ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 ΓΕ Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΒΔΕ και ΓΖΕ. (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 10)

Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΚΒΣ και ΚΔΣ είναι ίσα. (Μονάδες 10) ii. ΚΛ=ΚΜ. (Μονάδες 10) β) Να αιτιολογήσετε γιατί οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες. (Μονάδες 5)

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο μέσο Δ της πλευράς ΑΒ φέρουμε κάθετη ευθεία που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΕ= ΒΕ. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)

Στο σχήμα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτομένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σημείο του Α και επιπλέον ισχύουν Γ A ˆx = 85 και ˆB Α = 40. α) Να αποδείξετε ότι B = 45. (Μονάδες 10) ˆ1 β) Να υπολογίσετε τη γωνία φˆ. (Μονάδες 15)

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) το ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) γ) η ΑΗ είναι διάμεσος του ΒΑΕ τριγώνου. (Μονάδες 9)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) ΕΗ = ΔΖ. (Μονάδες 12) Αν

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο φέρουμε τις διαμέσους του ΒΜ και ΓΝ. Προεκτείνουμε την ΒΜ (προς το Μ) κατά τμήμα ΜΔ=ΒΜ και την ΓΝ (προς το Ν) κατά τμήμα ΝΕ=ΓΝ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ//ΒΓ και ΑΕ//ΒΓ. (Μονάδες 13) β) Είναι τα σημεία Ε, Α και Δ συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διαγώνιός του ΒΔ. Από τις κορυφές Α και Γ φέρουμε τις κάθετες ΑΕ και ΓΖ στη ΒΔ, που την τέµνουν στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΒΖ είναι ίσα. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΓΑ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΑ=ΑΕ (Μονάδες 8) β) Τα σημεία Δ, Α και Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. (Μονάδες 9) γ) ΔΕ=ΒΓ (Μονάδες 8)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Από το Δ διέρχεται μια τυχαία ευθεία (ε) που τέμνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σημείο Ε. Η ευθεία (ε) χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε ένα τρίγωνο ΑΔΕ και σε ένα τετράπλευρο ΒΔΕΓ. α) Ποια πρέπει να είναι η θέση του σημείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΒΔΕΓ να είναι τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12) β) Ποιο πρέπει να είναι το είδος του ΑΒΓ τριγώνου, ώστε το τραπέζιο του ερωτήματος (α) να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, προεκτείνουμε την πλευρά ΔΑ (προς το Α) κατά τμήμα ΑΗ=ΔΑ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ˆ, η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Το τρίγωνο ΔΖΗ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Ζˆ. (Μονάδες 13)

Δίνεται ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ˆ του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Είναι το σημείο Ε μέσο της πλευράς ΑΒ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Θεωρούμε σημείο Ε του τμήματος ΑΟ και σημείο Ζ του τμήματος ΟΓ, ώστε ΟΕ=ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΒΖ (Μονάδες 12) β) το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ), η διχοτόμος τη γωνίας Γˆ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ. Από το Δ φέρουμε προς την πλευρά ΒΓ την κάθετο ΔΕ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ=ΔΕ (Μονάδες 13) β) ΑΔ<ΔΒ (Μονάδες 12)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ). Η διχοτόμος της γωνίας Βˆ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. Φέρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΕ=ΑΒ. (Μονάδες 12) β) Αν επιπλέον Β Α ˆ = 55, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ. (Μονάδες 13)

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( Â = 90 ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ= ΒΓ 2 (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8) ΑΓ γ) ΔΕ= 2 (Μονάδες 9)

ο Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία Αˆ = 120 και ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δ του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε, και στη συνέχεια το κάθετο τμήμα ΑΖ στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) γωνία Α Ε ˆ = 30. (μον.10) ΑΒ β) ΑΖ = (μον.15) 4

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς την ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. (Μονάδες 15)

ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΑΔ=ΑΕ (Μονάδες 10)

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΚ=ΜΛ. (Μονάδες 13) β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. (Μονάδες 12)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι α) ΜΔ=ΜΕ (Μονάδες 12) β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές (Μονάδες 13)

o Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ) με ΒΓ = 8 cm. Έστω ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου και ΜΔ ΑΓ. Αν η γωνία ΑΜΓ ˆ είναι ίση με 120 ο, τότε: α) Να δείξετε ότι ΑΒ = 4 cm. (Μονάδες 12) β) Να βρείτε το μήκος της ΜΔ. (Μονάδες 13)

o Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Aˆ = Δˆ = 90, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και ˆΒ = 60 ο. Φέρουμε την ΓΗ ΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ = 3ΓΔ. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στην προέκταση της ΒΑ (προς το μέρος της κορυφής Α) παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΑΒ = ΑΔ και στην προέκταση της ΔΓ (προς το μέρος της κορυφής Γ) παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΔΓ = ΓΕ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΓΒ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12) β) Να δείξετε ότι ΒΕ//ΑΓ και ΒΕ ΑΓ =. (Μονάδες 13) 2

Ένας μαθητής της Α' λυκείου βρήκε έναν τρόπο να κατασκευάζει παράλληλες ευθείες. Στην αρχή σχεδιάζει μια τυχαία γωνία ΧΟΨ. Στη συνέχεια με κέντρο την κορυφή Ο της γωνίας σχεδιάζει δυο ομόκεντρους διαφορετικούς κύκλους με τυχαίες ακτίνες. Ο μικρότερος κύκλος τέμνει τις πλευρές ΟΧ και ΟΨ της γωνίας στα σημεία Α, Β αντίστοιχα και ο μεγαλύτερος στα σημεία Γ, Δ. Ισχυρίζεται ότι οι ευθείες που ορίζονται από τις χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες. Μπορείτε να το δικαιολογήσετε; (Μονάδες 25)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Μ και Κ, Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με ΜΒ=ΜΓ. (Μονάδες 12) β) Να δείξετε ότι ΜΚ=ΜΛ. (Μονάδες 13)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο η εξωτερική γωνία Α είναι διπλάσια της εσωτερικής γωνίας Β. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. (Μονάδες 10) β) Η μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο εσωτερικό της σημείο Δ. Αν η γωνία ΑΔΒ είναι ίση με 80 ο, τότε να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 15)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες Αx και Αy τέτοιες ώστε Αx ΑΒ και Αy ΑΓ. Στις Αx και Αy θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ=ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μονάδες 12) β) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των τμημάτων ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΜΝ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)

Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες Αx και Αy τέτοιες ώστε Αx ΑΒ και Αy ΑΓ. Οι κάθετες στην πλευρά ΒΓ στα σημεία Β και Γ τέμνουν τις Αx και Αy στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μονάδες 12) β) Αν η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με 80 ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΑΕ. (Μονάδες 13)

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ και Ε το μέσο της πλευράς του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. (Μονάδες 15)

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Βˆ και Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Οι γωνίες Α Ι Γ και Α Ι Β είναι ίσες. (Μονάδες 10) γ) Η ευθεία ΑΙ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ=ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Η ΒΕ διέρχεται από το μέσο της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 13)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ=ΔΕ. Αν το σημείο Ζ είναι το ίχνος του Δ στην ΑΜ, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12) ΒΓ β) Ζ = (Μονάδες 13) 4

Στο ακόλουθο σχήμα, η εφαπτομένη του κύκλου στην κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζει γωνία φ=30 ο με την πλευρά ΑΒ. Αν το μέτρο του τόξου Β Γ είναι 160 ο, α) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 18) β) να βρείτε το μέτρο του τόξου ΑΕΓ. (Μονάδες 7)

Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. ˆΓ ˆ 60 ο = =, ΑΔ=12 και ΓΔ=20. α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου. (Μονάδες 13)

Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ). Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΓΖ. (Μονάδες 12) β) ΑΖ=ΒΕ. (Μονάδες 13)

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξτε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) Το τετράπλευρο ΑΖΔΕ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)

Έστω δυο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Α Β Γ (Α Β =Α Γ ). α) Να αποδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΒ = Α'Β' και Λ Λ Α = Α', τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Να αποδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΓ = Α'Γ' και Λ Λ Β = Β', τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. (Μονάδες 12)

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) β) Η ευθεία ΔΖ διχοτομεί το τμήμα ΑΕ. (Μονάδες12)

ο Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και γωνία Γ = 30. Θεωρούμε το ύψος ΑΔ και το μέσο Ζ της πλευράς ΑΓ. Προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ (προς το Δ) κατά ίσο τμήμα ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) =. (Μονάδες 12) β) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 13)

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές του ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ, τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΓ=ΑΒ. (Μονάδες 13)

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. (Μονάδες 13)

ο Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε το ΑΔ (προς το Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ. Έστω Κ το συμμετρικό του Β ως προς το Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΚ είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)

ο Θωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σημεία Δ και Ε στην ευθεία ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ=ΓΕ. Έστω ότι και. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΒΖ=ΓΗ. (Μονάδες 10) ii. Το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) Αν 50, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΖΗ. (Μονάδες 8)

Στο ακόλουθο σχήμα, η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και το Ε είναι σημείο στην προέκταση της ΑΔ, ώστε ΔΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=ΓΕ (Μονάδες 12) β) (Μονάδες 13)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ) και η διχοτόμος της γωνίας του, η οποία τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Από το Δ φέρουμε. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΔΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Η ευθεία ΓΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΕ. (Μονάδες 12)

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Έστω ότι και. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε ΑΖ=ΑΕ. (Μονάδες 12) β) Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΖ=ΑΕ, τότε αυτό είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)

Σ η ικύκ ιο ια έτ ο ΑΒ π ο κτ ί ο τη ΑΒ π ος το έ ος το Α και παί ο έ α ση ίο Γ. Θ ω ού Ε έ α ση ίο το η ικ κ ίο και έστω το ση ίο το ής το τ ή ατος ΓΕ το η ικύκ ιο. Α το τ ή α Γ ισούται το ΟΒ και η ω ία, α πο ο ίσ τ τη ω ία Μο ά ς 25)

ί ται τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ // Γ στο οποίο η ια ώ ιος Β ί αι ίση τη π ά Α. Α η ω ία και η ω ία, α πο ο ίσ τ τη ω ία. Μο ά ς 25)

Θ ω ού ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ). Οι σοκάθ τ ς θ ί ς τω ίσω π ώ το τέ ο ται στο Μ και π ο κτ ι ό ς τέ ο τη βάση ΒΓ στα Ζ και Η. α) α σ κ ί τ τα τ ί ω α ΒΗ και ΕΖΓ. Μο ά ς 5) β) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΜΖΗ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0)

ί ται ισοσκ ές τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ και ΑΒ<Γ. Θ ω ού τα ση ία Ε και Ζ πά ω στη ΑΒ έτσι ώστ ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ το ση ίο το ής τω Ζ και ΓΕ. α απο ί τ ότι: α) Ζ=ΓΕ (Μο ά ς ) β) Τα τ ί ω α ΕΚΖ και ΚΓ ί αι ισοσκ ή (Μο ά ς 2)

Στο ακό ο θο σχή α η πίκ τ η ω ία 15. ˆ ί αι 20 και η ω ία ˆ ί αι α) α πο ο ίσ τ τη ω ία ΒΓ. (Μο ά ς 2) β) α απο ί τ ότι η ω ία ω ί αι 45. (Μο ά ς )

Σ κύκ ο κέ τ ο Ο ί ο ται οι χο ές ΑΒ και Α τέτοι ς ώστ η ω ία ˆ α ί αι 44. Θ ω ού τ χαίο ση ίο Γ το κύκ ο και σχη ατίζο το τ τ άπ ο ΒΓ Ο. α) α πο ο ίσ τ τη ω ία x. (12 Μο ά ς) β) α απο ί τ ότι η ω ία y ί αι 6. Μο ά ς)

