Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013 του.σ.) σας αποστέλλουµε τις παρακάτω οδηγίες σχετικά µε τη διδακτέα ύλη των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου. Συγκεκριµένα: Μαθηµατικά ΓΕΝΙΚΑ Η προτεινόµενη διαχείριση της ύλης των Μαθηµατικών της Α Λυκείου έχει σκοπό να υποστηρίξει τον εκπαιδευτικό στην προσπάθεια υλοποίησης των στόχων του ΑΠΣ, αναδεικνύοντας µέσα από συγκεκριµένες αναφορές και παραδείγµατα, το πνεύµα της διδασκαλίας που το διέπει. Στόχος είναι ο εκπαιδευτικός να βοηθηθεί να σχεδιάσει ο ίδιος κατάλληλες για την τάξη του διδακτικές παρεµβάσεις συµβατές µε το ΑΠΣ. Ο προτεινόµενος διδακτικός χρόνος για το κάθε κεφάλαιο είναι ενδεικτικός για να βοηθήσει τον εκπαιδευτικό στο διδακτικό του σχεδιασµό, ώστε να ολοκληρωθεί η ύλη µέσα στη σχολική χρονιά. Η διδακτική διαχείριση που προτείνεται δίνει τη δυνατότητα ορισµένα τµήµατα της διδακτέας ύλης να µπορούν να ολοκληρωθούν και οι αντίστοιχοι διδακτικοί στόχοι να επιτευχθούν, σε χρόνο µικρότερο από τον χρόνο που θα απαιτείτο µε µια παραδοσιακή διδακτική προσέγγιση. Για παράδειγµα, η παράγραφος που αφορά στη µελέτη της συνάρτησης f(x) = αx 2 +βx+γ µπορεί, µε µια καλά σχεδιασµένη δραστηριότητα και κατάλληλη διδακτική διαχείριση, να ολοκληρωθεί πλήρως µέσα στον προβλεπόµενο χρόνο µε τρόπο συµβατό µε το ΑΠΣ. Αντίθετα, σε άλλες περιπτώσεις είναι σαφές ότι ο διατιθέµενος χρόνος δεν είναι επαρκής για να γίνει η διδακτική διαχείριση ολόκληρης της διδακτέας ύλης µιας ενότητας σύµφωνα µε το πνεύµα διδασκαλίας που διέπει το ΑΠΣ. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο εκπαιδευτικός, λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιαιτερότητες της τάξης του και τον διατιθέµενο χρόνο, θα πρέπει να οργανώσει µε τέτοιο τρόπο τη διδασκαλία ώστε να αναδείξει στον καλύτερο δυνατό βαθµό τα στοιχεία που αναφέρονται στο ΑΠΣ. Για παράδειγµα, κατά τη διδασκαλία των κριτηρίων ισότητας τριγώνων ένας εκπαιδευτικός µπορεί να επιλέξει να εµπλέξει τους µαθητές της τάξης του σε µια δραστηριότητα που οδηγεί στην εικασία και στην απόδειξη του 2 ου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ενώ αντίθετα να παραλείψει την απόδειξη του 3 ου κριτηρίου ισότητας, η οποία, αν και παρουσιάζει µαθηµατικό ενδιαφέρον, κρίνει ότι δεν θα προσφέρει ιδιαίτερα στην τάξη του, γιατί θα προκαλέσει σηµαντική δυσκολία. Άλλος εκπαιδευτικός µπορεί να κρίνει διαφορετικά, γιατί θεωρεί ότι η τάξη του έχει άλλες δυνατότητες. Το σηµαντικό σε κάθε περίπτωση είναι να επιδιωχθεί η εννοιολογική κατανόηση µέσα από την ανάπτυξη ουσιαστικής µαθηµατικής δραστηριότητας των ίδιων των µαθητών στην τάξη και όχι απλά η εξάσκηση σε τεχνικές. Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ Ι. Εισαγωγή Το µάθηµα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σηµαντικές µαθηµατικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιµής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά., οι οποίες είναι απαραίτητες για την µετέπειτα µαθηµατική εξέλιξη των µαθητών. Οι µαθητές έχουν έρθει σε µια πρώτη επαφή µε αυτές τις έννοιες σε προηγούµενες τάξεις. Στην Α Λυκείου θα τις αντιµετωπίσουν σε ένα υψηλότερο επίπεδο αφαίρεσης, το οποίο δηµιουργεί ιδιαίτερες δυσκολίες στους µαθητές. Για την αντιµετώπιση αυτών των δυσκολιών προτείνεται να αφιερωθεί ικανός χρόνος στην