγάλες τιμές της κράτυνσης συνεπάγονται συνήθως ασυμβατότητες/ανακρίβειες στην εφαρμογή μεθοδολογιών, όπως αυτή του «Ικανοτικού φάσματος» (ATC) όπου οι σχέσεις για τον προσεγγιστικό υπολογισμό ανελαστικών φασμάτων ή/και για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης έχουν προκύψει για διγραμμική συμπεριφορά με μικρή (ή και μηδενική) κλίση του δεύτερου κλάδου. Σχήμα 6. Περιβάλλον εργασίας του προγράμματος BILIN ως ανεξάρτητη εφαρμογή (αριστερά) ή ως συνάρτηση στο MS Excel (δεξιά) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ Εφαρμογή σε καμπύλες αντίστασης Στο Σχήμα 7 παρουσιάζεται η καμπύλη αντίστασης ενός εννιαώροφου κτιρίου από Ο/Σ σχεδιασμένου με τους σύγχρονους ελληνικούς κανονισμούς

9 (ΕΑΚ/ΕΚΟΣ2000), με πλαισιακό σύστημα και ομοιόμορφη κατανομή των τοιχοπληρώσεων (τυπολογία RC3.1HH, Kappos & Panagopoulos, 2009). Δίνονται ενδεικτικά δύο μορφές διγραμμικής προσέγγισης (πάνω), στην πρώτη το σημείο θεωρητικής αστοχίας λαμβάνεται αυτό στο οποίο εμφανίζεται η πρώτη ουσιώδης πτώση αντοχής (αντιστοιχεί στην αστοχία των τοιχοπληρώσεων του ισογείου) και η δεύτερη στο σημείο όπου η πτώση αντοχής έχει ξεπεράσει το 25% της μέγιστης τιμής της τέμνουσας βάσης Οι διαφορές που προκύπτουν είναι σημαντικές καθώς στην πρώτη περίπτωση η διαθέσιμη πλαστιμότητα προκύπτει ίση με 4.08 ενώ στη δεύτερη υπερδιπλάσια (μ=8.25). Ουσιαστικά διαφοροποιημένες εμφανίζονται οι διγραμμικές προσεγγίσεις όταν αυτές υπολογίζονται βάσει της στοχευόμενης μετακίνησης του φορέα. Στο Σχήμα 7 (κάτω) παρουσιάζονται ενδεικτικά δύο επιπλέον διγραμμικές καμπύλες για στοχευόμενη μετακίνηση δ t = 0.10m (αντιστοιχεί σε φάσμα κανονισμού με α g περίπου 0.25g), στην πρώτη δεν τίθεται κάποιος περιορισμός για την κλίση του δεύτερου κλάδου (α=0.22, μ=3.05), ενώ στη δεύτερη τίθεται ο φραγμός του 10% (α=0.10, μ=2.29). Σχήμα 7. Εναλλακτικές διγραμμικές προσεγγίσεις για πλαισιακό κτίριο Ο/Σ Είναι φανερό ότι οι διαφορετικοί τρόποι αντιμετώπισης των διγραμμικών προσεγγίσεων μπορούν να οδηγήσουν σε ουσιωδώς διαφορετικά συμπεράσματα σχετικά με τη σεισμική απόκριση του φορέα. Ο μηχανικός οφείλει να λαμβάνει πάντα υπόψη τον σκοπό για τον οποίο καλείται να μετατρέψει μια καμπύλη αντίστασης στη διγραμμική της μορφή. Αν ο σκοπός είναι η εκτίμηση της συνολικής σεισμικής συμπεριφοράς του φορέα μέχρι την τελική αστοχία (π.χ. σε μελέτες τρωτότητας), είναι σκόπιμο η διγραμμική προσέγγιση να γίνεται μέχρι

10 το σημείο όπου επέρχεται η ουσιαστική πτώση αντοχής, αν όμως αφορά στην αποτίμηση της απόκρισης για δεδομένη στάθμη σεισμικής δράσης, τότε η διγραμμική προσέγγιση μπορεί να εφαρμόζεται κάθε φορά μέχρι τη στοχευόμενη μετακίνηση για τη στάθμη αυτή (κάτι που δεν είναι βολικό όταν γίνονται πολλαπλές αποτιμήσεις του ίδιου φορέα). Για ορισμένους φορείς είναι συχνό το φαινόμενο η μορφή των καμπυλών αντίστασής τους να είναι τέτοια ώστε να μην είναι δυνατό να προσομοιωθεί σωστά από μια διγραμμική προσέγγιση. Στο Σχήμα 8 δίνεται ενδεικτικά η περίπτωση ενός εννιαώροφου κτιρίου από Ο/Σ σχεδιασμένου με τους παλιούς ελληνικούς κανονισμούς (Β.