Teoria Liczb A. Czoga a M. Szyjewski
Ca o matematyki mo na wyprowadzi z poj cia liczby naturalnej Henri Poincaré
Cz 1 Plan wyk adu
Tre wyk adu: (1) Aksjomatyka Peano (2) Jednoznaczno rozk adu na czynniki; w asno ci NWD i NWW. (3) Kongruencje i ich w asno ci, zastosowanie do dowodu cech podzielno ci; rozwi zywanie kongruencji. (4) Równania diofantyczne pierwszego stopnia. (5) Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie. (6) Podstawowe funkcje arytmetyczne; wzór Möbiusa na odwracanie. (7) Struktura grupy U(Z n ); pierwiastki pierwotne modulo n. (8) Reszty kwadratowe, symbol Legendre'a. (9) Prawo wzajemno ci reszt kwadratowych. (10) U amki a cuchowe. (11) Aproksymacje diofantyczne. (12) Rozk ady liczb naturalnych na s umy jednakowych pot g. (13) Równania diofantyczne stopnia drugiego i wy szych. (14) Równanie Pella. (15) Klasyczne podej cie do Wielkiego Twierdzenia Fermata, dowód dla wyk adnika 4 i 3. Literatura uzupe niaj ca: Podr czniki: (1) Buchsztab A. Teori qisel, Proswieszczenie, Moskwa 1966 (2) Grzegorczyk A. Zarys arytmetyki teoretycznej, PWN, Warszawa 1971 (3) Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon Press, Oxford 1960 (4) Ireland K., Rosen M., A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982 (5) Narkiewicz W. Teoria Liczb, PWN, Warszawa 1977 (6) Siepi ski W. Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1968 (7) Siepi ski W. (Schinzel A. ed.) Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa North- Holland Amsterdam, 1987 Zbiory zada : (1) Gribanow W., Titow P. Sbornik zadaq po teorii qisel, Proswieszczenieje, Moskwa 1964 (2) Szneperman L. Sbornik zadaq po algebre i teorii qisel, Wysszaja Szko a, Mi sk 1982
5 Ma y s ownik cz owieka rednio wykszta conego... -A po co ja si w a ciwie tej Mowy ucz, co? -Po to, eby j pozna. Tego, czego si nie zna wypada si uczy. Ten, kto nie zna j zyków, jest kalek. -Wszyscy i tak mówi wspólnym! -Fakt. Ale niektórzy nie tylko. Zar czam ci, Ciri, e lepiej zalicza si do niektórych ni do wszystkich. A. Sapkowski Krew elfów =: Wprowadzony przez Roberta Recorde (1510-1558) w 1557 symbol relacji równo ci, identyczno ci. Napis a = b jest zdaniem orzekaj cym, e a i b s jednym i tym samym obiektem. Dok adniej, relacja identyczno ci spe nia nast puj ce aksjomaty: (1) Dla ka dego x zachodzi x = x; (2) Dla ka dych x, y je li x = y, toy = x; (3) Dla ka dych x, y, z je li x = y i y = z, tox = z; (4) Dla ka dej funkcji n zmiennych f, dla ka dych x, y, t 2,...,t n je li x = y, to f(x, t 2,...,t n )=f(y, t 2,...,t n ); (5) Dla ka dej relacji n-argumentowej P, dla ka dych x, y, t 2,...,t n je li x = y, to P (x, t 2,...,t n ) P (y, t 2,...,t n ). Pierwszy aksjomat orzeka, e relacja równo ci jest zwrotna, z drugiego aksjomatu wynika, e relacja równo ci jest symetryczna. Trzeci aksjomat stwierdza przechodnio relacji równo ci. Ostatnie dwa aksjomaty stwierdzaj, e równych obiektów nie mo na w aden sposób od siebie odró ni. Jeden z aksjomatów teorii mnogo ci, aksjomat ufundowania (albo: regularno ci), zabrania (mi dzy innymi) pisania znaku równo ci mi dzy zbiorem a jego elementem. α: ma a pierwsza litera alfabetu greckiego; nazwa: alfa; warto fonetyczna: a; aci ski odpowiednik: a; pochodzi od fenickiej litery alef (A, a). β: ma a druga litera alfabetu greckiego; nazwa: beta; warto fonetyczna: w; aci ski odpowiednik: b; pochodzi od fenickiej litery bét (B, b). γ: ma a trzecia litera alfabetu greckiego; nazwa: gamma; warto fonetyczna: g; aci ski odpowiednik: g; pochodzi od fenickiej litery gimmel (G, g). δ: ma a pi ta litera alfabetu greckiego; nazwa: delta; warto fonetyczna: d; aci ski odpowiednik: d; pochodzi od fenickiej litery dalet (D, d). ε: ma a szósta litera alfabetu greckiego; nazwa: epsilon; warto fonetyczna: e; aci ski odpowiednik: e; pochodzi od fenickiej litery hé (E, e). ζ: ma a siódma litera alfabetu greckiego; nazwa: dzeta; warto fonetyczna: dz (z); aci ski odpowiednik: z; pochodzi od fenickiej litery zajin (Z). η: ma a ósma litera alfabetu greckiego; nazwa: eta; warto fonetyczna: e; aci ski odpowiednik: e; pochodzi od fenickiej litery hét (H, h). θ: ma a dziewi ta litera alfabetu greckiego; nazwa: theta; warto fonetyczna: th; aci ski odpowiednik: th, t; pochodzi od fenickiej litery tét ( ). ϑ: ma a dziewi ta litera alfabetu greckiego; nazwa: theta; warto fonetyczna: th; aci ski odpowiednik: th, t; pochodzi od fenickiej litery tét ( ). ι: ma a dziesi ta litera alfabetu greckiego; nazwa: jota; warto fonetyczna: i, j; aci ski odpowiednik: i; pochodzi od fenickiej litery jod (I).
6 κ: ma a jedenasta litera alfabetu greckiego; nazwa: kappa; warto fonetyczna: k; aci ski odpowiednik: c (k); pochodzi od fenickiej litery kaf (K, k). λ: ma a dwunasta litera alfabetu greckiego; nazwa: lambda; warto fonetyczna: l; aci ski odpowiednik: l; pochodzi od fenickiej litery lamed (L, l). µ: ma a trzynasta litera alfabetu greckiego; nazwa: mi; warto fonetyczna: m; aci ski odpowiednik: m; pochodzi od fenickiej litery mém (M, m). ν: ma a czternasta litera alfabetu greckiego; nazwa: ni; warto fonetyczna: n; aci ski odpowiednik: n; pochodzi od fenickiej litery nun (N, n). ξ: ma a pi tnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: ksi; warto fonetyczna: x; aci ski odpowiednik: x; pochodzi od fenickiej litery sameh (Ξ). o: ma a szesnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: omikron; warto fonetyczna: o; aci ski odpowiednik: o; pochodzi od fenickiej litery 'ajin (O). π: ma a siedemnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: pi; warto fonetyczna: b; aci ski odpowiednik: p; pochodzi od fenickiej litery pé (P, p). ρ: ma a osiemnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: ro; warto fonetyczna: r; aci ski odpowiednik: r; pochodzi od fenickiej litery resz (R, r). σ: ma a dziewi tnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: sigma; warto fonetyczna: s; aci ski odpowiednik: s; pochodzi od fenickiej litery szin (S). τ: ma a dwudziesta litera alfabetu greckiego; nazwa: tau; warto fonetyczna: t; aci ski odpowiednik: t; pochodzi od fenickiej litery taw (T). υ: ma a dwudziesta pierwsza litera alfabetu greckiego; nazwa: ypsylon; warto fonetyczna: u; aci ski odpowiednik: y. φ: ma a dwudziesta trzecia litera alfabetu greckiego; nazwa: fi; warto fonetyczna: f; aci ski odpowiednik: ph. ϕ: ma a dwudziesta trzecia litera alfabetu greckiego; nazwa: fi; warto fonetyczna: f; aci ski odpowiednik: ph. χ: ma a dwudziesta czwarta litera alfabetu greckiego; nazwa: chi; warto fonetyczna: bezd wi czne h lub sz (dialekt pontyjski); aci ski odpowiednik: ch. ψ: ma a dwudziesta pi ta litera alfabetu greckiego; nazwa: psi; warto fonetyczna: ps; aci ski odpowiednik: ps. ω: ma a dwudziesta szósta litera alfabetu greckiego; nazwa: omega; warto fonetyczna: d ugie o; aci ski odpowiednik: o. ς: ma a dwudziesta siódma litera alfabetu greckiego; nazwa: ko cowe sigma; warto fonetyczna: s; aci ski odpowiednik: s. ad: ( ac.) do; odsy acz: ad 1. (ad primum) - do pierwszego; ad 2. (ad secundum) - do drugiego, itd. Per aspera ad astra - przez trudy do gwiazd. Uwaga! Po ad nie stawia si kropki, gdy s owo to nie jest skrótem, lecz aci skim przyimkiem o znaczeniu do (M. Ba ko, M. Krajewska S ownik wyrazów k opotliwych ; PWN Warszawa 1994). W ameryka skim angielskim 'ad' oznacza reklam, og oszenie (skrót od advertisement, bez kropki). adekwatny: odpowiedni, zgodny, przystosowany, ci le dopasowany.- ac. adaequatus p.p. od adaequare 'zrówna ' (W. Kopali ski S ownik wyrazów obcych i zwrotów obcoj zycznych, wyd. XIII, WP Warszawa 1983). S owo ad nie jest skrótem od adekwatnie, w ogóle nie jest skrótem.