εµπέδωση των νέων εννοιών, µέσω της ανάπτυξης και σύνδεσης πολλαπλών αναπαραστάσεών τους και στη χρήση τους στην επίλυση προβληµάτων. Επίσης, να αφιερωθεί χρόνος ώστε οι µαθητές να εµπλακούν στην αναγνώριση οµοιοτήτων και διαφορών µεταξύ ιδιοτήτων και διαδικασιών καθώς και σε διαδικασίες γενίκευσης. Οι πολλαπλές αναπαραστάσεις και η σύνδεσή τους µπορούν υποστηριχθούν από ψηφιακά περιβάλλοντα, µε τη βοήθεια των οποίων οι µαθητές µπορούν να εµπλακούν σε ουσιαστικές µαθηµατικές δραστηριότητες. Μέσα από τη διερεύνηση οµοιοτήτων και διαφορών - για παράδειγµα η συσχέτιση των διαδικασιών επίλυσης ή της µορφής των λύσεων εξισώσεων και ανισώσεων, η συσχέτιση ορισµένων ιδιοτήτων των ριζών και των αποδείξεών τους µε αντίστοιχες των απολύτων τιµών - οι µαθητές µπορούν να κατανοήσουν καλύτερα τις σχετικές έννοιες και διαδικασίες. ΙΙ. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο
E.2. Σύνολα Κεφ.1 ο : Πιθανότητες 1.1 ειγµατικός Χώρος-Ενδεχόµενα 1.2 Έννοια της Πιθανότητας (εκτός της υποπαραγράφου «Αξιωµατικός Ορισµός Πιθανότητας») Κεφ.2 ο : Οι Πραγµατικοί Αριθµοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 ιάταξη Πραγµατικών Αριθµών (εκτός της απόδειξης της ιδιότητας 4) 2.3 Απόλυτη Τιµή Πραγµατικού Αριθµού 2.4 Ρίζες Πραγµατικών Αριθµών (εκτός των αποδείξεων των ιδιοτήτων 3 και 4) Κεφ.3 ο : Εξισώσεις 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθµού 3.2 ν Η Εξίσωση x = α 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθµού Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθµού 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Κεφ.5 ο : Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες 5.2 Αριθµητική πρόοδος (εκτός της απόδειξης για το S ν ) 5.3 Γεωµετρική πρόοδος (εκτός της απόδειξης για το S ν ) Κεφ.6 ο : Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης (εκτός της υποπαραγράφου «Απόσταση σηµείων») 6.3 Η Συνάρτηση f(x) = αx+β (εκτός της κλίσης ευθείας ως λόγος µεταβολής) Κεφ.7 ο : Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 7.1 Μελέτη της Συνάρτησης : f(x) = αx 2 7.3 Μελέτη της Συνάρτησης : f(x) = αx 2 +βx+γ ΙΙΙ. ιαχείριση διδακτέας ύλης Εισαγωγικό Κεφάλαιο (Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες) Στο κεφάλαιο αυτό οι µαθητές διαπραγµατεύονται την έννοια του συνόλου καθώς και σχέσεις και πράξεις µεταξύ συνόλων. Ειδικότερα: Όσον αφορά στην Ε.1, αυτή να µη διδαχθεί ως αυτόνοµο κεφάλαιο αλλά να συζητηθεί το νόηµα και η χρήση των στοιχείων της Λογικής στις ιδιότητες και προτάσεις που διατρέχουν τη διδακτέα ύλη (για παράδειγµα στην ιδιότητα α β 0 α 0 και β 0 της 2.1 µπορεί να διερευνηθεί το νόηµα της ισοδυναµίας και του συνδέσµου «και»). Ε.2 Οι µαθητές αντιµετωπίζουν για πρώτη φορά µε συστηµατικό τρόπο την έννοια του συνόλου και των σχέσεων και πράξεων µεταξύ συνόλων. Επειδή η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική, δηλαδή δεν ορίζεται, χρειάζεται να τονισθούν οι προϋποθέσεις που απαιτούνται για να θεωρηθεί µια συλλογή αντικειµένων σύνολο µέσα από κατάλληλα παραδείγµατα (π.