ιόδευση των πληµµυρών

Transcript

1 ιόδευση των πληµµυρών Με τον όρο διόδευση εννοούµε τον υπολογισµό του πληµµυρικού υδρογραφήµατος σε µια θέση Β στα κατάντη ενός υδατορρεύµατος, όταν αυτό είναι γνωστό σε µια θέση Α στα ανάντη ή αντίστοιχα τον υπολογισµό του πληµµυρικού υδρογραφήµατος στην έξοδο ενός ταµιευτήρα όταν το υδρογράφηµα είναι γνωστό στην είσοδο του ταµιευτήρα. ηλαδή πρόκειται για ένα µαθηµατικό υπολογισµό που περιγράφει το «πέρασµα» του πληµµυρικού κύµατος µέσα από την κοίτη ενός υδατορρεύµατος ή µέσα από ένα ταµιευτήρα που παρεµβάλεται σε ένα υδατόρρευµα. Οι διοδεύσεις γενικά αναφέρονται σε α) Μη µόνιµη οµοιόµορφη ροή και β) µη µόνιµη ανοµοιόµορφη ροή Υδρογράφηµα-πληµµυρικό κύµα Το υδρογράφηµα εκφράζει την εξέλιξη του βάθους ροής ή της παροχής στον χρόνο. Σαν διάγραµµα ένα υδρογράφηµα µοιάζει σαν ένα κύµα. Προσοχή όµως! Το υδρογράφηµα εκφράζει την µεταβολή στον χρόνο ενός υδραυλικού µεγέθους (στάθµη ή παροχή) σε ένα σηµείο. Ένα κύµα είναι µία µεταβαλλόµενη παροχή (ή στάθµη) που κινείται σε ένα υδατόρρευµα, λίµνη, λεκάνη κατακλίσεως κλπ. Η κίνηση γενικά είναι από τα ανάντη προς τα κατάντη, αλλά είναι δυνατόν και το αντίστροφο, όπως για παράδειγµα στις περιπτώσεις αποφράξεως ενός υδατορρεύµατος µε υδροφράκτη ή λόγω κατολισθήσεως.. Ροή σε υδατορρεύµατα Στα υδατορρεύµατα διακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις ροής: α) Ροή µε σταθερό πυθµένα ( χωρίς στερεοπαροχή ) β) Ροή µε κινητό πυθµένα ( στερεοπαροχή) γ) Τύποι ροής: Ι. Μόνιµη οµοιόµορφη ΙΙ. Μόνιµη ανοµοιόµορφη ΙΙΙ. Μη µόνιµη οµοιόµορφη IV. Μη µόνιµη ανοµοιόµορφη Οι κύριες παράµετροι που προσδιορίζουν το φυσικό πρόβληµα είναι το βάθος ροής και η παροχή. ευτερεύουσες παράµετροι η ταχύτητα ροής και ο χρόνος. Ο αποθηκευµένος όγκος νερού στην κοίτη ενός υδατορρεύµατος είναι µικρός σχετικά µε ένα ταµιευτήρα, δεν είναι όµως αµελητέος. Οι υπολογισµοί γίνονται εφαρµόζοντας την εξίσωση συνέχειας και την σχέση [αποθηκευµένου όγκου]-[εισροής/εκροής]. Ροή µέσα από λίµνες-ταµιευτήρες Οι κύριες παράµετροι που προσδιορίζουν το φυσικό πρόβληµα είναι το βάθος και ο αποθηκευµένος όγκος. Οι υπολογισµοί γίνονται εφαρµόζοντας την εξίσωση συνέχειας και την σχέση [αποθηκευµένου όγκου]-[εκροής]. 3. Ειδικές περιπτώσεις: αναβαθµοί, ειδικά έργα εκτροπής Εφαρµόζονται ειδικές εµπειρικές µέθοδοι ή ειδικές δυναµικές µέθοδοι και σε ορισµένες περιπτώσεις γίνονται φυσικά οµοιώµατα υπό κλίµακα. 4. Πληµµυρική κατάκλιση κοιλάδας Η περιγραφή της ροής γίνεται γενικά ως διδιάστατη. Κύριες παράµετροι είναι το βάθος ροής και η παροχή. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