adn.: tak wygl da by skrót s owa adnotacja utworzony zgodnie z zasadami polskiej ortografii, gdyby komukolwiek taki skrót kiedykolwiek do czegokolwiek by potrzebny. adnotacja: uwaga, dopisek, przypis, notatka, krótka informacja (np. bibliograficzna); ad notam ( ac.) do wiadomo ci (W. Kopali ski S ownik wyrazów obcych i zwrotów obcoj zycznych, wyd. XIII, WP Warszawa 1983). W szczególno ci rozwi zania zadania egzaminacyjnego nie mo na nazwa adnotacj ; dopisek sprawdzaj cego typu nonsens! albo ort. jest przyk adem adnotacji. aksjomat podstawiania: albo aksjomat zast powania - jeden z aksjomatów teorii mnogo ci, zarówno ZF, jak i GBN, pozwalaj cy tworzy nowe zbiory z danych zbiorów: dla ka dej funkcji f : A B ika dego zbioru C A istnieje zbiór f(c) ={f(t) :t C} taki, e x f(c) t C [x = f(t)]. Zbiór f(c) nazywany obrazem zbioru C przez funkcj f, wyra enie f(t) - równaniem parametrycznym zbioru f(c), a zbiór C - zakresem parametru t. aksjomat regularno ci: albo aksjomat ufundowania - jeden z aksjomatów teorii mnogo ci, zarówno ZF, jak i GBN: ka dy niepusty zbiór A ma element B, z którym jest roz czny. Najprostsz konsekwencj tego aksjomatu jest to, e aden zbiór C nie mo e by swoim elementem: zbiór {C} ma jedyny element C, wi c musi by z nim roz czny: {C} C =, czyli C/ C. Z tego z kolei wynika, e napisy w rodzaju N =3 albo 2 ={x R : x 2 = 4} nie maj sensu w matematyce, bo orzekaj, e pewien zbiór jest swoim elementem. Innymi s owy:teks t zawieraj cy napisy takiego rodzaju nie jest tekstem matematycznym. aksjomat ufundowania: zob. aksjomat regularno ci. aksjomat wycinania: jeden z aksjomatów teorii mnogo ci, zarówno ZF, jak i GBN, pozwalaj cy tworzy nowe zbiory z danych zbiorów: dla ka dego zbioru A i ka dej w asno ci (warunku, formy zdaniowej) Φ, maj cej sens dla elementów zbioru A istnieje zbiór {t A :Φ(t)} do którego nale wy cznie te elementy zbioru A, które maj w asno Φ: x {t A :Φ(t)} (x A Φ(x)). Warunek Φ(t) (ze zmienn t) nazywamy cz sto równaniem ogólnym zbioru {t A :Φ(t)}. Oznaczenie zbioru {t A :Φ(t)} cz sto wypowiada si s owami ogó tych t A, eφ(t), co nie oznacza, e istniej specjalne twory, zwane ogó ami. aksjomat zast powania: zob. aksjomat podstawiania. alfa: nazwa pierwszej litery alfabetu greckiego α, A. b 2 4ac: wzór na wyró nik (nie: delt ) trójmianu kwadratowego ax 2 + bx + c. beta: nazwa drugiej litery alfabetu greckiego β, B. chi: nazwa dwudziestej czwartej litery alfabetu greckiego χ, X. cia o: Poj cia cia a (bez nadawania mu nazwy) u ywa ju Evariste Galois (25 X 1811-30 V 1832), któy odkry i sklasyfikowa cia a sko czone; pó niej podobnie post pi B. Riemann (1857), którego interesowa y cia a funkcji meromorficznych. Richard W.R. Dedekinda (1831-1916) poda formaln definicj cia a pod nazw dziedzina wymierno ci. Nazwa Körper, cia o pojawi a si podobno po raz pierwszy w Teorii Liczb, P. G. Lejeune- Dirichleta, jako zespó, poczet albo uciele nienie elementów powstaj cych z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mno enie, dzielenie). Problem pierwsze stwa jest skomplikowany: Dedekind by uczniem Dirichleta, napisa Suplementy do jego wyk adów; w XI Suplemencie (IV wydanie - Braunschweig 1894) u ywana jest nazwa cia o. Angielscy matematycy u ywali krótko aci skiego odpowiednika corpus, za francuscy matematycy 7
8 u ywali pokrewnego corps, co znaczy cia o. U ywane teraz po angielsku s owo field zapewne wprowadzili ameryka scy algebraicy, którzy pocz tkowo u ywali równie nazwy realm. delta: nazwa czwartej litery alfabetu greckiego δ,. Uwaga! To, e warto wyró nika trójmianu kwadratowego zwykle oznacza si liter nie oznacza, e s owo delta jest nazw wyró nika. S owo delta jest nazw typu uj cia rzeki i typu p atowca samolotu. Natomiast s owo delta nie jest nazw wzoru na pierwiastki trójmianu kwadratowego ani metody obliczania tych pierwiastków. dzeta: nazwa siódmej litery alfabetu greckiego ζ, Z. epsilon: nazwa szóstej litery alfabetu greckiego ε, E. eta: nazwa ósmej litery alfabetu greckiego η, H. fi: nazwa dwudziestej trzeciej litery alfabetu greckiego φ (ϕ), Φ. funkcja: odwzorowanie, operacja, przekszta cenie, jedno z najwa niejszych poj matematyki, d ugo u ywane bez precyzyjnie sformu owanej definicji; rozumiane intuicyjnie jako przyporz dkowanie elementom jednego zbioru X elementów drugiego zbioru Y tak, e ka demu elementowi x X odpowiada dok adnie jedna warto y Y. (...) Powsta a wi c konieczno sformu owania ogólnej, precyzyjnej definicji. Tak definicj podano na gruncie teorii mnogo ci; przez funkcj f odwzorowuj c zbiór X w zbiór Y rozumie si dowolny zbiór par uporzdkowanych (x, y), x X, y Y (czyli relacj w X Y ) taki, e dla ka dego elementu x X istnieje dok adnie jeden element y Y, oznaczany symbolem f(x) taki, e (x, y) f. (...) Zbiór X nazywa si dziedzin funkcji f lub zbiorem argumentów funkcji f. (...) Zbiór Y nazywa si przeciwdziedzin funkcji f. Zbiór Y 0 z o ony ztych elementów y Y, dla których istnieje x X takie, e y = f(x), nazywa si zbiorem warto ci f. (W. Waliszewski i in. (red.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988). funkcja odwracalna: funkcja ró nowarto ciowa i na ; funkcja f jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma funkcj odwrotn. funkcja odwrotna: je li funkcja f : X Y jest ró nowarto ciowa i spe niony jest warunek f(x) =Y (czyli funkcja f odwzorowuje X na Y ), to wówczasistnieje funkcja g : Y X okre lona nast puj co: dla dowolnego y Y wartoci g(y) jest jedyny element x X taki, e f(x) =y; funkcj g nazywa si funkcj odwrotn do f i oznacza symbolem f 1.Funkcja maj ca funkcj odwrotn nazywa si funkcj odwracaln. Je li g = f 1, to równie f = g 1. Z o enie funkcji wzajemnie odwrotnych f i f 1 jest funkcj to samo ciow, tzn. (f 1 f)(x) =x, dla ka dego x X. (W. Waliszewski i in. (red.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988). gamma: nazwa trzeciej litery alfabetu greckiego γ, Γ. jota: nazwa dziesitej litery alfabetu greckiego ι, I. kappa: nazwa jedenastej litery alfabetu greckiego κ; K. ksi: nazwa pi tnastej litery alfabetu greckiego ξ, Ξ. lambda: nazwa dwunastej litery alfabetu greckiego λ, Λ. mi: nazwa trzynastej litery alfabetu greckiego µ, M. ni : nazwa czternastej litery alfabetu greckiego ν, H. oczywisto : (1) matematyk mówi to jest oczywiste gdy umie bez namys u poda krótki i atwy dowód tego, co nazywa oczywistym; (2) niematematyk mówi to jest oczywiste gdy nie ma poj cia, jak to uzasadni, ale wierzy, etojestprawd.