χ. το σύνολο που αποτελείται από τα θρανία και τους µαθητές της τάξης, το «σύνολο» των ψηλών µαθητών της τάξης). Η αναπαράσταση συνόλων, σχέσεων και πράξεων αυτών καθώς και η µετάβαση από τη µία αναπαράσταση στην άλλη, µπορούν να υποστηρίξουν την κατανόηση της έννοιας του συνόλου. Οι πράξεις µεταξύ συνόλων είναι ένα πλαίσιο στο οποίο οι µαθητές µπορούν να δώσουν νόηµα στους συνδέσµους «ή» και «και». Ειδικά, όσον αφορά στο σύνδεσµο «ή», να επισηµανθεί η διαφορετική του σηµασία στα Μαθηµατικά από εκείνη της αποκλειστικής διάζευξης που του αποδίδεται συνήθως στην καθηµερινή χρήση του. Οι δραστηριότητες.1,.2 και.3 του ΑΠΣ είναι ενδεικτικές για την εννοιολογική προσέγγιση της έννοιας του συνόλου. Κεφάλαιο 1 ο (Προτείνεται να διατεθούν 8 διδακτικές ώρες) Οι µαθητές έχουν έλθει σε επαφή µε την έννοια της πιθανότητας στις προηγούµενες τάξεις µε εµπειρικό τρόπο. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγονται στην έννοια της πιθανότητας µε τον κλασικό ορισµό και εξασκούνται στο βασικό λογισµό πιθανοτήτων µε χρήση της θεωρίας συνόλων. Ειδικότερα: 2
1.1 Είναι σηµαντικό οι µαθητές να µπορούν να αναγνωρίζουν ένα πείραµα τύχης και να διακρίνουν τις διαφορές που έχει από ένα αιτιοκρατικό πείραµα (προτείνεται η δραστηριότητα.4 του ΑΠΣ), µε στόχο να µπορέσουν στη συνέχεια να αντιληφθούν την ανάγκη εισαγωγής της έννοιας της πιθανότητας για τη µελέτη τέτοιων πειραµάτων. Ο προσδιορισµός και η αναπαράσταση του δειγµατικού χώρου ενός πειράµατος τύχης είναι µια διαδικασία δύσκολη για τους µαθητές, ειδικά όταν αντιµετωπίζουν ένα πείραµα τύχης που πραγµατοποιείται σε δυο ή περισσότερα στάδια. Εργαλεία, όπως το δενδροδιάγραµµα και ο πίνακας διπλής εισόδου, βοηθούν στη µοντελοποίηση ενός πειράµατος τύχης και στην κατασκευή του δειγµατικού χώρου (προτείνεται η.5 του ΑΠΣ). Σηµαντική για την κατανόηση και την επίλυση προβληµάτων είναι, επίσης, η µετάφραση σχέσεων µεταξύ ενδεχοµένων από τη φυσική γλώσσα στη γλώσσα των συνόλων και αντίστροφα (προτείνονται οι δραστηριότητες.6 και.7 του ΑΠΣ). 1.2 Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας προτείνεται να είναι η κατάληξη της µελέτης της σχετικής συχνότητας και όχι να δοθεί απλά ο τυπικός ορισµός (προτείνεται η δραστηριότητα που αντιστοιχεί στο στόχο Πθ4 του ΑΠΣ). Οι κανόνες λογισµού των πιθανοτήτων εισάγονται για πρώτη φορά και, εκτός από τον απλό χειρισµό τους, είναι σηµαντικό να χρησιµοποιηθούν στην επίλυση προβληµάτων που δε θα µπορούσαν να λυθούν µε τον κλασικό ορισµό (π.χ. δραστηριότητα.8 του ΑΠΣ ) Να µην διδαχθεί η εφαρµογή 3 στη σελίδα 36, καθώς και ασκήσεις µε ανισότητες Να µην γίνουν οι ασκήσεις της Β Οµάδας της παραγράφου 1.2 Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 16 διδακτικές ώρες) Στο κεφάλαιο αυτό οι µαθητές επαναλαµβάνουν και εµβαθύνουν στις ιδιότητες του συνόλου των πραγµατικών αριθµών µε στόχο να βελτιώσουν την κατανόηση της δοµής του. Η επανάληψη και περαιτέρω εξάσκηση των µαθητών στον αλγεβρικό λογισµό (αλγεβρικές πράξεις, παραγοντοποίηση, ταυτότητες κ.λ.π.) δεν αποτελεί τον κύριο στόχο αυτού του κεφαλαίου. Ειδικότερα: 2.1 Οι µαθητές συναντούν δυσκολίες στη διάκριση των ρητών από τους άρρητους και γενικότερα στην ταξινόµηση των πραγµατικών αριθµών σε φυσικούς, ακέραιους ρητούς και άρρητους. Οι διαφορετικές αναπαραστάσεις των πραγµατικών αριθµών επηρεάζουν τις παραπάνω διεργασίες. Για το λόγο αυτό προτείνεται να δοθεί έµφαση στη διάκριση των ρητών από τους άρρητους µε χρήση κατάλληλων παραδειγµάτων, όπως οι αριθµοί 4/3, 1.333, 1,010101, 1,1010010001, καθώς και στην ταξινόµηση αριθµών στα βασικά υποσύνολα των 3 4 πραγµατικών αριθµών (όπως 2 π, 6, -1.333 κ.