Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Transcript

1 Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα

2 Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω ότι δυο κορυφές του δεν ενώνονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Τότε είτε δεν ενώνονται με κανένα μονοπάτι, δηλαδή ανήκουν σε δυο διαφορετικές συνιστώσες (άτοπο), είτε ενώνονται με περισσότερα από ένα μονοπάτια, οπότε ο G περιέχει κύκλο (άτοπο). Έστω ότι κάθε δυο κορυφές ενός γράφου G ενώνονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Τότε προφανώς ο G είναι συνεκτικός και άκυκλος, δηλαδή είναι δέντρο κι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο.

3 Ασκηση 2η Να αποδείξετε ότι ένας συνεκτικός γράφος είναι δέντρο αν και μόνο αν έχει p κορυφές και q=p-1 ακμές. Θα αποδείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για τη μια κατεύθυνση, έστω G ένας συνεκτικός γράφος με p κορυφές και q=p-1 ακμές. Για p=1 το αποτέλεσμα είναι τετριμμένο. Έστω ότι ένας συνεκτικός γράφος με p=k κορυφές, k>1, και k-1 ακμές είναι δέντρο. Θα αποδείξουμε ότι ένας συνεκτικός γράφος με k+1 κορυφές και k ακμές είναι δέντρο. Αφού ο γράφος έχει λιγότερες ακμές από ότι οι κορυφές, θα έχει μια τουλάχιστον κορυφή βαθμού 1, έστω την u. Αφαιρώντας από το γράφο τη u θα πάρουμε ένα γράφο με k κορυφές και k-1 ακμές που είναι δέντρο εξ υποθέσεως. Έτσι η προσθήκη σε αυτό μιας κορυφής βαθμού 1, δε βλάπτει τη συνεκτικότητα και την ακυκλικότητα, και συνεπώς ο γράφος με k+1 κορυφές και k ακμές είναι κι αυτός δέντρο. Έχουμε συνεπώς αποδείξει το ζητούμενο.

4 Λύση 2 ης (συνέχεια) Για την άλλη κατεύθυνση, έστω G ένα δέντρο p κορυφών. Θα δείξουμε ότι έχει q=p-1 ακμές. Για p=1 η πρόταση ισχύει. Έστω ισχύει για p=k, k>1. Δηλαδή έστω ότι για όλα τα δέντρα k κορυφών ισχύει ότι έχουν k-1 ακμές. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για p=k+1. Έστω G ένα δέντρο με k+1 κορυφές και έστω u μια κορυφή βαθμού 1. Εάν την απομακρύνουμε, τότε ο γράφος που προκύπτει είναι κι αυτός δέντρο καθώς η απομάκρυνση κορυφής βαθμού 1 δεν καταστρέφει τη συνεκτικότητα ενός γράφου. Εφόσον ο γράφος που προκύπτει είναι δέντρο με p=k κορυφές, μπορούμε να εφαρμόσουμε την επαγωγική μας υπόθεση και να συμπεράνουμε ότι θα έχει k-1 ακμές. Επαναφέροντας τώρα την κορυφή που αφαιρέσαμε και συνδέοντας την με την κορυφή με την οποία συνδέονταν πριν την απομάκρυνση, παίρνουμε το αρχικό μας δέντρο k+1 κορυφών. Ο αριθμός όμως των ακμών του δέντρου αυτού είναι (k-1)+1=k, άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.

