Περιεχόμενα διάλεξης

4η Διάλεξη Οπτικές ίνες IΙI Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Περιεχόμενα διάλεξης Ιδιότητες οπτικών ινών ΙΙ Διασπορά Χρωματική Διασπορά Ταχύτητα Ομάδας και Ταχύτητα Φάσης Διασπορά Υλικού Διασπορά Κυματοδηγού Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae

Διασπορά Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Είδη διασποράς Τρόπων (σε πολύτροπες ίνες) Διαφορετικοί τρόποι διαδίδονται με διαφορετική καθυστέρηση στην ίνα Χρωματική (σε ιδανικές μονότροπες ίνες) Διαφορετικές συχνότητες διαδίδονται με διαφορετική ταχύτητα στην ίνα Πόλωσης (σεπραγματικέςμονότροπεςίνες) Διαφορετικές πολώσεις διαδίδονται με διαφορετική ταχύτητα στην ίνα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Pae

What comes out, is not what oes in p IN (t) p OUT (t) fiber p (t) p(t - τ) No chane in t pulse shape t Attenuation only Reduction in pulse enery Attenuation & dispersion Reduction in pulse enery Pulse spreadin τ τ τ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 t t Physical Causes of Dispersion There are two major types of dispersion in optical fibers: Intermodal - only occurs in multimode (MM) fibers, not in sinle mode (SM) - dominant source of dispersion for MM fibers Intramodal - occurs in both SM & MM fibers - dominates in sinle-mode (SM) fibers - consists of: Material dispersion Waveuide dispersion Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Pae 3

Διασπορά τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Intermodal Dispersion Liht is transmitted alon a multimode optical fiber by several modes (ray paths). Each path has a different razin anle associated with it. The distances travelled by the various paths are different, and hence the transit times throuh the fiber also differ. A pulse of liht, even if it is monochromatic, will have a spread of delays and the received pulse will have a wider FWHM. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Pae 4

Intermodal dispersion in step-inde multimode fibers Consider worst case scenario for step-inde MM fiber: n A n shortest path φ c lonest path B Note: the above picture and the analysis to follow assumes meridional rays Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Διασπορά τρόπων στις ίνες βηματικού δ.δ. Προσεγγιστικός υπολογισμός με χρήση γεωμετρικής οπτικής (ίνες μεγάλων διαστάσεων) Ln Ln τ f (7) τs (8) c csinφc (7),(8) Ln Δ τ τs τ f (9) c sinφc n φ Νόμος Snell sin c () n () Ln n n (9) Δ τ () c n n n Δ () Κανονικοποιημένη μεταβολή δ.δ. n n θ a φ c φ n n () L n () Δ τ Δ (3) c n Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae 5

Intermodal dispersion can be minimized by usin raded inde fiber O O O' O'' 999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall) 3 3 3 n n n n n n n Multimode step inde fiber. Ray paths are different so that rays arrive at different times Graded inde fiber. Ray paths are different but so are the velocities alon the paths so that all rays arrive at appro. the same time Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Intermodal dispersion can be minimized by usin raded inde fiber Ray paths in raded inde fiber can be eplained by considerin a stack of thin layers of varyin refractive inde: (a) TIR (b) TIR n decreases step by step from one layer to net upper layer; very thin layers. Continuous decrease in n ives a ray path chanin continuously. (a) A ray in thinly stratifed medium becomes refracted as it passes from one layer to the net upper layer with lower n and eventually its anle satisfies TIR (b) In a medium where n decreases continuously the path of the rays bends continuously. 999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae 6

Intermodal dispersion in step-inde multimode fibers Hence the temporal pulse spread per unit lenth for intermodal dispersion in a multimode fiber is: δ τ L n n c n n This derivation is based on ray theory, so it makes no allowance for the wavelenth of the liht. However, just as attenuation is wavelenth dependent, so is dispersion. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Χρωματική Διασπορά Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Pae 7

Intramodal dispersion Optical sources are not monochromatic: optical power wavelenth λ So we have to consider intramodal dispersion time Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Intramodal (chromatic) dispersion Material Dispersion: Occurs because refractive inde is a nonlinear function of wavelenth (Fi. A). Group velocity of a specific mode is a function of the refractive inde, which causes the various spectral components of a iven mode to travel at different speeds accordin to their wavelenth Is sinificant in sinle-mode fibers, and is made worse by LEDs (which have a bier spectral width than laser diodes). Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Pae 8

Ανακάλυψη διασποράς Isaac Newton (64-77) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Δείκτης διάθλασης c n( ω) υ ( ω ) όπου υω ( ) η ταχύτητα φάσης του κύματος στο υλικό με( ω) c η ταχύτητα φάσης του κύματος στο κενό μ ε Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Pae 9

Δείκτης διάθλασης ΙΙ εω ( ) n( ω) εr ( ω) ε όπου εr ( ω) η σχετική διηλεκτρική (κατ ευφημισμόν) σταθερά Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Πυριτιούχο γυαλί με προσμίξεις Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae

Δείκτης διάθλασης γυαλιών Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Intramodal (chromatic) dispersion Fi.A Refractive inde versus wavelenth for silica Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae

Intramodal (chromatic) dispersion 999 S.O. Kasap, Optoelectronics Input Claddin v (λ) Emitter Core v (λ ) Very short liht pulse Output Intensity Intensity Intensity Spectrum, Δλ Spread, Δ t λ t t λ λo λ t All ecitation sources are inherently non-monochromatic and emit within a spectrum Δλ, of wavelenths. Waves in the uide with different free space wavelenths travel at different roup velocities due to the wavelenth dependence of n. The waves arrive at the end of the fiber at different times and hence result in a broadened output pulse. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Intramodal (chromatic) dispersion Waveuide Dispersion: Occurs because only about 8% of the optical power is confined to the core of a sinle-mode fiber. The liht propaatin in the claddin travels faster. It is insinificant in multimode fibers, whilst for sinle mode, material dispersion is the dominant contribution. {See Fi.B}. Even if there was no material dispersion, waveuide dispersion would still eist; it is caused by the core-claddin structure of the fiber itself. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Pae

Waveuide Dispersion With increasin wavelenth, more of the optical field (i.e. power) penetrates into the claddin: y y Claddin λ > λc λ > λ v Core v > v E(y) Claddin As more of the field is carried by the claddin, the roup velocity increases. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Dispersion for SMFs Dispersion (ps/(nm.km)) - Fi.B: Dispersion for a silica sinle-mode fiber - Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Pae 3

Dispersion Hence for sinle-mode fiber, minimum dispersion is obtained at 3 nm However, minimum attenuation is at 55 nm. The units of dispersion are: ps/(nm.km) Pulse spreadin (in ps) becomes worse with increasin distance (km) and with increasin spectral width of optical source (nm) D σ L σ λ D dispersion, σ rms pulse spread, σ λ rms spectral width of source, L fiber lenth Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Phase & Group Velocity For a dispersive medium, such as sinle-mode fiber, the pulse shape will chane as it moves alon: Apart from some waveuide dispersion, the main cause of the pulse spreadin is material dispersion (nonlinear chane of n with λ) coupled with sources havin finite spectral width. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Pae 4

Phase & Group Velocity All optical sources (includin lasers) have a finite spectral width: Intensity (arbitrary units) λ Δλ: spectral width, FWHM λ Each wavelenth will see a different value of refractive inde, and so travel at different speeds: n λ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Phase & Group Velocity Althouh we mainly deal with wavelenth rather than frequency, for this discussion it will be more convenient to use frequency. We will also consider just two, very closely spaced frequencies within the roup: Intensity (arbitrary units) ω ω ω ω δω ω - ω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Pae 5