Α στο πα ακάτω σχή α ί αι ˆ ˆ, ˆ ˆ και ΑΒ=ΑΓ, α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΒ και ΑΓ ί αι ίσα. 2 Μο ά ς) β) Οι ω ί ς και ζ ί αι ίσ ς. Μο ά ς)

ί ται πα α η ό α ο ΑΒΓ και Ο ί αι το κέ τ ο το. Έστω Ε, Ζ, Η, Θ τα έσα τω Ο, ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ α τίστοιχα. α απο ί τ ότι : α) Το τ τ άπ ο ΕΖΗΘ ί αι πα α η ό α ο. (Μο ά ς 0) β) Α η π ί τ ος το πα α η ο ά ο ΑΒΓ ί αι 40, α β ίτ τη π ί τ ο το ΕΘΗΖ. (Μο ά ς 5)

Σ κύκ ο κέ τ ο Ο, έστω ΟΑ ία ακτί α το. Φέ ο τη σοκάθ τη της ΟΑ πο τέ ι το κύκ ο στα ση ία Β και Γ. α απο ί τ ότι: α) Το τ ί ω ο ΟΒΑ ί αι ισόπ ο. (Μο ά ς ) β) Το τ τ άπ ο ΟΒΑΓ ί αι ό βος. (Μο ά ς 12)

Έστω κ τό τ τ άπ ο ΑΒΓ και. α απο ί τ ότι: α) Μο ά ς 8) β) Το τ ί ω ο Α Γ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0) β) Η θ ία Β ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος ΑΓ. Μο ά ς 7)

ί ται ω ία xoy και ση ίο Α στο σωτ ικό της. Από το Α φέ ο τις κάθ τ ς ΑΒ, ΑΓ π ος τις π ές Οx, Oy της ω ίας α τίστοιχα, και ο ο άζο Μ το έσο το ΟΑ. α απο ί τ ότι: α) Το τ ί ω ο ΒΜΓ ί αι ισοσκ ές. (Μο ά ς 0) β) = 2 xoy (Μο ά ς 5)

Α ια το ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) το σχή ατος ισχύο και, α ά τ ια από ι η ια καθέ α από το ς ακό ο θο ς ισχ ισ ούς: α) Τα τ ί ω α ΑΕΒ και ΑΕΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 8) β) Το τ ί ω ο ΓΕΒ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 8) ) Η θ ία Α ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος ΒΓ. Μο ά ς 9)

Σ κύκ ο κέ τ ο Ο θ ω ού τ ις ια οχικές ίσ ς ω ί ς ΑΟΒ, ΒΟΓ και ΓΟΑ. α) α απο ί τ ότι η π οέκταση της ακτί ας ΑΟ ιχοτο ί τη ω ία ΒΟΓ. (Μο ά ς 10) β) α β ίτ το ί ος το τ ι ώ ο ΑΒΓ ως π ος τις π ές το. (Μο ά ς 8) ) Α κέ τ ο Ο και ακτί α ΟΚ όπο Κ το έσο της ακτί ας ΟΑ, ά ο έ α ά ο κύκ ο πο θα τέ ι τις ακτί ς ΟΒ και ΟΓ στα ση ία και Μ α τίστοιχα, τότ τα τό α ΚΜ και ΑΒ ί αι ίσα; ικαιο ο ήστ τη απά τησή σας. (Μο ά ς 7)

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ και. Επιπ έο, τα ση ία, Ε και Ζ ί αι τα έσα τω π ώ το ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ α τίστοιχα. α) α πο ο ίσ τ τη ω ία το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ ότι. Μο ά ς 9) ) α πο ο ίσ τ τη ω ία. Μο ά ς 8)

ί ται θ ία το πιπέ ο. Τα πα ά η α τ ή ατα ΑΒ και Γ καθώς και έ α τ χαίο ση ίο Ε β ίσκο ται στο ί ιο η ι πίπ ο της. α απο ί τ ότι: α) Α το Ε ί αι κτός τω τ η άτω ΑΒ και Γ τότ : + (Μο ά ς 0) β) Α το Ε ί αι α ά σα στα τ ή ατα ΑΒ και Γ και ΕΖ//ΑΒ, τότ α απο ί τ ότι (Μο ά ς 5)

ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και Κ σωτ ικό ση ίο το τ ι ώ ο τέτοιο ώστ ΚΒ=ΚΓ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΒΑΚ και ΚΑΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Η ΑΚ ί αι ιχοτό ος της ω ίας. Μο ά ς 6) ) Η π οέκταση της ΑΚ ιχοτο ί τη ω ία το τ ι ώ ο ΒΚΓ. Μο ά ς 7)

ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ). Στη π οέκταση της π άς ΒΓ και π ος τα ο της άκ α, θ ω ού ση ία και Ε α τίστοιχα έτσι ώστ Β = ΓΕ. α απο ί τ ότι: α) Μο ά ς 6) β) Τα τ ί ω α ΑΒ και ΑΓΕ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) ) Η ιά σος ΑΜ το τ ι ώ ο ΑΒΓ ί αι και ιά σος το τ ι ώ ο Α Ε. Μο ά ς 7)

ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ και. Έστω Κ ση ίο της ιχοτό ο της ω ίας, τέτοιο ώστ ΚΒ=ΚΑ=ΚΓ. α) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΒΚΑ και ΓΚΑ ί αι ίσα. Μο ά ς 0) β) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς και. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ τη ω ία. Μο ά ς 7)

ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ ). Έστω ση ίο της π άς ΑΓ τέτοιο ώστ, η ιχοτό ος Ε της ω ίας α ί αι πα ά η η στη π ά ΒΓ. α απο ί τ ότι: α) Το τ ί ω ο Β Γ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0) β) Α, I. α πο ο ίσ τ τη ω ία. (Μο ά ς 8) II. α απο ί τ ότι Μο ά ς 7)

ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και η ιά σός το ΑΜ. Φέ ο η ι θ ία π ος το η ι πίπ ο πο α ήκ ι το Α και παί ο σ α τή τ ή α Γ = ΑΒ. α απο ί τ ότι: α) Η ω ία ί αι ίση τη ω ία. Μο ά ς 2) β) Η Α ί αι ιχοτό ος της ω ίας. Μο ά ς )