odwzorowanie: funkcja. omega: nazwa dwudziestej szóstej litery alfabetu greckiego ω, Ω. omikron: nazwa szesnastej litery alfabetu greckiego o, O. operator: funkcja. opuszczanie nawiasów: Je li przed nawiasem wyst puje znak +, to opuszczaj c nawias przepisujemy wszystkie wyrazy z nawiasu z tymi samymi znakami. Je li przed nawiasem wyst puje znak, to opuszczaj c nawias przepisujemy wszystkie wyrazy z nawiasu z przeciwnymi znakami (podr cznik matematyki do IV klasy szko y podstawowej) - sformu owane po raz pierwszy w ksi dze pierwszej Arytmetyki Diofantosa z Aleksandrii (ok. 250 r.) zasady przekszta cania wyra e algebraicznych, wynikaj ce z prawa rozdzielno ci mno enia wzgl dem dodawania i definicji elementu przeciwnego. Uwaga! kreska u amkowa te jest nawiasem: d a + b = d (a + b) c 1. c pi: nazwa siedemnastej litery alfabetu greckiego π, Π. pier cie : Nazwa pier cie ( ring ) jest skrótem nazwy Zahlring wprowadzonej przez D. Hilberta w 1892 dla pier cienia generowanego przez ca kowite liczby wymierne i niewymierno kwadratow η która spe nia równanie η 2 + Bη + C =0.Wydaje si, e grupa generowana przez 1 i η zosta a nazwana Zahlring bo η 2 = Bη C, skr caj c na powrót do elementu tej grupy. posiada : [Czasownik nadu ywany, cz sto b dnie stosowany zamiast mie, np. `Czy pan ma bilet' (a nie: posiada), `samochód ma (a nie posiada) cztery ko a'] (1) mie jak rzecz (ziemi, nieruchomo, pieni dze, przedmiot) w swym w adaniu, by w a cicielem czego, mie : `Posiada du y plac budowlany, plantacj tytoniu'. (2) w po czeniu z rzeczownikiem oznaczaj cym wiadomo ci, umiej tno : mie, umie opanowa co, by wy wiczonym w czym: `Posiada rozleg wiedz.' 'Posi tajniki rzemios.' (S. Skorupkaiin.(red.) Ma y s ownik j zyka polskiego, PWN Warszawa 1969). Równanie ma rozwi zania lub nie me rozwi za, ale na pewno nie posiada rozwi za, bo nie mo e okaza notarialnego aktu w asno ci. posta : - budowa wyra enia, typ wzoru ogólnego. Na przyk ad: x jest postaci a + b oznacza, e x jest sum dwóch sk adników; liczba nieparzysta to liczba postaci 2k 1 dla ca kowitych k, ka da liczba pierwsza postaci 4k +1 i liczba 2 to wszystkie liczby pierwsze postaci x 2 + y 2, itd. Nie mówimy: 2 2 jest postaci 4, mówimy 2 2 jest równe 4, 2 2 równa si 4. po ytek z wiedzy: Wiedzia em, e j zyki, jakich tam ucz, potrzebne s dla zrozumienia ksi g staro ytnych; e powab ba ni rozbudza umys ; e godne pami ci uczynki, przekazane przez histori, podnosz go; i e, czytane z rozeznaniem, pomagaj w ukszta towaniu s du; e czytanie wszelkich dobrych ksi ek jest niby rozmowa z najgodniejszymi lud mi minionych wieków, b d cymi tych dzie autorami, ba, i to jest rozmowa przemy lana, w której ods aniaj nam jedynie swe najcenniejsze my li; e wymowa zawiera w sobie moc i pi kno nieporównane, a poezja wykwinty i s odycze czaruj ce; e nauki matematyczne zawieraj pomys y bardzo subtelne i zdolne wydatnie pos u y tak dla zadowolenia ciekawych, jak dla u atwienia wszelkich rzemios i zmniejszania pracy czowieka; e pisma, traktuj ce o obyczajach, mieszcz nauki i zach ty do cnoty nader u yteczne; e teologia uczy, jak zdobywa niebo; e filozofia daje sposób rozprawiana z podobie stwem do prawdy o wszystkich rzeczach i budzenia podziwu mniej uczonych; e prawo, medycyna i inne nauki przynosz zaszczyty i bogactwa tym, którzy je uprawiaj ; e wreszcie dobrze jest zbada je wszystkie, nawet te zabobonne i fa szywe, aby pozna ich prawdziw warto i ustrzec si przed wprowadzeniem przez nie w b d. (René Descartes, Discours 9
10 de la méthode ; cytat za: Kartezjusz, Rozprawa o metodzie,t um. Boy, PIW, Warszawa 1980). W szczególno ci nie istnieje wiedza bezu yteczna. Natomiast nie nale y ocenia wiedzy pod wzgl dem praktycznej przydatno ci: jedyna naprawd praktycznie niezb dna do ycia wiedza, to wiedza do której dziurki wk ada jedzenie eby si nasyci. przekszta cenie: (1) zbioru A w zbiór B - funkcja A B; (2) wyra enia - inne wyra enie o równej warto ci albo równowa ne przekszta canemu wyra eniu, np.: A B jest przekszta ceniem wyra enia (A B) na podstawie prawa de Morgana, (x 3) 2 2=0jest przekszta ceniem równania x 2 6x +9 2=0na podstawie prawa rozdzielno ci mno enia wzgl dem dodawania. psi: nazwa dwudziestej pi tej litery alfabetu greckiego ψ, Ψ. ro: nazwa osiemnastej litery alfabetu greckiego ρ, P. rozumienie: wbrew nowej modzie j zykowej rozumie nie jest antonimem wiedzie, umie. Nie mo na rozumie tego, czego si nie wie. Cztery s stopnie przyswojenia regu y: (1) ucz cy si wyuczy si regu y na pami, przyj wszy j na wiar ; jednak e jest w stanie korzysta z niej, poprawnie stosuj c j w praktyce (stadium mechanicznego przyswojenia); (2) ucz cy si wypróbowa regu w najprostszych przypadkach, w których, jak si przekona, daje ona poprawny rezultat (stadium indukcyjnego rozumienia); (3) ucz cy si zrozumia dowód regu y (stadium wiadomego zrozumienia); (4) ucz cy si w pe ni przyswoi sobie regu i tak jest jej pewien, e nie pozosta o w nim ladu w tpliwo ci co do jej prawdziwo ci (stadium wewn trznego rozumienia) (B. Spinoza Tractatus de Intellectus Emandatione ; cytat i nazwy poziomów - za: G. Polya, Mathematical discovery, John Wiley & SonsInc. NY - London 1962). Wydaje si, e mo na doda jeszcze dwa stopnie: 5. ucz cy si widzi, które twierdzenia i w jakim stopniu wykorzystuj dane twierdzenie, a tak e widzi do jakich sprzeczno ci doprowadzi aby nieprawdziwo twierdzenia; umie odró ni rol ró nych za o e i pokaza na przykadach, e s one niezb dne; umie rozpozna mo liwe zastosowania twierdzenia i pozna sytuacje, w których zastosowanie twierdzenia nie da rezultatów; 6. ucz cy si umie obej si bez u ycia twierdzenia osi gaj c te same albo lepsze rezultaty atwiej i szybciej. Osoby, które uznaj tylko nast puj ce stopnie : -1. nic 0. zapami tanie zapisu twierdzenia, dowodu, rozumowania tak, aby wyrecytowa zapis bez wi kszych pomy ek i luk nie maj nic wspólnego ani z rozumieniem, ani z uczeniem si i tutaj s na niew a ciwym miejscu. równo zbiorów: W teorii mnogo ci równo podstawowych obiektów (czyli zbiorów) definiuje si za pomoc relacji nale enia. Definicja jest nast puj ca: A = B x [x A x B]. Uwaga. Cz sto powtarzane pogl dowe sformu owanie - zbiory s równe gdy maj te same elementy - nie nadaje si na definicj, bo nie daje sposobu sprawdzania,czy równo zbiorów zachodzi. Na przyk ad gdy trzeba sprawdzi równo {0, 1} = {1, 0}, powstaje problem: czy 0 i 1 s te same? Kiedy nale y zako czy sprawdzanie, czy elementy s te same? Natomiast definicja równo ci nie sprawia takich problemów: oba zdania x {0, 1} i x {1, 0} s prawdziwe gdy x =0igdyx =1, oraz oba s fa szywe, gdy x 0 x 1.
