A ένα σημείο της C. Τι

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ, 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑΔΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) A ένα σημείο της C. Τι f ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A; Α. Έστω f μια συνάρτηση και, f ( ) 0 0 f Μονάδες 5 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Α3. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f σ ένα διάστημα [ a, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [ a, ], να αποδείξετε ότι: a G Ga f t dt Μονάδες 7 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ α) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο. Μονάδες β) Κάθε στοιχείο z του συνόλου των μιγαδικών αριθμών γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z a i, όπου a,. Μονάδες γ) Η εικόνα f ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες δ) Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο A είναι συνεχής στο A και f 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του A, τότε η f είναι πάντα σταθερή σε όλο το σύνολο A. Μονάδες ε) Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση σε διάστημα και,,, τότε ισχύει: ΘΕΜΑ Β a a f ( ) d f ( ) d Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, v με w 3 i για τους οποίους ισχύει: f ( ) d z Μονάδες 05i, w και ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ z 05i z 05i 3 w i v 3 i w Να αποδείξετε ότι: Β. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Μονάδες 5 Β. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών v στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Μονάδες 8 Β3. Ο μιγαδικός αριθμός u a ai 04, με a, ικανοποιεί τη σχέση (). Να βρείτε: Β4. Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z, v του μιγαδικού επιπέδου που ικανοποιούν τη σχέση z v 9, όπου, αριθμοί των ερωτημάτων (Β) και (Β) αντίστοιχα. z v οι μιγαδικοί ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f, αν 0 ln, 0, αν 0 g f ln, 0, Γ. Να βρείτε το όριο lim f 0 ( ) ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο. καθώς και την τιμή του, Γ. i) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία της. ii) Να αποδείξετε ότι: και 3 3, αν 3 3, αν 0 Γ3. i) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς τα κοίλα της στο διάστημα 0, και να βρείτε τα σημεία καμπής της. Μονάδες 5 ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στα σημεία A, g () και, () ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ B g αντίστοιχα

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: 4 73, για κάθε, και, για κάθε, ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνάρτηση f συνάρτηση g για την οποία ισχύει: t dt, και η συνεχής στο t4 t g t dt (), για κάθε 0 Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0, ώστε f 0 Δ3. Να αποδείξετε ότι: f g(0) (0) 04 Δ4. i) Αν για τη συνάρτηση g ισχύουν επιπλέον: g και g Μονάδες 8 τέτοιο, και η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

6 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ g υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 0, 06 τέτοιο, ώστε ii) Να βρείτε το όριο lim 0 f. 0 0 Μονάδες 3 Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμο σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: ώρα μετά από την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Επιστημονική επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών