ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά με ερωτήσεις.. Ποιοι είναι οι ρητοί και ποιοι οι άρρητοι πραγματικοί αριθμοί ;. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολ σμού ;. Πότε δύο αριθμοί α και β λέγονται αντίθετοι ; Έχουν όλοι οι αριθμοί αντίθετο ; 4. Πότε δύο αριθμοί α και β λέγονται αντίστροφοι ; Έχουν όλοι οι αριθμοί αντίστροφο ; 5. Τι ονομάζουμε αφαίρεση δύο αριθμών ; Ορίζεται γίνεται για οποιουσδήποτε αριθμούς ; 6. Τι ονομάζουμε πηλίκο διαίρεση δύο αριθμών ; Ορίζεται για οποιουσδήποτε αριθμούς ; 7. Ποιες είναι οι κυριότερες ιδιότητες της ισότητας ( ως προς τις πράξεις κυρίως ) ; 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; 9. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι διαφορετικό από το μηδέν ; 0. Τι είναι η δύναμη με βάση οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και εκθέτη θετικό ακέραιο ;. Τι είναι η δύναμη με εκθέτη αρνητικό ακέραιο ; Ορίζεται για οποιουσδήποτε βάση ;. Ποιες είναι οι κυριότερες ιδιότητες των δυνάμεων ;. Τι ονομάζουμε ταυτότητα στα μαθηματικά ; 4. Ποιες είναι οι κυριότερες ταυτότητες ; Σε τι χρησιμεύουν ; 5. Τι είναι η συνεπαγωγή ( υπόθεση ή δεδομένα συμπέρασμα ή ζητούμενα ) ; Πως συμβολίζεται ; 6. Τι είναι η αντίστροφη μιας συνεπαγωγής και τι η ισοδυναμία ; Πως συμβολίζεται ; 7. Τι ονομάζουμε απόδειξη ενός ισχυρισμού συνεπαγωγής στα μαθηματικά ; 8. Με ποιους τρόπους γίνεται γράφεται η απόδειξη μιας συνεπαγωγής ; ( κυρίως τρόποι ) 9. Τι είναι και πως γίνεται η Ευθεία Απόδειξη για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής ; 0. Τι είναι και πως γίνεται η Άτοπος Απαγωγή για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής ; Πότε χρησιμοποιείται κυρίως ;. Τι είναι και πως γίνεται η Μέθοδος των ισοδυναμιών για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής ;. Με ποιους τρόπους γίνεται γράφεται η απόδειξη μιας ισότητας ; ( τουλάχιστον 4 περιπτώσεις )

2 . Με ποιους τρόπους αποδεικνύεται μια ισοδυναμία ; ( p q ) 4. Πότε ένας ακέραιος ονομάζεται άρτιος και πότε περιττός ; ( Αλγεβρικοί ορισμοί με ισότητα ) 5. Τι ονομάζουμε αναλογία και ποιες είναι οι ιδιότητές της ; 6. Τι είναι η διάταξη του συνόλου των πραγματικών αριθμών ; 7. Πότε ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος ή μικρότερός από έναν δεύτερο β ; 8. Πότε ένας αριθμός λέμε ότι είναι θετικός και πότε λέμε ότι είναι αρνητικός ; 9. Τι γνωρίζεται για το άθροισμα ομόσημων αριθμών ; 0. Τι γνωρίζεται για το γινόμενο και το πηλίκο δύο ομόσημων αριθμών ;. Τι γνωρίζεται για το γινόμενο και το πηλίκο δύο ετερόσημων αριθμών ;. Τι γνωρίζετε για το πρόσημο του τετραγώνου οποιοδήποτε πραγματικού αριθμού ;. Ποιες είναι οι κυριότερες ιδιότητες της ανισότητας ( ως προς τις πράξεις κυρίως ) ; 4. Με ποια μέθοδο γίνεται συνήθως η απόδειξη μιας ανισότητας ; 5. Τι είναι τα διαστήματα ; Πόσα είδη διαστημάτων υπάρχουν ; 6. Τι είναι τα Άκρα και τι Εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος ; 7. Πότε χρησιμοποιούνται και πως διαβάζονται τα σύμβολα «+» και ; 8. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού ; Πως συμβολίζεται ; 9. Τι γνωρίζετε για την απόλυτη τιμή ενός θετικού ή αρνητικού αριθμού ; 40. Ποιες είναι οι κυριότερες ιδιότητες της απόλυτης τιμής ; 4. Τι ονομάζουμε απόσταση δύο αριθμών α και β ; Πως συμβολίζεται και με τι είναι ίση ; 4. Τι είναι το κέντρο ενός διαστήματος με άκρα α και β ; Πως συμβολίζεται και με τι είναι ίσο ; 4. Τι είναι το μήκος ενός διαστήματος με άκρα α και β ; Πως συμβολίζεται και με τι είναι ίσο ; 44. Τι είναι η ακτίνα ενός διαστήματος με άκρα α και β ; Πως συμβολίζεται και με τι είναι ίση ; 45. Τι είναι η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ; Πως συμβολίζεται ; 46. Τι είναι η ν οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ; Πως συμβολίζεται ; 47. Τι είναι το ριζικό, το υπόρριζο και ο δείκτης του ριζικού ; 48. Ποιες είναι οι κυριότερες ιδιότητες των ριζών ;