Δ. 59), με δίδυμο σύστημα και ύπαρξη πιλοτής (τυπολογία RC4.3HL, Kappos & Panagopoulos, 2009), με δύο πιθανές διγραμμικές προσεγγίσεις. Στην πρώτη (αριστερά) δεν λαμβάνεται υπόψη ένα μεγάλο τμήμα της διαθέσιμης πλαστιμότητας του φορέα, ενώ στη δεύτερη (δεξιά) υπολογίζεται ανακριβώς η διαθέσιμη αντοχή (αλλά και οι μέγιστες τέμνουσες των στοιχείων). Είναι προφανές ότι μια τέτοια καμπύλη αντίστασης προσομοιώνεται ορθότερα με μία τετραγραμμική προσέγγιση. Αν όμως η χρήση πολυγραμμικών καμπυλών δεν είναι εφικτή, η περίπτωση αυτή μπορεί να αντιμετωπιστεί μέσω δύο διγραμμικών καμπυλών αντίστασης, η πρώτη μέχρι το σημείο της έντονης πτώσης αντοχής (στη περίπτωση του Σχ. 8 επέρχεται πτώση αντοχής όλων των δοκών που συνδέονται με τη μία πλευρά του τοιχώματος) και η δεύτερη μέχρι την τελική αστοχία. Στην περίπτωση των τοιχοπληρωμένων κτιρίων συνιστάται να χρησιμοποιείται στη δεύτερη φάση η καμπύλη αντίστασης του αντίστοιχου γυμνού πλαισίου (Kappos & Panagopoulos, 2009). Σχήμα 8. Εναλλακτικές διγραμμικές προσεγγίσεις για δίδυμο κτίριο Ο/Σ Εφαρμογή σε διαγράμματα ροπών καμπυλοτήτων (Μ φ) Αντίστοιχα προβλήματα προκύπτουν και στη διγραμμική προσέγγιση των διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων στις κρίσιμες διατομές των δομικών στοιχείων. Στο Σχήμα 9 παρουσιάζεται μια τυπική διατομή τετραγωνικού υποστυλώματος με τα διαγράμματα Μ φ και τις διγραμμικές τους προσεγγίσεις για διάφορες στάθμες του αξονικού φορτίου. Τα διαγράμματα αυτά προέκυψαν από την ανάλυση της διατομής με το πρόγραμμα RCCOLA.NET, υιοθετώντας τη

11 συνήθη παραδοχή ότι μέχρι την αποφλοίωση (ε c =3.5 στην ακραία θλιβόμενη ίνα) λαμβάνεται υπόψη το σύνολο της διατομής, ενώ από το 4 και πέρα η επικάλυψη αγνοείται και η ανάλυση αντιστοιχεί μόνο στον περισφιγμένο πυρήνα. Οι διγραμμικές προσεγγίσεις των διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων σχεδιάζονται έως το σημείο όπου εμφανίζεται το πρώτο από τα κριτήρια αστοχίας που παρουσιάστηκαν στο Σχήμα 5, με δεδομένο ότι μέχρι το σημείο αυτό δεν θα παρατηρηθεί ουσιώδης πτώση αντοχής της διατομής, συμπεριφορά που συνήθως εμφανίζεται για χαμηλή στάθμη του αξονικού φορτίου. Στην περίπτωση όμως που το αξονικό φορτίο είναι ισχυρό (ιδιαίτερα για στοιχεία μικρών διαστάσεων), είναι συχνή η περίπτωση η πτώση αντοχής στο σημείο της αποφλοίωσης να είναι σημαντική, οπότε η διγραμμική προσέγγιση δεν είναι πρόσφορη για την προσομοίωση του αντίστοιχου διαγράμματος το οποίο πλησιάζει περισσότερο σε μία τετραγραμμική μορφή (Σχήμα 9, κάτω δεξιά). Η χρήση της διγραμμικής προσέγγισης μέχρι την εμφάνιση του πρώτου κριτηρίου αστοχίας και όχι μέχρι την πτώση αντοχής που εμφανίζεται στην αποφλοίωση υποεκτιμά σημαντικά τη διαθέσιμη αντοχή της διατομής και μπορεί να οδηγήσει σε μη ρεαλιστικά αποτελέσματα των ανελαστικών αναλύσεων (π.χ. αδυναμία εντόπισης των διατμητικών αστοχιών). Ωστόσο, οι περιπτώσεις τόσο ισχυρού αξονικού φορτίου δεν είναι συνήθεις στην απόκριση των κατασκευών Ο/Σ οπότε η αδυναμία αυτή σπάνια εμφανίζεται στη μελέτη της ανελαστικής απόκρισης των κατασκευών. Σχήμα 9. Διγραμμικές προσεγγίσεις διαγραμμάτων Μ φ σε διατομή τετραγωνικού υποστυλώματος

