ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο συγγραφέα. Απόδειξη: Με επαγωγή ως προς το πλήθος των βιβλίων n. Βάση της Επαγωγής: Για n =. Σε κάθε σύνολο που περιέχει μόνο βιβλίο προφανώς το ζητούμενο ικανοποιείται. Υπόθεση της Επαγωγής: Υποθέτουμε ότι σε κάθε σύνολο με k βιβλία ο ισχυρισμός είναι αληθής. Βήμα της Επαγωγής: Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό για n = k +. Έστω το σύνολο με k + βιβλία Β={ β, β 2,, β k+ }. Θεωρούμε το υποσύνολο των k πρώτων βιβλίων. Β = {β, β 2,, β k } Από την υπόθεση της επαγωγής, όλα τα βιβλία έχουν τον ίδιο συγγραφέα. Αν αφαιρέσουμε το πρώτο βιβλίο και στη θέση του τοποθετήσουμε το τελευταίο τότε παίρνουμε το σύνολο Β 2 = {β 2, β,, β k+ } Από την υπόθεση της επαγωγής, και σε αυτό το σύνολο όλα τα βιβλία έχουν τον ίδιο συγγραφέα. Επομένως, όλα τα βιβλία του συνόλου Β θα πρέπει να έχουν τον ίδιο συγγραφέα, τον κοινό συγγραφέα των υποσυνόλων Β και Β 2. Το σφάλμα στην απόδειξη εντοπίζεται στην επεξεργασία των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται μετά τη χρήση της υπόθεσης της επαγωγής κατά την απόδειξη του βήματος. Πιο συγκεκριμένα, η βάση της απόδειξης είναι σωστή. Αν έχουμε στη διάθεση μας ακριβώς ένα βιβλίο τότε ο συγγραφέας είναι μοναδικός. Επίσης, η υπόθεση της επαγωγής γίνεται σύμφωνα με την επαγωγική μέθοδο. Στη συνέχεια, ο συλλογισμός θεωρεί το βήμα σε σχέση με τα k + βιβλία όπου αναφέρει ότι αν θεωρήσουμε τα πρώτα k βιβλία β, β 2,, β k τότε από την υπόθεση της επαγωγής έχουν όλα τον ίδιο συγγραφέα και αν θεωρήσουμε τα τελευταία k βιβλία β 2, β,, β k+ και πάλι αυτά έχουν τον ίδιο συγγραφέα για τον ίδιο λόγο. Μέχρι αυτό το σημείο ο συλλογισμός είναι ορθός. Εντούτοις, το επόμενο επιχείρημα βασίζεται στην υπόθεση ότι τα δύο σύνολα περιέχουν κάποιο κοινό βιβλίο. Ως εκ τούτου τόσο στο πρώτο όσο και στο δεύτερο σύνολο όλα τα βιβλία θα έχουν τον ίδιο συγγραφέα και συγκεκριμένα τον συγγραφέα του βιβλίου που ανήκει και στα δύο σύνολα. Αυτό δεν είναι απαραίτητα ορθό. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι αναφερόμαστε σε δύο βιβλία (k + = 2), τότε τα δύο σύνολα στα οποία εφαρμόζεται η επαγωγική υπόθεση είναι τα β Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 22 Σελίδα
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα και β 2 όπου αν και σε κάθε σύνολο, τετριμμένα, τα βιβλία έχουν τον ίδιο συγγραφέα, όταν θεωρήσουμε και τα δύο σύνολα μαζί προφανώς δεν περιέχουν κοινό βιβλίο και κατά συνέπεια δεν είναι κατά ανάγκη γραμμένα από τον ίδιο συγγραφέα. Αφού η πρόταση δεν ισχύει για το 2 η αλήθεια της πρόταση για n = δεν μπορεί να μεταφερθεί επαγωγικά και στους υπόλοιπους ακέραιους και, ως εκ τούτου, η πρόταση είναι ψευδής. Άσκηση 2 Ένα ακατεύθυντο γράφημα ονομάζεται k χρωματίσιμο αν είναι δυνατόν να χρωματίσουμε κάθε μία από τις κορυφές του με ένα από k χρώματα, έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v) οι κορυφές u και v να έχουν διαφορετικό χρώμα. Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή ότι κάθε γράφημα του οποίου οι κόμβοι έχουν βαθμό το πολύ k είναι (k+) χρωματίσιμος. Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο n, τον αριθμό των κορυφών του γραφήματος G. Συγκεκριμένα θα αποδείξουμε την πιο κάτω πρόταση: Π(n) Για κάθε γράφημα με n κόμβους του οποίου οι κόμβοι έχουν βαθμό το πολύ k είναι (k+) χρωματίσιμο. Αν ισχύει ότι n = ή n = 2, τότε το ζητούμενο επαληθεύεται εύκολα. Ας υποθέσουμε ότι n > 2, και επιπλέον ότι η πρόταση είναι αληθής για n = m. Για το βήμα της επαγωγής, ας θεωρήσουμε ένα τυχαίο γράφημα G με m + κόμβους. Ας αφαιρέσουμε κάποιο τυχαίο κόμβο v του G καθώς και όλες τις ακμές που καταλήγουν στον κόμβο v. Αυτό αφήνει ένα υπογράφημα H του G με n κόμβους το οποίο ικανοποιεί τετριμμένα την υπόθεση ότι κάθε κόμβος του έχει βαθμό το πολύ k (είναι υπογράφημα ενός γραφήματος του οποίου οι κόμβοι έχουν βαθμό το πολύ k). Από την υπόθεση της επαγωγής το γράφημα H είναι k χρωματίσιμο. Τώρα, ας θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε χρωματισμό του Η. Θα μετατρέψουμε αυτό τον χρωματισμό σε χρωματισμό του G αποδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο ότι και το αρχικό μας γράφημα είναι (k+) χρωματίσιμο. Αφού ο βαθμός του κόμβου v, όπως και κάθε κόμβου του γραφήματος είναι μικρότερος από k, οι κορυφές του H που γειτνιάζουν με τον v είναι χρωματισμένοι με το πολύ k διαφορετικά χρώματα. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα ελεύθερο χρώμα για χρωματισμό του v, έτσι ώστε να μην έχει κοινό χρώμα με τους γείτονές του. Αν επιλέξουμε αυτό το χρώμα και το εφαρμόσουμε στο γράφημα G σε συνδυασμό με τον χρωματισμό του Η, τότε θα έχουμε ένα χρωματισμό του γραφήματος για το οποίο για κάθε ακμή (u,v) οι κορυφές u και v να έχουν διαφορετικό χρώμα. Επομένως το γράφημα G είναι k χρωματίσιμο. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 22 Σελίδα 2
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Να ορίσετε την γλώσσα που αναγνωρίζει κάθε ένα από τα πιο κάτω πεπερασμένα αυτόματα. (α), 2 Το αυτόματο αποδέχεται όλες τις λέξεις που περιέχουν ακριβώς δύο. (β) 2, To αυτόματο αποδέχεται το σύνολο των λέξεων L = {ε,, } { k, k k } καθώς και συναρμογές μίας ή περισσότερων λέξεων από αυτό το σύνολο. Η γλώσσα του αυτομάτου περιγράφεται από την κανονική έκφραση (( * )( )) *. (γ) 2 5 6 Το αυτόματο αποδέχεται την πιο κάτω γλώσσα: L = {, } { 5+k k } Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 22 Σελίδα
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες, να κατασκευάσετε αυτόματο επί του αλφάβητου {,} που να την αναγνωρίζει. Σε κάθε περίπτωση, να δείχνετε () τον τυπικό ορισμό του αυτομάτου και (2) το διάγραμμα καταστάσεων (α) {w η λέξη w έχει τουλάχιστον τρία και τουλάχιστον δύο } 2 5, (β) {w η λέξη w έχει άρτιο πλήθος από και ένα ή δύο } Ανά πάσα στιγμή το αυτόματο θα πρέπει να θυμάται κατά πόσο το πλήθος των είναι ή όχι άρτιο και επίσης πόσα έχει διαβάσει. Για να υλοποιηθεί αυτό θα χρησιμοποιήσουμε 7 καταστάσεις που συλλαμβάνουν αυτές τις δυνατότητες ως εξής: : μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί άρτιος αριθμός από και κανένα 2: μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί άρτιος αριθμός από και ένα : μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί άρτιος αριθμός από και δύο : μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί περιττός αριθμός από και κανένα 5: μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί περιττός αριθμός από και ένα 6: μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί περιττός αριθμός από και δύο 7: μέχρι στιγμής έχουν διαβαστεί περισσότερα από δύο Ακολουθεί το διάγραμμα καταστάσεων του αυτομάτου. 2, 7 5 6 (γ) {w η λέξη w τελειώνει σε δύο συνεχόμενα } Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 22 Σελίδα
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2 (δ) {w η λέξη είναι οποιαδήποτε λέξη πλην των και } 2, 25, Άσκηση 5 Έστω Β n = { k το k είναι πολλαπλάσιο του n}. Να δείξετε ότι η γλώσσα Β n είναι κανονική για κάθε n. Για να δείξουμε ότι η γλώσσα Β n είναι κανονική για κάθε n, θα δείξουμε ότι υπάρχει DFA που να την αναγνωρίζει. Η απόδειξη είναι κατασκευαστική. Έστω n αυθαίρετος ακέραιος, n. Κατασκευάζουμε DFA M=(Q, Σ, δ, q, F) ως εξής: Q = {q,,q n } Σ = {} δ(q i, ) = q (i+)mod n q = q F = {q } Στο αυτόματο αυτό, οι καταστάσεις έχουν τοποθετηθεί διαδοχικά κατά μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου. Από κάθε κατάσταση μπορούμε να κινηθούμε προς την επόμενη, όπου επόμενη της τελευταίας κατάστασης είναι η αρχική. Η μετακίνηση αυτή συνδέεται με το σύμβολο. Η αρχική κατάσταση είναι και τελική γεγονός που μας δίνει ως γλώσσα του αυτομάτου τις λέξεις ε, n, 2n, n, Το αυτόματο αυτό φαίνεται και σχηματικά πιο κάτω. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. q q 2 q q n- q n Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 22 Σελίδα 5