Phase & Group Velocity At any iven wavelenth, we can consider the liht to be an electromanetic wave whose electric field is a sinusoidal travellin wave (in the + z direction): E ( z, t) E cos ( kz ωt) () k π λ π ω ω v ( fλ ) T k phase constant anular frequency phase velocity Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Phase & Group Velocity Hence if we take the simplified picture of assumin that our optical source emits two closely spaced frequencies ω and ω, the correspondin waves are: E E cos ( kz ω ) E E cos ( kz ωt) t The superposition (addition) of these two waves ives the total waveform as: E T [ ( k z ω t) + cos ( k z ω )] E cos t Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Pae 6

Phase & Group Velocity Makin use of the trionometric identity: we et: cos α + cos β cos ( α β ) cos ( α + E T E cos cos β ( k k ) z ( ω ω ) ( k + k ) z ( ω ω ) + t t ) () Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 33 Phase & Group Velocity Let: ~ E k ω E T E cos cos [ ( ) ( ) ] k k z ω ω t [ ( k + k ) z ( ω + ω ) t] E T k p ω p [ k z ω t] [ k z ω t] ~ E cos cos p p (3) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 34 Pae 7

Phase & Group Velocity If the frequencies are closely spaced, then: ω ω ω ω p ( ω + ω ) ω ( ω ω ) In other words, ω p >> ω and we can then think of our resultant electric field E T as an amplitude-modulated wave: E T [ k z ω t] [ k z ω t] ~ E cos cos ω p p ENVELOPE Modulation frequency ω CARRIER Carrier frequency ω p Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 35 Phase & Group Velocity Hence E T typically looks like: Normalised field - Time Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 36 Pae 8

Phase & Group Velocity E T [ k z ω t] [ k z ω t] ~ E cos cos p p ENVELOPE CARRIER Velocity of carrier is: v p ω p k p ω k + + ω k ω k Phase velocity (4) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 37 Phase & Group Velocity E T [ k z ω t] [ k z ω t] ~ E cos cos p p ENVELOPE CARRIER Velocity of envelope is: v ω k ω k ω k dω dk Group velocity (5) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 38 Pae 9

Phase & Group Velocity v Normalised field - Time v p The sinal propaates at the roup velocity v. Note: The envelope is not a physical artefact; it represents the maimum ecursion of the wave amplitude. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 39 Phase & Group Velocity v ω kv p From(4): and substitutin into (5): d ω v dk p + k dv dk Now, k π/λ, hence: p (6) dk dλ π λ v k λ v p + k dλ dv p dk dλ v v p dv p λ d λ (7) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Pae

Phase & Group Velocity If the phase and roup velocities are equal, then the envelope will travel at the same speed as the carrier wave, and there will be no dispersion. From equation (7), this implies that the phase velocity should not depend on wavelenth if we are to achieve dispersionless transmission. v v p v v p no dispersion dispersion Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Dispersion Relation The plot between ω and k is known as the dispersion relation. From (5), the radient of this curve will yield the roup velocity: ω ω v p ω k v dω dk k k k k Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Pae

Normal Dispersion In normal dispersion, the roup velocity is less than the phase velocity. ω v v p v < v p normal dispersion k Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 43 Anomalous Dispersion In anomalous dispersion, the roup velocity eceeds the phase velocity. ω v v p v > v p anomalous dispersion k Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 44 Pae

Group Refractive Inde In the contet of optical fibers, imaine we have a fiber with core refractive inde n. In this case, c v p ω (8) k n If we transmit a spread of wavelenths, then we can reard the resultin roup as encounterin a roup refractive inde, and this is defined via: d c v ω (9) dk n n c v () Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 45 Material Dispersion We seen previously that: Optical sources have a finite spectral width This leads to the definition of roup velocity Refractive inde varies (nonlinearly) with wavelenth We will now eamine how these two phenomena combine to yield roup velocity dispersion (material dispersion). Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 46 Pae 3

.5.5 -.5 - -.5.5.5.5.5 -.5 - -.5.5.5 Material Dispersion We previously considered just two, very closely spaced frequencies within the roup emitted by an optical source such as a laser: Intensity (arbitrary units) ω ω ω ω δω ω - ω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 47 Material Dispersion Two closely spaced frequencies:.5.5 ω ω.5.5.5 -.5 - +.5.5.5 -.5 - -.5 carrier (ω + ω )/ -.5 envelope (ω - ω )/.5 -.5 -.5 - Μάθημα HMY 455/69 : Συστήματα και Δίκτυα -.5 Επικοινωνιών με Οπτικές Ίνες.5.5 -.5.5 modulated waveform Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 48 Pae 4