ά.). Παράλληλα, και µε αφορµή τα, 5 παραπάνω παραδείγµατα, µπορεί να γίνει συζήτηση αν το άθροισµα και το γινόµενο δύο ρητών ή δύο άρρητων ή ρητού και άρρητου είναι ρητός ή άρρητος. Σηµαντικό για τον αλγεβρικό λογισµό είναι οι µαθητές να κατανοήσουν τις ιδιότητες των πράξεων. Σε αυτό θα βοηθήσει η λεκτική διατύπωση και η διερεύνηση των ιδιοτήτων καθώς και η αναγνώριση της σηµασίας της ισοδυναµίας, της συνεπαγωγής και των συνδέσµων «ή» και «και», µε ιδιαίτερη έµφαση στις ιδιότητες: α β = 0 α = 0 ή β = 0, α β 0 α 0 και β 0. Να δοθεί έµφαση στις µεθόδους απόδειξης και ιδιαίτερα σε αυτές µε τις οποίες δεν είναι εξοικειωµένοι οι µαθητές, όπως η χρήση της απαγωγής σε άτοπο για την απόδειξη ότι ο 2 είναι άρρητος και του αντιπαραδείγµατος στην απόρριψη του ισχυρισµού: α 2 = β 2 α = β. 2.2 Οι µαθητές, επηρεασµένοι από τη διαδοχικότητα των ακεραίων, συναντούν δυσκολίες στην κατανόηση της πυκνότητας των ρητών αριθµών. Προτείνεται να δοθεί έµφαση στη διερεύνηση της έννοιας της πυκνότητας και της διαδοχικότητας στα βασικά υποσύνολα των πραγµατικών αριθµών (προτείνεται η δραστηριότητα.9 του ΑΠΣ) καθώς και στις οµοιότητες και διαφορές των ιδιοτήτων της ισότητας και της ανισότητας, µε έµφαση στις ισοδυναµίες: α 2 +β 2 = 0 α = 0 και β = 0, ενώ α 2 +β 2 > 0 α 0 ή β 0 και στα σχόλια 1 και 2 της σελ. 56. 2.3 Οι µαθητές έχουν αντιµετωπίσει, στο Γυµνάσιο, την απόλυτη τιµή ενός αριθµού ως την απόστασή του από το µηδέν στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Στην ενότητα αυτή δίνεται 3
ο τυπικός ορισµός της απόλυτης τιµής και αποδεικνύονται οι βασικές ιδιότητές της. Να επισηµανθεί η µέθοδος απόδειξης των ιδιοτήτων των απολύτων τιµών (ότι η ζητούµενη σχέση είναι ισοδύναµη µε µία σχέση που γνωρίζουµε ότι είναι αληθής) και να συζητηθεί η αναγκαιότητα του «πρέπει» ( ) και του «αρκεί» ( ) σε αυτές. Η γεωµετρική ερµηνεία της απόλυτης τιµής ενός αριθµού και της απόλυτης τιµής της διαφοράς δύο αριθµών είναι σηµαντική, γιατί βοηθά τους µαθητές να αποδώσουν νόηµα στην έννοια. Η σύνδεση, όµως, της αλγεβρικής σχέσης και της γεωµετρικής της αναπαράστασης δεν είναι κάτι που γίνεται εύκολα από τους µαθητές και για αυτό απαιτείται να δοθεί σε αυτό ιδιαίτερη έµφαση. Με αυτή την έννοια προτείνεται να µη διδαχθούν, στη γενική τους µορφή, οι: Ix-x 0 I < ρ x (x0 -ρ, x 0 +ρ) x 0 -ρ < x < x 0 +ρ καθώς και Ix-x 0 I > ρ x (-, x0 -ρ) (x0 +ρ, + ) x < x0 -ρ ή x > x 0 +ρ καθώς και η γεωµετρική ερµηνεία αυτών, επειδή είναι πολύ δύσκολο να γίνουν κατανοητά από τους µαθητές σ αυτή τη φάση της αλγεβρικής τους εµπειρίας. Αντίθετα, οι µαθητές µπορούν να ασχοληθούν µε τα παραπάνω µέσα από συγκεκριµένα παραδείγµατα (π.χ. η ανίσωση Ιx-2Ι < 3 σηµαίνει: «ποιοι είναι οι αριθµοί που απέχουν από το 2 απόσταση µικρότερη του 3;» δηλ. Ix-2I < 3 d (x, 2) < 3-1 < x < 5). Προτείνεται, όµως, να γίνει διαπραγµάτευση των σχέσεων IxI < ρ -ρ < x < ρ και IxI > ρ x < -ρ ή x > ρ. H δραστηριότητα.10 του ΑΠΣ υποστηρίζει την παραπάνω προσέγγιση. 