12 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία προτάθηκε μια μέθοδος διγραμμικής προσέγγισης διαγραμμάτων δυνάμεων μετακινήσεων (ή παραμορφώσεων), για την οποία έχει αναπτυχθεί και το αντίστοιχο λογισμικό με το οποίο επιταχύνεται και αυτοματοποιείται η διαδικασία διγραμμικοποίησης. Σημαντικό σημείο στη διγραμμική προσέγγιση των καμπυλών αντίστασης είναι καταπόσον η διγραμμική καμπύλη θα τερματίζεται στο σημείο θεωρητικής αστοχίας, με όποιον τρόπο και αν ορίζεται αυτό (π.χ. EC8, HAZUS, μέθοδος ΑΠΘ), ή αντίθετα, αν θα τερματίζεται στη στοχευόμενη μετακίνηση, όπως προτείνει η μέθοδος της FEMA (και του ATC). Η πρώτη προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να δίνει σημαντικές πληροφορίες για τη συνολική σεισμική απόκριση της κατασκευής, όπως για παράδειγμα τη διαθέσιμη πλαστιμότητα, η δεύτερη όμως ακολουθεί πιστότερα τη συμπεριφορά του φορέα για χαμηλότερες στάθμες της σεισμικής δράσης (ιδιαίτερα σε καμπύλες αντίστασης με διαδοχικές, μικρές πτώσεις αντοχής) καθιστώντας την ως πλέον πρόσφορη για μελέτες αποτίμησης. Συχνά παρατηρείται το φαινόμενο τα διαγράμματα των μεγεθών δυνάμεων παραμορφώσεων να μην προσδιορίζονται σωστά από μια διγραμμική προσέγγιση, αλλά η μορφή τους να ταιριάζει περισσότερο σε μία τριγραμμική ή και τετραγραμμική θεώρηση. Στην περίπτωση που δεν είναι εφικτή η χρήση πολυγραμμικών προσεγγίσεων (λόγω αδυναμίας του διαθέσιμου λογισμικού ή της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται), ο μηχανικός καλείται να επιλέξει μια προσέγγιση που αναπόφευκτα θα έχει κάποιες αδυναμίες. Αν για παράδειγμα σε μια καμπύλη με πτώσεις αντοχής γίνει η παραδοχή ότι το τέλος της διγραμμικής προσέγγισης αντιστοιχεί στο σημείο της μέγιστης αντοχής, τότε δεν λαμβάνεται υπόψη ένα σημαντικό μέρος από τη διαθέσιμη πλαστιμότητα. Αντίθετα, η συνέχιση της διγραμμικής καμπύλης μέχρι πολύ μεγάλες τιμές παραμορφώσεων μπορεί να οδηγεί σε μη ρεαλιστικές εκτιμήσεις των σημείων διαρροής και θεωρητικής αστοχίας καθώς και της διαθέσιμης αντοχής. Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι διγραμμικές προσεγγίσεις, αποτελούν εξιδανικεύσεις διαγραμμάτων με τρόπο που φαίνεται αρχικά απλός ως σύλληψη, οι εκάστοτε όμως ιδιαιτερότητες της κάθε περίπτωσης τις καθιστούν περισσότερο σύνθετες από ό,τι θα περίμενε κανείς. Απαιτείται η κρίση και η εμπειρία του μηχανικού ώστε να επιλεχθεί η κατάλληλη προσέγγιση που θα αντιμετωπίζει ορθότερα την κάθε περίπτωση που μελετάται. Σε κάθε περίπτωση, βασικό κριτήριο επιλογής αποτελεί ο σκοπός για τον οποίο γίνεται η διγραμμικοποίηση, π.χ. αν πρόκειται για αποτίμηση τύπου κανονισμού (π.χ. ΚΑΝΕΠΕ) ή για αποτίμηση της τρωτότητας στο πλαίσιο μιας μελέτης διακινδύνευσης.

