ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

Transcript

1 Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f( ) = α + β+ γ = 0, α 0 Η έντυπη μορφή διατίθεται δωρεάν στους μαθητές των τμημάτων Α και Α του 3ου ΓΕΛ Αγίου Δημητρίου. Σε ηλεκτρονική μορφή θα το βρείτε στη διεύθυνση gkollias.mysch.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 50 ασκήσεις επανάληψης και Θέματα εξετάσεων

2 ΑΣΚΗΣΗ f( ) = 8+ 5 και η παράσταση Α= 3 5 ( 4). α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι κάτω από τον άξονα, να αποδείξετε ότι (3,5) β) Η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του. ΑΣΚΗΣΗ λ R f( ) = και η παράσταση Π = λ + με α) Να βρείτε το σύνολο ( πεδίο ) ορισμού Α, της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε Π A. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) = 3, ορισμένη στο διάστημα [, 5], η g ( ) = f( + ) και η h ( ) = ( g ( ) + ) 6. Να βρείτε : α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g β) Τις συντεταγμένες των σημείων στα οποία τέμνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης h τους άξονες. ΑΣΚΗΣΗ 4 g ( ) = ( ) ( + ) 0 03 Να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της g με τους άξονες. β) Τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της g που είναι πάνω από τον άξονα Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός

3 ΑΣΚΗΣΗ < 0 f( ) = 5 0. Να βρείτε τις τιμές: f( f()), f( f( 3)), f( f( f())) ΑΣΚΗΣΗ 6 τέτοιοι ώστε β < 3γ. f( ) β = + + γ, όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί, Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα ΑΣΚΗΣΗ 7 3 f( ) =. + < Να λυθεί η εξίσωση 3 f( ) = 4. ΑΣΚΗΣΗ 8 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, και ισχύει : f(+ ) = ( ) ( + 3) Να βρείτε την τιμή της f για = 3 ΑΣΚΗΣΗ 9 Η συνάρτηση f ορίζεται στο R και ισχύει: f( ) + f( ) = 3 για κάθε R Να αποδείξετε ότι f( ) = ΑΣΚΗΣΗ 0 Η συνάρτηση f ορίζεται στο R και ισχύει : af ( ) + β f (3 ) = 5 3, f() = 5, f() =. Να βρείτε: α) Τους αριθμούς α και β β) Την f( ) Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός

4 ΑΣΚΗΣΗ Η συνάρτηση f ορίζεται στο R και για κάθε ισχύει : f ( ) + f( ) + = + Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα yy ΑΣΚΗΣΗ f( ) β = + + γ, βγ, R με β γ β < 0, 0 < 4 <. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε δύο διαφορετικά σημεία με θετικές τετμημένες. ΑΣΚΗΣΗ 3 Η συνάρτηση f ορίζεται στο R και για κάθε y, ισχύει : f( + y) = f( ) + f( y) Να αποδείξετε : α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) f( ) = f( ) ΑΣΚΗΣΗ 4 A= k + k k f( ) = και η παράσταση Αν το k ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να αποδείξετε ότι 4< A 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 f( ) = +. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού, A f, της συνάρτησης f. Αποδείξτε ότι για κάθε Af, οι τιμές της f ανήκουν στο διάστημα [,] Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 3

5 ΑΣΚΗΣΗ 6 g ( ) = + 3+ α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να αποδείξετε ότι : ΑΣΚΗΣΗ 7 g() g (0) + = 4 g (0) g() Να βρείτε το πεδίο ορισμού για κάθε μία από τις συναρτήσεις : f( ) = s ( ) =,, g ( ) = + +, 5 5 k ( ) =, r ( ) = 5 h ( ) =, + ΑΣΚΗΣΗ 8 Να λύσετε τις εξισώσεις : 3 α ) = 3 β ) ( ) = 8 ε ) + α+ a = 0 στ) = + αβ α β ) 4 γ = δ) 3 = 0 ΑΣΚΗΣΗ 9 Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 6 3 ( ) 7( ) 8 0 = β) γ) + = 0 δ) = 0 ( ) 5( ) = ΑΣΚΗΣΗ 0 Να λύσετε τις εξισώσεις ( + ) + + = 0 4 ( α + ) + α = 0 = α 4α = 0 γ + ( αγ βγ ) αβ = 0, γ 0 ( ) = 4 3 = = 0 + = 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 4