Material Dispersion If we consider the entire spectrum emitted by the source, we still obtain a modulated waveform, with a roup velocity etc. as before. Recall Fourier transform: f ( t) jω t jω t F ( ω ) e dω F ( ω ) f ( t) e dt Time domain ω - δω π Frequency domain F(ω) N.B. This represents optical source spectrum; has a aussian profile ω peak frequency ω + δω ω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 49 Material Dispersion We can think of F(ω) as bein equal to some spectrum G(ω) which is identical in shape, but centred at ω instead of ω : G(ω) F ω ) G ( ω ω ) ( F(ω) - δω δω ω - δω ω ω + δω ω F ( ω ) jω t f ( t) e dt π G ( ω ω ) π π ( t) e j ( ω ω ) t jω t jω t ( t) e e dt dt Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Pae 5

.5.5 -.5 - -.5.5.5 Material Dispersion Hence: Impulse response of: G(ω) f ( t) ( t) e jω t Corresponds to sinusoid at optical frequency ω ives: (t) Note: Fourier transform of a aussian pulse is also aussian in shape Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Material Dispersion In other words, the impulse response associated with the optical source takes on the form of a modulated wavepacket: (t) t f (t) This wavepacket represents a pulse of liht emitted by the optical source, and it contains a rane of frequencies (i.e. wavelenths). We now need to eamine what will happen to the roup velocity of this pulse as it propaates alon a fiber. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Pae 6

Material Dispersion Consider an optical pulse launched into a sinle mode fiber. Due to the spectral width of the source, this pulse consists of a roup of wavelenths which travel at the roup velocity: optical power v d ω dk wavelenth λ λ distance Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 53 Material Dispersion So the time taken for the waveroup to travel a distance L down the fiber is iven by the roup delay τ : L dk τ L () v dω The phase velocity of the peak wavelenth λ is iven by: v p ω k c n Substitutin into () into (): τ dk L k ω n c () dn n + ω dω c dω (3) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 54 Pae 7

Material Dispersion Eqn. (3) shows that the roup delay per unit lenth depends on both n and dn/dω. It is also dependent on the frequency ω. However, we prefer to work with wavelenth λ instead: n n instead of... λ ω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 55 Material Dispersion Given the inverse relationship between frequency and wavelenth (c fλ ωλ/π), we miht epect that: τ L n c dn + ω dω c n dn λ dλ but maybe we should prove this... Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 56 Pae 8

Material Dispersion From (): k n π n ω πf c T c n fλ Hence: k π n λ (4) Comparin with (4) with (): ω n k c λ πc ω (5) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 57 Material Dispersion Now, from (3), the roup delay per unit lenth can be re-epressed as: τ L n c Differentiatin (5) w.r.t. λ : λ dn + ω dω n c πc dλ πc ω dω ω τ L n c dn dλ + ω dλ dω dn λ dλ λ ω (7) (6) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 58 Pae 9

Material Dispersion We previously defined the roup refractive inde: n c/v τ dn n c n λ (7) L dλ Now, knowin that n varies with wavelenth: dn dλ n n v v dispersion In fact, n will also be wavelenth dependent, and the radient of the n vs. wavelenth curve is: dn d n λ (8) dλ dλ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 59 Wavelenth dependence of n and n for fused silica At.3 μm, n has a point of inflection, n is minimum, and the roup velocity is therefore maimum. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Pae 3

Material Dispersion n n dn d n λ dλ dλ dn minimum, i.e. dλ.3 μm λ point of inflection, i.e. d n dλ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Group velocity dispersion (GVD) We know that: An optical source emits a spread of wavelenths centred on λ. This can be represented by a wavepacket which travels at the roup velocity and therefore sees a roup inde n. However, n and thus the roup velocity v and delay τ are all wavelenth dependent. Each different spectral component emitted by the source will travel at different roup velocities, and this GVD is the cause of material dispersion. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Pae 3