2.4 Οι µαθητές έχουν ήδη αντιµετωπίσει, στο Γυµνάσιο, τις τετραγωνικές ρίζες και δυνάµεις µε ακέραιο εκθέτη καθώς και τις ιδιότητες αυτών. Στην ενότητα αυτή γίνεται επέκταση στη ν- οστή ρίζα και στη δύναµη µε ρητό εκθέτη. Να επισηµανθεί η διατήρηση των ιδιοτήτων των δυνάµεων µε ακέραιο εκθέτη και στην περίπτωση του ρητού εκθέτη. Προτείνεται η διαπραγµάτευση απλών ασκήσεων. Για να αναδειχθούν τα πλεονεκτήµατα της χρήσης των ιδιοτήτων των ριζών, έναντι της χρήσης του υπολογιστή τσέπης, προτείνεται µια δραστηριότητα σαν τη.11 του ΑΠΣ. Κεφάλαιο 3 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Στο κεφάλαιο αυτό οι µαθητές µελετούν συστηµατικά και διερευνούν εξισώσεις 1 ου και 2 ου βαθµού. Ως ιδιαίτερη περίπτωση εξετάζεται η εξίσωση x ν = α. Ειδικότερα: 3.1 Οι µαθητές, στο Γυµνάσιο, έχουν διαπραγµατευθεί αναλυτικά την επίλυση εξισώσεων της µορφής αx+β = 0, της οποίας οι συντελεστές α και β είναι συγκεκριµένοι αριθµοί. Συναντούν δυσκολίες στη µετάβαση από την επίλυση µιας τέτοιας µορφής εξίσωσης στην επίλυση της γενικής µορφής αx+β = 0, για δυο κυρίως λόγους: α) είναι δύσκολος ο διαχωρισµός της έννοιας της παραµέτρου από την έννοια της µεταβλητής και β) δεν είναι εξοικειωµένοι µε τη διαδικασία της διερεύνησης γενικά. Για το λόγο αυτό, προτείνεται να δοθεί προτεραιότητα στην αναγνώριση του ρόλου της παραµέτρου σε µια παραµετρική εξίσωση 1 ου βαθµού µέσα από τη διαπραγµάτευση της παραµετρικής εξίσωσης που περιλαµβάνεται στη θεωρία αυτής της παραγράφου (σχολικό βιβλίο, σελ. 80). Για παράδειγµα, µπορεί να ζητηθεί από τους µαθητές να λύσουν την εξίσωση για συγκεκριµένες τιµές του λ (π.χ. λ = 2, λ = 5, λ = 1, λ = -1) και στη συνέχεια να προσπαθήσουν να διατυπώσουν γενικά συµπεράσµατα για κάθε τιµή της παραµέτρου λ. Προτείνεται, επίσης, προς διαπραγµάτευση η δραστηριότητα.12 του ΑΠΣ καθώς και η επίλυση απλών παραµετρικών εξισώσεων και απλών εξισώσεων που ανάγονται σε εξισώσεις 1 ου βαθµού (όπως η άσκηση 10 της Α Οµάδας). Για καλύτερη κατανόηση και εµπέδωση των ιδιοτήτων των απολύτων τιµών, προτείνεται να δοθεί ιδιαίτερη έµφαση σε εξισώσεις, όπως η Ix-5I = -3, την οποία δύσκολα χαρακτηρίζουν οι µαθητές από την αρχή ως αδύνατη. 4
3.2 Η επίλυση εξισώσεων της µορφής x ν = α να περιοριστεί σε απλές εξισώσεις. 3.3 Η επίλυση της εξίσωσης αx 2 +βx+γ = 0, α 0 στη γενική της µορφή µε τη µέθοδο «συµπλήρωσης τετραγώνου» είναι µια διαδικασία που δυσκολεύει τους µαθητές. Προτείνεται να χρησιµοποιήσουν οι µαθητές τη µέθοδο της «συµπλήρωσης τετραγώνου» πρώτα σε εξισώσεις 2 ου βαθµού µε συντελεστές συγκεκριµένους αριθµούς και στη συνέχεια µε τη βοήθεια του εκπαιδευτικού να γενικεύσουν τη διαδικασία. Επίσης, προτείνεται η επίλυση απλών εξισώσεων που ανάγονται σε εξισώσεις 2 ου βαθµού (όπως τα παραδείγµατα 1 και 3) και να δοθεί έµφαση στη µοντελοποίηση και επίλυση προβληµάτων µε χρήση εξισώσεων 2 ου βαθµού (προτείνονται οι δραστηριότητες.13 και.14 του ΑΠΣ). Οι τύποι του Vieta επιτρέπουν στους µαθητές είτε να κατασκευάσουν µια εξίσωση 2 ου βαθµού µε δεδοµένο το άθροισµα και το γινόµενο ριζών της είτε να προσδιορίσουν απευθείας τις ρίζες της (βρίσκοντας δυο αριθµούς που να έχουν άθροισµα S και γινόµενο P). Προτείνεται να ζητηθεί από τους µαθητές, υπό µορφή άσκησης, να προσδιορίσουν αυτούς τους τύπους και να τους χρησιµοποιήσουν στην επίλυση σχετικών προβληµάτων. Κεφάλαιο 4 ο (Προτείνεται να διατεθούν 8 διδακτικές ώρες) Στο κεφάλαιο αυτό οι µαθητές µελετούν συστηµατικά και διερευνούν ανισώσεις 1 ου και 2 ου βαθµού Ειδικότερα: 4.1 Οι µαθητές, στο Γυµνάσιο, έχουν διαπραγµατευθεί αναλυτικά την επίλυση ανισώσεων 1 ου βαθµού µε