6 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : α) + k 3k = 0 β) 3 4k + k = 0 k R γ) k + k + k = 0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις ανισώσεις : α) ( + ) + + < 0 β) ( ) > 4 4 γ) 3α 4α < 0 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρείτε τον y συναρτήσει του, όταν : α) 4 8y 5y = 0 β) 7y + 3y = 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 α β Αν α, β πραγματικοί αριθμοί ώστε να είναι α > 0, β 0 και β + α =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ΑΣΚΗΣΗ 5 + α+ β = 0, έχει δυο ίσες ρίζες. Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί, y, για τους οποίους ισχύει y =, να αποδείξετε ότι y ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η εξίσωση + λ+ λ = 0, όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να αποδείξετε ότι έχει λύση για κάθε λ R β) Για ποιες τιμές του λ έχει μια διπλή λύση ; γ) Αν, είναι οι άνισες ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το λ ώστε να ισχύει : + + = Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 5

7 ΑΣΚΗΣΗ 7 + a 5 < 0 f( ) = 5 0 Αν ισχύει, f( ) + 5 f( f()) = 0. α) Να αποδείξετε ότι α = β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A= f() + f ν (4), όπου ν φυσικός αριθμός. ΑΣΚΗΣΗ 8 f( ) = k + 4 3, όπου κ θετικός αριθμός. α) Να βρείτε το σύνολο ( πεδίο ) ορισμού της συνάρτησης. β) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Ρ (, ) να βρείτε το κ ΑΣΚΗΣΗ 9 f ( ) = k ( k + ), με k R Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f, τέμνει τον άξονα σε δύο μόνο σημεία με ετερόσημες τετμημένες, για κάθε τιμή του κ ΑΣΚΗΣΗ 30 Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων : 3 5(5 ) + ( ) < 0 και ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων : > < < 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 6

8 ΑΣΚΗΣΗ 3 3 Δίνεται η εξίσωση: k( + 3) + ( + ) = 3 k ( ) + ( k+ ), όπου k πραγματικός αριθμός α) Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του k β) Αν k > να αποδείξετε ότι η λύση της εξίσωσης είναι θετικός αριθμός. ΑΣΚΗΣΗ 33 Έστω η εξίσωση 6αβ 0 + =, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό, ρ = α + β, να αποδείξετε ότι α = β = ΑΣΚΗΣΗ 34 f, που ορίζεται στο R και για κάθε ισχύει : f(4 3) = + 0 f(5) Να αποδείξετε ότι : α) f (5) = 7 β) + 9 f( ) = ΑΣΚΗΣΗ 35 Δίνεται η εξίσωση, (ε) : πραγματικοί αριθμοί. a = a a + a λ λ ( ) ( ), όπου α, λ Α) Να λυθεί η εξίσωση (ε) για κάθε τιμή της παραμέτρου α Β) Αν λ < 0, να αποδείξετε ότι η μοναδική λύση της εξίσωσης (ε) είναι θετικός αριθμός Γ) Αν λ 0, και η μοναδική λύση της εξίσωσης (ε) είναι = να αποδείξετε ότι α = ΑΣΚΗΣΗ 36 Δίνεται η εξίσωση, (ε) : αριθμός. a a a a = + ( )( + + 5), όπου α πραγματικός Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 7

