ΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΣ ΤΩΝ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ταµιευτήρες είναι υδραυλικά έργα που κατασκευάζονται µε σκοπό τον έλεγχο και την ρύθµιση της παροχής των υδατορρευµάτων. Ανάλογα µε το µέγεθός τους καλούνται δεξαµενές, λιµνοδεξαµενές ή τεχνητές λίµνες. Η κατασκευή ενός σηµαντικού ταµιευτήρα γίνεται γενικά µέσα στην κοίτη ενός ποταµού, µε κατασκευή φράγµατος σε σηµείο όπου δηµιουργείται φυσική στένωση της κοιλάδας, ώστε να ελαχιστοποιείται το κατασκευαστικό κόστος του φράγµατος. Στένωση στην κοίτη ποταµού (χειµάρρου), κατάλληλη για την κατασκευή φράγµατος και ταµιευτήρα Πίσω από το φράγµα η κοιλάδα κατακλύζεται από το νερό του ποταµού (λεκάνη κατακλύσεως). Όσο µεγαλύτερη είναι η αναλογία αποθηκευµένου όγκου όγκου του σώµατος του φράγµατος, τόσο αποδοτικότερη είναι η κατασκευή του φράγµατος. Για την διαστασιολόγηση και τους υπολογισµούς της χωρητικότητας και λειτουργίας του ταµιευτήρα και την διαστασιολόγηση του φράγµατος, καθώς και για τον υπολογισµό του υπερχειλιστή ασφαλείας και των βοηθητικών έργων για την κατασκευή (πρόφραγµα, σήραγγα εκτροπής κλπ.) απαιτούνται µακροχρόνιες σειρές µετρήσεων και σοβαρή υδρολογική µελέτη.
2 ηµιουργία ταµιευτήρα µε κατασκευή φράγµατος και απόφραξη κοιλάδας Το ύψος του φράγµατος εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της λεκάνης κατακλύσεως, ώστε να επιτευχθεί ο επιθυµητός µέγιστος όγκος ταµιευτήρα, αλλά και από την χρήση του φράγµατος. Για παραγωγή ενέργειας είναι επιθυµητή η αύξηση του ύψους του φράγµατος, ενώ για απλή αποθήκευση ή αντιπληµµυρική προστασία είναι αδιάφορο. Σήµερα, οι ταµιευτήρες σχεδιάζονται γενικά σαν πολλαπλού ρόλου, δηλαδή έτσι ώστε να συνδυάζουν δύο ή περισσότερες από τις ακόλουθες λειτουργίες: Ύδρευση Άρδευση. Παραγωγή ενέργειας. Αντιπληµµυρική προστασία. Ψυχαγωγία. Εκτροπή προς άλλη περιοχή. Οι ταµιευτήρες αποθηκεύουν µεγάλο όγκο νερού και να τον αποδίδουν αργότερα και οπωσδήποτε ελεγχόµενο. Ακόµη, στις περιπτώσεις υψηλών πληµµυρικών παροχών έχουν την δυνατότητα να καθυστερούν την διέλευση και να απαµβλύνουν την αιχµή του πληµµυρικού κύµατος. Η λειτουργία ενός ταµιευτήρα βασίζεται στην εξίσωση συνεχείας: ΑΠΟΘΗΚΕΥΜΕΝΟΣ ΟΓΚΟΣ = ΕΙΣΡΟΗ - ΑΠΟΛΗΨΗ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Όπου «ΑΠΩΛΕΙΕΣ» είναι οι απώλειες από εξάτµιση, διήθηση ή υπερχείλιση. Η απόφαση για το ποίος πρέπει να είναι ο όγκος ενός συγκεκριµένου ταµιευτήρα, βασίζεται σε ανάλυση των υδρολογικών δεδοµένων της λεκάνης απορροής που θα τον τροφοδοτήσει και σε οικονοµοτεχνικά κριτήρια που προσδιορίζουν τις χρήσεις και το προσδοκώµενο επίπεδο εξυπηρετήσεως και