Transcript

1 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

2 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς Τσιφάκης Χρήστς : xr.tsif Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα

3 ΘΕΜΑ 101 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Έχυμε 9 διαφρετικές ανά δύ τριάδες (x,y,z) με x,y,z Z. Να απδειχθεί ότι υπάρχει τυλάχιστν ένα ζεύγς από αυτές τις τριάδες, έστω (x,y,z ) και x y x y x y (x,y,z ) στ πί αντιστιχίζεται τριάδα (,, ) με x y x y x y ,, Z. ΘΕΜΑ 10 Αν ι πραγματικί αριθμί x,y είναι τέτιι ώστε μέγιστη τιμή της διαφράς x y. x y x y, να βρεθεί η ΘΕΜΑ 103 Δίνεται τρίγων ABCκαι έστω M τ μέσ της πλευράς BC και N σημεί της AB τέτι ώστε NA AN. Αν η CAB CM N, να βρεθεί λόγς των πλευρών AC BC. ΘΕΜΑ 104 Να βρεθεί σκακιέρα nxn ελάχιστυ εμβαδύ, η πία μπρεί να καλυφθεί (χωρίς επικαλύψεις) από ίσ αριθμό σχημάτων της μρφής: ΘΕΜΑ 105 (KOMI) x y Εάν x,y πραγματικί μη μηδενικί να δείξετε την. x y xy x y Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3

4 ΘΕΜΑ 106 (ΣΠΥΡΟΣ ΚΑΠΕΛΛΙΔΗΣ) Αν Α) Αν * a,b,c να απδείξετε ότι: 3 α Q, τότε 3 α Q B) Αν 3 α 5 b Q, τότε 3 α Q και 5 b Q Γ) Αν 3 α 5 b 7 c Q, τότε 3 α Q, 5 b Q, και 7 c Q. ΘΕΜΑ 107 (ΣΠΥΡΟΣ ΚΑΠΕΛΛΙΔΗΣ) Αν n είναι ακέραις, να απδειχθεί ότι άρρητς. n 3n n n 1 είναι ΘΕΜΑ 108 (DEMETRES) α) Δίννται 501διαφρετικί θετικί ακέραιι όλι μικρότερι ή ίσι τυ Να δειχθεί ότι δύ από αυτύς είναι σχετικώς πρώτι μεταξύ τυς. (Δηλαδή μέγιστς κινός διαιρέτης τυς ισύται με 1.) β) Δίννται 501διαφρετικί θετικί ακέραιι όλι μικρότερι ή ίσι τυ Να δειχθεί ότι υπάρχυν δύ (διαφρετικί) από αυτύς ώστε ένας να διαιρεί τν άλλ. ΘΕΜΑ 109 (DEMETRES) Ο Ανδρέας και Βασίλης παίζυν τ εξής παιγνίδι. Έχυν στν πίνακα γραμμένυς τυς αριθμύς από τ 1 μέχρι τ 100. Παίζει πρώτς Ανδρέας. Σβήνει δυ αριθμύς, όπιυς θέλει, και γράφει στν πίνακα την διαφρά τυς. Μετά κάνει τ ίδι Βασίλης και συνεχίζυν εναλλάξ μέχρι να μείνει μόν ένας αριθμός γραμμένς στν πίνακα. Αν είναι περιττός κερδίζει Ανδρέας ενώ αν είναι άρτις κερδίζει Βασίλης. Πις από τυς δύ έχει στρατηγική νίκης; ΘΕΜΑ 110 (DEMETRES) Έχυμε τρεις στίβες με σπίρτα. Η πρώτη έχει 010 σπίρτα, η δεύτερη 011 και η τρίτη 01. Σε κάθε κίνηση μπρύμε να επιλέξυμε δύ στίβες πυ έχυν σπίρτα, να πάρυμε ένα σπίρτ από την κάθε μία και να τπθετήσυμε και τα δύ στην τρίτη. Να εξεταστεί αν μπρύν όλα τα σπίρτα να μεταφερθύν σε κάπια από τις στίβες. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 4

5 ΘΕΜΑ 111 (DEMETRES) Η Λερναία Ύδρα έχει επτά κεφάλια. Ο Ηρακλής πρσπαθεί να την σκτώσει κόβντας τα κεφάλια της. Κάθε φρά όμως πυ κόβει ένα κεφάλι η Λερναία Ύδρα βγάζει τέσσερα καινύργια κεφάλια. Κάθε φρά πυ της κόβει δύ κεφάλια βγάζει είκσι καινύργια ενώ κάθε φρά πυ της κόβει τρία κεφάλια δεν βγάζει κανένα καινύργι κεφάλι. Για να την σκτώσει πρέπει να της κόψει όλα τα κεφάλια και αυτή να μην βγάλει κανένα καινύργι κεφάλι. Μπρεί να τα καταφέρει; ΘΕΜΑ 11 (DEMETRES) Στν πίνακα έχυμε γραμμένυς τυς αριθμύς,3,10. Σε κάθε βήμα μπρύμε να πάρυμε δύ από αυτύς έστω τυς x,y και να τυς 3x 4y 4x 3y αντικαταστήσυμε με τυς x και y. Να εξεταστεί αν 5 5 μπρύμε μετά από κάπια βήματα να καταλήξυμε στην τριάδα 1,7,8. ΘΕΜΑ 113 (DEMETRES) Σε κάθε τετραγωνάκι μιας σκακιέρας γράφυμε ένα μη αρνητικό ακέραι. Σε κάθε βήμα επιτρέπεται να διαλέξυμε δυ γειτνικά τετραγωνάκια και να αφαιρέσυμε από αυτά τν ίδι ακέραι, με την πρϋπόθεση ότι ι αριθμί πυ θα μείνυν θα εξακλυθύν να είναι μη αρνητικί ακέραιι. Να βρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να μπρύμε με μια ακλυθία επιτρεπόμενων βημάτων να κάνυμε όλυς τυς αριθμύς ίσυς με 0. ΘΕΜΑ 114 (DEMETRES) Έστω n 4 θετικός ακέραις και αριθμί x,x,...,x ώστε κάθε ένας από 1 n αυτύς να ισύται είτε με 1 είτε με 1. Αν x x x x x x x x... x x x x 0 να δειχθεί ότι n είναι n 1 3 πλλαπλάσι τυ 4. ΘΕΜΑ 115 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) Θεωρύμε ένα τρίγων ΑΒΓ. Παίρνυμε, στην πλευρά τυ ΑΒ ένα σημείδ 5 1 με ΑΔ ΑΒ, στην πλευρά τυ ΒΓ ένα σημεί Ε με ΒΕ ΒΓ και στην 1 3 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 5