11 sigma: nazwa dziewi tnastej litery alfabetu greckiego σ, Σ. tau: nazwa dwudziestej litery alfabetu greckiego τ, T. theta: nazwa dziewi tej litery alfabetu greckiego θ (ϑ), Θ. transformacja: (1) funkcja. (2) przekszta cenie twierdzenie: matematyka polega na dowodzeniu i wykorzystywaniu twierdze. Twierdzenia maj - oprócz zapisu (wypowiedzi) tak e znaczenie (tre ); bez znajomo ci znaczenia twierdzenia trudno je wykorzysta i nie mo na mówi o zrozumieniu twierdzenia. (1) TWIERDZENIA POSTACI Φ Ψ Znaczenie: zdanie Φ Ψ zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie Ψ wynika (jest wnioskiem) ze zdania Φ, czyli ilekro zdanie Φ zachodzi (jest prawdziwe), to równie zdanie Ψ zachodzi (jest prawdziwe); zdanie Φ Ψ nie zachodzi (jest fa szywe) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie Φ zachodzi (jest prawdziwe) a zdanie Ψ nie zachodzi (jest fa szywe) Korzystanie: je li wiadomo, e zdanie Φ zachodzi (jest prawdziwe), to z twierdzenia Φ Ψ wnioskujemy, e zdanie Ψ zachodzi (jest prawdziwe) (regu a odrywania); je li wiadomo, e zdanie Ψ nie zachodzi (jest fa szywe), to z twierdzenia Φ Ψ wnioskujemy, e zdanie Φ nie zachodzi (jest fa szywe). Dowodzenie: 1. sposób (wprost): zak adamy, e zdanie Φ zachodzi i wnioskujemy z tego za o enia, e zachodzi zdanie Ψ; 2. sposób (niewprost): zak adamy, e zachodzi zdanie Ψ ( e zdanie Ψ nie zachodzi), i wnioskujemy, e zdanie Φ zachodzi (zdanie Φ nie zachodzi); zatem je li Φ zachodzi, to Ψ zachodzi. (2) TWIERDZENIA POSTACI Φ Ψ Znaczenie: zdanie Φ Ψ zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy, gdy zdania Φ i Ψ maj t sam warto logiczn ; zdanie Φ Ψ nie zachodzi (jest fa szywe) wtedy i tylko wtedy, gdy zdania Φ, Ψ maj ró ne warto ci logiczne. Korzystanie: je li wiadomo, e jedno ze zda Φ, Ψ zachodzi (jest prawdziwe) to wnioskujemy, e drugie te zachodzi (jest prawdziwe); je li wiadomo, e jedno z tych zda nie zachodzi (jest fa szywe) to wnioskujemy, e drugie z nich równie nie zachodzi (jest fa szywe); ze zdania Φ Ψ wynika ka de ze zda Φ Ψ, Ψ Φ, Ψ Φ oraz to, e je li zdanie Φ jest zdaniem sk adowym zdania z o onego Λ, to zast puj c dowolne wyst pienie zdania Φ w zdaniu Λ przez zdanie Ψ uzyskamy zadnie równowa ne zdaniu Λ, np. je li Λ=Φ Γ oraz Φ Ψ, to Λ (Ψ Γ) (regu a ekstensjonalno ci). Dowodzenie: 1. sposób: nale y udowodni ka d z ( atwiejszych) równowa no ci Φ Φ 1, Φ 1 Φ 2,..., Φ n 1 Φ n, Φ n Ψ (tzw. przej cia równowa no ciowe); 2. sposób: nale y udowodni obie implikacje Φ Ψ, Ψ Φ. (3) TWIERDZENIA POSTACI x X [Φ(x)] Znaczenie: zdanie x X [Φ(x)] zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy, gdy ka dy element x zbioru X ma w asno Φ(x) (spe nia form zdaniow Φ(x)); zdanie to nie zachodzi gdy cho jeden element zbioru X nie spe nia warunku Φ(x). Korzystanie: je li dane jest wyra enie t przyjmuj ce warto ci w zbiorze X i zmienna x w wyra eniu Φ(x) nie znajduje si w zasi gu adnego kwantyfikatora wi cego zmienn wyst puj c w t, to wnioskujemy, e Φ(t) zachodzi; je li Φ(x) jest implikacj Ψ Λ(x) i x nie jest zmienn woln w Ψ, to wnioskujemy zdanie Ψ x X [Λ(x)]; Dowodzenie: dla ka dego (dla dowolnego) elementu x zbioru X dowodzimy zdania Φ(x).
12 (4) TWIERDZENIA POSTACI x X [Φ(x)] Znaczenie: zdanie x X [Φ(x)] zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze X istnieje element spe niaj cy warunek Φ(x); zdanie to nie zachodzi (jest fa szywe) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdanie x X [ Φ(x)]. Korzystanie: we my pod uwag taki element a zbioru X, e Φ(a). Dowodzenie: 1. sposób (efektywny): nale y wskaza lub zbudowa element a zbioru X taki, e zachodzi Φ(a); 2. sposób (nieefektywny): nale y wykaza, e z fa szywo ci danego twierdzenia wynika zaprzeczenie innego, ju udowodnionego twierdzenia. uk ad wspó rz dnych: na p aszczy nie w geometrii euklidesowej - uk ad dwóch osi liczbowych wzajemnie do siebie prostopad ych i maj cych ws pólny pocz tek (podr cznik matematyki do VII klasy szko y podstawowej). Kartezjusz zauwa y, e prosta konstrukcja geometryczna na p aszczy nie z wybranym uk adem wspó rz dnych pozwala przyporz dkowa ka demu punktowi p aszczyzny uporz dkowan par liczb rzeczywistych, co okre la wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru punktów p aszczyzny na zbiór R 2 = R R uporz dkowanych par liczb rzeczywistych. Osie uk adu wspó rz dnych nazywamy odpowiednio osi odci tych i osi rz dnych; ich punkt przeci cia jest punktem 0 ka dej z osi. Konstrukcja polega na przeprowadzeniu przez dany punkt prostych równoleg 3 ych do ka dej z osi; punkt przeci cia z drug osi wyznacza wspó rz dn : punkt przeci cia z osi odci tych - pierwsz wspó rz dn, a punkt przeci cia z osi rz dnych - drug wspó rz dn danego punktu. Ogólnie uk adem wspó rz dnych nazywamy ró nowarto ciowe odwzorowanie przyporz dkowuj ce punktom zbioru, np. prostej, p aszczyzny lub przestrzeni, ci gi liczb nazywane wspó rz dnymi tych punktów w danym uk adzie wspó rz dnych. (W. Waliszewski i in. (red.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988). Cz sto u ywane uk ady wspó rz dnych maj nazwy w asne, np.: kartezja ski uk ad wspó rz dnych, uk ad wspó rz dnych biegunowych, uk ad wspó rz dnych walcowych, uk ad wspó rz dnych sferycznych. Uk ad wspó rz dnych s u y do przyporz dkowania punktom ci gów liczb. Uk ad wspó rz dnych nie s u y do zaznaczania punktów - do tej czynno ci s u y o ówek. v: dwudziesta pierwsza (dwudziesta druga) litera alfabetu aci skiego, pocztkowo oznacza a równie g osk u. Warto fonetyczna np. w angielskim: w, w niemieckim: f, w polskim: nie wyst puje (o czym nie wiedzieli pomys odawcy znanego gestu). Nazwa - np. w angielskim: wi, w niemieckim: fau; w polskim: we. ypsylon: nazwa dwudziestej pierwszej litery alfabetu greckiego υ, Y. zad: u zwierz t: tylna cz cia a, po ladki : ci gn lejce, a konie siad y na zadach (S. Skorupka i in. (red.) Ma y s ownik j zyka polskiego, PWN Warszawa 1969). zad.: skrót u ywany przez osoby, dla których napisanie siedmioliterowego s owa zadanie jest zbyt trudne lub bardzo m czce (np. przez uczniów pierwszej klasy szko y podstawowej). zaznaczanie punktu: czynno przy wykonywaniu rysunku. Do zaznaczania punktu s u y o ówek (kreda, d ugopisitd.), a nie uk ad wspó rz dnych. Punkt p aszczyzny nie zmienia w czasie zaznaczania go na rysunku: jest taki sam przed i po zaznaczeniu. zeta: nazwa siódmej litery alfabetu greckiego ζ, Z