ασφάλειας, που θα πρέπει να ικανοποιήσει ο υπό µελέτη ταµιευτήρας. Οι ταµιευτήρες γενικά υπολογίζονται για ετήσιο κύκλο λειτουργίας, δηλαδή για αποθήκευση νερού κατά τους υγρούς µήνες (από Οκτώβριο έως Μάιο) και απόδοση του αποθηκευµένου νερού κατά τους ξηρούς µήνες. Ο συνολικός όγκος του ταµιευτήρα είναι πάντοτε µεγαλύτερος από τον ωφέλιµο όγκο του, διότι προβλέπεται ένας νεκρός όγκος στον πυθµένα, που θα γεµίσει µε τον χρόνο από τα
3 φερτά υλικά, και ένα επιπλέον όγκος επάνω από τον ωφέλιµο για ανάσχεση των πληµµυρών, όταν ο ταµιευτήρας θα είναι πλήρης. Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για την διαστασιολόγηση του ταµιευτήρα που η κάθε µια έχει τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατά της. ΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΤΟΥ. Απαραίτητα δεδοµένα είναι: α) ή ετήσια χρονοσειρά των εισροών (µηνιαίες τιµές) που µπορεί να προκύψει από την αντίστοιχη πολυετή χρονοσειρά µηνιαίων τιµών απορροής της λεκάνης απορροής που τροφοδοτεί τον ταµιευτήρα µετά από στατιστική επεξεργασία και επιλογή του επιπέδου αξιοπιστίας σαν ποσοστού είτε των µέσων τιµών είτε των ελαχίστων τιµών. Αυτό είναι απαραίτητο διότι υπάρχουν «υγρά» και «ξηρά» χρόνια, οπότε ο συνολικός ετήσιος αλλά και ο µηνιαίος όγκος απορροής µεταβάλλεται σηµαντικά. Αν η διαστασιολόγηση γίνει µε βάση τις µέσες παροχές, τότε ο ταµιευτήρας θα έχει µεγαλύτερη χωρητικότητα και απόδοση, εκτός από κάποια έτη µε µικρή εισροή που δεν θα µπορεί να γεµίσει και να ικανοποιήσει την ζήτηση. Αν η διαστασιολόγηση γίνει µε βάση τις ελάχιστες παροχές, τότε ο ταµιευτήρας θα έχει µικρότερη χωρητικότητα, θα ικανοποιεί πάντοτε την ζήτηση, αλλά η συνολική απόδοσή του θα είναι µικρότερη, αφού δεν θα µπορεί να συγκρατήσει αρκετά σηµαντικές ποσότητες νερού που θα είναι διαθέσιµες κατά τον µεγαλύτερο αριθµό ετών. β) ή ετήσια χρονοσειρά της ζητήσεως (υδροληψίας) που καθορίζεται από την χρήση του ταµιευτήρα σε συνδυασµό και µε την ετήσια χρονοσειρά των εισροών. γ) ή ετήσια χρονοσειρά των απωλειών που προκύπτει από την ή ετήσια χρονοσειρά των εισροών µε βάση τα τοπογραφικά, κλιµατολογικά και γεωλογικά χαρακτηριστικά της λεκάνης κατακλύσεως του ταµιευτήρα. Σε περίπτωση επιφανειακής αποθηκεύσεως του νερού σε ταµιευτήρα ή λιµνοδεξαµενή χωρίς ειδική προστασία θα υπάρξουν σηµαντικές απώλειες νερού λόγω εξατµίσεως και διηθήσεων. Οι απώλειες αυτές εξαρτώνται άµεσα από τον όγκο του αποθηκευµένου νερού στον ταµιευτήρα και την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, που εξαρτάται και αυτή από τον αποθηκευµένο όγκο νερού. Όσο µεγαλύτερη η ελεύθερη επιφάνεια του νερού (και η επιφάνεια της λεκάνης κατακλύσεως) τόσο µεγαλύτερες και οι απώλειες. Οι απώλειες από εξάτµιση πρέπει να εκτιµηθούν µε βάση µετρήσεις σε ανάλογους ταµιευτήρες. Μετρήσεις στο φράγµα του Μαραθώνα στην Αττική έδειξαν οτι οι απώλειες από εξάτµιση σε ένα µεσαίου µεγέθους ταµιευτήρα στην Ελλάδα µπορεί να είναι της τάξεως των 1000mm/έτος