9 Α) Να λυθεί η εξίσωση (ε) για κάθε τιμή της παραμέτρου α Β) Να αποδείξετε ότι η μοναδική λύση της εξίσωσης (ε) είναι θετικός αριθμός Γ) Αν η μοναδική λύση της εξίσωσης (ε) είναι βρείτε τις τιμές του α. ΑΣΚΗΣΗ 37 = να Δίνεται το τριώνυμο P ( ) = + ( λ λ ), όπου λ αρνητικός πραγματικός αριθμός. Α) Να αποδείξετε ότι P ( ) > 0 για κάθε R Β) Αν P() = λ λ+ να βρείτε τις τιμές του λ. ΑΣΚΗΣΗ 38 Δίνεται η παράσταση A ( ) = + 3 με [, ] Α) Να αποδείξετε ότι A ( ) = + 4 Β) Να λύσετε την ανίσωση 4 A ( ) + 3 ΑΣΚΗΣΗ 39 Αν η εξίσωση λ + = µ + λ + µ, έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ + µ = µ ( + ) + λ, είναι αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ 40 Έστω οι παραστάσεις A = και Να αποδείξετε ότι : α) A = 6 και β) AB = B = B = 9 4. Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 8

10 ΑΣΚΗΣΗ 4 a 3 Τα κλάσματα A = και B =, να γραφούν σε ισοδύναμα με a + 3 ρητό παρανομαστή. ( Δίνεται ότι a 0 και a ) ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω η εξίσωση - + λ = 0, με λ πραγματικό αριθμό. α) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση έχει δυο ίσες και πραγματικές ρίζες. β) Για λ = να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. ΑΣΚΗΣΗ 43 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) = 0 β) 4 4 = 0 γ) = 0 ΑΣΚΗΣΗ 44 Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ R ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να έχουν πραγματικές και ίσες ρίζες. α) β) γ) δ) ( 3) λ+ λ + = ( λ + ) + 9 = 0 λ λ λ ( + 3) + + = 0 ( λ+ ) + λ+ 3 = 0 ΑΣΚΗΣΗ 45 Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού μ οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές και άνισες ρίζες : α) + µ + µ + 3= 0 β) ( µ + 3) µ + 4 = 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 9

11 ΑΣΚΗΣΗ 46 Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού μ οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες : α) (4µ + ) + µ = 0 β) + ( µ ) + µ = 0 γ) ( µ + ) + µ + µ = 0 ΑΣΚΗΣΗ 47 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης - 5 = 0, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: β) α) γ) ( ) δ) + ε) + στ) ζ) η) ΑΣΚΗΣΗ 48 Δίνεται η εξίσωση : λ λ 5= 0 με ρίζες και. Να βρείτε το λ R ώστε ( ) ( ) = 4 ΑΣΚΗΣΗ 49 Δίνεται η εξίσωση : Να βρείτε το ( β + ) + β = 0 με ρίζες ρ και ρ. β R ώστε ρ ρ = ΑΣΚΗΣΗ 50 Για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση + (λ+ ) + λ 3 = 0 έχει : α) ρίζες πραγματικές και ίσες β) ρίζες αντίστροφες γ) ρίζες αντίθετες δ) ρίζα τον αριθμό - ε) γινόμενο ριζών ίσο με 6 στ) ρίζες και που ικανοποιούν την σχέση < 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 0

12 ΑΣΚΗΣΗ 5 Αν, οι ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού με ρίζες τις : , να σχηματίσετε εξίσωση α) ρ = και ρ = β) ρ = και ρ = ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ R ώστε η εξίσωση ( µ + 5) + µ 4 = 0 να έχει δυο ρίζες ετερόσημες ΑΣΚΗΣΗ 53 Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ R ώστε η εξίσωση (μ+ ) + 4 = 0, να έχει: α) Δύο ρίζες θετικές και άνισες. β) Δύο ρίζες αρνητικές. ΑΣΚΗΣΗ 54 Δίνεται η εξίσωση : 6 + = 0 με ρίζες και. k Να βρείτε το k R ώστε : + 5 = 8 ΑΣΚΗΣΗ 55 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ, ώστε η ανίσωση µ + µ + < να ισχύει για κάθε R. ( 4) ΑΣΚΗΣΗ 56 Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ( 3, 4 ) και είναι παράλληλη στην ευθεία 3-5y + 6 = 0. Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός

13 ΑΣΚΗΣΗ 57 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (, - ) 0 και σχηματίζει με θετικό ημιάξονα ο γωνία 60. ΑΣΚΗΣΗ 58 Να βρείτε την τιμή του α ώστε η ευθεία y = ( α + ) 5 να είναι παράλληλη με την ευθεία y + 6 = 0. ΑΣΚΗΣΗ 59 Δίνεται η ευθεία ( ε ), ώστε η ευθεία ( ε ) k 3( k) y = + με k 0. Να βρείτε τον αριθμό κ k k α) Να είναι παράλληλη στην ευθεία y = β) Να είναι παράλληλή στην ευθεία y = + 5 γ) Να διέρχεται από το σημείο P(3, ) ΑΣΚΗΣΗ 60 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α ( -, ) και Β (, 3 ) ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω το σημείο A( kk, ) με k R. Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία που προκύπτουν για τις διάφορες τιμές του αριθμού k, ανήκουν σε ευθεία γραμμή της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α (, ), Β ( -, - ) και Γ ( 3, 3 ) είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ 63 Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y = ( k+ ) + k 3 με k R. Να βρείτε την τιμή του k ώστε: Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός

14 Να σχηματίζει με τον άξονα γωνία Να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 0 ΑΣΚΗΣΗ 64 Η ευθεία y = ( k ), k R, τέμνει τους άξονες, yy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων και το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι 8 τ.μ, να βρείτε τις τιμές του k ΑΣΚΗΣΗ 65 Αν α, β, γ είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι η εξίσωση a γ ( + ) β ( + ) = 0, δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 66 Δίνεται η εξίσωση, k + ( ) + 8 = 0 με k πραγματικό αριθμό. Να βρείτε τον αριθμό k, ώστε η εξίσωση να έχει δύο πραγματικές ρίζες, ρ, ρ, τέτοιες ώστε ρ = ρ ΑΣΚΗΣΗ 67 Δίνεται η εξίσωση (8k 3) 8k 0 + =, με k πραγματικό αριθμό. α) Για ποιες τιμές του k έχει μοναδική ρίζα? Ποια είναι η ρίζα της εξίσωσης? β) Για ποιές τιμές του k έχει δύο ίσες ρίζες? Ποια είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης? ΑΣΚΗΣΗ 68 Να λυθούν οι εξισώσεις : α) β) γ) δ) ε) + 5 = + 9 ( + 6 7) 6= = 0 ( + )( + + ) = 4 4 ( + ) ( 4+ 4) 8 = 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 3

15 ΑΣΚΗΣΗ 69 Να λύσετε την εξίσωση k + k = 3+ k +, για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού k. ΑΣΚΗΣΗ 70 Αν για κάθε R, ισχύει η εξίσωση ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η εξίσωση, 4 4 3k k (3 ) 0, k + k > k R, να αποδείξετε ότι + =, έχει δύο άνισες και θετικές ρίζες. k + + = 0. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού k, έχει τέσσερεις πραγματικές και άνισες ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται οι εξισώσεις k ( + ) 4 = 0 ( Ι ) και k 3= 0 ( ΙΙ ). A. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις ( Ι ) και ( ΙΙ ), έχουν πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού k. B. Αν οι ρίζες της ( Ι ) είναι ρρ, και της ( ΙΙ ) ρρ, με ρ < ρ, τότε να βρείτε : α) Τη διαφορά ρ ρ β) την κοινή ρίζα ρ γ) το άθροισμα ρ+ ρ, δ) τις ρίζες ρ, ρ και τον αριθμό k ΑΣΚΗΣΗ 73 Δίνεται η εξίσωση ( k ) 4 = 0, με k R α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε k R β) Αν ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης και ρ > ρ, να βρείτε την τιμή του k, ώστε ρ ρ = 5 γ) Να βρείτε την τιμή του k, ώστε η εξίσωση να έχει αντίθετες ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 74 Δίνεται η εξίσωση + + =, k R 3 (3k ) 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 4