6 1 πλευρά τυ ΓΑ ένα σημεί Ζ με ΓΖ ΓΑ. Τα τμήματα ΑΕ και ΒΖ τέμννται 4 στ σημεί Κ, τα ΒΖ και ΓΔ στ σημεί Λ και τα ΓΔ και ΑΕ στ σημεί Μ. Να απδείξετε ότι: (ΚΛΜ) (ΑΜΔ) (ΒΚΕ) (ΓΛΖ). ΘΕΜΑ 116 Στις Δημτικές εκλγές της 1ης Κυριακής (13 Οκτωβρίυ 00) σε ένα Δήμ συμμετείχαν ι συνδυασμί Α,Β και Γ. Ονμάζυμε ν τν αριθμό των εγγεγραμμένων στυς εκλγικύς καταλόγυς ψηφφόρων. Συνλικά ψήφισε τ 75% τυ αριθμύ ν και όλα τα ψηφδέλτια ήταν έγκυρα. Ο συνδυασμός A ψηφίστηκε από τ 39% τυ αριθμύ ν ενώ συνδυασμός B από τ 7%τυ ν. Λευκά δεν βρέθηκαν. α) Να εξετάσετε αν αρχηγός τυ συνδυασμύ A εξελέγη Δήμαρχς από την 1η Κυριακή (δηλαδή αν έλαβε πσστό μεγαλύτερ τυ 50% ως πρς τν αριθμό των έγκυρων ψηφδελτίων). β) Να βρείτε τ πσστό των ψήφων τυ συνδυασμύ Γ ως πρς τν αριθμό των έγκυρων ψηφδελτίων. ΘΕΜΑ 117 Να πρσδιρίσετε όλυς τυς διψήφιυς αριθμύς πυ είναι ίσι με τ γινόμεν πυ πρκύπτει αν πλλαπλασιάσυμε τα ψηφία τυς αυξημένα κατά 1. ΘΕΜΑ 118 Χρησιμπιώντας τυς μετασχηματισμύς 1 1 f(x) x f( 1) x και f(x) (x 1) f( ) είναι δυνατόν από τ τριώνυμ x 1 πρκύψει τ f (x) x 10x 9 ; f (x) x 4x 3 1 να Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 6

7 ΘΕΜΑ 119 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3 b 1 1 b K a (1 a) 4( ) [( 004) ] αν είναι a a 3 a και b 3. ΘΕΜΑ 10 Σε μια διργάνωση σκακιύ μέσω διαδικτύυ, συμμετείχαν 1119 αγόρια και κρίτσια. Τ πρώτ κρίτσι έπαιξε με 0 αγόρια, τ δεύτερ κρίτσι έπαιξε με 1 αγόρια, τ τρίτ κρίτσι με αγόρια κ..κ μέχρι τ τελευταί κρίτσι πυ έπαιξε με όλα τα αγόρια. Να βρείτε πόσα ήταν τα κρίτσια και πόσα τα αγόρια. ΘΕΜΑ 11 Θεωρύμε τετράγων πλευράς a, a 1. Τ τετράγων πυ έχει πλευρά κατά 1 μικρότερη τυ a, έχει περίμετρ ίση αριθμητικά πρς τ εμβαδόν τυ αρχικύ τετραγώνυ. Να βρεθεί η πλευρά a. ΘΕΜΑ 1 Οι αριθμί x,y,z,w έχυν την ιδιότητα: «Αν πρσθέσυμε τρεις πιυσδήπτε από αυτύς και από τ άθρισμα πυ θα πρκύψει αφαιρέσυμε τν αριθμό 5, πρκύπτει πάντα αριθμός 00». Να υπλγίσετε τ άθρισμα x y z w. ΘΕΜΑ 13 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) Να βρείτε τυς ακέραιυς αριθμύς x,y, για τις πίς ισχύει: 5(x y) x 4y 5xy 9. (DEMETRES) ΘΕΜΑ 14 Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x. Να δειχθεί ότι υπάρχυν ακέραιι m,n με 1 1 n 4 ώστε m nx. 3 Και για να την "δυσκλέψυμε" λίγ (*) δείξτε ότι αν N N*, τότε υπάρχυν 1 ακέραιι m,n με 1 n N 1 ώστε m nx. N Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 7

8 Παρατήρηση: Τ σύμβλ λιπόν [x]διαβάζεται: Τ ακέραι μέρς τυ (πραγματικύ) αριθμύ x. Για παράδειγμα, έχυμε: [3,54] 3, [0,376] 0,[,35] 3, [7] 7. Δηλαδή τ ακέραι μέρς ενός δεκαδικύ αριθμύ είναι αμέσως πρηγύμενς ακέραις από αυτόν τν αριθμό. Αν αριθμός x είναι ακέραις, τότε ισχύει [x] x. Μάλιστα, ισχύει η εξής ανισότητα: [x] x [x] 1. Επίσης αν x είναι πραγματικός αριθμός και k ακέραις, τότε [x k] [x] k. ΘΕΜΑ 15 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Αν ισχύυν a,b,c,d 0 a b c d 0 a b c d 00 τότε να δείξετε ότι a,b,c,d 5(1 3). ΘΕΜΑ 16 Αν a,b,c πραγματικί αριθμί τέτιι ώστε a b c 1 να δείξετε ότι (ab) (bc) (ca) Η άσκηση είναι από εδώ: ΘΕΜΑ 17 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Πόσες είναι ι παραγντπιήσεις τυ σε δύ παράγντες μεγαλύτερυς της μνάδας πυ ι παράγντες αυτί να είναι πρώτι μεταξύ τυς; (*) Δύ θετικί ακέραιι m,n 1 είναι πρώτι μεταξύ τυς, όταν Μέγιστς Κινός Διαιρέτης τυς είναι 1, συμβλίζυμε (m,n) 1. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 8

9 ΘΕΜΑ 18 (DEMETRES) α) Πόσι αναγραμματισμί υπάρχυν της λέξης ΣΗΜΕΡΑ ; (Π.χ. τ ΗΜΡΑΕΣ είναι ένας τέτις αναγραμματισμός. Δεν είναι απαραίτητ αναγραμματισμός να έχει νόημα.) β) Πόσι αναγραμματισμί υπάρχυν της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; γ) Σε πόσυς από τυς αναγραμματισμύς της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ δεν εμφανίζνται δυ συνεχόμενα όμια γράμματα. (Π.χ. απαγρεύυμε τν αναγραμματισμό ΜΑΑΘΗΜΑΤΙΚ, κ.τ.λ.) ΘΕΜΑ 19 (ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ) Να βρείτε τν ακέραι αριθμό x από την παρακάτω σχέση : 008x x x x 01 ΘΕΜΑ 130 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) Να βρείτε τυς πραγματικύς αριθμύς x,y,z,w,για τις πίυς ισχύυν: x y z w 4 (1) και x y z w 4 (). ΘΕΜΑ 131 (VZF) Αν a,b,c είναι περιττί ακέραιι, απδείξτε ότι η λύση. ax bx c 0, δεν έχει ρητή ΘΕΜΑ 13 (VZF) Οι τιμές των a,b,c,d είναι 1,,3,4 όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. Πιά είναι η μέγιστη πιθανή τιμή τυ ab bc cd da ; ΘΕΜΑ 133 Απδείξτε ότι αν r s t τότε (VZF) r s t (r s t). Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 9