4 Ο συντελεστής κατεισδύσεως W που προσδιορίζει τις απώλειες από διήθηση µπορεί να εκτιµηθεί µε βάση την γεωλογική µελέτη στην οποία εκτιµάται ο συντελεστής υδραυλικής αγωγιµότητας k και οι ανοιχτές επιφάνειες πετρώµατος του πυθµένα του ταµιευτήρα F m. W = F m x k [mm/ηµέρα] Για τον υπολογισµό των απωλειών νερού σε ένα ταµιευτήρα, είναι απαραίτητη η κατάστρωση και ο υπολογισµός του ισοζυγίου νερού ανά µήνα που µπορεί γενικά να εκφρασθεί από την παρακάτω εξίσωση: όπου: S = όγκος που αποθηκεύεται V = όγκος εισροών P = όγκος κατακρηµνίσεων Παράδειγµα: S = I + P - Et - G - Αx Et = όγκος που εξατµίζεται G = όγκος που διηθείται στο έδαφος Αx = όγκος υδροληψίας (τεχνητή αφαίρεση) Εισροή Εισροή Αθροιστικά Εξάτµιση ιήθηση Υδροληψία Αποθήκευση Σ Ο Ν Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α ΕΤΟΣ 852 7375 9132 11954 11582 8653 7055 1810 1464 319 0 453 852 8227 17359 29314 40895 49548 56604 58414 59878 60198 60198 60651 60651 29 109 189 399 696 1118 1557 1658 1242 737 272 22 7999 50 191 303 441 605 666 666 605 493 392 225 30 4615 0 0 0 0 0 0 0 8000 10000 10000 10000 9000 47000 958 7075 15716 26830 37111 43980 48813 40361 30091 19281 8784 185 958 Ισοζύγιο Ταµιευτήρα 50000 45000 40000 35000 30000 m 3 25000 20000 15000 10000 5000 0 Σ Ο Ν Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α µήνες Εισροή Εξάτµιση ιήθηση Υδροληψία Αποθήκευση Ισοζύγιο Ταµιευτήρα (σε m 3 )
5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΣ ΤΩΝ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΩΝ Αφού αποφασισθεί ο όγκος του ταµιευτήρα θα πρέπει στην συνέχεια να ελεγχθεί για να φανεί κατά πόσο η λειτουργία του θα είναι ικανοποιητική όταν είναι γνωστά, ο όγκος του ταµιευτήρα, οι σταθερές απαιτήσεις σε νερό και οι πιθανότητες ετήσιας εισροής στον ταµιευτήρα. ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ + ΕΙΣΡΟΗ ΥΠΕΡΧΕΙΛΙΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ = ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Για παράδειγµα, έστω ταµιευτήρας που έχει όγκο 15.768.000 m 3. Αυτό αντιστοιχεί σε 30 m 3 /min.έτος ή.5 m 3 /sec.έτος ( ηλαδή εκφράζουµε τον όγκο µε το γινόµενο µιας συνεχούς παροχής επί ένα έτος). Ο ταµιευτήρας έχει κατασκευαστεί για να καλύψει µία σταθερή ετήσια απαίτηση ίση µε 12 m 3 /min.