2 ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΙΟ ΕΥΣΕΩΝ Υπάρχουν δύο µεγάλες κατηγορίες µεθόδων:. Υδραυλικές µέθοδοι. Υδρολογικές µέθοδοι. Υδραυλικές µέθοδοι Χρησιµοποιούν την εξίσωση συνεχείας και τις δυναµικές εξισώσεις ροής, που απαιτούν καλή γνώση των υδραυλικών χαρακτηριστικών του υδατορρεύµατος. Οι πλήρεις εξισώσεις καλούνται εξισώσεις St Venant: Α) Εξίσωση συνεχείας: ή V y y y + V + t Q l και για QV A: Β) υναµική εξίσωση: V A A A + V + t Q A + t Q l Q l ή χωρίς πλευρική εισροή: V t V + V + ( ya) VQl + A g( S S y V V V S f S g g t Εάν αφαιρεθούν κάποιοι όροι από τις πλήρεις εξισώσεις, για περιπτώσεις ροής όπου δεν έχουν σηµαντική τιµή (όταν για παράδειγµα έχουµε βραδεία εξέλιξη του πληµµυρικού επεισοδίου), προκύπτουν τα ακόλουθα απλοποιηµένα µοντέλα για την διόδευση του πληµµυρικού κύµατος: Το κύµα διαχύσεως: g A f ) Το κινηµατικό κύµα: S f y S S f S Η εφαρµογή των παραπάνω µεθόδων βασίζεται στις ακόλουθες παραδοχές: α) Το νερό είναι ασυµπίεστο και οµογενές. β) Η ταχύτητα σε κάθε σηµείο µιας διατοµής είναι ίση µε την µέση ταχύτητα. γ) Ισχύει υδροστατική κατανοµή των πιέσεων. δ) εν υπάρχουν ασυνέχειες στο πεδίο ροής. ε) Οι δυνάµεις συνεκτικότητας και τριβής εκφράζονται από εµπειρικές σχέσεις τύπου Manning: Εξίσωση του Manning: Εξίσωση του Chezy: V R n 3 S V C RS Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

3 3 Η επιλογή της κατάλληλης µεθόδου από τις τρεις αυτές µεθόδους διοδεύσεως εξαρτάται από τον τύπο της ροής στο υδατόρρευµα. Μέθοδος Πλήρης δυναµική εξίσωση Τύπος ροής Μη µόνιµη ανοµοιόµορφη Κύµα διαχύσεως Κινηµατικό κύµα Μόνιµη ανοµοιόµορφη* Μόνιµη οµοιόµορφη* * Όταν η εξέλιξη είναι πολύ αργή τότε τα δυναµικά φαινόµενα θεωρούνται αµελητέα και η ροή θεωρείται κατά προσέγγιση ως µόνιµη. Η επίλυση των ανωτέρω εξισώσεων µπορεί να γίνει µε διάφορες µεθόδους:. Υδρολογικές µέθοδοι α) Υπολογιστικές (βήµα-βήµα) β) Πεπερασµένες διαφορές γ) Πεπερασµένα στοιχεία δ) Μέθοδο των χαρακτηριστικών Οι υδρολογικές µέθοδοι χρησιµοποιούν την εξίσωση συνεχείας: ds I O dt και µια σχέση αποθηκευµένου όγκου-παροχής. Έχουν εφαρµογή στους ταµιευτήρες και τα υδατορρεύµατα. H ανωτέρω εξίσωση µπορεί να διακριτοποιηθεί για χρονικό βήµα t: I + I O + O S S t Όπου S, I και O η αποθήκευση, εισροή και εκροή στην αρχή του χρονικού βήµατος και S, I και O στο τέλος του ίδιου χρονικού βήµατος αντίστοιχα. Η επίλυση των εξισώσεων των υδρολογικών µεθόδων διοδεύσεως µπορεί να γίνει µε διάφορες µεθόδους: α) Υπολογιστικές (βήµα-βήµα, όπως στο παράδειγµα). β) Γραφικές (Μεγάλη εφαρµογή πριν την διάδοση των µικροϋπολογιστών). Η µέθοδος Muskingum. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιήθηκε πρώτη φορά κατά την µελέτη του ποταµού Muskingum στην πολιτεία Οχάιο των ΗΠΑ το 938. Στην περίπτωση ενός υδατορρεύµατος η χωρητικότητα S δεν µπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση µόνο του υδρογραφήµατος εκροής D, αλλά είναι αναγκαίο να ληφθεί υπόψη και το υδρογράφηµα εισροής Ι. Αυτό συµβαίνει διότι η ελεύθερη επιφάνεια του υδατορρεύµατος µεταβάλλει µορφή ανάλογα µε την εξέλιξη της διοδεύσεως. Η εξίσωση της µεθόδου Muskingum συνδέει τον αποθηκευµένο όγκο µε την εισροή και την εκροή από το υδατόρρευµα: S [ xi + ( x) O] όπου Κ συντελεστής µε διαστάσεις χρόνου x αδιάστατος αριθµός (x<,5) ηλαδή το x είναι ένας συντελεστής που προσδιορίζει την σχέση µεταξύ εισροής-εκροής ως προς την επίδρασή τους στον προσδιορισµό του αποθηκευµένου όγκου στο υδατόρρευµα.. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