Delay difference (per unit lenth) for a wavelenth δλ away from the central wavelenth λ τ τ ( λ ) L L δ τ n τ ( λ + δλ ) c δλ L If the wavelenth difference is sufficiently small, we can nelect second-order terms in a Taylor series epansion to et: τ λ λ + δλ ( λ + δλ ) τ ( λ ) δλ dτ L L dλ λ λ (9) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 63 Material Dispersion From (7): δτ L δλ L dτ dλ τ L λ dn n λ c dλ δτ λ d n () L δλ c dλ Delay difference (per unit lenth) for a wavelenth δλ away from the central wavelenth λ Material dispersion D mat Units: ps/(nm.km) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 64 Pae 3

Material Dispersion D mat λ d n c dλ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 65 Material Dispersion D mat λ d n c dλ The actual sin of D mat does not matter (ecept when dealin with solitons), it simply indicates which wavelenths are faster than others. In fact, the majority of books plot - D mat versus wavelenth, and refer to D mat as the material dispersion, as in the net slide. For a source with an rms spectral width of σ λ, the correspondin rms pulse spread after a fiber lenth L is iven by: σ mat D mat σ L λ () spread in time spread in wavelenth Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 66 Pae 33

Material Dispersion Althouh D mat is zero at.3 μm, we should refer to this as the wavelenth of minimum dispersion, not zero dispersion. Why? Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 67 Προσέγγιση LP όπου ρ w iβ z E Ae e A w β Πλάτος Εύρος δέσμης Σταθερά διάδοσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 68 Pae 34

Σταθερά διάδοσης Η σταθερά διάδοσης εξαρτάται από τη συχνότητα. Με ανάπτυγμα σε σειρά Taylor βn n βω ( ) ω (7) n n! n d β βn (8) n dω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 69 Διάδοση παλμού Ένας παλμός δημιουργείται στην είσοδο της ίνας E ( t,) f( t) (9) E z E e β ω i ( ) z ( ω, ) ( ω,) () π Το φάσμα του παλμού βρίσκεται με μετασχηματισμό Fourier iωt E( ω,) E( t,) e dt () Η διάδοση μιας συχνότητας περιγράφεται από τη σχέση Μετά τη διάδοση, το ΗΠ στο σημείο z βρίσκεται με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier iωt E ( t, z) E ( ω, z) e dω () Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Pae 35

Προσέγγιση ης τάξης Κρατώ τους δύο πρώτους όρους της σειράς Taylor β ( ω) β + βω (3) (),(3) (9) iβz iω( t βz) iβz E t z e E ω e dω f t βz e π () (, ) (,) ( ) Χρόνος διάδοσης παλμού L τ υ (4) όπου όρισα την ταχύτητα ομάδας υ β (5) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Διαφορική καθυστέρηση Ι Για παλμό εύρους ζώνης Δω (4) (5) (8) dτ d L dβ Δ τ Δ ω Δ ω L Δ ω Lβ Δω (6) dω dω υ dω όπου το β ονομάζεται παράμετρος διασποράς της ταχύτητας ομάδας Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Pae 36

Διαφορική καθυστέρηση ΙΙ Εναλλακτική έκφραση, για εύρος ζώνης εκφρασμένο σε μ.κ. Δλ (4) dτ d Δ τ Δ λ LΔ λ DLΔλ dλ dλ υ (7) όπου όρισα την παράμετρο διασποράς d D dλ υ (8) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 73 Σύνδεση D, β d dβ dβ dω D dλ υ dλ dω dλ (5) (8) (9 ) a π c ω λ dω πc dλ λ (9 b) (9 c) (9 b ),(9 c ) π c (9 a) D β (3) λ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 74 Pae 37