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ<ΑΓ. Έστω Αχ η ιχοτό ος της ωτ ικής το ω ίας = 120 0.Από τη κο φή Β φέ ο θ ία πα ά η η στη Αχ, η οποία τέ ι τη π ά ΑΓ στο ση ίο. α) α απο ί τ ότι: i. το τ ί ω ο ΑΒ ί αι ισόπ ο. Μο ά ς 0) ii. = Μο ά ς 5) β) Α η ω ία ί αι ιπ άσια της ω ίας το τ ι ώ ο ΑΒΓ, α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο Β Γ. Μο ά ς 0)

Στις π ο κτάσ ις τω π ώ ΒΑ (π ος το Α) και ΓΑ π ος το Α) τ ι ώ ο ΑΒΓ παί ο τα τ ή ατα Α =ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΒΓ και Α Ε ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Ε //ΒΓ Μο ά ς )

Στις π ο κτάσ ις τω π ώ ΒΑ και ΓΑ τ ι ώ ο ΑΒΓ παί ο τα τ ή ατα Α =ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ. α απο ί τ ότι α) Τα τ ί ω α ΑΒΓ και Α Ε ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Η π οέκταση της ια έσο ΑΜ π ος το έ ος της κο φής Α ιχοτο ί τη π ά Ε το τ ι ώ ο ΑΕ. Μο ά ς )

Σ ο θο ώ ιο ΑΒΓ, α Μ και ί αι τα έσα τω ΑΒ και Γ α τίστοιχα, α απο ί τ ότι: α) Μ =ΜΓ. Μο ά ς 2) β) Η θ ία Μ ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος Γ. Μο ά ς )

Θ ω ού πα α η ό α ο ΑΒΓ και Α, Γ οι π οβο ές τω κο φώ Α και Γ στη ια ώ ιο Β. Α τα ση ία Α και Γ τα τίζο ται, α απο ί τ ότι: α) ΑΑ // ΓΓ Μο ά ς 8) β) ΑΑ =ΓΓ Μο ά ς 0) β) Το τ τ άπ ο ΑΓ ΓΑ ί αι πα α η ό α ο. Μο ά ς 7)

Θ ω ού ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και ση ίο Μ σωτ ικό το τ ι ώ ο, τέτοιο ώστ ΜΒ=ΜΓ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΜΒ και ΑΜΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Η θ ία ΑΜ ιχοτο ί τη ω ία. Μο ά ς )

ί ται τ ί ω ο ισοσκ ές ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) ω ία π άς ΑΓ, τέτοιο ώστ Β =ΒΓ. = 50 0. Έστω ί αι ση ίο της α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 2) β) α απο ί τ ότι η ω ία ί αι ίση τη ω ία. Μο ά ς )

Θ ω ού ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ = 90 0 ) = 40 0. Έστω τ χαίο ση ίο της π άς ΑΓ και. α πο ο ίσ τ : α) τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΕΓ. Μο ά ς 0 ) β) τις ω ί ς το τ τ απ ύ ο Α ΕΒ. Μο ά ς 5)

Θ ω ού ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) ω ία κο φής = 40 0. Στη π οέκταση της ΓΒ (π ος το Β) παί ο τ ή α Β τέτοιο ώστ =. α πο ο ίσ τ α) τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 0) β) τη ω ία. Μο ά ς 5)

Θ ω ού ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ = 90 0 ). Έστω ότι η Α ί αι η ιχοτό ος της ω ία Α και η //. Α η ω ία = 20 0 +, α) α πο ο ίσ τ : I. τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 8) II. τις ω ί ς και. Μο ά ς 0) β) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΕ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 7)

Θ ω ού ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ = 90 0 ) ω ία = 2. Από το έσο Μ της ΒΓ φέ ο θ ία πα ά η η στη ΑΒ, η οποία τέ ι τη π ά ΑΓ στο. α) α πο ο ίσ τ I. τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 7) II. τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΜΓ. Μο ά ς 9) β) α απο ί τ ότι η θ ία Μ ί αι σοκάθ τος το ΑΓ. Μο ά ς 9)

Στο πα ακάτω σχή α ισχύο Β=ΒΑ=ΑΓ=ΓΕ και = 40 0. α απο ί τ ότι α) = = 110 0. Μο ά ς 0) β) τα τ ί ω α ΑΒ και ΑΓΕ ί αι ίσα. Μο ά ς 0) ) το τ ί ω ο ΑΕ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 5)

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ = 40 0 και = 70 0. Τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω ΑΒ και ΑΓ = 9 και = 16. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ισοσκ ές και α β ίτ ποι ς ί αι οι ίσ ς π ές το. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ ότι ΒΓ= 8. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

Θ ω ού πα α η ό α ο ΑΒΓ. Α οι ιχοτό οι τω απέ α τι ω ιώ και τέ ο τις π ές ΑΒ και Γ στα ση ία Ε και Ζ α τίστοιχα, α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΕ και ΒΓΖ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Το τ τ άπ ο ΕΒΖ ί αι πα α η ό α ο. Μο ά ς )

Στις π ές Α και ΒΓ πα α η ο ά ο ΑΒΓ θ ω ού ση ία E και Z, τέτοια ώστ ΑE=ΓZ. Α η θ ία ΖΕ τέ ι τις π ο κτάσ ις τω π ώ ΑΒ και Γ στα ση ία H και Θ, α απο ί τ ότι: α) = (Μο ά ς 8) β) = Μο ά ς 8) ) ΒΗ=Θ Μο ά ς 9)

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ. Έστω ότι τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΒΓ και ΑΓ α τίστοιχα, τέτοια ώστ. α) α ικαιο ο ήσ τ ιατί. Μο ά ς 8) β) α πο ο ίσ τ I. τη ω ία. Μο ά ς 8) II. τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