16 α) Για ποιες τιμές του k η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. β) Αν ρ, ροι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης με ρ ρκαι ρ ρ + =, να βρείτε την τιμή του k. ΑΣΚΗΣΗ 75 Δίνεται η εξίσωση ( ) ( + ) = 0, k R k k α) Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δυο άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε k R β) Αν ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης και ρ + ρ 3ρρ = 9 k, να ΑΣΚΗΣΗ 76 βρεθεί η τιμή του k Αν αβγ,, πραγματικοί αριθμοί και α 0 και α + γ < β, αποδείξτε ότι η εξίσωση α + β+ γ = 0 έχει δυο άνισες πραγματικές ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 77 Αν η εξίσωση ( α + β) + α + β β + = 0, έχει πραγματικές ρίζες, να βρείτε τις τιμές των α και β. ΑΣΚΗΣΗ 78 Αν α ρίζα της εξίσωσης 3 a + 4 = a a a + a 9 3= 0, να αποδείξετε ότι : ΑΣΚΗΣΗ 79 Δίνεται η εξίσωση k ( ) + = 0, k R 4 k k α) Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δυο άνισες πραγματικές ρίζες. β) Αν ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης και ρ > k, ρ > k, να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού k Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 5

17 ΑΣΚΗΣΗ 80 Δίνεται η εξίσωση ( 3) + 3 = 0, k R k k Για ποιες τιμές του k, η εξίσωση έχει δύο ρίζες αρνητικές. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η εξίσωση ( ) + 3 = 0, k R k k Για ποιες τιμές του k η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές και ομόσημες ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 8 Η ανίσωση + 3 > 0, αληθεύει για κάθε k R k k Να αποδείξετε ότι η παράσταση Π = k + k + k 3 + k + 07 είναι σταθερή. ΑΣΚΗΣΗ 83 Έστω P ( ) = 7 + α) Να λυθεί η ανίσωση P ( ) < 0 β) Αν ο αριθμός k ανήκει στο σύνολο λύσεων της ανίσωσης, να ΑΣΚΗΣΗ 84 αποδείξετε ότι η παράσταση Π= k 4 k 3 3 k 4 είναι σταθερή. Αν η εξίσωση 3 3 ρ 3ρ ρ 3ρρ + ρ = 70 ΑΣΚΗΣΗ 85 5 = 0, έχει ρίζες ρ, ρ, να αποδείξετε ότι : Έστω P ( ) = α) Να μετατρέψετε σε γινόμενο παραγόντων το P(). β) Να λύσετε την εξίσωση P ( ) = k+ 3, k R γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του k ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει θετικές λύσεις. Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 6

18 ΑΣΚΗΣΗ 86 5 < f( ) = Να λύσετε την εξίσωση k f ( 4) = kf (0) για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού k ΑΣΚΗΣΗ 87 f( ) = και η ευθεία ( ε ): y = β α) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το R β) Για ποιες τιμές του β η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από την ευθεία (ε) ΑΣΚΗΣΗ 88 Έστω η παράσταση α) Να αποδείξετε ότι A = 4 8 β) Να λύσετε την εξίσωση ΑΣΚΗΣΗ 89 3 A = και η εξίσωση + f( ) = 6 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να λύσετε την ανίσωση ΑΣΚΗΣΗ 90 f( ) ( ) = A 3 4 Αν α + β = και α β = 3 να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) 3 Α= α β ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν > να αποδείξετε ότι = + 3 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 7

19 ΑΣΚΗΣΗ 9 3 Αν α = 75, β = 5 5, γ = + + 3, να βρείτε την τιμή της παράστασης ΑΣΚΗΣΗ 93 Α= α β γ Αν α > 0 και α α α = 3, να βρείτε την τιμή του α. 4 3 α α 3 6 ΑΣΚΗΣΗ 94 Αν οι αριθμοί α και β είναι θετικοί και ισχύει α β + = β α 5, να αποδείξετε ότι α β = β α ΑΣΚΗΣΗ 95 Αν οι αριθμοί α = + +, και β = y+ y +, είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και y είναι αντίθετοι. ΑΣΚΗΣΗ 96 Αν α = + 3, β = + + 3, γ = + 3, να αποδείξετε ότι α β γ = ΑΣΚΗΣΗ 97 Έστω οι παραστάσεις 3 5 Α= και 3 3 Β= α) Να αποδείξετε ότι : Α = 4 και Β = β) Να λύσετε τις εξισώσεις : ι ) γ) Να λύσετε την ανίσωση: >Α+Β ΑΣΚΗΣΗ 98 3 ( ) = Α, ιι ) =Β Να αποδείξετε ότι : + = Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 8

