Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Transcript

1 Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος 07 0 / 3

2 Χρωματισμός ακμών k-χρωματισμός ακμών: Η ανάθεση χρωμάτων από το χρωματικό σύνολο,..., k στις ακμές ενός γραφήματος G. x k-χρωματισμός ακμών (εναλλακτικός ορισμός): 4 v 3 4 w 4-χρωματισμός ακμών Μια διαμέριση {E, E,..., E k } των ακμών E(G) ενός γραφήματος G. y Νόμιμος χρωματισμός ακμών: x Ένας χρωματισμός στον οποίο κάθε ζεύγος γειτονικών ακμών χρωματίζεται με διαφορετικά χρώματα. 3 v 4 3 w νόμιμος χρωματισμός ακμών Νόμιμος k-χρωματισμός ακμών: Ένας k-χρωματισμός ακμών {E, E,..., E k } όπου κάθε υποσύνολο ακμών E i, i k, είναι ένα ταίριασμα στο γράφημα G. y Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

3 Ένα γράφημα G ονομάζεται k-χρωματίσιμο ως προς τις ακμές, ανν έχει έναν νόμιμο k-χρωματισμό ακμών. Χρωματικός δείκτης χ (G): Έστω γράφημα G χωρίς βρόγχους. Ο χρωματικός δείκτης χ (G) είναι ο ελάχιστος ακέραιος k τέτοιος ώστε το G είναι νόμιμα k-χρωματίσιμο ως προς τις ακμές. Σημείωση: Για κάθε γράφημα G χωρίς βρόγχους ισχύει χ (G) (G). Σημείωση: Έστω γράφημα G το οποίο είναι άρτιος κύκλος. Τότε, χ (G) =. Έστω γράφημα G, έστω ένας k-χρωματισμός C = {E, E,..., E k } του G και έστω μια κορυφή V (G). Λέμε ότι το χρώμα i εκπροσωπείται στην κορυφή αν υπάρχει μια ακμή e E i η οποία προσπίπτει στην κορυφή. c(): Έστω γράφημα G, χρωματισμός C του G και κορυφή V (G). Με c() συμβολίζουμε τον αριθμό χρωμάτων του C που εκπροσωπούνται στην. c() d() Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

4 Λήμμα 0.: Έστω συνεκτικό γράφημα G χωρίς βρόγχους το οποίο δεν είναι περιττός κύκλος. Τότε το G έχει έναν -χρωματισμό ακμών στον οποίο και τα χρώματα εκπροσωπούνται σε κάθε κορυφή βαθμού. Απόδειξη : Περίπτωση : Το γράφημα έχει περιήγηση Eler. Αν το G είναι ένας άρτιος κύκλος, ένας νόμιμος -χρωματισμός του G πληροί την ιδιότητα. Διαφορετικά (το G δεν είναι περιττός κύκλος) το G έχει τουλάχιστον μια κορυφή άρτιου βαθμού 4, έστω την. Έστω P = e v e... e m μία περιήγηση Eler του G όπου m = E(G). Κάθε κορυφή v V (G) εμφανίζεται ως εσωτερική στην περιήγηση Eler P. Αυτό ισχύει γιατί για κάθε κορυφή έχουμε ότι d(v) v V (G) και d() 4. Ο -χρωματισμός C = {E, E } όπου E = {e i i περιττός} και E = {e i i άρτιος} έχει τη ζητούμενη ιδιότητα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

5 Περίπτωση : Το γράφημα G δεν έχει περιήγηση Eler Κατασκευάζω με βάση το G γράφημα G : Προσθέτω νέα κορυφή. Ενώνω την με τις κορυφές περιττού βαθμού του G. G G G E E Κάθε κορυφή του G έχει άρτιο βαθμό. Ορίζουμε τον χρωματισμό C G = {E, E } του G όπως στην περίπτωση-. Ορίζουμε τον χρωματισμό C G = {E E(G), E E(G)}. Ο C G έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

6 Λήμμα 0.: Έστω χρωματισμός ακμών C ενός γραφήματος G. Ο C είναι ένας νόμιμος χρωματισμός του G ανν c() = d() για κάθε κορυφή του G. Βελτιωμένος χρωματισμός ακμών: Έστω δύο k-χρωματισμοί ακμών, C και C ενός γραφήματος G. Λέμε ότι ο C είναι ένας βελτιωμένος χρωματισμός ακμών ως προς τον C εάν c () > c() V (G) V (G) όπου c () είναι ο αριθμός των χρωμάτων που εκπροσωπούνται στην κορυφή στην χρωματισμό C. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

7 Βέλτιστος k-χρωματισμός ακμών: Ένας k-χρωματισμός ακμών που δεν μπορεί να βελτιωθεί c() = 0 c() = Βέλτιστος -χρωματισμός ακμών. }{{} 3-χρωματισμός ακμών. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