Έστω τ ί ω ο ΑΒΓ και Ε τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα, Α =9, ΕΓ= 0 και ΒΓ= 0. α) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9) β) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο ΕΓΒ ί αι τ απέζιο. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ το ήκος x το τ ή ατος Ε. Μο ά ς 8)

Στο τ ί ω ο ΑΒΓ το πα ακάτω σχή ατος τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα, ΑE=8, Ε =9 και Β= 0. α) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο ΕΓΒ ί αι τ απέζιο. Μο ά ς 8) β) α πο ο ίσ τ το ήκος της π άς ΒΓ. (Μο ά ς 8) ) α σ κ ί τ τις π ι έτ ο ς το τ ι ώ ο ΑΒΓ και το τ τ απ ύ ο ΕΓΒ. Μο ά ς 9)

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ. Τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα. Επιπ έο ισχύο Α =Ε = Β ΑΕ=8 και Β= 0. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΕΒ ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ ότι ΒΓ=20. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9 )

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ. Τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα. Επιπ έο ισχύο Α =Ε = Β ΑΕ=8 και Β= 0. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΕΒ ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 6) β) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

Από ωτ ικό ση ίο Ρ ός κύκ ο Ο, ) φέ ο τα φαπτό α τ ή ατα ΡΑ και ΡΒ. Α Μ ί αι έ α τ χαίο σωτ ικό ση ίο το θ ά ο τ ή ατος ΟΡ, α απο ί τ ότι: α) τα τ ί ω α ΡΑΜ και PMB ί αι ίσα. (Μο ά ς 2) β) οι ω ί ς και ί αι ίσ ς. (Μο ά ς )

Στο πα ακάτω σχή α ί αι 1 // 2 και το ση ίο Ο ί αι το έσο της Β. α απο ί τ ότι: α) τα τ ί ω α ΑΟΒ και ΓΟ ί αι ίσα και α ά τ τα ίσα στοιχ ία το ς. Μο ά ς 2) β) το ΑΒΓ ί αι πα α η ό α ο. Μο ά ς )

Στο πα ακάτω σχή α ί αι 1 // 2 και AB=6. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς φ και ω. Μο ά ς 0) β) α π οσ ιο ίσ τ το ί ος το τ ι ώ ο ΑΒΚ ως π ος τις ω ί ς το. Μο ά ς 7) ) α πο ο ίσ τ το ήκος της ΑΚ, αιτιο ο ώ τας τη απά τησή σας. Μο ά ς 8)

Στο πα ακάτω σχή α ί ται κύκ ος O,R) και τα φαπτό α τ ή ατα ΜΑ και ΜΒ. Π ο κτ ί ο τη ΑΜ κατά τ ή α ΜΓ=ΜΑ και τη ΟΜ κατά τ ή α Μ =ΟΜ. α) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΟΜΒ και ΜΓ ί αι ίσα, και α ά τ τα ίσα στοιχ ία το ς. Μο ά ς ) β) α αιτιο ο ήσ τ ιατί ΟΑ//Γ. Μο ά ς 2)

ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και στις ίσ ς π ές ΑΒ,ΑΓ παί ο α τίστοιχα 1 1 τ ή ατα Α = ΑΒ και ΑΕ= ΑΓ. Α Μ ί αι το έσο της ΒΓ, α απο ί τ ότι: 3 3 α) τα τ ή ατα Β και ΓΕ ί αι ίσα. Μο ά ς 5) β) τα τ ί ω α Β Μ και ΜΕΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 0) ) το τ ί ω ο ΕΜ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0)

ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΚΑΒ (ΚΑ=ΚΒ) και ΚΓ ιχοτό ος της ω ίας Kˆ. Στη π οέκταση της ΒΑ π ος το Α) παί ο ση ίο και στη π οέκταση της ΑΒ π ος το Β) παί ο ση ίο Μ, έτσι ώστ Α =ΒΜ. α απο ί τ ότι: α) το τ ί ω ο Κ Μ ί αι ισοσκ ές Μο ά ς 12) β) η ΚΓ ί αι ιά σος το τ ι ώ ο Κ Μ Μο ά ς 13)

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ Â 80 και ˆB 20 ˆ, και Α η ιχοτό ος της ω ίας Â. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς ˆ και ˆ. Μο ά ς 2) β) Φέ ο από το θ ία πα ά η η στη ΑΒ, πο τέ ι τη ΑΓ στο Ε. α πο ο ίσ τ τις ω ί ς ˆ, ˆ. Μο ά ς 13)

ί ται τ τ άπ ο ΑΒΓ ΒA=ΒΓ και A= Γ. Οι ια ώ ιοι ΑΓ, Β το τ τ απ ύ ο ί αι ίσ ς και τέ ο ται κάθ τα. α απο ί τ ότι: α) Η Β ί αι ιχοτό ος τω ω ιώ Β και το τ τ απ ύ ο ΑΒΓ. (Μο ά ς 2) β) Η Β ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος ΑΓ. (Μο ά ς )

ί ται ισόπ ο τ ί ω ο ΑΒΓ. Φέ ο τη ωτ ική ιχοτό ο Αx της ω ίας ˆΑ και από το ση ίο Γ τη κάθ το Γ στη Αx. Τα ση ία Ε και Ζ ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα. α απο ί τ ότι: α) το τ ί ω ο ΑΖ ί αι ισόπ ο. (Μο ά ς ) β) το τ τ άπ ο Α ΖΕ ί αι ό βος. (Μο ά ς 2)

ο ί ται κύκ ος Ο, R) ια έτ ο ΑΒ, και χο ή ΑΓ τέτοια ώστ ΒΑΓ ˆ 0. Στο ση ίο Γ φέ ο τη φαπτο έ η το κύκ ο, η οποία τέ ι τη π οέκταση της ια έτ ο ΑΒ π ος το Β) στο ση ίο. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΟΓ. (Μο ά ς 2) β) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΑΟΓ και ΓΒ ί αι ίσα. (Μο ά ς )

