ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ.

Transcript

1 Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στο κείμενο που ακολουθεί έχει γίνει προσπάθεια να φανεί ότι ο σχεδιασμός της διδασκαλίας μπορεί στηριχτεί στα εργαλεία που χρησιμοποιούμε και στη μαθησιακή διαδικασία που επιλέγουμε. Συγκεκριμένα η διδασκαλία του προσήμου του τριωνύμου παρουσιάζεται μέσα από δύο διαφορετικές προοπτικές. Αρχικά θα παρουσιαστεί η διδασκαλία χωρίς τη χρήση ψηφιακών μέσων αλλά με ένα φύλλο εργασίας ενώ η μέθοδος διδασκαλίας είναι η επαγωγική, δηλαδή μία σταδιακή διαδικασία γενίκευσης. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί πολύ αναλυτικά ένα ολοκληρωμένο σχέδιο μαθήματος στο οποίο θα χρησιμοποιηθούν ψηφιακά εργαλεία ενώ η διδακτική μέθοδος έχει το χαρακτήρα της μετάβασης των μαθητών από την διαίσθηση στη αυστηρή μαθηματική διατύπωση και τεκμηρίωση. Α) Επαγωγικός τρόπος. Μετάβαση από το μερικό στο γενικό. Στο προτεινόμενο σχέδιο δεν απαιτούνται άλλα μέσα εκτός του πίνακα και του φύλλου εργασίας. Οι στόχοι περιορίζονται στο να μπορούν οι μαθητές να μελετούν το πρόσημο οποιουδήποτε τριωνύμου και να λύνουν μία δευτεροβάθμια ανίσωση. Ένας επιπλέον στόχος μπορεί να είναι η δυνατότητα των μαθητών να δικαιολογούν με καθαρά αλγεβρικό τρόπο τις διάφορες περιπτώσεις που σχετίζονται με τη μελέτη του προσήμου ενός τριωνύμου. Η διδακτική μέθοδος είναι η μετάβαση από το μερικό στο γενικό με μία κατευθυνόμενη διαλογική συμμετοχή των μαθητών. Οι μαθητές θα εργαστούν ανά δύο και με βάση το φύλλο εργασίας. Αρχικά θα συμπληρώσουν τους πίνακες και στη συνέχεια με βάση τα αποτελέσματα θα προσπαθήσουν να εξάγουν κάποια γενικά συμπεράσματα για το πρόσημο του τριωνύμου σε σχέση με το πρόσημο της διακρίνουσας και του.

2 Φύλλο εργασίας ραστηριότητα 1) Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες. Για το τριώνυμο 2χ 2-4χ+5 = 2(χ-1) 2 +1 Για το τριώνυμο -2χ 2 +5χ-4 = -2[(χ-5/4) 2 +7/16 ] Για το τριώνυμο -2χ 2 +4χ-2 = -2(χ-1) 2 Για το τριώνυμο 2χ 2 +12χ+18 = 2(χ+3) 2 Για το τριώνυμο χ 2-3χ+2 = (χ-1)(χ-2) χ<1 1<χ<2 χ>2 Για το τριώνυμο -2χ 2-3χ-1 = 2(χ-1)(χ+1/2) χ<-1/2 - χ>1 1/2<χ<1 Να διατυπώσετε κανόνες σχετικά με το πρόσημο ενός τριωνύμου για τις διάφορες τιμές. ραστηριότητα 2) Είναι γνωστό ότι κάθε τριώνυμο της μορφής αχ 2 +βχ+γ (α 0) μετασχηματίζεται στην ισοδύναμη παράσταση α.[(χ+β/2α) 2 -/4α 2 ]. Με βάση αυτό το μετασχηματισμό να δικαιολογήσετε τα συμπεράσματά σας από την προηγούμενη δραστηριότητα.

3 α) Αν <0 τότε β) Αν =0 τότε γ) Αν >0 και οι ρίζες είναι ρ 1 και ρ 2 τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή α(χ- ρ 1 )(χρ 2 ) οπότε ραστηριότητα 3) Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τις τιμές για τις οποίες το τριώνυμο χ 2-5χ+4 παίρνει αρνητικές τιμές, δηλαδή θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση χ 2-5χ+4<0. Σε ποια περίπτωση από αυτές που έχετε ήδη διερευνήσει υπάγεται το τριώνυμο; Ποιες είναι οι ρίζες του; Ποια είναι η λύση της ανίσωσης; ραστηριότητα 4) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές για τον αριθμό χ ώστε να ισχύει 2χ 2-3χ<2 Όμοια αν χ 2-6χ -9.