Μέγιστη επιτρεπτή διαφορική καθυστέρηση (5),(7) (4) Δτ T R DLΔλ (3) b b Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 75 Αριθμητικό παράδειγμα Αριθμητικά δεδομένα Λύση (πολύτροπο laser) ( μ ) D λ Δ λ 4 nm RL b ps.3 m nm km Gb DΔλ 5 km s δηλ. ένα σήμα.5 Gb/s πάει << km. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 76 Pae 38

Μηχανισμοί χρωματικής διασποράς Παράμετρος χρωματικής διασποράς : D D + D M W (3) D D M W Διασπορά υλικού Διασπορά κυματοδηγού Τα D, D έχουν αντίθετα πρόσημα και μηδενίζονται για λ.3 μm M W ZD Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 77 Βελτίωση χρωματικής διασποράς Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 78 Pae 39

Συμπεράσματα Οι μονότροπες οπτικές ίνες επιτρέπουν τη μετάδοση σημάτων με ψηλούς ρυθμούς μετάδοσης σε μεγάλες αποστάσεις Η εξασθένιση κι η χρωματική διασπορά θέτουν άνω όρια στο ρυθμό σηματοδοσίας και την απόσταση μετάδοσης Οπτικοί ενισχυτές, ίνες με μικρή χρωματική διασπορά κι εξισωτές διασποράς χρησιμοποιούνται για την καταπολέμηση των παραπάνω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 79 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Pae 4

Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια κύματα Πολωτής Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Πόλωση ΗΜ κυμάτων Οι πρωτοπόροι... Auustin Jean Fresnel (788-87) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Pae 4

Πόλωση από ανάκλαση Ι Το φως του ήλιου δεν είναι πολωμένο δηλ. η κατάσταση πόλωσης μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Είναι δυνατόν να δημιουργήσουμε πολωμένο φως από το φως του ήλιου μέσω ανακλάσεως στην επιφάνεια ενός διηλεκτρικού. Όταν το φως προσπίπτει στην επιφάνεια ενός διηλεκτρικού υπό γωνία ως προς την κατακόρυφο, ηκάθετη(ως προς την επιφάνεια του διηλεκτρικού) συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος είναι εξασθενημένη ως προς την οριζόντια συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος. Τοποθετώντας έναν πολωτή κάθετα ως προς την επιφάνεια του διηλεκτρικού μπορούμε να απαλείψουμε την οριζόντια συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος και να μειώσουμε κατά πολύ την ένταση του ανακλώμενου φωτός. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 83 Πόλωση από ανάκλαση Ι Θεωρία Πειραματική επαλήθευση Αυτό φαίνεται στις φωτογραφίες στο δεξί μέρος της διαφάνειας. Η αριστερή φωτογραφία έχει ληφθεί χωρίς πολωτή ενώ η δεύτερη με πολωτή κάθετο ως προς την επιφάνεια του νερού. Στη δεύτερη, η ανάκλαση του ουρανού στην επιφάνεια της λίμνης έχει μειωθεί και φαίνονται τα βότσαλα στο βυθό. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 84 Pae 4

Ορισμός Πόλωσης Ας ορίσουμε τώρα επακριβώς την έννοια της πόλωσης; Θεωρούμε ένα επίπεδο ΗΜ κύμα με διεύθυνση διαδόσεως τον άξονα z κάθετο στο επίπεδο του χαρτιού. Θεωρούμε την κίνηση του ΗΠ σε ένα σημείο z, π.χ. στο επίπεδο του χαρτιού, σε διάφορες χρονικές στιγμές. Πόλωση ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ στο κάθετο στον άξονα διαδόσεως επίπεδο στο σημείο z σε διάφορες χρονικές στιγμές. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 85 Χρονική εξέλιξη ΗΠ Απόλωτο κύμα Ολικά πολωμένο κύμα Ι. Η καμπύλη που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ είναι τελείως ακανόνιστηκαιτοημκύμαονομάζεταιαπόλωτο(ήτυχαίαπολωμένο). ΙΙ. καμπύλη που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ είναι (α) ευθεία γραμμή οπότε η πόλωση ονομάζεται γραμμική (β) κύκλος οπότε η πόλωση ονομάζεται κυκλική (γ) έλλειψη οπότε η πόλωση ονομάζεται ελλειπτική Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 86 Pae 43