έτος. Θεωρούµε οτι η λειτουργία του ταµιευτήρα ξεκινά το 1980, οπότε και ο ταµιευτήρας είναι τελείως κενός. Από τις µετρήσεις προκύπτει ότι οι παροχές εισροής και αντίστοιχα οι αποθηκευµένοι όγκοι είναι αυτοί που παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: ΕΤΟΣ ΕΙΣΡΟΗ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΥΠΕΡΧΕΙΛΙΣΗ 1980 17.10 5.10 1981 19.00 12.10 1982 12.70 12.80 1983 15.30 16.10 1984 18.20 18.00 4.30 1985 9.00 15.00 1986 7.00 10.00 1987 6.40 4.40 1988 5.10 0.00 1989 9.60 0.00 1990 13.60 1.60 Με την παραπάνω ανάλυση δηµιουργούµε κάποια ιδέα για το πώς λειτούργησε ο ταµιευτήρας τα προηγούµενα χρόνια, όµως δεν µπορούµε να εκτιµήσουµε ικανοποιητικά την µελλοντική του απόδοση. Για να το επιτύχουµε αυτό θα πρέπει να έχουµε εκτίµηση της πιθανότητας να ικανοποιήσει την σταθερή απαίτηση µας µε τον καθορισµένο όγκο αποθηκεύσεως για τις πιθανές παροχές εισροής που προκύπτουν από την ανάλυση των παροχών του υδατορρεύµατος που τροφοδοτεί τον ταµιευτήρα. Η νέα θεώρηση για τον ταµιευτήρα του παραδείγµατος θα είναι η ακόλουθη: Ο ταµιευτήρας θα λειτουργεί σε διαδοχικούς ετήσιους κύκλους που θα ικανοποιούν την εξίσωση συνεχείας: ηλαδή θεωρούµε οτι υπάρχει κάποια ποσότητα στην αρχή του κύκλου µέσα στον ταµιευτήρα, που µπορεί να είναι ίση µε µηδέν ή µεγαλύτερη, αλλά πάντως όχι µεγαλύτερη από την διαφορά του συνολικού όγκου του ταµιευτήρα µείον την σταθερή απαίτηση. Σ αυτήν την ποσότητα έρχεται να προστεθεί η εισροή στον ταµιευτήρα. Αν το άθροισµα της αρχικής ποσότητας συν την εισροή είναι µεγαλύτερο από την χωρητικότητα του ταµιευτήρα, τότε θα συµβεί υπερχείλιση, ώστε ο όγκος που θα αποθηκευτεί να είναι το πολύ ίσος µε την συνολική χωρητικότητα του ταµιευτήρα. Από αυτόν τον όγκο, στην συνέχεια, θα αφαιρεθεί η σταθερά απαίτηση και έτσι στο τέλος του κύκλου θα αποµείνει µία άλλη
6 ποσότητα νερού στον ταµιευτήρα, που θα είναι η αρχική αποθηκευµένη ποσότητα για την αρχή του νέου κύκλου. Αν το άθροισµα της αρχικής ποσότητας συν την εισροή στην διάρκεια ενός κύκλου είναι µικρότερο από την σταθερή απαίτηση, τότε στο τέλος του κύκλου ο ταµιευτήρας θα είναι κενός και η σταθερή απαίτηση δεν θα έχει ικανοποιηθεί, πράγµα που σηµαίνει αστοχία του ταµιευτήρα. Εκφράζουµε τους όγκους εισροής, αποθηκεύσεως, εκροής και υπερχειλίσεως σε πιο απλές µονάδες που τις καλούµε "µονάδες αποθηκευµένου όγκου". Στην προκειµένη περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε σαν 1 µονάδα αποθηκευµένου όγκου τα 6 m 3 /min.