13
14 Rozdzia 1. Alfabet grecki Litera Nazwa Litera Nazwa Litera Nazwa A, α alfa a I, ι jota i P, ρ ro r B,β beta b(w) K, κ kappa k Σ,σ sigma s Γ,γ gamma g Λ,λ lambda l T,τ tau t,δ delta d M,µ mi m Y,υ ypsilon y/u E,ε (ɛ) epsilon e N,ν ni n Φ,φ (ϕ) fi f Z, ζ dzeta (zeta) dz (z) Ξ,ξ ksi x X, χ chi ch H, η eta e O, o omikron o Ψ,ψ psi ps Θ,θ (ϑ) theta th Π,π pi p(b) Ω,ω omega Ψo
Cz 2 Teoria liczb
Rozdzia 2. Aksjomatyka arytmetyki. L. Kronecker (1823, Legnica-1891) powiedzia : Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk (Liczby naturalne stworzy dobry Bóg, a wszystkie inne zrobi cz owiek). W roku jego mierci okaza o si, e ludzie s w stanie zrobi równie liczby naturalne. Mianowicie G. Peano (1858-1932) w 1891 r. poda aksjomatyk liczb naturalnych. 2.1. Teoria pierwszego rz du (elementarna). W teorii pierwszego rz du (teorii elementarnej) zmienne oznaczaj liczby naturalne (mo na formu owa twierdzenia typu: dla ka dej liczby naturalnej x..., istnieje taka liczba naturalna x, e...) Poj cia pierwotne: 1 (sta a), S (funkcja, przyporz dkowuj ca liczbom naturalnym liczby naturalne) Nie u ywamy teorii mnogo ci! Aksjomaty: Aksjomat 1(AE1). (1 = S(x)) Aksjomat 2(AE2). S(x) =S(y) x = y dla ka dej formu y Φ(x) aksjomat Aksjomat 3(AEΦ3). Φ(1) ((Φ(x) Φ(S(x)) Φ(x)). Arytmetyka I rz du ma szereg nieoczekiwanych w asno ci. M. in. nie jest kategoryczna, czyli ma istotnie ró ne modele ([3, str. 236-239]). 2.2. Teoria wy szego rz du. W teoriach wy szych rz dów wyst puj zmienne ró nych rodzajów: zmienne oznaczaj ce liczby naturalne i zmienne oznaczaj ce zbiory (liczb naturalnych, zbiorów liczb naturalnych, itd), relacje, funkcje, zbiory relacji i funkcji itd. Poj cia pierwotne: 1 (sta a indywiduowa), N - sta a zbiorowa, S : N N. Aksjomaty: Aksjomat 4(A1). 1 N (m. in. oznacza, e sta a 1 jest elementem, a sta a N jest zbiorem) Aksjomat 5(A2). x N S(x) N Aksjomat 6(A3). x N (S(x) =1) Aksjomat 7(A4). x N (y N (S(x) =S(y) x = y)) Aksjomat 8(A5). dla ka dego zbioru Z je li 1 Z i x Z S(x) Z, ton Z Twierdzenia elementarne: (1) 1=S(1) (A3 dla x =1.) (2) x N ( x = S(x) S(x) =S(S(x))) (A4 dla y = S(x), A2 i kontrapozycja.) (3) x = S(x) (A5 z wykorzystaniem poprzednich twierdze.) (4) (x N x =1) y N [x = S(y)] Dodawanie. Aby zdefiniowa funkcj + : N N N dla dowolnej liczby naturalnej n definiujemy funkcj f n : N N indukcyjnie: (2.1) (2.2) f n (1) = S(n) f n (S(x)) = S(f n (x))
a nast pnie okre lamy dodawanie ROZDZIA 2. AKSJOMATYKA ARYTMETYKI. 17 (2.3) n + m = f n (m). W asno ci funkcji f n idodawania: (1) f 1 = S Aby udowodni równo dwóch funkcji S, f 1 : N N trzeba wykaza, e dla ka dego argumentu x N ich warto ci S(x) i f 1 (x) s równe, czyli e zachodzi [f 1(x) =S(x)] x N -zapomoc indukcji. (a) Pocz tek indukcji - równo f 1 (1) = S(1) to cz 2.1 definicji funkcji f 1. (b) Krok indukcyjny - implikacja f 1 (x) =S(x) f 1 (S(x)) = SS(x) wynika z punktu 2.2 definicji funkcji f 1 : je li za o y, e f 1 (x) =S(x), tos(f 1 (x)) = SS(x) (S jest funkcj ) i f 1 (S(x)) = S(f 1 (x)); przechodnio relacji identyczno ci (S(f 1 (x)) = SS(x)) ((f 1 (S(x)) = S(f 1 (x))) (f 1 (S(x)) = SS(x))) prowadzi do wniosku, e zachodzi nast pnik dowodzonej implikacji. Na zasadzie indukcji matematycznej prawd jest, e [f 1 (x) =S(x)]. x N Wynika st d Wniosek 2.1. 1+x = S(x). (2) S(x) =x +1 Aby udowodni równo dwóch funkcji S, g : N N, gdzie g(x) =x +1=f x (1) trzeba wykaza, e dla ka dego argumentu x N ich warto ci S(x) i g(x) s równe-zapomoc indukcji. (a) Pocz tek indukcji - S(1) = 1+1 - wynika z poprzedniej w asno ci przez podstawienie x =1. (b) Krok indukcyjny - implikacja S(x) =f x (1) SS(x) =f S(x) (1) = S(x)+1 wynika z punktu 2.1 definicji funkcji.f n : S(x)+1=f S(x) (1) = SS(x) (bez wykorzystania za o enia indukcyjnego!) Na zasadzie indukcji matematycznej zachodzi [S(x) =x +1]. x N (3) x + S(y) =S(x + y) - to jest równo 2.2 zapisana za pomoc definicji 2.3. (4) x + S(y) =S(x)+y Dowodzimy równo ci S(x + y) =S(x)+y. Indukcja ze wzgl du na y: (a) Pocz tek indukcji - równo S(x +1)=S(x)+1- wynika z równo ci (b) Krok indukcyjny - implikacja x +1=S(x) - wi c S(x +1)=SS(x), S(x)+1=SS(x). x + S(y) =S(x)+y x + SS(y) =S(x)+S(y)
18 jest prawdziwa - je li za o y, e x + S(y) =S(x)+y, to: x + SS(y) = S(x + S(y)) - poprzednia w asno dla S(y) zamiast y S(x + S(y)) = S(S(x) +y) - za o enie indukcyjne S(S(x) +y) = S(x) +S(y) - poprzednia w asno dla S(x) zamiast x. (5) x +1=1+x - obie strony s równe S(x). (6) x + y = y + x - indukcja po y: (a) Pocz tek indukcji - równo x +1=1+x - to poprzednia w asno. (b) Krok indukcyjny - implikacja x + y = y + x x + S(y) =S(y)+x jest prawdziwa - je li za o y, e x + y = y + x, to S(x + y) = S(y + x) - za o enie indukcyjne S(x + y) = x + S(y) S(y + x) = S(y)+x. (7) x +(y + z) =(x + y)+z - np. indukcja po y : (a) x +(1+z) =x + S(z) =S(x)+z =(x +1)+z; (b) Je li równo x +(y + z) =(x + y)+z zachodzi, to zachodz równie równo ci: x +(S(y)+z) = x + S(y + z) =S(x +(y + z)) = S((x + y)+z) =S(x + y)+z = (x + S(y)) + z. (8) x + z = y + z x = y - indukcja po z: (a) Równo x +1 = y +1 jest równowa na równo ci S(x) =S(y), z której równo x = y wynika na mocy aksjomatu 4. Zatem z x +1=y +1 wynika x = y, czyli jest prawd, e x +1=y +1 x = y. (b) Je li za o y, e prawdziwe s zdania x + z = y + z x = y i x + S(z) =y + S(z), to S(x + z) = x + S(z) =y + S(z) =S(y + z), x + z = y + z - na mocy aksjomatu 4, i x = y; zatem z x + z = y + z x = y i x + S(z) =y + S(z) wynika x = y; to oznacza, e prawdziwe jest zdanie (x + z = y + z x = y) (x + S(z) =y + S(z) x = y). Uporz dkowanie zbioru N i odejmowanie. Definicja 2.1. x<y z N [y = x + z] Uwaga 2.1. Liczba z, wyst puj ca w tej definicji - je li tylko istnieje - jest wyznaczona jednoznacznie przez y i x - gdyby zachodzi y równo ci x + z = y = x + z, to z ostatniej w asno ci dodawania wynika oby, e z = z. W zwyk y sposób definiujemy relacje >,,. Definicja 2.2. Je li y = x + z, toz = y x (1) x<x (2) (x <y y<z) x<z (3) [x<y x = y y<x] x,y