συγκεκριµένους συντελεστές. Εκτός από τη χρήση της αριθµογραµµής, για την απεικόνιση του συνόλου λύσεων µιας ανίσωσης, προτείνεται να δοθεί έµφαση και στη χρήση των διαστηµάτων των πραγµατικών αριθµών για την παραπάνω απεικόνιση, ως εφαρµογή της αντίστοιχης υποπαραγράφου της 2.2. Να συζητηθούν οµοιότητες και διαφορές ανάµεσα στην εξίσωση και την ανίσωση, ως προς τη διαδικασία της επίλυσης τους και το σύνολο των λύσεών τους. Για καλύτερη κατανόηση και εµπέδωση των ιδιοτήτων των απολύτων τιµών, προτείνεται να λυθούν από τους µαθητές και ανισώσεις όπως οι Ix-5I<-3 ή Ix-5I>-3, των οποίων τη λύση, αν και προκύπτει από απλή παρατήρηση, δεν την αναγνωρίζουν άµεσα οι µαθητές. Προτείνεται επίσης να δοθεί προτεραιότητα στη µοντελοποίηση προβληµάτων µε χρήση ανισώσεων 1 ου βαθµού, όπως για παράδειγµα η άσκηση 11 της Α Οµάδας και οι ασκήσεις 3 και 4 της Β Οµάδας. 4.2 Η διαπραγµάτευση ανισώσεων 2 ου βαθµού γίνεται για πρώτη φορά στην Α Λυκείου. Προτείνεται να δοθεί έµφαση στη διερεύνηση της παραγοντοποίησης του τριωνύµου, όπου γίνεται ξανά χρήση της µεθόδου «συµπλήρωσης τετραγώνου», ώστε να µη δοθούν απευθείας τα συµπεράσµατα αυτής. Στον προσδιορισµό του πρόσηµου του τριωνύµου, παρατηρείται συχνά οι µαθητές να παραβλέπουν το πρόσηµο του συντελεστή του δευτεροβάθµιου όρου ή να συγχέουν το πρόσηµο της διακρίνουσας µε το πρόσηµο του τριωνύµου (π.χ. όταν <0, θεωρούν ότι και το τριώνυµο παίρνει αρνητικές τιµές). Τα παραπάνω προβλήµατα συχνά αντιµετωπίζονται µε διάφορα «τεχνάσµατα» µε τα σύµβολα «+» και «-», ώστε να προσδιορίσουν οι µαθητές το πρόσηµο του τριωνύµου και να επιλύσουν ανισώσεις 2 ου βαθµού. Τέτοιες προσεγγίσεις δε συνδέονται µε την κατανόηση του πότε ένα τριώνυµο παίρνει θετικές και πότε αρνητικές τιµές. Για το λόγο αυτό προτείνεται να δοθεί έµφαση στην κατανόηση της διαδικασίας προσδιορισµού του πρόσηµου του τριωνύµου (π.χ. µέσα από τη µελέτη του προσήµου των παραγόντων του και του συντελεστή του δευτεροβάθµιου όρου, όταν αυτό παραγοντοποιείται) και στη συνέχεια στη χρήση των συµπερασµάτων για την επίλυση ανισώσεων 2 ου βαθµού. Η µοντελοποίηση και επίλυση προβληµάτων µε χρήση ανισώσεων 2 ου βαθµού (π.χ. η δραστηριότητα.15 του ΑΠΣ και η άσκηση 7 της Β Οµάδας) λειτουργούν προς αυτήν την κατεύθυνση. Κεφάλαιο 5 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Στο κεφάλαιο αυτό οι µαθητές εισάγονται στην έννοια της ακολουθίας πραγµατικών αριθµών και µελετούν περιπτώσεις ακολουθιών που εµφανίζουν κάποιες ειδικές µορφές κανονικότητας, την αριθµητική και τη γεωµετρική πρόοδο. Ειδικότερα: 5.1 5
Να δοθεί προτεραιότητα στην αναγνώριση της ακολουθίας ως αντιστοιχίας των φυσικών στους πραγµατικούς αριθµούς και στην εξοικείωση των µαθητών µε το συµβολισµό (π.χ. ότι ο φυσικός αριθµός 1, µέσω µιας ακολουθίας α, αντιστοιχεί στον πραγµατικό αριθµό α 1 που αποτελεί τον πρώτο όρο της ακολουθίας αυτής), δεδοµένου ότι αυτός δυσκολεύει τους µαθητές (προτείνεται η δραστηριότητα.16 του ΑΠΣ ). 5.2 Αρχικά οι µαθητές χρειάζεται να µπορούν να αναγνωρίσουν µε βάση τον ορισµό αν µια συγκεκριµένη ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος (π.