έτος, οπότε ο ταµιευτήρας έχει χωρητικότητα Κ = 5 και η σταθερή απαίτηση είναι Μ = 2. Συµβολίζουµε µε p i την πιθανότητα να συµβεί εισροή i µονάδων στην διάρκεια ενός έτους. Οι πιθανότητες p i προσδιορίζονται από την ανάλυση της σειράς των παροχών εισροής. Στο τέλος κάθε κύκλου θα αποµένουν i µονάδες στον ταµιευτήρα που θα είναι i Κ - Μ, δηλαδή στην περίπτωση αυτή i 3 = ( 5-2 ), και το i µπορεί να έχει µία από τις ακόλουθες τιµές : i = 0, 1, 2, 3. Συµβολίζουµε αυτή την πιθανότητα να έχουµε i ακριβώς µονάδες µε Ρ i. Γράφουµε τώρα τους δυνατούς συνδυασµούς των πιθανοτήτων για τον αρχικά αποθηκευµένο όγκο και την εισροή, µε τις διάφορες περιπτώσεις τελικού αποθηκευµένου όγκου, που τον συµβολίζουµε µε Ρ' i : Ρ' 2 = Ρ 3 p 1 + P 2 p 2 + P 1 p 3 + P 0 p 4 Ρ' 1 = Ρ 3 p 0 + P 2 p 1 + P 1 p 2 + P 0 p 3 Για τις δύο ακραίες περιπτώσεις P' 3 και Ρ' 0, θεωρούµε οτι µπορεί να πραγµατοποιηθούν και όταν υπάρξει υπερχείλιση για την πρώτη ή µη ικανοποίηση της σταθερής απαιτήσεως για την δεύτερη. Ακόµη, στην πιθανότητα εισροής 5 µονάδων συγκαταλέγουµε και τις πιθανότητες για ακόµη µεγαλύτερη εισροή που δεν έχει νόηµα να εξετάσουµε ξεχωριστά : Ρ' 3 = Ρ 3 (p 2 + p 3 +p 4 +p 5 ) + P 2 (p 3 + p 4 + p 5 ) + P 1 (p 4 + p 5 ) + P 0 p 5 Ρ' 0 = Ρ 2 p 0 + P 1 (p 1 + p 0 ) + P 0 (p 2 + p 1 + p 0 ) Με τα Ρ' i που θα υπολογίσουµε από τον πρώτο κύκλο λειτουργίας του ταµιευτήρα, υπολογίζουµε κατόπιν τα Ρ'' i για το δεύτερο κύκλο λειτουργίας κοκ. Παρατηρείται οτι µετά από αρκετούς κύκλους καταλήγουµε σε σταθερές τιµές των Ρ' i έτσι ώστε σε κάθε κύκλο Ρ' i = Ρ i. Άρα µπορούµε απ'αρχής να θέσουµε Ρ' i = Ρ i και να επιλύσουµε το νέο σύστηµα για να υπολογίσουµε κατ'ευθείαν τα Ρ i : Ρ 0 = Ρ 2 p 0 + P 1 (p 1 + p 0 ) + P 0 (p 2 + p 1 + p 0 ) Ρ 1 = Ρ 3 p 0 + P 2 p 1 + P 1 p 2 + P 0 p 3 Ρ 2 = Ρ 3 p 1 + P 2 p 2 + P 1 p 3 + P 0 p 4 Ρ 3 = Ρ 3 (p 2 + p 3 +p 4 +p 5 ) + P 2 (p 3 + p 4 + p 5 ) + P 1 (p 4 + p 5 ) + P 0 p 5 Το παραπάνω σύστηµα είναι οµογενές µε ορίζουσα των συντελεστών ίση µε το 0. Για την επίλυση του χρησιµοποιούµε τις τρεις πρώτες εξισώσεις και επιπλέον την βασική εξίσωση για την ολική πιθανότητα : Ρ 0 + P 1 + P 2 + Ρ 3 = 1.
ΑΣΚΗΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 7 Σε ένα ποταµό σχεδιάζεται η κατασκευή ενός ταµιευτήρα του οποίου η χωρητικότητα προβλέπεται να είναι 31536x10 6 m 3. Υπολογίζεται οτι η σταθερά απαίτηση είναι 50 m 3 /sec.έτος. Από τον πίνακα των µέσων ετησίων ροών του ποταµού στην θέση όπου πρόκειται να κατασκευαστεί ο ταµιευτήρας και για το διάστηµα 1950-1985 στο οποίο υπήρχαν µετρήσεις έχει προκύψει µετά από στατιστική επεξεργασία ο παρακάτω πίνακας: Μέση ετήσια ροή ποταµού Πιθανότητα υπερβάσεως (m 3 /sec.έτος) 0 1.000 25 0.800 50 0.670 75 0.520 100 0.300 125 0.100 150 0.000 1. Να γραφτούν οι εξισώσεις αποθηκευµένου όγκου για τον ταµιευτήρα και να βρεθούν οι σταθερές τιµές των πιθανοτήτων αποθηκευµένου όγκου. 