10 ΘΕΜΑ 134 Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών (x,y) τέτια ώστε x(xy y 3) (x y)(3x y). ΘΕΜΑ 135 Αν a,b θετικί ακέραιι a b, τέτιι ώστε ab(a b) να διαιρεί τν 3 3 a b ab να δείξετε ότι αριθμός ab είναι τέλεις κύβς. ΘΕΜΑ 136 Αν a,b θετικί ακέραιι και αν 3a 4b 10, να απδείξετε ότι: 30 a b 40. ΘΕΜΑ 137 Αν Μέγας Αλέξανδρς πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε τ μισό της ζωής τυ. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε τ 1 8 Πόσα χρόνια έζησε; της ζωής τυ. ΘΕΜΑ 138 (VZF) Απδείξτε ότι n 1 n n 1 n n ΘΕΜΑ 139 (VZF) Απδείξτε ότι ΘΕΜΑ 140 (VZF) Αν ισχύει ότι n n n r nr (x y) x y r0r (*) να απδείξετε ότι n n n. k0 k n Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 10

11 ΘΕΜΑ 141 (VZF) n n n r nr Να απδείξετε τ (x y) x y r0r με ή και χωρίς τη χρήση τυ διωνύμυ n n n r τυ Newton (1 x) x r0r. n Παρατήρηση: Τα και C(n,r) συμβλίζυν τν αριθμό των τρόπων πυ r μπρύν να επιλεγύν r αντικείμενα από n, χωρίς να έχει σημασία η σειρά πυ n επιλέγνται. Ένας τύπς για τ r είναι n n!.τ n! λέγεται n r r! (n r)! παραγντικό και είναι μη αρνητικός αριθμός n! (n 1) n, όπυ n ακέραις και 0! 1. ΘΕΜΑ 14 Στν πίνακα είναι γραμμένι ι αριθμί 0,1,,...,100 με κενά μεταξύ τυς. Ένας μαθητής, A, τπθετεί στα κενά 50 και 50* και υπλγίζει την τιμή της παράστασης πυ πρκύπτει (με τη συνήθη πρτεραιότητα πράξεων.) Έστω ότι τ απτέλεσμα πυ βρίσκει είναι αριθμός a. Στη συνέχεια μαθητής B αλλάζει όλα τα σε * και όλα τα * σε στην παράσταση πυ σχημάτισε A και υπλγίζει την τιμή της νέας παράστασης, έστω b. Αν τα τέσσερα τελευταία ψηφία τυ αριθμύ a b είναι 011, να δείξετε ότι κάπις από τυς μαθητές έκανε λάθς στις πράξεις. ΘΕΜΑ 143 Να δείξετε ότι η εξίσωση a b c 5 έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις. ΘΕΜΑ 144 (DEMETRES) Απδείξτε ότι Για να πρλάβω μερικύς. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 11

12 Απαγρεύεται η χρήση Stirling ή παρόμιων πρσεγγίσεων. Ζητάω στιχειώδη λύση. Λύση: Μπρύμε να δείξυμε επαγωγικά ότι 1 3 n n 3n 1 Επειδή ι "μικρί" δεν έχυν διδαχθεί την μέθδ της τέλειας επαγωγής (αυτό θα γίνει μάλλν στην Β Λυκείυ), θα δώσω μια αναλυτική απόδειξη της άσκησης 144 πυ έθεσε Demetres με την υπόδειξη πυ έγραψε socrates. Θέλυμε λιπόν να απδείξυμε ότι : 1 3 n n 3n 1 για κάθε n 1. Η απόδειξη με την μέθδ της τέλειας επαγωγής, γίνεται ως εξής: Αν θέλυμε να απδείξυμε την αλήθεια μιας πρότασης P(n), με n p (n φυσικός αριθμός) τότε: * Εξετάζυμε αν η πρόταση ισχύει για n p 1 *Υπθέτντας ότι η πρόταση ισχύει για n k, απδείχνυμε ότι θα ισχύει και για n k 1. Αν αυτά τα απδείξυμε, τότε η πρότασή μας θα αληθεύει για κάθε n p (n N) Ερχόμαστε λιπόν στην άσκηση πυ θέλυμε να απδείξυμε: *Εξετάζυμε αν ισχύει για n. Δηλαδή αν αληθεύει. πράγμα πυ (Άρα απδείξαμε ότι η πρόταση ισχύει για n ) * Υπθέτυμε τώρα ότι η πρόταση αληθεύει για n k. Δηλαδή ότι 1 3 k (1) 4 k 3k 1 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

13 και θα απδείξυμε ότι θα αληθεύει και για n k 1. Δηλαδή ότι 1 3 k 1 (k 1) k (k 1) 3(k 1) 1 () Πράγματι, έχυμε από την υπόθεση πυ κάναμε ότι 1 3 k k 3k k 1 (k 1) 1 1 (k 1) k (k 1) 3k 1 (k 1) 1 3 k 1 (k 1) 1 1 k k (k 1) 3k 1 k Αρκεί λιπόν να απδείξυμε ότι 1 k 1 1 (k 1) 1 3k 1 k 3(k 1) 1 (3k 1)(k ) 3k 4 (4k 4k 1) (3k 4) (3k 1) (4k 8k 4) 19k 0k. πράγμα πυ ισχύει, αφύ k φυσικός αριθμός. Άρα απδείξαμε όλα τα βήματα της τέλειας επαγωγής και συνεπώς τ ζητύμεν θα αληθεύει για κάθε n φυσικό αριθμό (μεγαλύτερ τυ 1). ΔΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Έχεις μάθει ότι (a b) a ab b και (a b) a 3a b 3ab b Με παρόμι τρόπ (όπως έχεις δει τις πι πάνω απδείξεις), θα μπρύμε να απδείξυμε ότι (a b) a a b a b ab b (a b) a a b a b a b ab b Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 13

14 Και γενικά απδείχνεται ότι n n(n 1) n(n 1)(n ) (a b) a a b a b a b... b n n n1 n n3 3 n Αυτή η ταυτότητα νμάζεται "τ διώνυμ τυ Νεύτωνα" Τ σύμβλ Σ δηλώνει άθρισμα. Παράδειγμα: n r xy r1 δηλώνει τ εξής άθρισμα: n r 1 3 n x y x y x y x y... x y. r1 ΘΕΜΑ 145 Να πρσδιρίσετε τυς φυσικύς αριθμύς r για τυς πίυς υπάρχυν πρώτι αριθμί p,q τέτιι ώστε: p pq q r. ΘΕΜΑ 146 Δίνεται ρθγώνι ABCD με AB BC. Η μεσκάθετς της διαγωνίυ AC τέμνει την πλευρά CDστ σημεί E. Ο κύκλς με κέντρ τ E και ακτίνα AEτέμνει την πλευρά AB στ σημεί F. Αν O η πρβλή τυ C στην ευθεία EF να δείξετε ότι τα σημεία B,O και D είναι συνευθειακά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Μας χρειάζνται κάπιες πληρφρίες για τα εγγράψιμα τετράπλευρα. (1) Ένα τετράπλευρ λέγεται εγγράψιμ σε κύκλ, αν υπάρχει κύκλς πυ να περνάει από όλες τις κρυφές τυ. () Ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιμ σε κύκλ, αν υπάρχυν δύ γωνίες ίσες πυ "βλέπυν" την ίδια πλευρά και έχυν κρυφή μια από τις κρυφές τυ τετραπλεύρυ. Π.χ αν για τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ ι γωνίες ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσες, τότε αυτό είναι εγγράψιμ σε κύκλ. Και φυσικά ισχύει και τ αντίστρφ (πυ είναι πρφανές τ γιατί): Αν ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιμ σε κύκλ, τότε ι γωνίες πυ "βλέπυν" την ίδια πλευρά και έχυν κρυφή κάπια από τις κρυφές τυ τετραπλεύρυ, είναι ίσες. Φυσικά υπάρχυν και άλλα θεωρήματα πυ αναφέρνται στα εγγράψιμα τετράπλευρα. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 14