3 49. Τι είναι η δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη ρητό ; Πότε ορίζεται ; 50. Τι είναι η συζυγής παράσταση ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς δύο όρων ; ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Η τιμή της παράστασης ( ) - είναι : 6 δεν ορίζεται 8 8 Η τιμή της παράστασης 0 4 είναι : 0 4 δεν ορίζεται Αν ν φυσικός τότε η τιμή της παράστασης ( ) ν + ( ) ν+ είναι : 0 ν + Αν = + τότε η τιμή της παράστασης είναι : Να συμπληρώσετε τις ισότητες : Ι. ( χ + ) = ΙΙ. ( χ 5 ) = ΙΙΙ. ( χ 7 ) ( χ + 7 ) = IV. ( κ + 4 λ ) = V. ( ω φ ) = VI. ( 6 ω ) ( 6 ω + ) = Να συμπληρώσετε τις ισότητες : Ι. 4 κ 4 κ + = ΙΙ. 9 α + α β + 4 β = ΙΙΙ. 8 χ 6 = IV. 5 κ + 0 κ λ + 9λ = V. 6 ω 8 ω φ + φ = VI. α 4 9 β = VIΙ. χ ψ 4 = Να κάνετε τις πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις: Ι. ( + 4 χ ) ( 4 χ ) ( 4 χ ) ΙΙ. ( κ + ) ( κ + ) 5 (κ+) (κ ). ΙΙΙ. ( α + β ) ( χ + ψ ) ( α χ + β ψ ) ( α ψ β χ ) Δίνονται οι παραστάσεις Α = 4 και Β = + 4. Να δείξετε ότι : α ) Β Α = ( + ) Α Β = = Α Β ( ) Αν α β = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: α α β + β 4 α + 4 β + Αν α β = να δείξετε ότι : α ( + β ( + α ) = α + β. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Ι. χ ψ ψ ω + χ 6 ω = ΙΙ. + β + β γ + β γ = ΙΙΙ. χ 8 χ = IV. α + 6 α + 9α = V. ω φ 9 ω φ + ω φ = VI. ( α ) ( α ) = VIΙ. ψ 4 χ χ ( 4 χ ψ ) = ΙΙΧ. 4 λ 4 λ + 9 κ = Αν α, β, γ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( ˆ 90 ο ) παράστασης Α= ( α+ ( α+ ( α+ β +. Α= να υπολογίσετε την τιμή της

4 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : + + α ) ( ) + δ ) ε ) + ( + ) στ ) ( ) + ( ) ( ) Να δείξετε ότι : Ι. Αν ( α < α + β τότε οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι. ΙΙ. Αν ( + α ) ( + < + α + β τότε οι αριθμοί α και β είναι ετερόσημοι. Η σχέση ( χ 00 ) 0 ισχύει μόνο όταν είναι : χ < 00 χ 00 ποτέ χ = 00 χ 00 Η σχέση ( χ 00 ) > 0 ισχύει μόνο όταν είναι : χ > 00 χ 00 πάντοτε χ = 00 χ 00 Η σχέση χ + ψ > 0 ισχύει μόνο όταν είναι : χ 0 και ψ 0 χ > 0 και ψ > 0 πάντοτε χ 0 ή ψ 0 Αν α < β < 0 τότε δεν αληθεύει η σχέση : α < β α < β α α β > 0 β >. Αν κ και < μ 5 τότε το κ + μ ανήκει στο διάστημα : Α. [ 0, 6 ] Β. ( 4, 8 ] Γ. [ 4, 8 ] Δ. ( 6, 5 ]. Αν χ 5 και 4 ψ 9 τότε το 6 χ + 7 ψ ανήκει στο διάστημα : Α. [ 7, 4 ] Β. ( 46, 9 ) Γ. [ 56, 9 ) Δ. [ 46, 9 ] Ε. ( 46, 88 ]. Αν α 5 και β 6 τότε το α + β ανήκει στο διάστημα : Α. [ 5, ] Β. (, 6 ) Γ. [ 6, 6 ) Δ. (, 56 ] Ε. [, 6 ] Να δείξετε ότι : Ι. Αν ( α < α + β τότε οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι. ΙΙ. Αν ( + α ) ( + < + α + β τότε οι αριθμοί α και β είναι ετερόσημοι. κ λ α β Να δείξετε ότι : Ι. κ < 0 < λ + ΙΙ. β < α < 0 + λ κ β α Να δείξετε ότι : Ι. ( α + β ) ( γ + δ ) ( α δ + β ΙΙ. α α + Αν α > 0 και β > 0 να δείξετε ότι : α α Ι. < + α + β + α ΙΙ. α + β α β < + + α + β + α + β

5 Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε άλλες με ρητό παρονομαστή. 4 + α ) Αν α = 6 και β = 6 + να υπολογίσετε την παράσταση : α + α β + β Να συγκρίνετε τους αριθμούς : 5 Ι. α = και β = ΙΙ. α = 5 και β = 4 ΙΙΙ. α = 9 και β = 7 + Να γίνουν οι πράξεις : Ι ΙΙ Αν α και β είναι αντίστροφοι να δείξετε ότι : Ι. a + a = ΙΙ. ( ) ( a + ) β a β = 4 a + + a Δίνονται τα διαστήματα Δ = [, ) και Δ = ( 0, 4 ). Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = [, ) και Δ = ( 0, 4 ). Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = [, ) και Δ = ( 0, 4 ). Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = ( 0, 0 ] και Δ = [, 4 ]. Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = [, ) και Δ = [,+ ). Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = (, 5 ] και Δ = [ 5, + ). Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = [, 5 ] και Δ = (, + ). Να βρείτε τα σύνολα : Ι. Δ Δ = ΙΙ. Δ Δ = ΙΙΙ. Δ = Δίνονται τα διαστήματα Δ = [ 0, 0 ] και Δ = (, 4 ]. Να βρείτε το μήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος : Δ = Δ Δ 7 Δίνονται τα σύνολα Α = { 0,, }, Β = {,,, 0,, } και το διάστημα των πραγματικών αριθμών Γ = (, ]. Να βρεθούν τα σύνολα : Α Β, Α Β και Β Γ. Να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α.