2. Ποία η πιθανότητα να µην ικανοποιηθεί η σταθερή απαίτηση (πιθανότητα αποτυχίας) και ποία η πιθανότητα να συµβεί υπερχείλιση στο σχεδιαζόµενο ταµιευτήρα. 3. εδοµένου οτι τα 50 m 3 /sec.έτος είναι η ελάχιστη απαίτηση για τις ανάγκες της περιοχής, τι προτείνετε προκειµένου η πιθανότητα αποτυχίας που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα να µειωθεί. Τι συµβαίνει τότε µε την πιθανότητα υπερχειλίσεως στον ταµιευτήρα; ΕΠΙΛΥΣΗ Η σταθερή απαίτηση είναι 50 m 3 /sec.έτος, η χωρητικότητα του ταµιευτήρα 31536x10 6 m 3 ή 100 m 3 /sec.έτος και οι εισροές είναι σε βήµατα των 25 m 3 /sec.έτος Επιλέγουµε σαν µονάδα χωρητικότητας τα 25 m 3 /sec.έτος, οπότε Χωρητικότητα του ταµιευτήρα Κ = 4 Σταθερή απαίτηση Μ = 2 Οι πιθανότητες να πραγµατοποιηθούν εισροές ίσες ή µεγαλύτερες από ένα αριθµό µονάδων χωρητικότητας (και πάντως µικρότερες από τον αµέσως µεγαλύτερο ακέραιο αριθµό µονάδων χωρητικότητας) είναι: Μονάδες m 3 /sec.έτος Πιθανότητες 0 0 1.00-0.80 = 0.20 = p 0 1 25 0.80-0.67 = 0.13 = p 1 2 50 0.67-0.52 = 0.15 = p 2 3 75 0.52-0.30 = 0.22 = p 3 4 100 0.30-0.10 = 0.20 = p 4 5 125 0.10-0.00 = 0.10 = p 5
8 1. Επειδή K - M = 4-2 = 2, στον ταµιευτήρα στο τέλος κάθε περιόδου µπορούν να υπάρχουν 0, 1, 2 µονάδες χωρητικότητας. Το σύστηµα των εξισώσεων του αποθηκευµένου όγκου γράφεται: Ρ 0 = Ρ 2 p 0 + P 1 (p 1 + p 0 ) + P 0 (p 2 + p 1 + p 0 ) Ρ 1 = P 2 p 1 + P 1 p 2 + P 0 p 3 Ρ 2 = Ρ 2 (p 2 + p 3 + p 4 + p 5 )+ P 1 (p 3 + p 4 + p 5 )+ P 0 (p 4 + p 5 ) Από το σύστηµα αυτό κρατούµε τις δύο πρώτες εξισώσεις, προσθέτουµε την εξίσωση της ολικής πιθανότητας P 0 + P 1 + Ρ 2 = 1, και αντικαθιστούµε τις τιµές για τις πιθανότητες εισροής που προσδιορίζονται παραπάνω, οπότε έχουµε για επίλυση το ακόλουθο σύστηµα : Ρ 0 = Ρ 2 0.20 + P 1 (0.13 + 0.20) + P 0 (0.15 + 0.20 + 0.13) Ρ 1 = Ρ 2 0.13 + P 1 0.15+ P 0 0.22 1 = P 0 + P 1 + Ρ 2 Η επίλυση δίνει τα ακόλουθα αποτελέσµατα: P 0 = 0.307, P 1 = 0.161, Ρ 2 = 0.532 2. Η πιθανότητα να µην ικανοποιηθεί η σταθερή απαίτηση (πιθανότητα αποτυχίας) είναι: Ρ αποτυχίας = P 0 (p 1 + p 0 ) + P 1 p 0 Ρ αποτυχίας = 0.307x (0.20 + 0.13) + 0.161x 0.20 = 0.133 Η πιθανότητα να συµβεί υπερχείλιση στο σχεδιαζόµενο ταµιευτήρα είναι : Ρ υπερχειλίσεως = Ρ 2 (p 3 + p 4 + p 5 )+ P 1 (p 4 + p 5 )+ P 0 p 5 Ρ υπερχειλίσεως = 0.532x (0.22 + 0.20 + 0.10) + 0.161 x (0.20+ 0.10) + 0.307 x 0.10 = 0.356 3. Προκειµένου να µειωθεί η πιθανότητα αποτυχίας, µπορούµε να επιδιώξουµε την αύξηση των εισροών στον ταµιευτήρα. Στην περίπτωση αυτή θα αυξηθεί και η πιθανότητα υπερχειλίσεως στον ταµιευτήρα. Εάν αυξηθεί και η χωρητικότητα του ταµιευτήρα τότε θα µειωθεί και η πιθανότητα υπερχειλίσεως.