15 ΘΕΜΑ 147 Τα ψηφία ενός διψήφιυ αριθμύ έχυν άθρισμα 11. Αν μεταξύ των ψηφίων τυ παρεμβληθεί τ 5, τότε βρίσκεται τριψήφις αριθμός, πίς με τν αρχικό διψήφι έχυν άθρισμα 396. Πις είναι διψήφις αριθμός; ΘΕΜΑ 148 Μια βρύση A μπρεί να γεμίσει μια δεξαμενή σε 6 ώρες ενώ μια άλλη βρύση B μπρεί να την γεμίσει σε 4 ώρες. Στις 11 τ πρωί, ανίγυμε την βρύση A και στις 1 τ μεσημέρι, ανίγυμε και την βρύση B (χωρίς να κλείσυμε την A ). Τι ώρα θα έχει γεμίσει η δεξαμενή; ΘΕΜΑ 149 Αν ι θετικί πραγματικί αριθμί x,y,z είναι τέτιι ώστε y z x x y z να πρσδιρίσετε όλες τις δυνατές τιμές τυ x y z. z x y ΘΕΜΑ 150 Να λυθεί τ σύστημα ΘΕΜΑ 151 x 14 yz y 14 zx z 14 xy. Αν για τυς μη μηδενικύς αριθμύς a,b,x,y ισχύει ay bx, να υπλγιστεί η a x τιμή της παράστασης: A. a b x y ΘΕΜΑ 15 Αν ισχύυν x y z, a b c 1, a b c ότι xy yz xz 0. a b c 1 και αν a,b,c 0 να δείξετε Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 15

16 ΘΕΜΑ 153 (ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ) Δίνεται μία γωνία ω 19. Μπρείτε να κατασκευάσετε μόν με χάρακα και διαβήτη μία γωνία με μέτρ Λύση: Ναι, αφύ μπρύμε να κατασκευάσυμε μια γωνία πλλαπλάσι τυ 3 ) 18, (αφύ τ 18 είναι Δείτε Β τρόπς Αφύ , σημαίνει ότι αν πάρυμε 19 φρές την γωνία μας, θα ξεπεράσει τν κύκλ των 360 κατά 1. Άρα... 1 ; ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τ εξής δεν είναι πλύ γνωστό αλλά όφειλε να είναι περισσότερ γνωστό (*): Ακέραιες γωνίες πυ κατασκευάζνται με κανόνα και διαβήτη είναι τα πλλαπλάσια τυ 3, και μόνν αυτά. Ένα πόρισμα: Η γωνία 60 μιρών δεν τριχτμείται με κανόνα και διαβήτη γιατί τότε θα κατασκευαζόταν η γωνία 0 μιρών η πία δεν είναι πλλαπλάσι τυ 3. (*) η απόδειξη, αν και όχι ιδιαίτερα δύσκλη, ξεφεύγει της Σχλικής ύλης. Γρήγρη αιτιλόγηση για αυτύς πυ ξέρυν Θεωρία Galois: o Η γωνία 1 μιρών κατασκευάζεται ως 7 60 (η 7 πρκύπτει από τ καννικό πεντάγων και η 60 είναι βέβαια απλή). Με διχτόμηση κατασκευάζνται ι 6 και 3, και άρα όλα τα πλλαπλάσια τυ 3. Από την άλλη είναι γνωστό από Θεωρία Galois ότι δεν κατασκευάζεται η τριχτόμς 0 των 60. Άρα δεν κατασκευάζεται η γωνία 1 μίρας (αλλιώς θα φτιάχναμε την ). Όμια έπεται ότι δεν κατασκευάζνται ι 3k 1, 3k. Μένυν ι 3k. Επίσης, από την θεωρία Galois, ισχύει: Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 16

17 Μια γωνία θ μπρεί να τριχτμηθεί με κανόνα και διαβήτη, αν και μόν αν, τ 3 πλυώνυμ 4x 3x συνθ είναι μη ανάγωγ πάνω από τ (συνθ). Πρόβλημα: Να βρεθύν ι ρητές γωνίες m n με κανόνα και διαβήτη. (m,n 1, gcd(m,n) 1) πυ κατασκευάζνται ΛΥΣΗ Για τις ακέραιες γωνίες γνώριζα. Για τις ρητές όχι. Για να δύμε: Ισχυρίζμαι ότι η γωνία m n όπυ m,n με (m,n) 1 είναι κατασκευάσιμη αν και μόν αν α) Τ m είναι πλλαπλάσι τυ 3. β) Τ n είναι της μρφής της μρφής r p p 1 k, όπυ p,,p είναι διακεκριμένι πρώτι 1 k s 1 όλι όμως διαφρετικί τυ 3 και 5. Για τ απτέλεσμα θα χρησιμπιήσω Λήμμα 1: Αν n, τότε η γωνία n μιρών είναι κατασκευάσιμη αν και μόν αν τ n είναι πλλαπλάσι τυ 3. Λήμμα : Έστω k,n με (k,n) 1. Τότε η 3k n είναι κατασκευάσιμη αν και μόν αν η 3 n είναι κατασκευάσιμη. Απόδειξη: Τ «αν» είναι πρφανές. Για τ «μόν αν», αφύ η γωνία τριών μιρών είναι κατασκευάσιμη, τότε και η 3n 3k είναι κατασκευάσιμη. Αλλά n (3n 3k,3k) 3(n k,k) 3(n,k) 3. Άρα υπάρχυν ακέραιι a,b ώστε (3n k)a kb 3 και άρα η γωνία 3 n είναι κατασκευάσιμη. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 17

18 Λήμμα 3 (Gauss): Τ καννικό n γων είναι κατασκευάσιμ αν και μόν αν r n είναι της μρφής p p, όπυ p,,p είναι διακεκριμένι πρώτι της 1 k μρφής s 1. 1 k 360 Από τ Λήμμα 3, βρίσκυμε ότι η γωνία και άρα και η γωνία n κατασκευάσιμη αν και μόν αν o n είναι της πι πάνω μρφής. 45 n είναι Αν ισχύυν λιπόν τα (α) και (β), τότε η γωνία 45 n είναι κατασκευάσιμη άρα και η 3 n είναι κατασκευάσιμη και άρα και η m n είναι κατασκευάσιμη. Μένει να δείξυμε τ αντίστρφ. Αν η m n είναι κατασκευάσιμη τότε και η m είναι κατασκευάσιμη άρα τ m είναι πλλαπλάσι τυ 3, δηλαδή τ (α) ισχύει. Ας υπθέσυμε πως τ (β) δεν ισχύει. Από τ (α) και την συνθήκη (m,n) 1 σίγυρα 3 n. Θα εξετάσυμε δυ περιπτώσεις: Α) 5 n: Η γωνία 45 n δεν είναι κατασκευάσιμη και αφύ (45,n) 1, ύτε και η 3 n είναι κατασκευάσιμη, άρα ύτε και η m n είναι κατασκευάσιμη, άτπ. Β) 5 / n : Αφύ η m n είναι κατασκευάσιμη, τότε και η m 5 είναι και αφύ (m,5) 1 και 3 m τότε και η 3 είναι κατασκευάσιμη. Όμως γνωρίζυμε ότι 5 η 45 9 δεν είναι κατασκευάσιμη άρα ύτε και η ΘΕΜΑ 154 (DEMETRES) Να βρεθύν όλες ι ακέραιες λύσεις τις εξίσωσης x y 15. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 18