4 Φυσικό νόηµα της εξίσωσης Muskingum 4 Όπου: V η ταχύτητα του νερού στο σύστηµα Α O/V εµβαδόν του τµήµατος διατοµής από όπου διέρχεται παροχή O Α (Ι O)/V εµβαδόν του τµήµατος διατοµής από όπου διέρχεται παροχή Ι O L η απόσταση ανάµεσα στις διατοµές εισόδου και εξόδου Κ ο χρόνος για τη ροή του νερού από την διατοµή εισόδου ως την διατοµή εξόδου οπότε και: L V Ο αποθηκευµένος όγκος νερού στην κοίτη είναι: S L Α + x L Α V (O/V) + x V (I O)/V O + x (I O) (x I + ( x) O) ηλαδή τελικά: S (x I + ( x) O) Το x αποτελεί ένα τεχνητό προσεγγιστικό συντελεστή και ο υπολογισµός του µπορεί να γίνει µόνο εµπειρικά µε διαδοχικές δοκιµές. Ο υπολογισµός των τιµών των συντελεστών x και Κ γίνεται µε την βοήθεια ενός ζεύγους υδρογραφηµάτων εισροής εκροής που έχουν µετρηθεί στο παρελθόν. Η διαδικασία είναι η ακόλουθη: Για διάφορες τιµές του x χαράσσεται το διάγραµµα [x I + (-x) D] [S/ t] το οποίο έχει χαρακτηριστική µορφή βρόχου («βρόχος υστερήσεως»). Κανονικά το διάγραµµα αυτό έπρεπε να είναι µια απλή καµπύλη (ευθεία). Όµως, επειδή κατά τις διάφορες φάσεις της διοδεύσεως η ελεύθερη επιφάνεια στο υδατόρρευµα αλλάζει µορφή, και όλες οι διαφορετικές αυτές µορφές καλύπτονται από τον προσεγγιστικό συντελεστή x, για τον λόγο αυτό αντί για απλή καµπύλη σχηµατίζεται ο βρόχος υστερήσεως. Ο βρόχος ο οποίος προσεγγίζει καλύτερα µια ευθεία γραµµή δίνει την καταλληλότερη τιµή του x και η κλίση της ευθείας δίνει το λόγο Κ/ t όπως προκύπτει και από την σχέση : S/ t (/ t) [x I + (-x) D] Υπολογίζεται το S/ t. Από την εξίσωση αποθήκευσης: S S I + I O + O t Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

5 5 Προσδιορισµός του συντελεστή x 5 5 S/ t x,5 x, x3,5 x4, x5, xι+(-x)d οκιµές για διάφορα x Προσδιορισµός του συντελεστη x 5 y,94x - 33, R, S/ t Χ, Ευθεία (Χ,) 5,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, xι+(-x)d Επιλογή του καταλληλότερου x και αντίστοιχη ευθεία προσαρµογής Η εξίσωση Muskingum γίνεται: S S t Τελικά προκύπτει ότι: t [ x I I ) + ( x)( O O )] ( όπου O C I + C I + C O και C x.5 t x +.5 t C x.5 t x +.5 t C + C + C Γνωρίζοντας λοιπόν το υδρογράφηµα εισροής και την πρώτη τιµή του υδρογραφήµατος εκροής, που θα είναι ίση µε την βασική ροή του υδατορρεύµατος, είναι απλός ο υπολογισµός βήµα-βήµα του υδρογραφήµατος εκροής. C x.5 t x +.5 t Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