χ. η δραστηριότητα.17 του ΑΠΣ). Στη συνέχεια, να προσδιορίζουν το ν-οστό όρο και το άθροισµα των ν πρώτων όρων συγκεκριµένων αριθµητικών προόδων, µε τρόπο τέτοιο που να τους βοηθά να αντιληφθούν κανονικότητες, οι οποίες µπορούν να τους οδηγήσουν στα γενικά συµπεράσµατα (προτείνεται η δραστηριότητα.18 του ΑΠΣ). Η µοντελοποίηση και επίλυση προβληµάτων (όπως η άσκηση 12 της Α Οµάδας) συµβάλλει στην εννοιολογική κατανόηση της έννοιας της αριθµητικής προόδου. Το να δοθούν απλώς οι τύποι του ν-οστού όρου και του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων αριθµητικής προόδου και στη συνέχεια οι µαθητές να επιδοθούν στην αλγοριθµική χρήση τους για την επίλυση ασκήσεων δεν είναι συµβατό µε το πνεύµα του ΑΠΣ. 5.3 Η διαπραγµάτευση της έννοιας της γεωµετρικής προόδου προτείνεται να γίνει κατ αντιστοιχία µε την έννοια της αριθµητικής προόδου. Προτείνονται οι δραστηριότητες.19,.20 και.21 του ΑΠΣ, που στόχο έχουν να αντιληφθούν οι µαθητές κανονικότητες που θα τους οδηγήσουν στην εύρεση του ν-στού όρου και του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων γεωµετρικής προόδου. Αν ο εκπαιδευτικός κρίνει ότι το επιτρέπουν ο χρόνος, που έχει στη διάθεσή του και το επίπεδο της τάξης, θα µπορούσαν να τεθούν υπό διαπραγµάτευση, τα παραδείγµατα της 5.4, ως εφαρµογή της γεωµετρικής προόδου, µε στόχο να συνδεθεί η έννοια µε πραγµατικές καταστάσεις. Κεφάλαιο 6 ο (Προτείνεται να διατεθούν 9 διδακτικές ώρες) Οι µαθητές, στο Γυµνάσιο, έχουν έρθει σε επαφή µε την έννοια της συνάρτησης, κυρίως µε εµπειρικό τρόπο, και έχουν διερευνήσει στοιχειωδώς συγκεκριµένες συναρτήσεις. Στην Α Λυκείου µελετούν την έννοια της συνάρτησης µε πιο συστηµατικό και τυπικό τρόπο. Σε πολλούς µαθητές δηµιουργούνται παρανοήσεις και ελλιπείς εικόνες σχετικά µε την έννοια αυτή, µε αποτέλεσµα να παρουσιάζουν προβλήµατα στην αναγνώριση µιας συνάρτησης, καθώς και να µη µπορούν να χειριστούν µε ευελιξία διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας συνάρτησης (π.χ. πίνακας τιµών, αλγεβρικός τύπος, γραφική παράσταση). Για το λόγο αυτό θα πρέπει οι µαθητές, µέσω κατάλληλων δραστηριοτήτων, να χρησιµοποιούν, να συνδέουν και να ερµηνεύουν τις αναπαραστάσεις µιας συνάρτησης καθώς και να εντοπίζουν πλεονεκτήµατα και (ενδεχοµένως)µειονεκτήµατα καθεµιάς εξ αυτών. Οι έννοιες «κατακόρυφη - οριζόντια µετατόπιση καµπύλης», «µονοτονία ακρότατα - συµµετρίες συνάρτησης», δεν συµπεριλαµβάνονται στη διδακτέα ύλη, όπως αναπτύσσονται στις παραγράφους 6.4 και 6.5. Οι έννοιες αυτές θα µελετηθούν στις ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων της µορφής: f(x) = αx+β ( 6.3), f(x) = αx 2 ( 7.1) και f(x) = αx 2 +βx+γ ( 7.3). Ειδικότερα: 6.1-6.2 Προτείνεται να δοθούν αρχικά συγκεκριµένα παραδείγµατα µοντελοποίησης καταστάσεων, ώστε να αναδειχθεί η σηµασία της έννοιας της συνάρτησης για τις εφαρµογές, και στη συνέχεια να ακολουθήσει ο τυπικός ορισµός. Να δοθεί έµφαση στην αναγνώριση και τεκµηρίωση, µε βάση τον ορισµό, αν αντιστοιχίες που δίνονται µε διάφορες αναπαραστάσεις είναι συναρτήσεις ή όχι (οι δραστηριότητες.22,.23 και.24 του ΑΠΣ λειτουργούν προς αυτήν την κατεύθυνση), στη σύνδεση διαφορετικών αναπαραστάσεων µιας συνάρτησης (τύπος, πίνακας τιµών και γραφική παράσταση) και στην ερµηνεία µιας δεδοµένης γραφικής παράστασης για την επίλυση ενός προβλήµατος (προτείνεται η δραστηριότητα.26 του ΑΠΣ). 6.3 Οι µαθητές έχουν διαπραγµατευθεί τη γραφική παράσταση της ευθείας ψ = αx+β στο Γυµνάσιο. Εδώ προτείνεται να δοθεί έµφαση στη διερεύνηση του ρόλου των παραµέτρων α και β στη γραφική παράσταση της f(x) = αx+β, ώστε να προκύψουν οι σχετικές θέσεις ευθειών στο επίπεδο (πότε είναι παράλληλες µεταξύ τους, πότε ταυτίζονται, πότε τέµνουν τον άξονα y y στο ίδιο σηµείο). 6