4 Β) ιαισθητικός τρόπος. Μετάβαση από γεωμετρικές παραστάσεις σε αλγεβρικά συμπεράσματα. Σε ένα σχέδιο που οι μαθητές θα μεταφράσουν γεωμετρικές παραστάσεις σε αλγεβρικές σχέσεις είναι απαραίτητες εικόνες γραφικών παραστάσεων στο φύλλο εργασίας ή ακόμα καλύτερα ένα αρχείο λογισμικού με δυνατότητες δυναμικών αλλαγών της γραφικής παράστασης ενός τριωνύμου. ΣΧΕΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι η μελέτη του προσήμου του τριωνύμου και η επίλυση δευτεροβάθμιας ανίσωσης σαν εφαρμογή της μελέτης αυτής. Θα δοθεί έμφαση κυρίως στην περίπτωση που όλοι οι συντελεστές του τριωνύμου είναι διαφορετικοί του 0. 2) Η διδασκαλία θα υλοποιηθεί στην αίθουσα διδασκαλίας και η χρονική διάρκεια θα είναι μία διδακτική ώρα. Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες ανά δύο (ζεύγος μαθητών στο ίδιο θρανίο) με βάση φύλλο εργασίας που θα τους δοθεί και με βάση τις γραφικές παραστάσεις του τριωνύμου που θα προβάλλονται στον πίνακα. Β) ιδακτική μέθοδος και εργαλεία. Τα διδακτικά εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν είναι το φύλλο εργασίας, ο πίνακας, ένας βιντεοπροτζέκτορας και ένας υπολογιστής στον οποίο έχει φορτωθεί το λογισμικό Geogebra καθώς και ένα αρχείο λογισμικού. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί είναι η «διαλογική παρουσίαση». Συγκεκριμένα οι μαθητές θα εμπλακούν σε δραστηριότητες με τις οποίες θα κληθούν, με βάση τα φαινόμενα που δημιουργούνται στον πίνακα από τη χρήση του λογισμικού, να μεταβούν από τη διαίσθηση που παρέχουν οι οπτικές εικόνες στην αλγεβρική έκφραση. Ο διδάσκων θα έχει το ρόλο του διακριτικού καθοδηγητή με τις κατάλληλες ερωτήσεις και την αναγκαία βοήθεια. Γ) Απαραίτητες γνώσεις που πρέπει να διαθέτουν οι μαθητές. 1) Λύση της εξίσωσης αχ 2 +βχ+γ=0 2) Η σημασία της θέσης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ως προς τον άξονα χ χ, καθώς και των σημείων τομής με αυτόν. 3) Το πρόσημο του γινομένου δύο ακεραίων αριθμών.

5 ) ιδακτικοί στόχοι. 1) Να μπορούν οι μαθητές να προσδιορίζουν το πρόσημο ενός τριωνύμου. 2) Να συνδέσουν τη θέση της γραφικής παράστασης του τριωνύμου με το πρόσημό του. 3) Να μπορούν οι μαθητές να λύνουν μία απλή ανίσωση δευτέρου βαθμού. Ε) Αναμενόμενη διδακτική πορεία. Αρχικά θα γίνει μία παρουσίαση του ψηφιακού υλικού και αλλάζοντας τις τιμές των μεταβολέων οι μαθητές θα εξοικειωθούν με τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης του τριωνύμου. Συγχρόνως θα γίνει μία συζήτηση με τους μαθητές για τη σημασία των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα χ χ καθώς για τη σημασία της θέσης της γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα. Εδώ οι μαθητές θα μπορούν να μελετήσουν και το εισαγωγικό κείμενο του φύλλου εργασίας. Α ΦΑΣΗ Ο διδάσκων αλλάζει τις τιμές στους μεταβολείς α, β, γ με τρόπο που η γραφική παράσταση θα βρίσκεται ολόκληρη κάτω από τον άξονα χ χ και θα ζητήσει από τους μαθητές να εντοπίσουν τις τιμές της διακρίνουσας και του α κάθε φορά. Αναμένεται οι μαθητές να φτάσουν αρχικά στο συμπέρασμα ότι αν <Ο και α>0 τότε η γραφική παράσταση θα βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον χ χ ενώ ότιαν <0 και α<0 η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη κάτω από τον χ χ. Στο σημείο αυτό θα γίνει με κατάλληλες υποδείξεις προς τους μαθητές η διατύπωση του κανόνα για το πρόσημο του τριωνύμου όταν <0. Β ΦΑΣΗ Ο διδάσκων αλλάζει τις τιμές στους μεταβολείς α, β, γ με τρόπο που η γραφική παράσταση να εφάπτεται στον άξονα χ χ και θα ζητήσει από τους μαθητές να εντοπίσουν τις τιμές της διακρίνουσας και του α κάθε φορά. Τα συμπεράσματα θα προκύψουν με όμοιο τρόπο όπως και στη πρώτη φάση. Γ ΦΑΣΗ Ο διδάσκων αλλάζει τις τιμές στους μεταβολείς α, β, γ με τρόπο που η γραφική παράσταση να κόβει τον χ χ σε δύο σημεία. Με κατάλληλες ερωτήσεις οδηγεί τους μαθητές να διατυπώσουν αρχικά έναν κανόνα για τη θέση της γραφικής παράστασης ως προς τον χ χ όταν >0. Στη συνέχεια με τά από διαπραγμάτευση θα γίνει από τους μαθητές η μεταφορά των διατυπώσεων από το καθαρά