8 Λήμμα 0.3: Έστω C = {E, E..., E k } ένας βέλτιστος k-χρωματισμός ακμών του G. Εάν υπάρχει μια κορυφή του G και χρώματα i, j τέτοια ώστε το i να μην εκπροσωπείται στην και το j να εκπροσωπείται τουλάχιστον φορές στην, τότε η συνιστώσα του G [E i E j ] που περιέχει την είναι περιττός κύκλος. Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω μια κορυφή και i, j χρώματα που ικανοποιούν την υπόθεση. Έστω ότι η συνιστώσα H του G [E i E j ] που περιέχει την δεν είναι περιττός κύκλος. Από το Λήμμα 0., η H έχει έναν -χρωματισμό ακμών C όπου και τα χρώματα εκπροσωπούνται σε κάθε κορυφή βαθμού της H. Θεωρούμε ότι τα δύο χρώματα του C είναι τα i και j. Τροποποιούμε το χρωματισμό C έτσι ώστε οι ακμές της H να χρωματιστούν σύμφωνα με τον C. { Έστω C = E, E,..., E i,... E j k},..., E ο νέος k-χρωματισμός ακμών του G όπου μόνο τα E i και E j έχουν αλλάξει σε σχέση με τον C. c (v): ο αριθμός χρωμάτων που εκπροσωπούνται στην κορυφή v, v V (G), στο C. c ()= c() + και c (v) c(v) v V : v. c (v) > c(v) Άτοπο, γιατί υποθέσαμε ότι C βέλτιστο. v V (G) v V (G) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος / 3

9 Θεώρημα 0.4 [Koning]: Έστω ένα διμερές γράφημα G. Τότε, χ (G) = (G). Απόδειξη : Έστω G ένα διμερές γράφημα με χ (G) > (G). Έστω C = { E, E,..., E (G) } ένας βέλτιστος χρωματισμός ακμών του G. Έστω κορυφή : c() < d(). [Η κορυφή πάντα υπάρχει. Εάν για κάθε κορυφή ίσχυε ότι c() = d() τότε θα είχαμε έναν νόμιμο (G)-χρωματισμό ακμών [Λήμμα 0.].] Η ικανοποιεί την υπόθεση του Λήμματος 0.3. Άρα, το G περιέχει έναν περιττό κύκλο. Το G δεν είναι διμερές. Άτοπο. Θεώρημα 0.5 [Vizing-964,Gpta-966]: Έστω απλό γράφημα G. Τότε, είτε χ (G) = (G) ή χ (G) = (G) +. Απόδειξη [Fornier-973]: Έστω γράφημα G. Αρκεί να δείξουμε ότι χ (G) (G) +. Έστω ότι χ (G) > (G) + [για} να καταλήξουμε σε άτοπο]. Έστω C = {E, E,..., E (G)+ ένας βέλτιστος ( (G) + )-χρωματισμός ακμών. Έστω κορυφή : c() < d(). [Πάντα υπάρχει!! Γιατί?] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος 07 0 / 3

10 Υπάρχουν χρώματα i 0 και i : το i 0 δεν εκπροσωπείται στην ενώ το i εκπροσωπείται τουλάχιστον φορές. Έστω ότι οι ακμές v και v έχουν χρώμα i. d(v ) < (G) + Υπάρχει χρώμα, έστω i, που δεν εκπροσωπείται στην v. Το χρώμα i εκπροσωπείται στην. Έστω ότι η ακμή v έχει χρώμα i. Συνεχίζοντας με όμοιο τρόπο κατασκευάζουμε ακολουθία κορυφών v, v,... και ακολουθία χρωμάτων i, i,... τέτοια ώστε: Η v j έχει χρώμα i j. Το χρώμα i j+ δεν εκπροσωπείται στην v j. Λόγω του ότι ο βαθμός της είναι πεπερασμένος, υπάρχει μικρότερος ακέραιος l: για κάποιο k < l ισχύει i l+ = i k. v v k i k i i v v i k i v k i l i k = i l+ v l v l+ Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος 07 / 3

11 Επαναχρωματίζουμε το G: Η ακμή v j { χρωματίζεται με i j+, } i k. Έστω C = E, E,..., E (G)+ ο νέος χρωματισμός. c (v) c(v) v V (G) Το C είναι επίσης βέλτιστος ( (G) + )-χρωματισμός ακμών του G. i 0 v k i k i k v i 3 i i v v v k i l i0 /i k v l Η συνιστώσα H του G [ E i 0 E i k ] που περιέχει την είναι περιττός κύκλος [Λήμμα 0.3]. Συνεχίζοντας, επαναχρωματίζουμε το G: Η ακμή v j με χρώμα i j+, j l Η ακμή v { l παίρνει χρώμα i k γιατί } i k = i l+. Έστω C = E, E,..., E ο νέος (G)+ χρωματισμός. c (v) c(v) v V (G) Το C είναι επίσης βέλτιστος ( (G) + )-χρωματισμός ακμών του G. i 0 v k v i k i 3 i v i k+ v i v k i k i0 /i k v l i 0 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος 07 / 3

12 Η συνιστώσα H του G [ E i 0, E i k ] που περιέχει την είναι περιττός κύκλος και, επιπλέον, περιέχει την v k. Λόγω του ότι η v k έχει βαθμό στην H, η v k έχει βαθμό στην H. Άρα, η H δεν είναι περιττός κύκλος. Άτοπο. Πολλαπλότητα γραφήματος µ(g): Ο μέγιστος αριθμός ακμών που ενώνει κορυφές του G. Συμβολίζεται με µ(g). Ο Vizing απέδειξε το παρακάτω, πιο γενικό θεώρημα: Θεώρημα 0.6 [Vizing-964]: Έστω γράφημα G χωρίς βρόγχους. Τότε, (G) χ (G) (G) + µ(g). Παράδειγμα: µ µ µ (G) = µ µ(g) = µ χ (G) = 3µ = (G) + µ(g) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Φεβρουάριος 07 3 / 3