5 Ασκηση 3η Κάθε δέντρο με τουλάχιστον 2 κορυφές έχει τουλάχιστον δυο κορυφές βαθμού 1 (ακραίες κορυφές). Έστω G ένα δέντρο με p 2 κορυφές. Από το θεώρημα των δέντρων γνωρίζουμε ότι ο G έχει q=p-1 ακμές. Από το θεώρημα του Euler, έπεται ότι το άθροισμα των βαθμών των κορυφών του δέντρου είναι ίσο με 2(p-1) = 2p-2. Εάν είτε όλες οι p κορυφές ή οι p-1 από αυτές είχαν βαθμό 2 ή μεγαλύτερο, τότε το άθροισμα θα ήταν μεγαλύτερο από 2p ή 2p-1 αντίστοιχα, πράγμα άτοπο. Συνεπώς, το πολύ p-2 από τις p κορυφές μπορούν να έχουν βαθμό μεγαλύτερο του 1 και, άρα τουλάχιστον p-(p-2)=2 κορυφές θα έχουν βαθμό 1. (αφού το δέντρο είναι συνεκτικός γράφος, δεν μπορούν να υπάρχουν κορυφές βαθμού 0, δηλαδή απομονωμένες κορυφές).

6 Ασκηση 4 η Κάθε συνεκτικός δέντρο. γράφος έχει ένα γεννητικό Έστω G ένας συνεκτικός γράφος. Εάν ο G δεν περιέχει κύκλους τότε αποτελεί γεννητικό δέντρο του εαυτού του. Εάν περιέχει κύκλο, τότε απομακρύνουμε συνεχώς ακμές του G που βρίσκονται πάνω σε κύκλους μέχρι να μην υπάρχει κύκλος (κάθε απομάκρυνση ακμής καταστρέφει ένα τουλάχιστον κύκλο). Η βασική παρατήρηση είναι ότι η απομάκρυνση ακμής που βρίσκεται πάνω σε κύκλο, δεν καταστρέφει τη συνεκτικότητα του G καθώς αποκλείεται να αποτελεί γέφυρα (να βρίσκεται δηλαδή πάνω σε όλα τα δυνατά μονοπάτια μεταξύ ενός ζεύγους κορυφών του G).

7 Ασκηση 5 η Ένα δυαδικό δέντρο είναι ένα δέντρο στο οποίο υπάρχει μια διακεκριμένη κορυφή βαθμού 2 που καλείται ρίζα του δέντρου και όλες οι εσωτερικές κορυφές του είναι βαθμού 3. Να δείξετε ότι ένα δυαδικό δέντρο έχει περιττό αριθμό κορυφών. Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των κορυφών σε ένα γράφο που έχουν περιττό βαθμό είναι άρτιος. Σε ένα δέντρο, μόνο η ρίζα είναι άρτιου βαθμού καθώς όλες οι εσωτερικές κορυφές έχουν βαθμό 3 ενώ όλες οι ακραίες κορυφές έχουν βαθμό 1. Εάν συνυπολογίσουμε και τη ρίζα στις κορυφές αυτές, θα έχουμε συνολικά στο δέντρο περιττό αριθμό κορυφών.

8 Ασκηση 6 η Σε κάθε δυαδικό δέντρο p κορυφών, υπάρχουν ½(p+1) ακραίες κορυφές. (Από προηγούμενη άσκηση, στα δυαδικά δέντρα το p είναι περιττός αριθμός). Έστω G ένα δυαδικό δέντρο p κορυφών και έστω m ο αριθμός των ακραίων κορυφών του. Τότε θα υπάρχουν (p-m) εσωτερικές κορυφές στο δυαδικό δέντρο και (p-m-1) κορυφές οι οποίες θα έχουν βαθμό 3 (αφαιρούμε τη ρίζα, καθώς έχει βαθμό 2). Συνεπώς, από τον τύπο του Euler (αν αθροίσουμε τους βαθμούς των κορυφών), ο αριθμός των ακμών στο δέντρο αυτό θα είναι ίσος με ½(3(p-m-1)+2+m) Όπου το 2 είναι ο βαθμός της ρίζας και το m είναι το άθροισμα των βαθμών των ακραίων κορυφών. Καθώς όμως ο G είναι δέντρο, η παραπάνω έκφραση θα πρέπει να είναι ίση με p-1 (αριθμός ακμών σε δέντρο p κορυφών). Εξισώνοντας τις δυο αυτές εκφράσεις και απλοποιώντας, παίρνουμε το ζητούμενο.