13 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Applied Technology Council, Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings Report, ATC-40. Redwood City, California, USA (1996) ASCE/SEI, Seismic Rehabilitation of Existing Buildings ASCE Standard 41-07, American Society of Civil Engineers, Reston, Virginia, USA (2007) CEN, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings, EN 1998-1: 2004, Brussels (2004) CEN, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 2: Bridges, pren1998-2, Final Draft, Brussels (2005) Chopra, A.K., Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, New Jersey (2001) EI-Sheikh, M., Sause, R., Pessiki, S. and Lu, L.-W. Seismic Behaviour and Design of Unbonded Post-Tensioned Precast Concrete Frames, PCI Journal, Vol.44, No. 3 (1999) 54-71 Faifar, P., A nonlinear analysis method for performance-based seismic design, Earthquake Spectra, Vol. 16, No. 3, (2000) 573-592 Fajfar, P., Gašperšič, P., The N2 method for the seismic damage analysis of RC buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 25, No. 1, (1996) 31-46 Federal Emergency Management Agency, Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-356, Washington, D.C. (2000) Federal Emergency Management Agency, NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, Publ. FEMA-273, Washington, D.C. (1997) FEMA-NIBS. Multi-hazard loss estimation methodology Earthquake Model: HAZUS MH Technical Manual, Washington, D.C. (2003) Kappos, A.J. and Panagopoulos, G., Fragility curves for reinforced concrete buildings in Greece, Structure and Infrastructure Engineering (2009) In press, doi:10.1080/15732470802663771 Makarios, T.K, Optimum definition of equivalent non-linear SDF system in pushover procedure of multistory R/C frames, Engineering Structures, Vol. 27, No. 5 (2005) 814-825. Mergos, P.E. and Kappos, A.J. A distributed shear and flexural flexibility model with shear-flexure interaction for R/C members subjected to seismic loading, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol. 37, No. 12 (2008) 1349-1370 Park, R., State-of-the Art Report: Ductility Evaluation From Laboratory and Analytical Testing, Proceedings of Ninth World Conference on Earthquake Engineering, Tokyo- Kyoto, Japan, Vol. VIII (1988) Pauley, T. and Priestley, M.J.N., Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, John Wiley and Sons Inc., New York (1992)

Paulotto, C., Ayala, G., Taucer, F. and Pinto, A. Simplified models/procedures for estimation of secant-to-yielding stiffness, equivalent damping, ultimate deformations and shear capacity of bridge piers on the basis of numerical analysis, LESSLOSS Project / Sub-Project 8: Deliverable 69 Displacement-Based Design Methodologies, European Commission, Joint Research Centre, Institute for the Protection and Security of the Citizen (2007) Penelis, G.G. and Kappos, A.J., Earthquake-Resistant Concrete Structures, E & F N SPON (Chapman & Hall), London (1996) Spacone, E., Martino, R., Kingsley, G., Nonlinear Pushover Analysis of Reinforced Concrete Structures, Colorado Advanced Software Institute, Colorado, Final Report (1999) 14