19 ΘΕΜΑ 155 (DEMETRES) Πέντε σημεία βρίσκνται μέσα σε ένα τετράγων πλευράς μήκυς 1. Να απδείξετε ότι δύ από αυτά τα σημεία απέχυν τ πλύ μεταξύ τυς. ΘΕΜΑ 156 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) 6 Οι ακέραιι αριθμί x,y,z,w,t είναι διαφρετικί ανά δύ και ισχύει: (9 x)(9 y)(9 z)(9 w)(9 t) 1. Να απδείξετε ότι: x y z w t 4. ΘΕΜΑ 157 Μπρύμε να μετασχηματίσυμε ένα ζεύγς (a,b) πραγματικών αριθμών στ (a,b), αν b 0 ή στ (a,b ) αν a 0. b a α) Δείξτε ότι ξεκινώντας από τ ζεύγς (011,) και χρησιμπιώντας την παραπάνω διαδικασία μπρύμε να πάρυμε τ ζεύγς (, 011). β) Δείξτε ότι με όπι τρόπ και να πραγματπιηθεί τ α), σε κάπια στιγμή θα εμφανιστεί ζεύγς πυ περιέχει τ 0. γ) Ξεκινώντας από τ ζεύγς (010,) μπρύμε να πάρυμε τ ζεύγς (1,011); ΘΕΜΑ 158 Οι μη παράλληλες πλευρές ισσκελύς τραπεζίυ έχυν μήκη 10m η κάθε μία, ενώ η περίμετρός τυ είναι 15m. Αν τ ύψς τυ είναι τ 1 της μεγάλης βάσης 9 και ι βάσεις τυ είναι ανάλγες πρς τυς αριθμύς 6 και 5, να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ. ΘΕΜΑ 159 Δίνεται αριθμός 1!! !. α) Να βρείτε πι είναι τ ψηφί των μνάδων τυ. β) Να απδείξετε ότι αριθμός αυτός διαιρείται με τ 3. (Υπενθυμίζυμε ότι συμβλίζυμε: n! 1... (n 1) n και διαβάζετε ν παραγντικό). Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 19

20 ΘΕΜΑ 160 Ένας επιστήμνας και βηθός τυ ανέλαβαν μια έρευνα σε χημικό εργαστήρι από την πία θα εισπράξυν 85116ευρώ. Ο επιστήμνας θα απασχληθεί για 4 μέρες και βηθός τυ για 45 μέρες. Η ημερήσια αμιβή τυ επιστήμνα είναι κατά 40% μεγαλύτερη της ημερήσιας αμιβής τυ βηθύ τυ. Πόσα χρήματα θα εισπράξει καθένας στ τέλς της έρευνας; ΘΕΜΑ 161 Αν a R, a 1 και αν ι πραγματικί αριθμί x,y είναι τέτιι ώστε: 4 x y 1 a a 1 a x xy y και 4 x y 1 a a 1 a x xy y, να πρσδιρίσετε την τιμή τυ x. ΘΕΜΑ 16 Οι πραγματικί αριθμί x,y είναι τέτιι ώστε x 0,y 1 και xy 1 y y x. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή τυ x. ΘΕΜΑ 163 Θεωρύμε τυς πραγματικύς αριθμύς x,y,z,w. Αν αντικαταστήσυμε αυτύς με τυς αριθμύς x x 10, y y 10, z z 10, w w 10 τότε τ άθρισμα των αριθμών x y z w Αν αντικαταστήσυμε τυς x,y,z,w με τυς αριθμύς x 10 x, y 10 y, z 10 z, w 10 w, πόσ θα είναι τ άθρισμα x y z w ; ΘΕΜΑ 164 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Επιλύσατε στυς θετικύς ακέραιυς την εξίσωση πυ ακλυθεί: (x 1)(y 1)(z 1) 3xyz. Μια παρόμια, από τη φετινή τσεχική λυμπιάδα: Βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών (p,q,r) πυ ικανπιύν την εξίσωση (p 1)(q )(r 3) 4pqr. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 0

21 ΘΕΜΑ 165 Γράφυμε στη σειρά τυς αριθμύς από τ 1990 έως και τ Να εξετάσετε αν αριθμός πυ πρκύπτει είναι πρώτς. ΘΕΜΑ 166 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒ Γ ( ΑΒ ΑΓ ). Με διάμετρ την πλευρά ΑΓ γράφυμε κύκλ πυ τέμνει την πλευρά ΒΓ στ Δ. Φέρνυμε ακόμα την Αx κάθετη στην ΑΔ πυ τέμνει τν κύκλ στ Ε. i) Να απδείξετε ότι τ ΑΔ είναι ύψς τυ τριγώνυ ΑΒΓ. ii) Να συγκρίνετε τ εμβαδόν τυ τριγώνυ ΑΒΓ πρς τ εμβαδόν τυ τετραπλεύρυ ΑΔΓΕ. ΘΕΜΑ 167 Στην ημιευθεία Οx θεωρύμε σημεία Α,Β, Γ ώστε (ΟΑ) μ, (ΟΒ) 6μκαι (ΟΓ) 1μ. Αν Δ,Ε,Ζ τα μέσα των ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντίστιχα, να υπλγίσετε τα (ΔΖ) και (ΕΓ). Τι παρατηρείτε; ΘΕΜΑ 168 Δίνεται τρίγων ΑΒ Γ με πλευρές ΑΒ 6, ΒΓ 8 και έστω ΑΜ διάμεσς αυτύ. Η μεσκάθετη της διαμέσυ ΑΜ τέμνει την πλευρά ΑΓ στ σημεί Ε. Αν ι πλευρές ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ είναι ανάλγες πρς τις πλευρές ΕΜ,ΜΓ και ΕΓ τυ τριγώνυ ΕΜΓ αντίστιχα, να βρεθεί τ μήκς της πλευράς ΑΓ. ΘΕΜΑ 169 Στ τέλς τυ Β Παγκσμίυ πλέμυ σε ένα στρατόπεδ βρίσκνται 1997 αιχμάλωτι: Οι 998 είναι Ιταλί και ι 999 είναι Γερμανί. Ο Διικητής τυ στρατπέδυ απφασίζει να απελευθερώσει σταδιακά τυς κρατύμενυς, εκτός από έναν τν πί θα κρατήσει για λίγ καιρό ακόμα στ στρατόπεδ. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