Επίσης προτείνεται, αφού οι µαθητές παρατηρήσουν (µε χρήση της γραφικής παράστασης και του πίνακα τιµών συγκεκριµένων γραµµικών συναρτήσεων) πώς µεταβάλλονται οι τιµές της συνάρτησης όταν µεταβάλλεται η ανεξάρτητη µεταβλητή, να καταλήξουν σε γενικότερα συµπεράσµατα που αφορούν στη µονοτονία της συνάρτησης και να τα εκφράσουν συµβολικά, καθώς και να διερευνήσουν το ρόλο της παραµέτρου α σε σχέση µε αυτά (προτείνεται η δραστηριότητα.27 του ΑΠΣ). Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 9 διδακτικές ώρες) Οι µαθητές, στο Γυµνάσιο, έχουν µελετήσει παραβολές της µορφής ψ = αx 2. Στο κεφάλαιο αυτό µελετούν επιπλέον ιδιότητες αυτής της συνάρτησης. Επίσης, µε αφετηρία την ψ = αx 2, κατασκευάζουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx 2 + βx + γ την οποία στη συνέχεια χρησιµοποιούν για να µελετήσουν ιδιότητες της f. Ειδικότερα: 7.1 Οι µαθητές έχουν διαπραγµατευθεί, στο Γυµνάσιο, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αx 2. Εδώ προτείνεται να δοθεί έµφαση στη διερεύνηση ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και τις συµµετρίες των συναρτήσεων g(x) = x 2 και h(x) = -x 2 µε τη βοήθεια της γραφικής παράστασής τους, στη γενίκευση των παραπάνω συµπερασµάτων για τη συνάρτηση f(x) = αx 2 (προτείνεται η δραστηριότητα. 29 του ΑΠΣ) και στη συµβολική τους έκφραση. 7.3 Να δοθεί έµφαση στη χάραξη και διερεύνηση της γραφικής παράστασης συγκεκριµένων πολυωνυµικών συναρτήσεων της µορφής f(x) = αx 2 +βx+γ µέσω κατάλληλων µετατοπίσεων της g(x) = αx 2 και στη µελέτη της µονοτονίας, των ακρότατων και της συµµετρίας της συνάρτησης µε τη βοήθεια της γραφικής της παράστασης. Επίσης, να γίνει γεωµετρική ερµηνεία των συµπερασµάτων των 3.3 και 4.2 (ρίζες και πρόσηµο τριωνύµου) µε τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = αx 2 +βx+γ (προτείνεται η δραστηριότητα.32 του ΑΠΣ). Ειδικότερα, όσον αφορά στη χάραξη της γραφικής παράστασης και στη µελέτη της συνάρτησης f(x) = αx 2 +βx+γ, η ιδέα που βρίσκεται και πίσω από τη δραστηριότητα.30 του ΑΠΣ είναι η εξής: Οι µαθητές, µε τη βοήθεια λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας, χαράσσουν τη γραφική παράσταση της g(x) = αx 2 για διάφορες τιµές του α. Τη µετατοπίζουν κ µονάδες οριζόντια για διάφορες τιµές του κ (π.χ. κατά 3 µονάδες αριστερά, κατά 4 µονάδες δεξιά) και παρατηρούν τη µορφή που παίρνει ο τύπος της συνάρτησης. Στη συνέχεια τη µετατοπίζουν λ µονάδες κατακόρυφα για διάφορες τιµές του λ (π.χ. κατά 2 µονάδες κάτω, κατά 5 µονάδες πάνω) και κάνουν ανάλογες παρατηρήσεις. Συνδυάζοντας τις δύο µετατοπίσεις µπορούν να παρατηρήσουν ότι η συνάρτηση που θα προκύψει θα είναι της µορφής f(x) = α(x+κ) 2 +λ. Τέλος, δίνονται στους µαθητές συγκεκριµένες συναρτήσεις της µορφής f(x) = αx 2 +βx+γ και εκείνοι προσπαθούν, µε κατάλληλες µετατοπίσεις της g(x) = αx 2, να οδηγηθούν στη γραφική παράσταση της f. Στη συνέχεια µελετούν, µε τη βοήθεια της γραφικής της παράστασης, ιδιότητες της f και επεκτείνουν τα συµπεράσµατα που αφορούν στη µονοτονία, στα ακρότατα και στις συµµετρίες της g(x) = αx 2 στην f(x) = αx 2 +βx+γ. 7