ROZDZIA 2. AKSJOMATYKA ARYTMETYKI. 19 (4) (Zasada minimum) Je li X jest niepustym zbiorem liczb naturalnych, to w zbiorze X istnieje element najmniejszy: (2.4) (X N X ) x Xy X [x y]. Inaczej: relacja < jest dobrym uporzadkowaniem zbioru liczb naturalnych. (5) (Zasada maksimum) Je li X jest niepustym zbiorem liczb naturalnych ograniczonym z góry, to w zbiorze X istnieje element najwi kszy: ( ) (2.5) X N X [y z] [y x] z N y X x Xy X Mno enie Podobnie jak dla dodawania, definiujemy najpierw funkcj g n mno enia przez n. (1) (x + y)z = xz + yz (2) 1x = x (tzn. g 1 = id N ) (3) xy = yx (4) x(y + z) =xy + xz (5) x(yz) =(xy)z (6) xz = yz x = y Dzia ania i nierówno ci: (1) x<y x + z<y+ z (2) (x <y z t) x + z<y+ t (3) x + z<y+ z x<y (4) (x <y z t) x z<y t g n (1) = n, g n (S(x)) = g n (x)+n, x y = g x (y). 2.3. Twierdzenia, równowa ne aksjomatowi indukcji. Istnieje szereg wa nych twierdze o nast puj cej w asno ci: zdanie T jest twierdzeniem arytmetyki i w teorii o aksjomatach A1, A2, A3, A4, T zasada indukcji A5 jest twierdzeniem. O takich twierdzeniach mówimy, e s równowa ne zasadzie indukcji wzgl dem w asno ci elementarnych. Por. [3], I 1.7, [9], I 7. 2.3.1. Zasada indukcji porz dkowej. [ ] x N [y<x Φ(y)] Φ(x) y N x N [Φ(x)] S owami: je li dla ka dej liczby naturalnej x z tego, e wszystkie liczby naturalne y mniejsze od x maj w asno Φ(y) wynika, e liczba x ma w asno Φ(x), to ka da liczba naturalna x ma w asno Φ(x). W j zyku zbiorów: [ x N [y<x y Z] x Z y N ] N Z Je li pewien zbiór Z dla ka dej liczby naturalnej x wraz z wszystkimi mniejszymi od niej liczbami naturalnymi y zawiera równie liczb x, to ka da liczba naturalna x nale y do zbioru Z. Uwaga 2.2. Je li x =1, to zdanie y < x jest fa szywe, implikacja y < x Φ(y) i jej generalizacja [y<x Φ(y)] s prawdziwe; zatem zdanie y N [y<1 Φ(y)] Φ(1) y N
20 jest równowa ne Φ(1). Innymi s owy, dowodz c zdania [Φ(x)] (czyli dowodz c Φ(x)) zapomoc x N zasady indukcji porz dkowej, trzeba m. in. sprawdzi, e zachodzi Φ(1). Zob. [3, str.40] 2.3.2. Zasada minimum. [Φ(y)] y N [ ] Φ(x) [z<x Φ(z)] x N z N Je li istnieje liczba naturalna y maj ca w asno Φ(y), to istnieje najmniejsza liczba naturalna x maj ca w asno Φ(x) ( adna mniejsza od niej liczba z nie ma w asno ci Φ(z)). W j zyku zbiorów: Z x Z [x z] z Z Ka dy niepusty zbiórz liczb naturalnych ma element najmniejszy x. 2.4, str. 19. Por.[3, str. 40] 2.3.3. Zasada maksimum. [Φ(y)] y N ( [Φ(t) t<a] t N ( x N [ ])) Φ(x) [Φ(z) (x <z)] z N Ka dy niepusty, ograniczony z góry zbiór liczb naturalnych ma element najwi kszy. ( ) Z [z<a] [z x]. z Z x Z z Z 2.5, str. 19. Por.[3, str. 41] 2.3.4. Zasada regresji. ( [Φ(x)] x N x N [ ]) (x 1 Φ(x)) [y<x Φ(y)] Φ(1). y N Je li pewna liczba naturalna ma w asno Φ i je li z tego, e wi ksza od 1 liczba naturalna x ma w asno Φ(x) wynika, e ma j pewna liczba naturalna y mniejsza od x, to liczba 1 ma w asno Φ(1). W j zyku zbiorów: ( [ ]) Z (x 1 x Z) [y<x y Z] 1 Z. x N y N Je li niepusty zbiór liczb Z liczb naturalnych wraz z ka d wieksz od jeden liczb naturaln x zawiera pewn mniejsz od niej liczb naturaln y, tozawiera on liczb 1. Szczególny przypadek zasady regresji ( ) Z [(x 1 x Z) x 1 Z] 1 Z. x N nazywany bywa zasad indukcji wstecznej. Zob. [3, s tr. 41] 2.3.5. Zasada pude kowa Dirichleta. Je li x, y s liczbami naturalnymi i x < y, to ka da funkcja f : {1, 2, 3,...,y} {1, 2, 3,...,x} nie jest ró nowarto ciowa. Bardziej aforystycznie: je li x < y i y przedmiotów wk adamy do x pude ek, to w pewnym pude ku b dzie wi cej ni jeden przedmiot. 2.4. Modele teorii Peano. 2.4.1. Liczby kardynalne sko czone. 2.4.2. Liczby porz dkowe sko czone.
ROZDZIA 3. LICZBY CA KOWITE 21 2.4.3. Liczebniki. Dany jest sko czony, n-elementowy zbiór symboli A = {a 0,a 1,...,a n 1 }, które nazywamy cyframi 1. atwo zrozumie ogóln definicj maj c przed oczyma historyczny przyk ad A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. W modelu liczebnikowym ze zbiorem cyfr A zbiorowi N odpowiada zbiór N(A) wszystkich sko czonych ci gów cyfr (liczebników), nie zaczynaj cych si od a 0. Taki ci g o wyrazach x 1,x 2,...,x s A zapisujemy jako x 1 x 2...x s i x 1 x 2...x s N(A) x 1 a 0. Bardziej konstruktywna definicja zbioru N(A) : N(A) jest najmniejszym zbiorem spe niaj cym warunki: (1) a 1,a 2,...,a n 1 N(A); (2) (x 1 x 2...x s N(A) x A) x 1 x 2...x s x N(A). Funkcj S n : N(A) N(A), odpowiadaj c funkcji nast pnik S definiujemy nast puj co: (1) { ai+1 dla i<n 1; S n (a i )= a 1 a 0 dla i = n 1 (2) je li ju wiadomo, jak oblicza S n (x 1 x 2...x s ) dla danej ilo ci cyfr s, to x 1 x 2...x s a 1 dla i =0; S n (x 1 x 2...x s a i )= x 1 x 2...x s a i+1 dla 0 <i<n 1;. S n (x 1 x 2...x s )a 0 dla i = n 1 Innymi s owy, je li ci g x 1 x 2...x s o d ugo ci s ma ostatnich t wyrazów równych a n 1, x 1 x 2...x s = x 1 x 2...x s t a n 1 a n 1...a n 1, a wyrazem x s t jest a i,i<n 1, to S n (x 1 x 2...x s t 1 a i a n 1 a n 1...a n 1 )=x 1 x 2...x s t 1 a i+1 a 0 a 0...a 0. (warto prze ledzi przyk ad 132499999 dla liczebników dziesi tnych). Je li za wszystkie cyfry liczebnika s równe a n 1, to S n (a n 1 a n 1...a n 1 )=a 1 a 0 a 0...a 0. }{{}}{{} s razy s razy Liczb n cyfr w modelu nazywamy podstaw. W praktyce najcz ciej u ywane s modele liczebnikowe: dwójkowy - z A = {0, 1} (miliardy razy na sekund ), dziesi tny za = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, heksadecymalny (szesnastkowy) z A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. U ywaj c jednocze nie dwóch modeli, b dziemy odró nia liczebniki przez napisanie ich w nawiasie z podstaw u do u, np. (111) 2 = S 2 (110) = S 2 S 2 (101) = S 2 S 2 S 2 (100) = S 4 2(11) = S 5 2(11) = S 6 2(1) = (7) 10. Rozdzia 3. Liczby ca kowite Zgodnie z zacytowanym na pocz tku aforyzmem Kroneckera przyst pujemy do zrobienia wszystkich innych liczb z liczb naturalnych. Dla tych uporz dkowanych par liczb naturalnych (x, y), które spe niaj warunek x>yna podstawie prawa skracania jest jednoznacznie okre lona ich ró nica x y: (*) z = x y x = y + z. Dok adniej, jednoznaczno oznacza, e gdyby x = y + z = y + z, to z = z. Niestety, nie mo na okresli dzia ania odejmowania w zbiorze N liczb naturalnych z zachowaniem w asno ci (*), któr w szkolnej matematyce wyra a si s owami odejmowanie sprawdzamy dodawaniem albo do nie cis ym sformu owaniem odejmowanie to dzia anie odwrotne do dodawania. Niemo no okre lenia dzia ania odejmowania w zbiorze liczb naturalnych (tzn. tak, eby od ka dej liczby 1 Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego sifr, oznaczaj cego nico, nic, czyli zero. S owo szyfr równie pochodzi od sifr.