22 Η διαδικασία απόλυσης των κρατυμένων είναι η εξής: Επιλέγνται τυχαία τρεις κρατύμενι και φεύγυν ι δύ. Αν και ι τρεις είναι της ίδιας εθνικότητας, ένας από αυτύς επιστρέφει, ενώ αν είναι διαφρετικής εθνικότητας επιστρέφει αυτός πυ έχει διαφρετική εθνικότητα από τυς άλλυς δύ. Πιας εθνικότητας θα είναι "άτυχς" κρατύμενς; 1.Διφαντική εξίσωση, νμάζεται μια εξίσωση για την πία μας ενδιαφέρυν μόν ι ακέραιες λύσεις της. πχ. 1 Αν μας δώσυν την y από μόνη της, τότε ι περισσότερι από εμάς θα x κιτάξυν ειρωνικά τν συνμιλητή τυς και θα πυν πως αυτή είναι μια συνάρτηση, και άρα από μόνη της αν την δύμε ως εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Αν όμως μας έλεγαν πως είναι διφαντική; Τότε ι λύσεις θα ήταν μόν τα (1,1) και ( 1, 1)..Γραμμική διφαντική εξίσωση, νμάζεται η διφαντική εξίσωση της μρφής a x a x... a x c, όπυ ι αριθμί a και τ c είναι 1 1 n n i σταθερί, γνωστί αριθμί και τα x ι άγνωστι. i Για να εξετάσυμε αν όντως υπάρχυν λύσεις, πρώτα υπλγίζυμε τν μέγιστ κινό διαιρέτη των a. Δηλαδή, τν αριθμό d (a,a,...,a ). i 1 n Αν d / c, υπάρχυν λύσεις. Αν όχι, τότε δεν υπάρχυν. Ας συγκεντρωθύμε όμως στην περίπτωση n. Δηλαδή a x a x c 1 1 ή, για να φαίνεται καλύτερα, ax by c, d (a,b). Πρώτα, βλέπυμε αν d / c όπως περιγράψαμε πι πάνω. Μετά, για ευκλία στυς υπλγισμύς, διαιρύμε και τα δυ μέλη με d. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα

23 a b Οπότε πρκύπτει η ex fy g, όπυ e, f, d d Πρφανώς (e,f ) 1 και 1 / g, πότε υπάρχει λύση. Βρίσκυμε μια λύση, x y y. x και o o c g. d Δεν είναι όμως η μναδική. Συγκεκριμένα, υπάρχυν άπειρες λύσεις. Για να τις βρύμε, απλά κάνυμε αντικατάσταση της λύσης μας στις x x f t και y y e t, o o t Z. Δίνυμε ακέραιες τιμές στ t για να βρύμε τις λύσεις. (κάθε ακέραιη τιμή τυ t δίνει μια λύση) Παράδειγμα. Η διφαντική 6x 15y 1 έχυμε (6,15) 3 και 3 / 1. Άρα υπάρχει λύση. Διαιρύμε δια 3 και τα δυ μέλη, και έχυμε x 5y 7. Πρφανώς μια λύση είναι η x 1, y 1. Με τις αντικαταστάσεις, έχυμε x 1 5t και y 1 t. Δίνντας ακέραιες τιμές στ t έχυμε τις υπόλιπες, άπειρες λύσεις. πχ, στ t 1 έχυμε x 6, y 1. στ t 0 έχυμε x 1, y 1. στ t1έχυμε x 4, y 3 κτλ. ΘΕΜΑ 170 (Ferma_96) Ένας ερασιτέχνης ψαράς, απφασίζει μια μέρα, με ευκαιρία τ ψάρεμα τυ να κάνει κάπιες επισκέψεις στυς φίλυς τυ. Ξεκινάει λιπόν από την θάλασσα όπυ και ψάρευε, παίρνει μαζί τυ τα ψάρια πυ ψάρεψε στην θάλασσα, και πάει να βρει τυς φίλυς τυ. Οι φίλι τυ είναι 3, μένυν σε 3 διαφρετικά σπίτια, και πριν πάει σε κάθε σπίτι πρέπει να περάσει από ένα πτάμι. Σε κάθε πτάμι ψαρεύει, και διπλασιάζει τα ψάρια πυ έχει εκείνη την στιγμή. Ξεκινάει λιπόν για τ πρώτ σπίτι, και περνάει από τ πρώτ πτάμι όπυ ψαρεύει. Φτάνει στν φίλ τυ, στν πί και δίνει λίγα ψάρια. Φεύγει, και περνάει από ένα δεύτερ πτάμι, ψαρεύει, και καταλήγει στν δεύτερ φίλ τυ, στν πί δίνει μια πσότητα ψαριών, ίση με αυτή πυ έδωσε στν πρηγύμεν. Τέλς, περνάει από τ τρίτ πτάμι, ψαρεύει, και δίνει στν τρίτ φίλ τυ μια πσότητα ψαριών ίση με αυτή πυ ήδη έδωσε στν καθένα από τυς δυ πρηγύμενς. Αν τυ περίσσεψε Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3

24 ακριβώς ένα ψάρι, να βρείτε πόσα ψάρια μπρεί να είχε στην αρχή.(όλες τις πιθανές τιμές). ΘΕΜΑ 171 (Ferma_96) Μια κυρία, πάει να αγράσει μήλα, πρτκάλια, και αχλάδια. Τα μήλα είναι 5 ευρώ τ κιλό, τα πρτκάλια 4 και τα αχλάδια 7. Η κυρία κρατάει 100 ευρώ ακριβώς μαζί της. Πηγαίνντας όμως σπίτι της, διαπιστώνει ότι τόσ τα πρτκάλια όσ και τα αχλάδια ήταν κάτι παραπάνω από χαλασμένα. Πάει πίσω στ κατάστημα, βρίσκει τν ιδικτήτη, κάνει θέμα. Αρχίζει να φωνάζει, να απειλεί ότι θα τ πει σε όλη την γειτνιά και δεν θα πατήσει πτέ κανείς ξανά. Ο ιδικτήτης τρμκρατημένς από αυτό τ τελευταί, της ζητάει συγνώμη, την παρακαλάει, και στ τέλς της λέει να κλείσυν μια συμφωνία. Θα της επέστρεφε πίσω τα λεφτά πυ έδωσε για τα πρτκάλια και για τα αχλάδια, και επιπλέν θα της έδινε και 3 ευρώ για κάθε κιλό πρτκαλιών και αχλαδιών πήρε. Αν τ κέρδς τυ ιδικτήτη, μετά από όλη αυτή την ιστρία ήταν μόν17 ευρώ, να βρείτε πόσα κιλά μήλα, πρτκάλια, και αχλάδια μπρεί αγόρασε η κυρία αρχικά. ΘΕΜΑ 17 (KARANUS) Αν n 18 διαιρεί τν αριθμό n 53, n φυσικός, τότε να βρεθεί n ; ΘΕΜΑ 173 Βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών (x,y,z) πυ ικανπιύν την εξίσωση (x 1)(y )(z 3) 4xyz. ΘΕΜΑ 174 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Έστω ρθγώνι τρίγων Α ΒC, o A 90. Αν εγγεγραμμένς κύκλς στ τρίγων Α ΒC, εφάπτεται στην υπτείνυσα BC στ σημεί E και δίννται τα μήκη EB a, EC b υπλγίστε τ εμβαδό τυ τριγώνυ Α ΒC. ΘΕΜΑ 175 Αν για τυς πραγματικύς αριθμύς a,b,c,d ισχύει ότι Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 4