ί ται ω ία xoy και η ιχοτό ος της Ο. Θ ω ού ση ίο Μ της Ο και ση ία Α και Β στις η ι θ ί ς Οx και Oy α τίστοιχα, τέτοια ώστ ΟΑ=ΟΒ. α απο ί τ ότι: α) MA=MB. (Μο ά ς 5) β) Η Ο ί αι ιχοτό ος της ω ίας ˆ AMB. (Μο ά ς 0)

Σ πα α η ό α ο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ) ΑΒ > ΒΓ φέ ο από τις κο φές Α και Γ καθέτο ς στη ια ώ ιο Β, οι οποί ς τη τέ ο σ ιαφο τικά ση ία Ε και Ζ α τίστοιχα. α απο ί τ ότι: α) ΑΕ=ΓΖ. (Μο ά ς 5) β) Το τ τ άπ ο ΑΕΓΖ ί αι πα α η ό α ο. (Μο ά ς 0) Γ

Θ ω ού ισοσκ ές τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ) Γ >ΑΒ και ˆΒ = 135 ο. Από τις κο φές Α και Β φέ ο τα ύ η το ΑΕ και ΒΖ. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ απ ζίο. (Μο ά ς 0) β) α απο ί τ ότι ΑΕ=Ε =ΒΖ=ΓΖ (Μο ά ς 5)

ί ται ο ώ ιο τ ί ω ο ΑΓΒ. Φέ ο από τη κο φή Α θ ία ) πα ά η η στη ΒΓ. Η σοκάθ τος της π άς ΑΒ τέ ι τη ) στο και τη ΒΓ στο Ε. α) α απο ί τ ότι Α= Β και ΕΑ=ΕΒ. (Μο ά ς 6) β) Α Μ το έσο το ΑΒ, α σ κ ί τ τα τ ί ω α ΑΜ και ΕΜΒ. (Μο ά ς 0) ) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο Α ΒΕ ί αι ό βος. (Μο ά ς 9)

Σ τ ί ω ο ΑΒΓ ισχύ ι Αˆ Γ 20 ˆ 0 και Αˆ Γˆ. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ο θο ώ ιο και α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το. (Μο ά ς 5) β) Α η π ά ΒΓ=2cm α β ίτ το ήκος της ΑΒ. (Μο ά ς 0)

Α Α ˆΟ Β=Β ˆΟ Γ=Γ ˆΟ και ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=Ο, α απο ί τ ότι: α) ΑΓ=Β. (Μο ά ς 0) β) το Μ ί αι έσο της Β, όπο Μ το ση ίο το ής τω τ η άτω ΟΓ και Β. (Μο ά ς 5)

ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ ˆΑ 90 0 και 0 ˆΓ 25. ί ο ται πίσης η ιά σος ΑΜ, το ύ ος ΑΗ από τη κο φή Α και η ιχοτό ος Α της ω ίας ˆΑ. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς ˆ ΑΜΒ, ˆ ΗΑΒ, ˆ Α Β. Μο ά ς 5) 0 β) α απο ί τ ότι ΜΑ ˆ ΑΗ ˆ 20. Μο ά ς 0)

ί ται ισοσκ ές τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ), ΑΒ=6, ΒΓ=4 και πίσης τα ύ η ΑΕ και ΒΖ από τις κο φές Α και Β α τίστοιχα. ˆΓ 60 0. ί ο ται α) α πο ο ίσ τ τις πό οιπ ς ω ί ς το τ απ ζίο ΑΒΓ. (Μο ά ς 6) β) α απο ί τ τα τ ί ω α ΑΕ, ΒΖΓ ί αι ίσα. (Μο ά ς 10) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το ΑΒΓ. (Μο ά ς 9)

ί ται τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ), ΑΒ=ΒΓ=4, ύ ος ΒΕ από τη κο φή Β. ˆΑ 90 0 και ˆΓ 60 0. ί ται πίσης το α) α πο ο ίσ τ τις ά ς ο ω ί ς το τ απ ζίο ΑΒΓ. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ 2ΕΓ=ΒΓ. Μο ά ς 9) ) Α Μ, τα έσα τω π ώ Α, ΒΓ α τίστοιχα α β ίτ το ήκος το θ ά ο τ ή ατος Μ. Μο ά ς 8)

ί ται κύκ ος κέ τ ο Ο, και από έ α ση ίο Ρ κτός α τού φέ ο τα φαπτό α τ ή ατα ΡΑ και ΡΒ. Το τ ή α ΡΟ τέ ι το κύκ ο στο ση ίο Μ και η φαπτο έ η το κύκ ο στο Μ τέ ι τα ΡΑ και ΡΒ στα ση ία και Γ α τίστοιχα. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο Ρ Γ ί αι ισοσκ ές. (Μο ά ς 13) β) Α η ω ία ΑΡΒ ί αι 40 0 α πο ο ίσ τ τη ω ία ΑΟΒ. (Μο ά ς 12)

ί ται ισόπ ο τ ί ω ο ΑΒΓ. Στη π οέκταση της ΒΓ π ος το έ ος το Γ) θ ω ού τ ή α Γ =ΒΓ. Φέ ο τ ή α Ε κάθ το στη Α στο ση ίο της, τέτοιο ώστ Ε=ΒΓ. ( Α και Ε στο ί ιο η ι πίπ ο ως π ος τη Β ). α) α β ίτ τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΒ. (Μο ά ς 12) β) α απο ί τ ότι ΑΒ Ε πα α η ό α ο. (Μο ά ς 13)

ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ ( ˆΑ 90 0 ) και η ιχοτό ος της ω ίας ˆΓ τέ ι τη π ά ΑΒ στο ση ίο, τέτοιο ώστ Γ = Β=2cm. α απο ί τ ότι: α) ˆΒ 0 0. (Μο ά ς 2) β) ΑΒ= cm (Μο ά ς 13)

Στα ο θο ώ ια τ ί ω α ΑΒΓ και Α Ε ω ία Α ο θή) το πα ακάτω σχή ατος ισχύ ι ˆΒ Δˆ 30 ο. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ τ απ ύ ο ΑΕΖΓ. (Μο ά ς ) β) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΓΖ και ΕΒΖ ί αι ισοσκ ή. (Μο ά ς 2)

