Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Transcript

1 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και β συναρτήσει των συντεταγµένων τους. Μονάδες 3) β) Αν τα διανύσµατα a, β δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα και λ,λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των a, β αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι: a β λλ Μονάδες 5,5) γ) Αν τα διανύσµατα a, β είναι µη µηδενικά και θ είναι η γωνία των a και β, να αποδείξετε ότι: συνθ Μονάδες 4) Β. α) ίνονται τα διανύσµατα: a λ, λ -), β λ) 4, µε λ. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του λ τα διανύσµατα a και β είναι κάθετα; Α. λ Β. λ 3 Γ. λ. λ - Ε. λ -3 Να γράψετε στο τετραδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 6,5) β) ίνονται τα διανύσµατα: u,- 3), v, 3), w 3,)

2 Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία που βρίσκεται στη στήλη Α µε το µέτρο της που βρίσκεται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β. γωνία των u και v Α. π/ Β. π/6. γωνία των u και w Γ. π/4. π/3 3. γωνία των v και w Ε. 3π/4 Ζ. π/3 Να γράψετε στο τετραδιό σας τον αριθµό της στήλης Α και δίπλα το γράµµα της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 6) Α. α) Το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων:, ), β, είναι: α β α ) β) Ισχύει: λ / και λ / µε,, αφού τα διανύσµατα α, β δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα. Είναι: α β α β λ λ λ λ - γ) Ισχύει: α β α β συνθ συνθ α β α β ) Όµως: και α α β, β Εποµένως, η ) γράφεται: συνθ

3 Β. α) Τα διανύσµατα α και β είναι κάθετα αν και µόνο αν: β λ 4 λ -) λ λ4 λ -) α λ λ 3) λ απορ.) ή λ - 3 Εποµένως, σωστή απάντηση είναι η Ε. β) Είναι: u v w 3) 3) 3) 4 Τη γωνία των διανυσµάτων u v και v υπολογίζουµε ως εξής: Άρα: συν ^ u v ) 3) u, v u v u, ^ v) 4 π Τη γωνία των διανυσµάτων u v και w υπολογίζουµε ως εξής: Άρα: συν u w ^ u v 3 ) 3) u, w u, ^ w) π 4 Τη γωνία των διανυσµάτων v και w υπολογίζουµε ως εξής: συν ^ v, w) u v v w Άρα: v, ^ w) π 6 Εποµένως, οι σωστές αντιστοιχίες είναι: Α 3 Β. 3

4 Ζήτηµα ο ίνoνται οι αριθµοί α κ και β 6κ 7, όπου κ ακέραιος αριθµός. Να αποδείξετε ότι: α) Οι αριθµοί 3α και β είναι πρώτοι µεταξύ τους. Μονάδες 9) β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού β α) µε το είναι. Μονάδες 8) γ) Αν ο αριθµός κ είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε ο αριθµός α β ) είναι πολλαπλάσιο του 7. Μονάδες 8) α) Έχουµε: α κ, β 6κ 7, µε κ Ζ Έστω δ 3α, β) δ 6κ 6, 6κ 7). Τότε: Οπότε: δ 6κ 6 δ 6κ 7 δ/6κ 7) 6κ 6) δ/, δηλαδή δ. Άρα, οι αριθµοί 3α και β είναι πρώτοι µεταξύ τους. β) Έχουµε: β α 6κ 7) κ ) κ 4 κ κ κ κ ). Άρα: β α κ ) Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού β α) µε το είναι. γ) Ισχύει: κ πολ.7, δηλαδή κ 7λ, µε λ Ζ. Έχουµε: α β κ 6κ 7 8κ 7 87λ) 7 78λ ) Άρα: α β 78λ ) Αν θέσουµε: 8λ µ, µε µ Ζ, τότε: α β 7µ πολ.7 Ζήτηµα 3ο ίνονται τα σηµεία Α8, ) και Β, 4) του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Μονάδες 9) 4

5 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε) που διέρχεται από το σηµείο και είναι κάθετη στην ευθεία Ο. Μονάδες 9) γ) Έστω Μ τυχαίο σηµείο της παραπάνω ευθείας ε). Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: MA MB OM Επειδή το σηµείο είναι το µέσον του τµήµατος ΑΒ, έχουµε: ηλαδή: 4, ) Α Α Β Β Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας Ο θα είναι: Ο λ Ο 4 Ο Μονάδες 7) Επειδή το σηµείο Ο, ) είναι σηµείο της ευθείας Ο, η εξίσωσή της θα είναι: λ Ο ) / β) Αν λ ε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε), τότε: ε) Ο λ ε λ Ο - λ ε / - λ ε - Επειδή το σηµείο 4, ) είναι σηµείο της ευθείας ε), η εξίσωσή της θα είναι: λ ε ) - 4) γ) Θεωρούµε το τυχαίο σηµείο Μ, ) της ευθείας ε). Σύµφωνα µε το ερώτηµα β) ισχύει: Πρέπει: MA MB ) OM MA MB OM ) ) 8 4 ) ) Η τελευταία ισχύει, λόγω της ). 5

6 Ζήτηµα 4ο Θεωρούµε έναν πληθυσµό από 999 µυρµήγκια. Κάθε µυρµήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθµό,, 3,, 999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Ο διαγράφοντας µια τροχιά µε εξίσωση: ) ). Να δείξετε ότι: α) η τροχιά κάθε µυρµηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγµένες του κέντρου του. Μονάδες 9) β) κατά την κίνησή τους όλα τα µυρµήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο Α που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγµένες του σηµείου Α; Μονάδες 8) γ) οι τροχιές όλων των µυρµηγκιών εφάπτονται της ευθείας στο σηµείο Α. Μονάδες 8) Ισχύει ότι: α) Έχουµε: ) ),,, 3,, 999 ) ) ) ) ) Θέτουµε: - ) A, - B και Γ. Για να είναι η ), άρα και η ισοδύναµή της ), εξίσωση κύκλου, πρέπει: Α Β 4Γ > 4 ) 4 4 ) > ) ) > > > που ισχύει για κάθε,, 3,, 999 Εποµένως, η ) είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο: και ακτίνα: K A, ρ B - 6

7 7 β) Έστω Α, ) το σταθερό σηµείο που ζητούµε. Το σηµείο Α πρέπει να είναι σηµείο του κύκλου C. ηλαδή, πρέπει: ) ) ) ) ) 3) Για να ισχύει η 3) για κάθε,, 3,, 999, πρέπει: ) ) Εποµένως, το σηµείο Α, ) είναι το ζητούµενο σταθερό σηµείο. γ) Έστω ε : και dκ, ε) η απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου C από την ευθεία ε). Έχουµε: e K d ), ε Εποµένως, οι τροχιές των µυρµηγκιών εφάπτονται της ευθείας ε) και µάλιστα στο σηµείο Α, αφού:, που ισχύει.