Μαθηματική περιγραφή ΗΠ στην είσοδο της οπτικής ίνας r Et (,) Acos t + Acos t yˆ () ( ω ) ˆ ( ω ) y ΗΠ μετά από διάδοση σε απόσταση z στην οπτική ίνα r Etz (, ) Acos t z + Acos t z yˆ () ( ω β ) ˆ ( ω β ) y y Επειδή οι ίνες παρουσιάζουν διπλοθλαστικότητα, δηλ. η σταθερά διάδοσης εξαρτάται από τη διεύθυνση του ΗΠ, μετά από απόσταση z οι συνιστώσες Ε και Ey παρουσιάζουν μια διαφορά φάσης φ(β-βy)z. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 87 E A y y Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Συνιστώσες ΗΠ E A cos t (3) [ ω ] [ ω φ] Ey Aycos t+ (4) Ησυνιστώσα γράφεται: E cosφ cos[ ωt] cos φ (5) A Ησυνιστώσαy γράφεται: [ t ] [ t] [ t] cos ω + φ cos ω cosφ sin ω sin φ (6) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 88 Pae 44

Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Με αφαίρεση κατά μέλη: Ey E cosφ sin[ ωt] sin φ (7) A A y Από την αρχική έκφραση (3) της συνιστώσας : E A E cos[ ωt] sin[ ωt] cos[ ωt] (8) A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 89 Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Υψώνοντας την (7) στο τετράγωνο κι αντικαθιστώντας την (8): y E E E cosφ sin [ ωt] sin φ sin φ (9) Ay A A Φέρνοντας τις συνιστώσες του ΗΠ στο αριστερό μέλος: E y E E y + cosφ sin φ () y y E A A A A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Pae 45

Εξίσωση έλλειψης E y E E y + cosφ sin φ () y y E A A A A Ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης σχηματίζει γωνία α με τον άξονα AA cosφ tan( α ) () A y Ay Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Γραμμική πόλωση I () E E y E E y φ kπ + A A y A A y E E y A A y Ay Ey E () A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Pae 46

π.. γραμμικής πόλωσης φ kπ Για zct Για tct Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 93 Γραμμική πόλωση IΙ () E E y E E y φ ( k + ) π + + A A y A A y E E y + A A y Ay Ey E () A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 94 Pae 47

Κυκλική πόλωση () π E Ey φ ± ( k+ ), A Ay A + A A E + E A y (3) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 95 π φ ( k + ) π.χ. κυκλικής πόλωσης Για zct Για tct π φ ( k + ) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 96 Pae 48

Παράμετροι έλλειψης Ι Λόγος πλατών ΗΠ Ay tan( χ ) (4) A Διαφορά φάσης φ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 97 Παράμετροι έλλειψης ΙΙ Αζιμούθιο AA cosφ tan( α ) () A y Ay Ελλειπτικότητα OB tan( ε ) (5) OA Ey Β Ο ε Α α E Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 98 Pae 49

Αναπαραστάσεις E y Εγκάρσιο ΗΜ κύμα z y Κατάσταση πόλωσης Ey Σφαίρα Poincaré Sz L E ε α E Q H α V ε P Sy S Reference: S. Huard, Polarization of liht, Wiley, 997. R Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 99 Οπτικές ίνες Διασπορά τρόπων πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae 5

Μηχανισμοί διπλοθλαστικότητας Ενδογενείς Εξωγενείς Αναφορά: C. D. Poole and J. Nael, in Optical Fiber Telecommunications IIIA, I. P. Kaminow and T. L. Koch, eds., Ch. 6 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Διάδοσησεισότροπηοπτικήίνα Μια οπτική ίνα με ιδανική κυκλική συμμετρία είναι ένα ολοπερατό φίλτρο που μεταβάλει τη φάση των κυμάτων κατά μία σταθερά β(ω)z. Μπορούμε να αναπτύξουμε σε σειρά Taylor τη σταθερά διάδοσης β(ω) γύρω από την τιμή της στη φέρουσα συχνότητα ω. Γιαμαθηματικάευκολία θεωρήσαμε ω. Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος, η μιγαδική περιβάλλουσα Ĕ του παλμού δεν παραμορφώνεται, μόνο καθυστερεί κατά τ, ενώ η φέρουσα αποκτά μια καθυστέρηση φάσης φ. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. Pae 5