20 ΑΣΚΗΣΗ 99 f( ) = Να βρείτε : α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(7) f(0) β) Την τιμή της παράστασης Α= + f(0) f(7) + ΑΣΚΗΣΗ 00 Αν ισχύει α + α = τότε : α) Να αποδείξετε ότι : 0< α < β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης : ΑΣΚΗΣΗ 0 Α= α + α Αν α, β πραγματικοί αριθμοί και ισχύει a β β + = 0, τότε, να αποδείξετε ότι : α) β 0 β) α = 0 ΑΣΚΗΣΗ 0 Να αποδείξετε ότι : = ΑΣΚΗΣΗ 03 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων 3 < 5 και ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται οι εξισώσεις k + = 0 και + k = 0. Αν έχουν κοινή ρίζα να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού k Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 9

21 ΑΣΚΗΣΗ 05 Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α και β με α β 0. Αν η εξίσωση ( α β) 4α+ 4β = 0, έχει διπλή πραγματική ρίζα, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( α + β ) + 3( α β) = 0, έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 06 Δίνονται οι ευθείες ( ε ):+ k = ky και ( ε ): + y = με k R. Να βρείτε τις τιμές του k ώστε οι ευθείες α) Να τέμνονται στον άξονα β) Να τέμνονται στον άξονα yy ΑΣΚΗΣΗ 07 7( + ) 3 f( ) = 5α 3 Να αποδείξετε ότι α = Να βρείτε τις τιμές του λ όταν : 5 () ( ) 3 (0) 8 f λ+ = λ+ + f ΑΣΚΗΣΗ 08 Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ν ) γνωρίζουμε ότι : α 7 = 3 και α0 = 3. Να βρείτε : α) Τον ο όρο και την διαφορά της προόδου β) Τον 0 ο όρο της προόδου γ) Ποιος όρος της προόδου ισούται με 6 δ) Το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της προόδου ΑΣΚΗΣΗ 09 Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ν ) γνωρίζουμε ότι α = k και ω = -κ, κ. Να βρείτε τον όρο της προόδου που ισούται με 4 7κ Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 0

22 ΑΣΚΗΣΗ 0 Να προσδιορίσετε τον αριθμό k, ώστε ο των κ + κ κ 4 και 6 3 ΑΣΚΗΣΗ κ + κ να είναι αριθμητικός μέσος Να βρείτε πόσοι όροι της αριθμητικής προόδου 58, 55, 5, έχουν άθροισμα ίσο με 578. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : α) S = β) S = α + ( α β) + ( α β) +...( α 59 β) γ) S = με πλήθος όρων ν ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω = είναι : α = 8 και S = 88. Να βρείτε τον πρώτο όρο και το πλήθος των όρων της προόδου. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε την εξίσωση : ( + ) + ( + 4) + ( + 6) ( + 60) = 050 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, 5, 9, που απαιτούνται, ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 90 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρεθεί αριθμητική πρόοδος στην οποία το άθροισμα του τέταρτου και του δωδέκατου όρου είναι 70, ενώ ο δεύτερος και ο όγδοος διαφέρουν κατά 4. ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρεθούν 3 αριθμοί, διαδοχικοί σε αριθμητική πρόοδο, όταν το άθροισμα τους είναι 8 και το γινόμενο τους είναι 66. ν ν Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός

23 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ποιους αριθμούς πρέπει να τοποθετήσουμε ανάμεσα στους αριθμούς και, ώστε να προκύψουν διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. ΑΣΚΗΣΗ 9 * Αν για κάθε τιμή του αριθμού, ν Ν το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( α ν ) είναι ίσο με είναι αριθμητική πρόοδος. ΑΣΚΗΣΗ 30 3ν ν, να αποδείξετε ότι η ακολουθία Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι και οι αριθμοί α βγ, β αγ, γ αβ είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. ΑΣΚΗΣΗ 3 Το άθροισμα των 7 πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι μεγαλύτερο του 4 και μικρότερο του 56. Αν οι όροι της είναι ακέραιοι αριθμοί και ο πρώτος όρος είναι 4, να βρείτε την πρόοδο ΑΣΚΗΣΗ 3 Οι αριθμοί 3,, 3, είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. A. Να βρείτε α) τον πραγματικό αριθμό β) τη διαφορά ω της προόδου B. Αν ο αριθμός είναι ο πέμπτος όρος της προόδου, να βρείτε : α) Τον πρώτο όρο της προόδου β) Το άθροισμα των δώδεκα πρώτων όρων της προόδου. ΑΣΚΗΣΗ 33 Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ν ) έχουμε : α = και α5 = 4 α. Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός

24 β. Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε για να πάρουμε άθροισμα 99 ΑΣΚΗΣΗ 34 Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ν ), ισχύουν οι σχέσεις : S = 5 και α + α + α = Να βρείτε : α. Τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου β. Τον θετικό ακέραιο ν για τον οποίο ισχύει S ν = 4 ΑΣΚΗΣΗ 35 Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει S0 = S0. Να αποδείξετε ότι S 30 = 0 ΑΣΚΗΣΗ 36 f( ) = α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. f(5) + f() 3 6 = f(3) β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) γ) Να βρείτε την εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ρ = f (0) και ρ = f (0) ΑΣΚΗΣΗ 37 Δίνεται η παράσταση 9 A = 3 α. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A. β. Να αποδείξετε ότι Α= + 3 γ. Να λύσετε την ανίσωση Α> 5 ΑΣΚΗΣΗ 38 Δίνονται τα σημεία Κ (0, ) και Λ (-, 3). Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 3

25 Α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ε ) που διέρχεται από τα σημεία Κ και Λ Β. Αν η ευθεία ( ε ) έχει εξίσωση y = + και τα σημεία Κ, Λ και M ( λ, 4λ 3), λ R, είναι συνευθειακά, τότε: α. Να αποδείξετε ότι λ = β. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε + = λ με τον άξονα 3 : y 8 5 ΑΣΚΗΣΗ 39 f( ) = α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f + β. Να αποδείξετε ότι f( ) = για κάθε A + 3 γ. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ( ) + 3 = 3 δ. Να λύσετε την ανίσωση 0 f( ) + 6 ΑΣΚΗΣΗ 40 f( ) = ( λ+ ) 5λ και λ Αν, οι ρίζες της εξίσωσης f( ) = 0 και S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της τότε: α. Να δείξετε ότι (S-) (S-) = P β. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει : ( S ) ( S ) S ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν η εξίσωση (α 4) = 3 α 6 είναι αόριστη, τότε : α. Να λύσετε την εξίσωση: (α 3 α + ) = α + 7 β. Να λύσετε την εξίσωση: - 8 = α γ. Να λύσετε την ανίσωση: +4 < α Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 4

26 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα θεωρίας : α) Αν, ρίζες της εξίσωσης α +β+γ = 0, α 0, να αποδείξετε ότι = + = και P S β α = = γ α β) Αν θ>0 να αποδείξετε ότι < θ -θ < χ < θ γ) Να αποδείξετε ότι: Η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους, δηλαδή α β = α β. ν δ) Αν α 0 και β 0 να αποδείξετε ότι : ν α β = α ν β ε) Δίνονται οι διακεκριμένες ευθείες ε, ε με εξισώσεις ε: y= a + β και ε: y= a + β. Να αποδείξετε ότι: ε ε α = α ΑΣΚΗΣΗ 43 Να χαρακτηρίσετε με τη λέξη Σωστό ή την λέξη Λάθος τις προτάσεις: α) H εξίσωση = 0 έχει μία πραγματική λύση β) Η εξίσωση + = 0 είναι αδύνατη γ) (3 0) = 3 0 δ) η τετραγωνική ρίζα του 4 3 είναι ο 3 ε) Αν α 0 και β 0 τότε ισχύει αβ = α β στ) Η ευθεία y ( κ ) ζ) Ισχύει ότι ΑΣΚΗΣΗ 44 = + 3 σχηματίζει με τον οξεία γωνία = Να χαρακτηρίσετε με τη λέξη Σωστό ή την λέξη Λάθος τις προτάσεις: Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 5

