ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 1 ΜΑΪOY 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Για μία συνεχή συνάρτηση να γράψετε τις τρεις κατηγορίες σημείων, τα οποία είναι πιθανές θέσεις τοπικών ακρoτάτων. Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η επικρατούσα τιμή μίας μεταβλητής είναι μοναδική. (Μον. ) β) Έστω συνεχής συνάρτηση και ένα στάσιμο σημείο της (δηλαδή 0). Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο όταν 0. (Μον. ) γ) Έστω συνάρτηση συνεχής στο,. Τότε ισχύει:, όπου (Μον. ) δ) Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, τότε και η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (Μον. ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Η σχετική συχνότητα τιμής μίας μεταβλητής συμβολίζεται με και ισχύει. (Μον. ) Μονάδες 10 Α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε: α), με 0 (Μον. ) β), αν c σταθερά (Μον. ) γ)αν η μεταβλητή παίρνει τις τιμές,,..., με αντίστοιχες συχνότητες,,..., τότε η μέση τιμή της μεταβλητής είναι:... (Μον. ) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) 50 μαθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑ.Λ για να γράψουν ένα διαγώνισμα, δίνονται στον παρακάτω πίνακα κατανομής: Χρόνος σε λεπτά Κέντρο κλάσης Συχνότητα 0 Αθροιστική Συχνότητα 4 1 ΣΥΝΟΛΑ 50 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον προηγούμενο πίνακα και να τον συμπληρώσετε σωστά. Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του χρόνου, που χρειάστηκαν οι μαθητές για να γράψουν το διαγώνισμα. Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε τη διακύμανση (Μον. 7) και την τυπική απόκλιση της μεταβλητής (Μον. ). Μονάδες 9 Β4. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβλητότητας CV%. Μονάδες 4 ( ίνεται: 96 10) ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση με τύπο: 8, όπου. Γ1. Να βρείτε το: 4 4, lim Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε το: lim Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε για ποιές τιμές του η συνάρτηση είναι συνεχής στο. Μονάδες 6 Γ4. Για λ=1 να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Μία ομάδα περιβαλλοντολόγων εκτιμά ότι το βάρος ( σε τόνους) ενός παγόβουνου μεταβάλλεται με τον χρόνο ( σε έτη) σύμφωνα με τη συνάρτηση: 1 15, 0 10 1. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του βάρους του παγόβουνου. Μονάδες 5. Ποιά χρονική στιγμή τo βάρος του παγόβουνου γίνεται μέγιστο; Μονάδες 8. Να αποδείξετε ότι, αν 6,9, τότε ισχύει: 9 6 Μονάδες 5 4. Ποιά χρονική στιγμή o ρυθμός μεταβολής του βάρους του παγόβουνου γίνεται μέγιστος; Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΙΣ HMEΡΗΣΙΙΩΝ ΚΑΙΙ ΕΣΠΕΡΙΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΙΩΝ ((ΟΜΑΔΑ A )) ΚΑΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΙΔΙΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΙΩΝ ((ΟΜΑΔΑ Β )) ΠΕΜΠΤΗ 1 ΜΑΪΟΥ 015 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ) ΘΕΜΑ Α A1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 1 A. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Σωστό. β 1 β β Α. α. dx = nx = nβ - nα = n α α x α β. c = 0, αν c σταθερά γ. Αν η μεταβλητή x παίρνει τις τιμές x, x,..., x με 1 κ 1 κ αντίστοιχες συχνότητες v, v,... v, τότε η μέση τιμή της x1v 1 + xv +... + xκvκ μεταβλητής είναι x =. v + v +... + v 1 κ ΘΕΜΑ Β Β1. Κλάσεις κ i v i Ν i κ. i v i [5, 15) 10 0 0 00 [15, 5) 0 14 4 80 [5, 5) 0 1 46 60 [5, 45) 40 4 50 160 ΣΥΝΟΛΑ ν = 50 1000
Β. Β. κ v + κ v + κ v + x v 1000 v + v + v + v 500 1 1 4 4 x = = = 1 4 0 λεπτά Κλάσεις κ i v i x - κ i (x - κ i) v i (x - κ i) [5, 15) 10 0 10 100 000 [15, 5) 0 14 0 0 0 [5, 5) 0 1-10 100 100 [5, 45) 40 4-0 400 1600 ΣΥΝΟΛΑ ν = 50 4800 1 1 4 4 s = s = s = v (x - κ ) + v (x - κ ) + v (x - κ ) + v (x - κ ) v + v + v + v 4800 50 96 1 4 s = s = 96 10 λεπτά Β4. s 10 CV = 100% = 100% = 50% x 0
ΘΕΜΑ Γ x - 8 im = x x Γ1. im - - λx - λ (x - ) (x + x + 4) λ (x - ) x + x + 4 = im = - x λ 1 λ Γ. x - 0 im (4x + 4e ) = 8 + 4e = 8 + 4 = 1. + x Γ. Για να είναι η f συνεχής στο x =, πρέπει 1 im f (x) = im f (x) = f () = 1 - + x x λ 0 λ = 1 Γ4. Για λ = 1, είναι f (x) = x - x - f (x) dx = 1 (4x + 4 e ) dx 1 x - = 4x dx + 4 e dx 1 1 x - = x + 4 e 1 1 0-1 = (8 - ) + 4(e - e ) 1 = 6 + 41 - e 4 = 6 + 4 - e = 4 10 - e x - 8, αν x > x - 4x + 4 e, αν x
ΘΕΜΑ Δ Δ1. t B (t) = - + t + 1t + 15, 0 t 10 t B (t) = - + t + 1t + 15 B (t) = - t + 4t + 1, 0 t 10 Δ. B (t) = 0 -t + 4t + 1 = 0 Δ = 4-4 (-1) 1 = 16 + 48 = 64-4 8 - t = = - 6 t - - 0 6 10 + - t + 4t + 1 - + + - - B (t) + - B (t) Το βάρος γίνεται μέγιστο τη χρονική στιγμή t 1 = 6 έτη. Δ. Αν 6 t 9, επειδή η συνάρτηση Β είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [6, 10] θα είναι Β (6) Β (t) B (9) ή Β (9) Β (t) B (6)
Δ4. B (t) = -t + 4t + 1, 0 t 10 B (t) = -t + 4t + 1 = -t + 4, 0 t 10 B (t) = 0 -t + 4 = 0 t = t 0 10 B (t) + - B (t) Ο ρυθμός μεταβολής του βάρους γίνεται μέγιστος τη χρονική στιγμή t = έτη.