6 γεωμετρικό πλαίσιο (πάνω κάτω) στο αριθμητικό πλαίσιο (θετικό - αρνητικό). Τέλος με υποδείξεις του διδάσκοντος οι μαθητές θα συνοψίσουν τις περιπτώσεις του προσήμου του τριωνύμου σε μία, δηλαδή θα πρέπει να φτάσουν σε διατύπωση της μορφής «Αν σε ένα τριώνυμο >0 τότε.εκτός των ριζών και..εντός των ριζών». ΦΑΣΗ Μέχρις στιγμής οι μαθητές έχουν διατυπώσει κανόνες με βάση μόνο οπτικές παραστάσεις και επομένως τα συμπεράσματά τους παραμένουν στο επίπεδο της διαίσθησης. Αυτό θα τονιστεί για λίγο από τον διδάσκοντα και θα υπογραμμιστεί η ανάγκη αυστηρής τεκμηρίωσης των συμπερασμάτων. Ο διδάσκων γράφει στον πίνακα το μετασχηματισμένο τριώνυμο και συζητά σύντομη τεκμηρίωση των προηγουμένων συμπερασμάτων για κάθε μία από τις περιπτώσεις του προσήμου της. Ε ΦΑΣΗ Στη φάση αυτή θα γίνει ουσιαστικά μία μορφή αξιολόγησης των όσων έχουν προκύψει οπότε η λύση μιας πλήρους δευτεροβάθμιας ανίσωσης θα έχει την έννοια της εφαρμογής των συμπερασμάτων για το πρόσημο του τριωνύμου. Αναμένεται οι μαθητές να αναγνωρίσουν τη σημασία της ύπαρξης δύο ριζών 1 και 4 και στη συνέχεια να εκφράσουν τη λύση της ανίσωσης ως διάστημα. Εφόσον ο χρόνος το επιτρέπει θα ζητηθεί από τους μαθητές να κάνουν μία πρόχειρη γραφική παράσταση με βάση την αλγεβρική λύση της ανίσωσης. Εδώ ο στόχος είναι να εδραιωθεί ακόμη περισσότερο η σύνδεση του αλγεβρικού με το γεωμετρικό πλαίσιο.

7 Φύλλο εργασίας Στην οθόνη εμφανίζονται: α) Η γραφική παράσταση ενός τριωνύμου και οι μεταβολείς α, β, γ από τους οποίους μπορούμε να αλλάζουμε τους συντελεστές του τριωνύμου. Το τμήμα της γραφικής παράστασης μεταξύ των ριζών (αν υπάρχει) χρωματίζεται με κόκκινο. β) Οι τιμές της διακρίνουσας και των δύο ριζών ρ 1 και ρ 2. ραστηριότητα 1) Να καταγράψετε τις περιπτώσεις στις οποίες η γραφική παράσταση είναι ολόκληρη πάνω από τον άξονα χ χ, καθώς και τις περιπτώσεις που γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη κάτω από τον χ χ. Με βάση τα παραπάνω να διατυπώσετε έναν κανόνα για το πρόσημο του τριωνύμου σε σχέση με το πρόσημο της και του. ραστηριότητα 2) Να καταγράψετε τις περιπτώσεις στις οποίες η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα χ χ. Με βάση τα παραπάνω να διατυπώσετε έναν κανόνα για το πρόσημο του τριωνύμου σε σχέση με το πρόσημο της και του. ραστηριότητα 3) Να καταγράψετε τις περιπτώσεις στις οποίες μέρος της γραφικής παράστασης βρίσκεται πάνω και μέρος κάτω από τον άξονα χ χ. Με βάση τα παραπάνω να διατυπώσετε έναν κανόνα για το πρόσημο του τριωνύμου σε σχέση με τις ρίζες του τριωνύμου και του. ραστηριότητα 4) Είναι γνωστό ότι κάθε τριώνυμο της μορφής αχ 2 +βχ+γ (α 0) μετασχηματίζεται στην ισοδύναμη παράσταση α.[(χ+β/2α) 2 -/4α 2 ]. Με βάση αυτό το μετασχηματισμό να δικαιολογήσετε τα συμπεράσματά σας από την προηγούμενη δραστηριότητα. α) Αν <0 τότε β) Αν =0 τότε γ) Αν >0 και οι ρίζες είναι ρ 1 και ρ 2 τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή α(χ- ρ 1 ) (χ- ρ 2 ) οπότε

8 ραστηριότητα 5) Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τις τιμές για τις οποίες το τριώνυμο χ 2-5χ+4 παίρνει αρνητικές τιμές, δηλαδή θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση χ 2-5χ+4<0. Σε ποια περίπτωση από αυτές που έχετε ήδη διερευνήσει υπάγεται το τριώνυμο; Ποιες είναι οι ρίζες του; Ποια είναι η λύση της ανίσωσης;

9 Παράρτημα: Οι διατύπωση των στόχων του μαθήματος στο παλαιό και στο νέο ΑΠΣ.