6 A B 6 A B A B Μορφή (profile) της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στην αρχική, ενδιάµεση και τελική φάση της διοδεύσεως, ανάµεσα στις διατοµές Α και Β. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

7 Παράδειγµα: Για ένα υδατόρρευµα διατίθεται ένα ζεύγος υδρογραφηµάτων εισροής-εκροής στις διατοµές εισόδου (Α) και εξόδου (Β). t [h] I [m 3 /s] Ο [m 3 /s] Η βασική ροή στο υδατόρρευµα είναι σταθερή και ίση µε m3/s και το υδατόρρευµα έχει αρκετό βάθος ώστε να µην υπάρχει περίπτωση να υπερχειλίσει. Ζητείται το υδρογράφηµα εκροής του υδατορεύµατος που αντιστοιχεί στο ακόλουθο υδρογράφηµα εισροής: t [h] I [m 3 /s] t [h] I [m 3 /s] Θα επιλύσουµε το πρόβληµα µε εφαρµογή της µεθόδου Muskingum Με την βοήθεια του ζεύγους των γνωστών υδρογραφηµάτων εισροής-εκροής υπολογίζουµε τα Κ και x και τους συντελεστές C, C και C. Οι υπολογισµοί διατάσσονται στον ακόλουθο πίνακα: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

8 Υπολογισµός του x και του Κ 8 t [ώρες] I [m 3 /sec] O [m 3 /sec] (I O )/ (I O )/ S/ t [m 3 /sec] S/ t x*i + (-x)*o [m 3 /sec] x. x.5 x. x x. 5 x S/ t S/ t x*i + (-x)*q x*i + (-x)*q x. x y,874x - 8,758 S/ t 5 S/ t x*i + (-x)*q x*i + (-x)*q Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

9 9 Από τα διαγράµµατα φαίνεται ότι ο βρόχος ο οποίος προσεγγίζει καλύτερα την ευθεία είναι αυτός που προκύπτει για την τιµή x.. Από τη γραµµή τάσης στο διάγραµµα αυτό προκύπτει : Κ/ t.874 Για τις τιµές αυτές του x και του Κ οι συντελεστές C, C και C είναι: C -.67, C.384, C.648 Με αυτές τις τιµές υπολογίζεται βήµα-βήµα το ζητούµενο υδρογράφηµα εκροής στον ακόλουθο πίνακα: t [h] I [m 3 /s] C I C I C Ο Ο [m 3 /s] ιόδευση µε την µέθοδο Muskingum 8 Παροχή σε m3/s I O Χρόνος σε ώρες Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

10 Η µέθοδος Muskingum-Cunge Η µέθοδος αυτή αποτελεί παραλλαγή της µεθόδου Muskingum και µπορεί να εφαρµοστεί όταν η ροή γίνεται µέσα σε αγωγό σταθερής και γνωστής διατοµής. Σύµφωνα µε αυτήν, ο συντελεστής x µπορεί να προσδιοριστεί από τα υδραυλικά χαρακτηριστικά του αγωγού: I O d dt [ xi + ( x) O] q x S c x Όπου: x c q ειδική παροχή (παροχή ανά µονάδα πλάτους του αγωγού) c ταχύτητα µεταδόσεως κύµατος 5 c mv V 3 S κλίση του πυθµένα του καναλιού x απόσταση µεταξύ των δύο διατοµών για τις οποίες γίνεται η διόδευση. O CI + C I + C O C t x ( x) + t C t + x ( x) + t C ( x) c t x ( x) + t C + C + C Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