25 a b (a b) c d (c d), να δείξετε ότι a b (a b) c d (c d), Ισχύει τ αντίστρφ; ΘΕΜΑ 176 Αν ι πραγματικί αριθμί x,y,z είναι τέτιι ώστε x y z, y z x, z x y να δείξετε ότι x y z 0 ΘΕΜΑ 177 Αν ι πραγματικί αριθμί x,y,z είναι τέτιι ώστε x y z, y z x, z x y,να δείξετε ότι ένας από αυτύς ισύται με τ άθρισμα των άλλων δύ. ΘΕΜΑ 178 Έστω Mένα σύνλ ακεραίων, τέτι ώστε 0 M (x 6x 9) M xm x M x M.. Να δείξετε ότι: α) υπάρχυν μη μηδενικί και διαφρετικί ανά δύ a,b,c,d M τέτιι ώστε a b c d 0 β) 007 M. ΘΕΜΑ 179 (spiros filippas) Θεωρύμε τ σύνλ M1,,3,...,003. Πόσα υπσύνλα τυ M υπάρχυν με άρτι πλήθς στιχείων; ΘΕΜΑ 180 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Ένα σύνλ έχει n 1 στιχεία. Πι τ πλήθς των υπσυνόλων τυ με n τ πλύ στιχεία; Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 5

26 Λύση: Θεωρείται γνωστό για εκείνυς τυς Juniors πυ δίνυν στυς Μαθηματικύς διαγωνισμύς (πέραν, βέβαια, των πρώτων φάσεων) τ τμήμα εκείν των βασικών εννιών επί των συνόλων: Συμπλήρωμα, τμή, ένωση, αρχή εγκλεισμύ απκλεισμύ, ότι τ πλήθς των n υπσυνόλων ενός συνόλυ με n στιχεία είναι απλή αρχή τυ περιστερώνα. Έτσι ας δύμε την εξής λύση: Κάθε υπσύνλ τυ συνόλυ μας με στιχεία τ πλύ n έχει αντίστιχ συμπληρωματικό ένα σύνλ με τ λιγότερ n 1στιχεία. Σε κάθε σύνλ αντιστιχίζεται ένα συμπληρωματικό (η ένωση τυς δίνει τ σύνλό μας και δεν έχυν τμή δηλαδή είναι αυτό πυ λέμε ξένα μεταξύ τυς). Επμένως τ ζητύμεν πλήθς είναι τ μισό τυ πλήθυς των στιχείων τυ n 1 συνόλυ των υπσυνόλων τυ συνόλυ μας πυ είναι n,δηλαδή είναι. B τρόπς O τρόπς πυ μπρύμε κάθε φρά να πάρυμε k στιχεία από ένα σύνλ στιχείων με n 1 είναι n 1, συνεπώς μας ενδιαφέρει να υπλγίσυμε τ k n 1 n 1 n 1 n 1 άθρισμα είναι...,(πρκύπτει από την 0 1 n αρχή τυ αθρίσματς), πυ είναι τ πλήθς των συνόλων πυ έχυν ως n στιχεία. Όμως από τ δυωνυμικό θεώρημα 0 1 n n 1 n 1 n n. Όμως ισχύει k n k. n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 6

27 n 1 n 1 n 1 n 1 Άρα,...,. Και έτσι τ δεξί μέλς από την n 1 0 n n παραπάνω σχέση ισύται με τ διπλάσι τυ αθρίσματς πυ θέλυμε άρα τ άθρισμα ισύται με n1 n Μια στρατηγική επίλυσης πρβλημάτων συνψίζεται στ εξής: «Αν δεν μπρείς να λύσεις ένα πρόβλημα, τότε βρες και λύσε ένα πι εύκλ πρόβλημα τ πί σχετίζεται με τ αρχικό. ΘΕΜΑ 181 α) Να βρείτε τυς θετικύς ακέραιυς a,b αν ισχύει ab (a,b) β) Ομίως, αν ab 300 7[a,b] 5(a,b) όπυ [a,b] και (a,b) τ ελάχιστ κινό πλλαπλάσι και μέγιστς κινός διαιρέτης των a,b αντίστιχα. ΘΕΜΑ 18 Θεωρύμε τρίγων Α ΒC ρθγώνι στ C και έστω CH τ ύψς από την κρυφή C. Οι διχτόμι των γωνιών ACH και BCH τέμνυν την πλευρά AB στα σημεία K και L αντίστιχα. Αν η περίμετρς τυ τριγώνυ είναι 30 μνάδες και τ μήκς τυ τμήματς KL 4 μνάδες, να βρείτε τ μήκς της υπτείνυσας AB. ΘΕΜΑ 183 α) Βρείτε όλα τα ζεύγη (p,q) πρώτων αριθμών τέτια ώστε 5 p 1 q. β) Ομίως, αν 6 1 p q (p q). Διώνυμ τυ Νεύτωνα: n n(n 1) n(n 1)(n ) n n n1 n n3 3 (a b) a a b a b a b... Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 7

28 n(n 1)... ab 1... (n 1) n1 b n. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ας δώσυμε τώρα μερικά στιχεία θεωρίας τα πία χρησιμπιήθηκαν για τις διάφρες απδείξεις πυ έγιναν πι πάνω, αλλά και μερικά ακόμα πυ ίσως χρειαστύν σε επόμενες πρτεινόμενες ασκήσεις. 1. Αν [a,b] είναι τ ΕΚΠ και (a,b) ΜΚΔ των ακεραίων αριθμών a,b τότε [a,b](a,b) a b.. Αν (a,b) 1, δηλαδή ι αριθμί a,b είναι πρώτι μεταξύ τυς, και αν τότε ι a,b είναι τετράγωνα ακεραίων. 3. Αν pπρώτς και n p / a (δηλ. p διαιρεί τν n a ) τότε n n p / a. 4. a bmodm m / a b (δηλαδή m διαιρεί τν a b). a b c 5. a bmodm ι a,b αφήνυν τ ίδι υπόλιπ όταν διαιρεθύν με τν m. 6. a bmodm b amodm. 7. a bmodm και b cmodm a cmodm. 8. Αν a bmodm και c dmodm,τότε i) a c (b d)modm. ii) a c (b d)modm. iii) a n. n b modm για κάθε n N 9. Αν a c (b c)modmc και c 0 τότε a bmodm. 10. Αν a bmodm και n / m τότε a bmodn a bmod a b mod a bmod3 a b mod9. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 8

29 13. a bmodm a b abmodm. 14. Για κάθε περιττό a ισχύει 15. Αν pπρώτς τότε a 1modp. p 1 p a a 1mod 8 ή a 1mod ή a 1mod4. amodp και αν pδεν διαιρεί τν a, τότε ΘΕΜΑ 184 Δείξτε ότι αριθμύς a,b,c. a b 3a b c, a b b c 4 για όλυς τυς θετικύς πραγματικύς ΘΕΜΑ 185 (CARANUS) o Πρεκτείνυμε την υπτείνυσα ΓΒ ενός ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ,( A 90 ) κατά τμήμα ΒΔ ΒΑ. Η διχτόμς της γωνίας Γ τέμνει την ΑΔ στ Ε. Ο κύκλς (γ) με κέντρ Α και ακτίνα ΑΕτέμνει ξανά την ΕΓ στ Ζ. Να απδειχθεί ότι η ΕΖ χωρίζει τν κύκλ (γ)σε δύ τόξα, από τα πία τ ένα είναι τριπλάσι τυ άλλυ. (Διαγωνισμός ΕΜΕ 000) ΘΕΜΑ 186 Αν a,b,c,d είναι πραγματικί αριθμί τέτιι ώστε (c d)(c d) 0 και a b a b a b a b c d c d c d c d a,b,c,d ισύται με 0. ΘΕΜΑ 187, να απδείξετε ότι ένας τυλάχιστν από τυς Να απδείξετε ότι κάθε εξαψήφις φυσικός αριθμός της μρφής xyzxyz, όπυ x,y,z είναι ψηφία με x 0 διαιρείται με τυς αριθμύς 7,11 και 13. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 9