22 naturalnej mo na by o odj ka d liczb naturaln ) atwo zauwa y : np. gdyby ró nica 1 1 by a liczb naturaln, to S(1 1) = (1 1) + 1 = 1 co przeczy aksjomatowi A3. Pos uguj c si uporz dkowaniem liczb naturalnych mo na zauwa y, e 1 > 1 1 > 1 2 > 1 3 >... Oznacza to, e eby zapewni wykonalno odejmowania, trzeba do zbioru N liczb naturalnych do czy ró nice liczb naturalnych, które liczbami naturalnymi nie s, ró nice w których odjemnik jest wi kszy od odjemnej, czyli liczby ujemne. Odkrycie to zosta o dokonane mi dzy IV a VI wiekiem naszej ery. W Arytmetyce Diofantosa (druga po owa III w. n.e.) na potrzeby do zaawansowanej teorii równa, wyst puj liczby dodawane i odejmowane i prawa dzia a na nich: Niedostatek, pomno ony przez niedostatek, daje ilo, niedostatek, pomno ony przez ilo daje niedostatek; znakiem dla niedostatku jest ψ, skrócone i odwrócone:. Diofantosjednak odrzuca ujemne rozwi zania równa jako niemo liwe - znana liczba okre lana by a s owem linia, oznaczaj cym d ugo odcinka. W Indiach Brahmagupta (ok. 598-ok. 660) swobodnie u ywa liczb ujemnych; nazwy liczb dodatnich i ujemnych by y odpowiednikami s ów maj tek i d ug. Liczby ujemne oznacza a kropka nad zapisem liczby. Arabscy matematycy nie przej li od hinduskich liczb ujemnych, wi c Europejczycy byli zmuszeni odkry je na nowo pod koniec XV w., a symbole + i zarówno dla dzia a, jak i dla znaków liczb wprowadzi Johannes Widmann w roku 1486. Wykonuj c zapowiedziane przez Kroneckera prac, polegaj c na zrobieniu wszystkich potrzebnych liczb z liczb naturalnych chcemy mie pewno, e potrzebne nam liczby istniej, oraz e tworz zbiór. Wobec tego pos u ymy s i konstrukcj klasabstrakcji z teorii mnogo ci. Zrobienie liczb ca kowitych okazuje si siedmiopunktowym programem. 1. W zbiorze N N uporz dkowanych par liczb naturalnych okre lamy relacj (a, b) (c, d) a + d = c + b. 2. Sprawdzamy, e jest to relacja równowa no ci: (a, b) (a, b) bo a + b = a + b; (a, b) (c, d) (c, d) (a, b) bo je li a + d = c + b, toc + b = a + d; ((a, b) (c, d) (c, d) (x, y)) (a, b) (x, y), bo je li a + d = c + b i c + y = x + d, to (a + d)+(c + y) =(c + b)+(x + d) (a + y)+(c + d) =(x + b)+(c + d) i, na podstawie prawa skracania, a + y = x + b. 3. Wobec tego istnieje zbiór N N/ klasabstrakcji relacji. Oznaczamy Z = N N/. Klas abstrakcji, do której nale y para uporz dkowana (a, b) oznaczamy a b : a b = {(x, y) N N :(x, y) (a, b)}. Pozostaje wskaza, które klasy odpowiadaj liczbom naturalnym, okre li dodawanie, mno enie, nierówno i odejmowanie klas i sprawdzi, e w zakresie liczb naturalnych pokrywaj si one z ju okre lonymi. 4. Liczby naturalne identyfikujemy z klasami w nast puj cy sposób: n = S(n) 1. Dok adniej, zbiór wszystkich klaspostaci S(n) 1 z klas S(1) 1 jako elementem pocz tkowym, funkcj S (S(n) 1) = S(S(n)) 1 jako funkcj nast pnik tworz model aksjomatów Peano. 5. Je li w zbiorze N liczb naturalnych a b = z (czyli a = b + z), to w zbiorze Z liczb ca kowitych zachodzi równo : a b = S(z) 1
ROZDZIA 3. LICZBY CA KOWITE 23 bo a = b+z, a+1 = b+z +1 = b+s(z). Tym samym po uto samieniu starych liczb naturalnych z nowymi wed ug wzoru n = S(n) 1 okazuje si, e dwa ró ne znaczenia napisu a b (ró nica liczb naturalnych i liczba ca kowita) oznaczaj to samo. 6. W zbiorze Z liczb ca kowitych okre lamy dodawanie: odejmowanie: mno enie: inierówno : 7. Sprawdzamy, e (a b)+(c d) =(a + c) (b + d) (a b) (c d) =(a + d) (b + c) (a b) (c d) =(ac + bd) (ad + bc) (a b) < (c d) a + d<c+ b. (S(n) 1) + (S(m) 1) = S(m + n) 1, (S(n) 1) (S(m) 1) = S(m n) 1, (S(n) 1) < (S(m) 1) n<m. Wreszcie pozostaje wprowadzi zwyk e oznaczenia: poza umow, e n = S(n) 1 oznaczamy 0 = 1 1 n = 1 S(n). Twierdzenie 3.1. Ka da liczba ca kowita jest albo liczb naturaln, albo jest równa 0, albo jest równa n dla pewnej liczby naturalnej n. Dowód. Niech a b Z. Wtedy z definicji a N i b N. Napodstawie prawa trichotomii s trzy wykluczaj ce si mo liwo ci: 1. b < a- wtedy w zbiorze liczb naturalnych okre lona jest liczba naturalna n = a b i - jak wiemy - n = S(n) 1=a b w zbiorze liczb ca kowitych; 2. a = b - wtedy równie a +1=1+b, a zatem a b =1 1=0; 3. a<b- wtedy w zbiorze liczb naturalnych okre lona jest liczba naturalna n = b a i n = S(n) 1 = b a w zbiorze liczb ca kowitych; ale w takim razie S(n)+a = b+1, albo 1+b = a+s(n), co oznacza równo a b =1 S(n) = n. Twierdzenie 3.2. 0 jest elementem neutralnym dodawania, a liczby n i n s do siebie przeciwne. Ponadto b a jest elementem przeciwnym do a b i ( 1) x jest elementem przeciwnym do x. Dowód. 0+(a b) =(1 1) + (a b) =(a +1) (b +1)=a b, bo a +1+b = b +1+a. (b a)+(a b) =(a + b) (a + b) =0. 1 =1 S(1); ( 1) (a b) =(1 S(1))(a b) =(1 a + b S(1)) (1 b + a S(1)) = (a + b + b) (a + a + b) =b a. Teraz mo emy sformu owa w postaci twierdzenia efekt zast pienia liczb naturalnych liczbami ca kowitymi, przewag zbioru liczb ca kowitych nad zbiorem liczb naturalnych: Twierdzenie 3.3. Zbiór Z liczb ca kowitych z wyró nionymi elementami 0 = 1 1 i 1 = S(1) 1 oraz z dzia aniami dodawania i mno enia liczb naturalnych jest pier cieniem: dla dowolnych liczb ca kowitych x, y, z x + y = y + x (przemienno dodawania) x +(y + z) =(x + y)+z ( czno dodawania) 0 + x = x + 0 = x (element neutralny dodawania) x +( x) = x + x = 0 (element przeciwny dla dodawania) x y = y x (przemienno mno enia) x (y z) =(x y) z ( czno mno enia) 1 x = x 1=x (element neutralny mno enia) x (y + z) =x y + x z (rozdzielno mno enia wzgl dem dodawania)
24 Rozdzia 4. Dzielenie z reszt liczb ca kowitych, liczb ca kowitych algebraicznych i wielomianów 4.1. Liczby ca kowite. Twierdzenie 4.1. Dla ka dych dwóch liczb ca kowitych a, b je li tylko b 0, to istniej jednoznacznie okre lone liczby ca kowite i oraz r spe niaj ce warunek: Symbolicznie: a = i b + r i 0 r< b. a Z b Z [b 0! i Z! r Z [a = i b + r 0 r< b ]]. Je li zaczynamy rozwija matematyk od arytmetyki liczb ca kowitych i nie dysponujemy liczbami wymiernymi, to ustalamy dowolne b 0. Dla nieujemnych a je li a< b, to i =0,r= a spe niaja warunek a = i b + r 0 r< b. Je li za o y indukcyjnie, e dla a k takie i oraz r istniej, to dla a = k +1 zachodzi nierówno a b k, i - na mocy za o enia indukcyjnego - istniej liczby i 1,r takie, e Wobec tego ( b b a = a b = i 1 b + r 0 r< b. ( i 1 + b ) b + r 0 r< b. b jest równe ±1 i ma taki sam znak jak b; przy dodatnim b zwi kszaj c dzieln a b o b trzeba zwi kszy niepe ny iloraz o 1; zmniejszaj c dzieln a b o ujemne b trzeba zmniejszy niepe ny iloraz o 1). Dla dowolnych a je li to a = i 2 b r = { ( a = i 2 b + r 0 r< b, i 2 b b Definicja 4.1. Je li a = i b + r i 0 r< b, to: ) b +( b r) 0 b r< b gdy r>0 i 2 b +0 0 0 < b gdy r =0 liczb i nazywamy niepe nym ilorazem z dzielenia a przez b, liczb r nazywamy reszt z dzielenia a przez b. Przyk ad 1. Cz ci ca kowit x liczby rzeczywistej x nazywamy najwi ksz liczb ca kowit a tak, e a x. Ostatnio, dzi ki wysi kom twórców programów komputerowych, upowszechnia si nazwa i oznaczenie f loor(x) = x. zamiast wprowadzonego przez C.F. Gaussa w 1808 r. oznaczenia [x]. Je li ju wiemy, co to s liczby wymierne, to a a i =, r = a b. b b Przyk ad 2. (obliczanie niepe nego ilorazu i reszty) Znamy ze s zko y podstawowej algorytm (metod ) wykonywania dzielenia z reszt, odkryt w Indiach w V w.wynik zastosowania tej metody do dzielenia z reszt liczby 537 przez 13 zapisujemy nast puj co: 537 = 41 13 + 4 i 0 4 < 13. Wynik dzielenia 537 przez 13 z reszt : Przyk ad 3. (liczenie przedmiotów) 537 = ( 41) ( 13) + 4 i 0 4 < 13..