11 . ιόδευση υδρογραφήµατος µέσα από ταµιευτήρα. Η ταχύτητα ροής µέσα στον ταµιευτήρα θεωρείται αµελητέα και η ελεύθερη επιφάνεια του νερού πάντα οριζόντια. Η βασική εξίσωση είναι η εξίσωση συνεχείας: ds I O S dt Η οποία µε αναδιάταξη των όρων γίνεται: I + I S I + I O + O t S O S + + t t O Η εισροή Ι θεωρείται πάντα γνωστή, ενώ τόσο η εκροή Ο, όσο και ο αποθηκευµένος όγκος S µπορούν εκφραστούν ως συναρτήσεις της στάθµης του νερού στον ταµιευτήρα: Ο Ο(h) και S S(h) Οι δύο ανωτέρω σχέσεις είναι γνωστές από την τοπογραφία της λεκάνης κατακλύσεως του ταµιευτήρα η πρώτη, και από τον υπερχειλιστή ή τις υδροληψίες ή δεύτερη. Ακόµη, γνωρίζουµε πάντα την αρχική κατάσταση του ταµιευτήρα, δηλαδή το αρχικό βάθος του νερού ή τον αποθηκευµένο όγκο στην αρχή της διοδεύσεως. Με αντικατάσταση στην εξίσωση συνεχείας προκύπτει µια εξίσωση όπου ο µόνος άγνωστος κάθε φορά είναι η στάθµη του νερού στο επόµενο βήµα. Η επίλυση γίνεται βήµα-βήµα και η µόνη δυσκολία είναι ότι επειδή οι σχέσεις Ο Ο(h) και S S(h) δεν είναι γραµµικές και δεν είναι πάντα άµεση η επίλυσή τους ως το βάθος h, θα χρειαστεί ο προσδιορισµός του h να γίνεται µε κάποια επαναληπτική διαδικασία. Στην µέθοδο αυτή παλαιότερα χρησιµοποιούνταν γραφική επίλυση ή συνδυασµένη επίλυση µε διαγράµµατα και πίνακες. Παράδειγµα διοδεύσεως µέσα από ταµιευτήρα. Για ένα ταµιευτήρα σας δίδονται τα ακόλουθα στοιχεία: α. Στον υπερχειλιστή ισχύει η σχέση Ο 6.7 h 3/ m 3 /s (I), όπου h το ύψος του νερού πάνω από την στέψη του υπερχειλιστού. β. Ο όγκος νερού που συγκρατεί ο ταµιευτήρας δίδεται από την σχέση V99 ((3z) ) m 3 (II), όπου z το βάθος του νερού κοντά στον υπερχειλιστή. γ. Το ύψος της στέψεως του υπερχειλιστή από τον πυθµένα του ταµιευτήρα είναι : Η 3m δ. Ο ταµιευτήρας είναι πλήρης κατά τον χρόνο αφίξεως του πληµµυρικού υδρογραφήµατος και επιτρέπει στην βασική ροή να διέρχεται αµετάβλητη ( m 3 /s). Ζητείται ο υπολογισµός του υδρογραφήµατος εκροής από τον ταµιευτήρα όταν το υδρογράφηµα εισροής είναι: t [h] I [m 3 /s] t [h] I [m 3 /s] Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

12 Ο ταµιευτήρας είναι πλήρης κατά τον χρόνο ενάρξεως του πληµµυρικού υδρογραφήµατος και επιτρέπει στην βασική ροή να διέρχεται αµετάβλητη ( m 3 /s), για τη χρονική στιγµή t θα είναι D m 3 /s και από τη δεδοµένη σχέση Ο(h) θα είναι: O 6.7 h 3/ O όγκος νερού που συγκρατεί ο ταµιευτήρας για z Η + h 3 + h είναι : V 99 [3 (3+h)] m 3 Με το h γνωστό υπολογίζεται ο όρος: Από αυτόν και την εισροή υπολογίζεται ο όρος Κ S / t + Ο /: Από το Κ υπολογίζεται το h : I + I S O t Κ (69/6 6 6) (3+h ) h 3/ Για την επίλυση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένας πίνακας ή διάγραµµα που να δίνει για πολλές τιµές την σχέση Κ(h) ή να χρησιµοποιθεί το ακόλουθο σχήµα διαδοχικών προσεγγίσεων : h (i) { /.46 (3.35/.46)* (h (i-) ) 3/ } / -3 S O S + + t t O όπου h () h Οργανώνοντας τις προηγούµενες πράξεις σε πίνακα και υπολογίζεται εύκολα το υδρογράφηµα εκροής του ταµιευτήρα: ιόδευση µέσα από ταµιευτήρα Παροχή (m 3 /s) Χρονος [6ωρα] Ι Ο Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5

13 3 t [h] I [m 3 /s] (I +I )/ S / t O / S / t + O / H [m] O [m 3 /s] S [m 3 ] ,7, ,7, ,73, ,75, ,8, ,96, ,37, ,34, ,37, ,394, ,4, ,47, ,48, ,44, ,46, ,396, ,385, ,373, ,36, ,349, ,338, ,38, ,39, ,3, ,35, ,99, ,94, ,9, ,87, ,84, ,8, ,8, ,79, ,78, ,76, Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις «ιοδεύσεις», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 5