27 α) Αν R τότε ισχύει πάντα = β) Η εξίσωση χ ν =α με ν άρτιο και α < 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις : τις ν a, και ν a γ) Το πεδίο ορισμού της f( ) =, ειναι το (,] δ) H γραφική παράσταση της f()= -4+β σχηματίζει με τον άξονα χ χ αμβλεία γωνία ε) Αν S και Ρ είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών και, τότε η εξίσωση S και. στ) Αν α, β πραγματικοί αριθμοί με α < β, τότε [ αβ, ) { R: α β} = <. Ρ + = 0 έχει λύσεις τους αριθμούς ζ) Αν α, β,γ, δ R με α < β και γ < δ, τότε α γ < β δ. ΑΣΚΗΣΗ 45. Αν < τότε α ) -3+4 < 7 β ) -3+4 > 5 γ ) -3+4 > δ ) -3+4 <-. Το α είναι ίσο με: α ) α β ) -α γ ) ± α 3. Η ( 5) είναι ίση με: α ) + 5 β ) 5 γ ) 5 4. Αν 3 = 5 τότε : α ) X = 3 5 β ) = ± 3 5 γ ) = 3 5 δ ) = Η ευθεία (ε): ψ=3χ+ είναι παράλληλη με την ευθεία : ΑΣΚΗΣΗ 46 α ) ψ= -3χ+ β ) ψ=3χ -7 γ ) ψ= -3χ Να χαρακτηρίσετε με τη λέξη Σωστό ή την λέξη Λάθος τις προτάσεις: α. Η ισότητα ισχύει όταν 0. Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 6

28 β. Ισχύει y y, όπου, y 0 γ. Ισχύει πάντα: y y. δ. Η εξίσωση α +β +γ= 0 με α, γ ετερόσημους αριθμούς έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. ε. Αν α > β και γ > δ τότε ισχύει πάντα αγ > βδ ΑΣΚΗΣΗ 47 Πότε και πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο α 0 για τις διάφορες τιμές της διακρίνουσας Δ f( ) = α + β + γ με Να αντιγράψετε στη κόλλα σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συμπληρωμένο. ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ f( ) α 0 = α + β + γ, ΑΣΚΗΣΗ 48 Να χαρακτηρίσετε με τη λέξη Σωστό ή την λέξη Λάθος τις προτάσεις: α) Η εξίσωση α β 0 + = για α = 0 και β 0 είναι ταυτότητα. β) Η εξίσωση ν = α με α < 0 και ν περιττό έχει ακριβώς μια λύση την ( ν α ). = α+ β με α < σχηματίζει με τον άξονα ' γωνία ω με 0 < ω < 90. δ) Το τριώνυμο f ( ) = α + β+ γ, α 0 γίνεται ετερόσημο του α, γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) μόνον όταν είναι > 0 και για τις τιμές του που βρίσκονται εκτός των ριζών Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 7

29 ΑΣΚΗΣΗ 49 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α) Η εξίσωση α + β = 0 για....έχει μοναδική λύση την = β) Για κάθε πραγματικό α ισχύει : α =... γ) Ισχύει : ν αβ =. όπου α, β θετικοί και ν δ) Η εξίσωση α + β = 0 είναι αδύνατη αν. και.. ε) Η απόσταση d(α, β) δύο πραγματικών αριθμών α, β ισούται με στ) Αν α > 0, β > 0 και ν ΑΣΚΗΣΗ 50 ν τότε ισχύει : ν α Να γίνει η σωστή αντιστοίχιση στον παρακάτω πίνακα Η εξίσωση α + β = 0:. Είναι Αόριστη (Α) a 0 β =.... Είναι Αδύνατη στο R (Β) a = 0 και β = 0 3. Έχει μοναδική λύση (Γ) a = 0 και β 0 Γιώργος Α. Κόλλιας - μαθηματικός 8