30 ΘΕΜΑ 188 Κατά πόσυς διαφρετικύς τρόπυς μπρύμε να βάλυμε έναν κόκκιν, δύ μπλε και τρείς πράσινυς βώλυς σε έξι τρύπες πυ βρίσκνται σε ευθεία γραμμή και ισαπέχυν; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Τετράγων και κύβς αθρίσματς με περισσότερυς από δύ πρσθετέυς 1. (a a a... a ) a a... a a a a a... a a 1 3 n 1 n n a a a a... a a... a a. 3 4 n n1 n. (a a... a ) a a... a 3a (a a... a ) n 1 n 1 3 n 3a (a a... a )... 3a (a a... a ) 6 Σ 1 3 n n 1 n1 όπυ Σ, είναι τ άθρισμα όλων των γινμένων των a,a,...,a ανά τρεις. 1 n ΘΕΜΑ 189 Αν σε τρίγων Α ΒC ισχύει BC AB AC, να δείξετε ότι η κρυφή A, τα μέσα των πλευρών AB και AC και τ έκκεντρ I είναι μκυκλικά σημεία. ΘΕΜΑ 190 Αν ι πραγματικί αριθμί a,b,c είναι τέτιι ώστε και a b να βρείτε την τιμή της παράστασης c (a a (b c) b (a c) 011 b). ΘΕΜΑ 191 Αν για τυς θετικύς πραγματικύς αριθμύς a,b,c ισχύει abc 1 να δείξετε ότι a b c 3. b(a b) c(b c) a(c a) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 30

31 ΘΕΜΑ 19 Οι αριθμί 1,,3,4,5χωρίζνται σε δύ μάδες A και B. Είναι αληθές ότι υπάρχυν δύ αριθμί πάντα πυ ανήκυν στην ίδια μάδα και η διαφρά τυς ανήκει στην ίδια μάδα; (ΕΜΕ 1995 Γ Γυμνασίυ) ΘΕΜΑ 193 Αν αριθμός 1a3b διαιρείται με τυς αριθμύς 4 και 9, η μικρότερη τιμή τυ ψηφίυ a είναι: α) 0, β) 1, γ), δ) 8, ε) 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΘΕΩΡΙΑ) (ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίυ, 1995) ΘΕΩΡΗΜΑ 1. Αν a είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερς τυ 1, τότε έχει έναν τυλάχιστν πρώτ διαιρέτη d όπυ d a ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν p είναι πρώτς και a,b είναι φυσικί αριθμί με a,b p τότε p δεν διαιρεί τ γινόμεν a b. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Αν a,b είναι φυσικί αριθμί, p πρώτς και αν p δεν διαιρεί τυς a,b,τότε p δεν θα διαιρεί ύτε τ γινόμεν a b. ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Αν a,b ακέραιι και όχι ταυτόχρνα μηδέν, τότε υπάρχει ΜΚΔ των a,b και μάλιστα αν a bk u με 0 u b τότε (a,b) (b,u), όπυ με (a,b) συμβλίζυμε τν ΜΚΔ των a,b. ΘΕΩΡΗΜΑ 5. Αν a,b είναι ακέραιι όχι ταυτόχρνα μηδέν, τότε υπάρχυν k,n ακέραιι, ώστε (a,b) ka nb. ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Αν (a,b) d τότε: i) a b (, ) 1 d d ii) (ca,cb) cd όπυ c είναι ακέραις, διάφρς τυ μηδενός. ΘΕΩΡΗΜΑ 7. Αν (a,b) 1 και b / ac τότε b / c. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 31

32 ΘΕΩΡΗΜΑ 8. Αν (a,b) 1 και a / c, b / c τότε ab / c. ΘΕΩΡΗΜΑ 9. Αν a,b,c ακέραιι και (a,b) (a,c) 1 τότε (a,bc) 1. ΘΕΩΡΗΜΑ 10. Αν a,b,c ακέραιι τότε (a,b,c) ((a,b),c). (Τ παραπάνω θεώρημα γενικεύεται και για περισσότερυς ακεραίυς) ΘΕΩΡΗΜΑ 11. Αν (a,a ) 1 με 1 i n, τότε (a,a,a,...,a ) 1. i 1 n ΘΕΩΡΗΜΑ 1. Αν a,b,n είναι φυσικί αριθμί τότε n n i) Αν (a,b) 1 θα είναι και (a,b ) 1. ii) Αν n n a / b a / b. k1 k kn ΘΕΩΡΗΜΑ 13. Έστω a είναι φυσικός αριθμός με a p p... p Τότε τ πλήθς των θετικών διαιρετών τυ a είναι 1 n s(a) (1 k )(1 k )(1 k )...(1 k ), ενώ τ άθρισμα των θετικών διαιρετών 1 3 n k 1 1 k 1 k n p 1 p 1 p n τυ a είναι Σ(a).... p 1 p 1 p 1 1 n ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σ(a) a 1 a πρώτς. ΘΕΜΑ 194 Να απδείξετε ότι τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ πρώτυ αριθμύ p με τν 30 δεν είναι σύνθετς. ΘΕΜΑ 195 Αν ι αριθμί p και 8p 1 είναι πρώτι, να βρεθεί p. ΘΕΜΑ 196 Δίννται ι φυσικί αριθμί a,b,c,d ι πίι συνδένται με την σχέση: ab Να απδείξετε ότι αριθμός a b c d είναι σύνθετς. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3 cd.

33 ΘΕΜΑ 197 (ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ) Να πρσδιρίσετε τις τιμές τυ πρώτυ αριθμύ n, ώστε ι αριθμί n,n 10,n 14 να είναι όλι τυς πρώτι. (Ρωσία 1998) ΘΕΜΑ 198 (ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ) Με τα ψηφία 1,4,6,9 και μόν γράφυμε δύ τυχαίυς αριθμύς με αυθαίρετ πλήθς στιχείων (π.χ. 4169, κλπ). Να απδείξετε ότι ανάμεσα σε όλυς αυτύς τυς αριθμύς πυ δημιυργύνται δεν υπάρχυν δύ έτσι,ώστε ένας να διαιρείται με τν άλλ και τ πηλίκ να είναι ίσ με 17. (Βυλγαρία) ΘΕΜΑ 199 Να απδειχθεί ότι αριθμός (ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ) 89 A διαιρείται με τ 13. ( Ρυμανία 1997) ΘΕΜΑ 00 (ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ) Να βρεθεί πρώτς αριθμός p αν 7p 1 n, όπυ n φυσικός μη μηδενικός. (Γερμανία 1991) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 33