Διάδοσησεισότροπηοπτικήίνα Συνάρτηση μεταφοράς ίνας ( ) () i[ β () + ωβ ()] z T ( ω, z) e Ανάπτυγμα β(ω) πρώτης τάξης Μηδενική εξασθένιση Είσοδος ~ E ( t ) Έξοδος ~ E( t τ ) e iφ φ β () () z () τ β () z Καθυστέρηση φάσης Καθυστέρηση ομάδας n ( n) d β β () dω n ω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μικρού μήκους Μια ρεαλιστική οπτική ίνα μικρού μήκους με διπλοθλαστικότητα είναι ένα ολοπερατό φίλτρο που μεταβάλει τη φάση των κυμάτων με ΗΠ κατά τη διεύθυνση κατά μία σταθερά β (ω)z και των κυμάτων με ΗΠ κατά τη διεύθυνση y κατά μία σταθερά β y (ω)z. Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς της ίνας είναι ένας πίνακας Τ(ω,z). Μπορούμε να αναπτύξουμε σε σειρά Taylor τιςσταθερέςδιάδοσηςβ (ω), β y (ω) γύρω από την τιμή τους στη φέρουσα συχνότητα ω. Για μαθηματική ευκολία θεωρήσαμε ω. Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος, η μιγαδική περιβάλλουσα Ĕ του παλμού τώρα πλέον παραμορφώνεται, διότι η συνιστώσα καθυστερεί κατά τ, ενώ η y συνιστώσα καθυστερεί κατά τ y. Ταυτόχρονα, η φέρουσα αποκτά διαφορετική καθυστέρηση φάσης φ και φ y σε κάθε διεύθυνση, αντίστοιχα. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Pae 5

Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μικρού μήκους e Συνάρτηση μεταφοράς ίνας () + ωβ ()] z Ανάπτυγμα β(ω) πρώτης τάξης Μηδενική εξασθένιση ( ) () i[ β y () y ( z e Εξοδος iφ iφ y E% ( t τ ) e ˆ+ E% ( t τ ) e yˆ ( ) i[ β T () ( ω, z) + ωβ )] E% () tˆ+ E% () tyˆ Είσοδος y y y φ β τ j j () j () j () z β () z Καθυστέρηση φάσης Καθυστέρηση ομάδας n d β ( n) j β j () n dω ω Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Διασπορά πόλωσης (Πεδίο χρόνου) Προσέγγιση πρώτης τάξης Δτ Διαφορική καθυστέρηση ομάδας Differential roup delay (DGD) Η διασπορά πόλωσης είναι μια μορφή τροπικής διασποράς που επηρεάζει τη μετάδοση του σήματος σε μεγάλες αποστάσεις και υψηλούς ρυθμούς σηματοδοσίας. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Pae 53

Διασπορά πόλωσης (Πεδίο συχνοτήτων) A () tˆ+ A() tyˆ Είσοδος y Έξοδος iωτ iφ iωτ iφ y y y A e ˆ + A e yˆ Κάθε φασματική συνιστώσα αποκτά διαφορετική πολωτική κατάσταση στην έξοδο. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μεγάλου μήκους Μοντέλο ίνας Διασύνδεση πλακιδίων καθυστέρησης με αυθαίρετο προσανατολισμό των οπτικών αξόνων Αναπαράσταση στη σφαίρα Poincaré Έξοδος Είσοδος f,,3 f f f 3 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Pae 54

Επίδραση στην απόδοση Φασματική Πυκνότητα Ισχύος Διάγραμμα Οφθαλμού Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Pae 55