ROZDZIA 4. DZIELENIE Z RESZT TM 25 Na stole le y stos n przedmiotów (np. zapa ek, monet). Nale y napisa na tablicy ile ich jest. Polecenie oznacza, e na tablicy ma si pojawi zapispostaci...a 3 a 2 a 1 a 0 w którym symbole a 0,a 1,a 2,a 3,... s symbolami liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (cyframi) i taki ci g cyfr...a 3 a 2 a 1 a 0 ma (zgodnie z zasad uk adu pozycyjnego) warto liczbow n = a 0 + a 1 10 + a 2 100 + a 3 1000 + Aby obliczy a 0 nale y wi c podzieli liczb n przedmiotów przez 10 z reszt (np. uk adaj c przedmioty w kupki po 10) ia 0 jest reszt z tego dzielenia: n =10 (a 1 + a 2 10 + a 3 100 + )+a 0 i 0 a 0 < 10. Niepe nym ilorazem jest i 1 = a 1 +a 2 10+a 3 100+. Jak obliczy cyfr dziesi tek a 1? Oczywicie, a 1 jest reszt z dzielenia liczby i 1 przez dziesi. Zatem aby znale a 1, trzeba pe ne dziesi tki (kupki, uzyskane przy pierwszym uk adaniu) pouk ada w kupki po 10 dziesi tek. Analogicznie cyfra setek jest reszt z dzielenia kolejnego niepe nego ilorazu przez 10, itd. Uwaga 4.1. Niewygoda, zwi zana z pisaniem kolejnych cyfr od prawej do lewej i odczytywaniem od lewej do prawej - przeczyta s owami: 11111111111111111111111111111111111111111111 - wynika st d, e wynaleziony w Indiach 28 VIII 458 r. dziesi tny pozycyjny system zapisu liczb Europejczycy przej li od Arabów 2, pisz cych i czytaj cych od prawej do lewej. Hindus, Arab (czy Niemiec w zakresie pierwszej setki) zacz by czyta jeden, dziesie, sto i jeden, dziesi, sto tysi cy... itd. Przyk ad 4. (zmiana podstawy uk adu pozycyjnego) W dwójkowym uk adzie pozycyjnym (u ywanym przez komputery miliony razy na sekund ) s dwie cyfry: 0 i 1, za pozycje w zapisie liczby (rz dy) odpowiadaj nie pot gom dziesi tki, a pot gom dwójki. Np. zapis (111) 2 oznacza: 1 jedno, 1 dwójk i jedn czwórk, czyli liczb 1+2+4=7. Jaki zapisw uk adzie dwójkowym b dzie mia a liczba 100? Cyfr jedno ci b dzie reszta z dzielenia 100 przez 2, czyli 0: 100 = 50 2+0; Cyfr dwójek b dzie reszta z dzielenia ilo ci pe nych dwójek (50) przez 2, czyli 0: 50 = 25 2+0; Cyfr czwórek b dzie reszta z dzielenia ilo ci pe nych czwórek (25) przez 2, czyli 1: 25 = 12 2+1; Cyfr ósemek b dzie reszta z dzielenia ilo ci pe nych ósemek (12) przez 2, czyli 0: 12 = 6 2+0; Cyfr szesnastek b dzie reszta z dzielenia ilo ci pe nych szesnastek (6) przez 2, czyli 0: 6=3 2+0; Cyfr trzydziestek dwójek b dzie reszta z dzielenia ilo ci pe nych trzydziestek dwójek (3) przez 2, czyli 1: 3=1 2+1; Kolejn cyfr b dzie reszta z dzielenia ilo ci pe nych sze dziesi tek czwórek (1) przez 2, czyli 1: 1=0 2+1. Zatem 100 = (1100100) 2. Rzeczywicie, (1100100) 2 = 0 1+0 2+1 4+0 8+0 16 + 1 32 + 1 64 = 4 + 32 + 64 = 100. Przyk ad 5. (zmiana podstawy uk adu pozycyjnego) 2 Konkretnie z Kitab al-hisab al-hind, czyli Ksi gi o hinduskiej sztuce rachowania, napisanej przez Mohammada ibn Mus al Chorezmi w Bagdadzie, w IX w. Ksi ka taby a tlumaczona na acin w XII wieku. Jej pierwsze s owa Al Chorezmi rzecze funkcjonowa y jako tytu ksi ki, a brzmia y po acinie Dixit Algoritmi, wi c zapisywanie liczb za pomoc dziesi tnego uk adu pozycyjnego i metody wykonywania dzia a na tak zapisanych liczbach nazwano algorytm.
26 W szesnastkowym (albo uczenie: heksadecymalnym) uk adzie pozycyjnym, u ywanym systematycznie przez programistów, jest szesna cie cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F odpowiadaj cym liczbom od 0 do 15 ((A) 16 =10, (B) 16 =11itd.). Kolejne rz dy odpowiadaj pot gom podstawy 16. Aby zapisa liczb 43962 w uk adzie szesnastkowym, nale y obliczy kolejne cyfry szesnastkowe jako reszty z kolejnych dziele : 43962 = 2747 16 + 10; cyfra jedno ci : A, 2747 = 171 16 + 11; cyfra szesnastek : B, 171 = 10 16 + 11; cyfra16 2 : B, 10 = 0 16 + 10; cyfra16 3 : A, 43962 = (ABBA) 16. 4.2. Podzielno liczb ca kowitych. Je li reszt z dzielenia liczby ca kowitej a przez b jest 0, to mówimy, e a dzieli si przez b, albo e b jest dzielnikiem a, albo e a jest wielokrotno ci b. Zapisujemy to s ymbolami nast puj co: b a. Podzielno liczb ca kowitych jest relacj. Definicja 4.2. Dla liczb ca kowitych a, b : Symbolicznie: b a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba ca kowita i, ea = i b. b a i Z [a = i b]. Twierdzenie 4.2. Dla dowolnych liczb ca kowitych a, b, c: a a (zwrotno relacji podzielno ci) (a b b c) a c (przechodnio relacji podzielno ci) (a b b a) (a = b a = b) (cz ciowa antysymetria) a 0; 1 a; a b a bc; (a b a c) a (b + c). Sprawdzanie, czy jedna liczba ca kowita dzieli drug ma du e znaczenie praktyczne, zw aszcza w czasie opanowywania dzia a na u amkach. Do sprawdzania, czy jedna liczba dzieli si przez drug s u cechy podzielno ci. Czy istnieje cecha podzielno ci przez 7? Przez 13? 4.3. Resztyikongruencje. Za ó my, e jest ustalona liczba ca kowitan, n>1i interesuje naspodzielno przez n, albo ogólniej i dok adniej: reszty z dzielenia przez n. W takiej sytuacji liczb n b dziemy nazywa modu em (w domy le: podzielno ci). Okre limy funkcj r n : Z {0, 1, 2,..., n 1}: r n (a) jest reszt z dzielenia liczby a przez n a r n (a) =a n. n Twórcy programów komputerowych propaguj oznaczenie a a mod n = a n. n Poj cie to ma sens i mo e by u yteczne dla dowolnych rzeczywistych a i rzeczywistych dodatnich n, np. (b [0, 2π) sin a =sinb cos a =cosb) b = a mod 2π, (b [0, 1) a a = b) b = a mod 1. ale nasinteresuje tylko przypadek n>1 i a Z. Dla danego modu u n zbiór {0, 1, 2,..., n 1} mo liwych reszt z dzielenia przez n b dziemy oznacza symbolem Z n : Z n = {0, 1, 2,..., n 1}. Definicja 4.3. x = r n (a) (x Z n n (a x)).