Στο πα ακάτω σχή α, οι Α και ΒΕ ί αι πα ά η ς. Επιπ έο ισχύο Α =ΑΖ, ΒΕ=ΒΖ και ˆΑ 70 ο. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς τω τ ι ώ ω Α Ζ και ΒΖΕ. (Μο ά ς 6) β) α απο ί τ ότι Δ ˆ 90 ο. (Μο ά ς 9)

Στο πα ακάτω σχή α οι ω ί ς Α, ˆ Β ˆ ί αι ο θές και πιπ έο Α =ΒΓ και ΑΓ=ΒΕ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΓ και ΒΓΕ ί αι ίσα. (Μο ά ς ) β) Α η ω ία 40 τότ το τ ί ω ο ΓΕ ί αι ο θο ώ ιο και ισοσκ ές. (Μο ά ς 2)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ΒΓ=2ΑΒ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΜ και Ε σημείο στην προέκτασή της ώστε ΑΔ=ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) MΕ=ΜΓ (Μονάδες 13)

Θ ω ού τ τ ά ω ο ΑΒΓ και ση ία Ε και Ζ στις π ο κτάσ ις τω ΑΒ π ος το Β) και ΒΓ π ος το Γ) α τίστοιχα, ώστ ΒΕ=ΓΖ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΒΖ και ΑΕ ί αι ίσα. (Μο ά ς 2) β) Οι ω ί ς Ε Γ και ΑΖΒ ί αι ίσ ς. (Μο ά ς )

ί ται τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ) ΑΒ=, Γ =4. Θ ω ού ση ίο Ε στη ΑΒ ώστ ΑΕ=. Στο τ απέζιο ΕΒΓ θ ω ού τα Κ και, έσα τω Ε και ΒΓ α τίστοιχα. α) α πο ο ίσ τ τη ιά σο Κ το τ απ ζίο ΕΒΓ. (Μο ά ς 3) β) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο ΑΒ Κ ί αι πα α η ό α ο. (Μο ά ς 2)

Σ τ ί ω ο ΑΒΓ ισχύο Α ˆ Γ ˆ 2Β ˆ και Α ˆ 3Γ ˆ. α) α απο ί τ ότι η ω ία Β ί αι 60 ο. Μο ά ς 0) β) Α το ύ ος το Α και η ιχοτό ος το ΒΕ τέ ο ται στο ση ίο Ζ, α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΖΕ ί αι ισόπ ο. (Μο ά ς 5)

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Α. Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, η ΔΕ είναι κάθετη στην ΒΓ και η γωνία Γ είναι μικρότερη της γωνίας Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ=ΔΕ (Μονάδες 8) β) ΑΔ < ΔΓ (Μονάδες 9) γ) ΑΓ>ΑΒ (Μονάδες 8)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A ˆ = 90 o, ˆB = 35 ο και Μ το μέσο της ΒΓ. α) Να υπολογίσετε τη γωνία Γ. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΒ. (Μονάδες 15)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ (προς το Α) θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΔ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΕ = ΓΔ (Μονάδες 6) β) ΒΔ = ΓΕ (Μονάδες 10) γ) ˆ ˆ ΒΓ = ΕΓΒ (Μονάδες 9)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή, ˆ ˆ 2Γ = Β και ΑΔ το ύψος του. α) Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογιστεί η γωνία ΒΑΔ. (Μονάδες 7) ΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι: Β =. (Μονάδες 9) 2

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΒΔ = ΒΓ. Αν υπολογίσετε: ο ΒΓ = 110 και ο Α Β = 25 α) Τη γωνία Γ. (Μονάδες 11) β) Τη γωνία Α. (Μονάδες 14) να

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες i. ΑΒ Ε (Μονάδες 8) ii. ΒΕ Α (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΑΒΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) 2 ΕΓ Α = 90 ο ΒΑΓ ˆ. (Μονάδες 15)

Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και το ΑΓΔΕ είναι ορθογώνιο. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Α είναι μέσο του ΒΕ. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) γ) ΒΓ Α = Α Ε (Μονάδες 8)

Δίνονται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΓ και ΒΔΕΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) β) ΑΒ Ζ = Γ Ε. (Μονάδες 12)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ημιευθεία Αx παράλληλη στη ΒΓ (στο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΜ με το σημείο Γ). Να αποδείξετε ότι: α) Μ Α Γ = Μ Γ Α (Μονάδες 12) β) η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑx. (Μονάδες 13)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΜΔ, ΝΕ οι μεσοκάθετοι των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΝΕ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Αν ΑΒ = ΑΓ τότε ΜΔ = ΝΕ (Μονάδες 13)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΜΕ, τότε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Αν ΑΒ = ΑΓ και Μ μέσο του ΒΓ, τότε ΜΔ = ΜΕ. (Μονάδες 12)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΜΕ τότε: i. τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) β) Αν ΑΒ = ΑΓ τότε ΜΔ = ΜΕ. (Μονάδες 8)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΓΔ = ΒΕ. Από το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην ευθεία ΑΓ και από το Ε φέρουμε ΕΖ κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ = ΑΕ (Μονάδες 12) β) ΕΖ = ΔΗ (Μονάδες 13)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου του ΑΜ. Αν ΒΓ = 2 ΒΕ να αποδείξετε ότι: α) ΑΕΒ = Ε Μ Γ (Μονάδες 12) β) ΑΒ = ΕΓ. (Μονάδες 13)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και η διάμεσός του ΑΔ τέτοια ώστε Θεωρούμε σημείο Ε στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΑΕ. ο Β Α = 30. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔΓ. (Μονάδες 8)

Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε τις διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 13) β) Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Αν η διάμετρος ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τόξα ΒΔ και ΔΓ είναι ίσα. (Μονάδες 10) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 15)

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τις διαμέσους του ΒΚ και ΓΛ, οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Θ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι διάμεσοι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι ίσα (Μονάδες 13)

Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και διάμετρό του ΑΒ. Στην εφαπτομένη του κύκλου στο Β θεωρούμε σημείο Γ τέτοιο ώστε, η γωνία ΒΓΟ να είναι ίση με 30 ο. Αν η ΟΓ τέμνει τον κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι: α) ΟΓ = 2 ΟΑ. (Μονάδες 12) β) ΒΓ = Α. (Μονάδες 13)

Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ˆ = 90 ο ) θεωρούμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)

Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες ρ και R (ρ<r). Οι χορδές ΔΓ και ΖΕ του κύκλου (Ο,R) εφάπτονται του κύκλου (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΔΓ=ΖΕ. (12 Μονάδες) β) Αν οι ΔΓ και ΖΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές. (13 Μονάδες)

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Στα σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέρος, και θεωρούμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε Μ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. (Μονάδες 13)

Δίνεται γωνία xαy και η διχοτόμος της Αδ. Από τυχαίο σημείο Β της Αx φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο, η οποία τέμνει την Αδ στο Δ και την Ay στο Γ. Να αποδείξετε ότι : α) Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τυχαίο σημείο Ε της Αδ ισαπέχει από τα Β και Γ. (Μονάδες 13)

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α Λ = 90 ο και Λ B = 30 ο. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα με ΕΔ=1, να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ (Μονάδες 8) β) ΒΓ.. (Μονάδες 9) γ) ΑΔ.. (Μονάδες 8) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΒΓ. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο του Α ώστε να σχηματίζει με τη χορδή ΑΓ γωνία 45 ο. Φέρουμε επίσης μια παράλληλη ευθεία στη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΓ. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 15)

Δίνονται δυο ίσοι κύκλοι (Ο,ρ) και (Κ,ρ) με ΟΚ=ρ, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Δ. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΚ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 10) β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΚ. (Μονάδες 15)

Δίνονται τα τμήματα ΑΓ=ΒΔ που τέμνονται στο σημείο Ο έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ, και τα σημεία Η και Ζ στα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΗ=ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες Λ Α Ο και Λ ΒΓΟ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) ΑΖ=ΒΗ. (Μονάδες 13)

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΕΗ=ΖΘ, όπου Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστοιχα. (Μονάδες 10)

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Σε σημείο Ν του κύκλου φέρουμε την εφαπτόμενή του, και εκατέρωθεν του Ν θεωρούμε σημεία Α και Β, τέτοια ώστε ΝΑ=ΝΒ. Οι ΟΑ και ΟΒ τέμνουν τον κύκλο στα Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) β) Το σημείο Ν είναι μέσο του τόξου ΚΛ. (Μονάδες 12)

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ του κύκλου. Αν ΑΕ κάθετο στην ΟΓ και ΓΔ κάθετο στην ΑΟ να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο β) Η ΟΖ διχοτομεί τη γωνία ΟΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) Λ ΑΟΓ και προεκτεινόμενη διέρχεται από το μέσο του τόξου ΑΓ. (Μονάδες 12)

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΓ και εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχοτομούνται. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ. (Μονάδες 15)

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε την ακτίνα ΟΑ και τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο μέσο της Μ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΟΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΓΟΒ. (Μονάδες 15)

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ προς το Α φέρνουμε τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα στις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι Β = ΓΕ. (Μονάδες 10) β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ τότε: i. Να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. (Μονάδες 8) ii. Nα αποδείξετε ότι η ΑΜ διχοτομεί τη γωνία Λ ΜΕ (Μονάδες 7)

Δίνεται ρόμβος ΑΒΔΓ. Στην προέκταση της διαγωνίου ΑΔ (προς το Δ) παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Ε ισαπέχει από τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα). (Μονάδες 10) β) Το σημείο Ε ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ. (Μονάδες 15)

Έστω τρίγωνο ΑΒΔ με Α Λ = 120 ο. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα Να αποδείξετε ότι: ΑΕΒ και ΑΖ. α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΒΔΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)

Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε δυο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12)

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Από σημείο Α εκτός του κύκλου, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12)

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β Λ = 90 ο και Ζ το μέσο του ΑΓ. Με υποτείνουσα το ΑΓ κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο Α Γ με Λ = 90 Ο. α) Να αποδείξετε ότι ΒΖ = Ζ. (Μονάδες 13) β) Αν ο ΑΓΒ Λ = 30, να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΒΓΔ. (Μονάδες 12)

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με και Ε τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ = ΑΓ, και γωνία Β Λ ίση με 30 Ο. Θεωρούμε Δ Ε Γ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 16) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Α Ε είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9)

Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ (προς το Α) και την πλευρά ΔΓ (προς το Γ) κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΓΖ = Γ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΖ = Ε (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)

Στο πα ακάτω σχή α έχο το χά τη ίας π ιοχής όπο ί αι κ έ ος έ ας θησα ός. Οι η ι θ ί ς Αx και Αy πα ιστά ο ύο ποτά ια και στα ση ία Β και Γ β ίσκο ται ύο π ατά ια. α π οσ ιο ίσ τ ω τ ικά τις ατές θέσ ις το θησα ού, α ί αι ωστό ότι: α) ισαπέχ ι από τα ύο π ατά ια. Μο ά ς 9) β) ισαπέχ ι από τα ύο ποτά ια. Μο ά ς 9) ) ισαπέχ ι και από τα ύο π ατά ια και από τα ύο ποτά ια. Μο ά ς 7) α αιτιο ο ήσ τ τη απά τησή σας σ κάθ π ίπτωση.

ί ται ισόπ ο τ ί ω ο ΑΒΓ. Θ ω ού ση ίο Ε στη π οέκταση της ΒΑ (π ος το Α) και ση ίο στο σωτ ικό της π άς ΑΓ, ώστ ΑΕ=Α. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο Α Ε. (Μο ά ς 0) β) Α Ζ ί αι το ση ίο το ής της π οέκτασης της Ε (π ος το ) τη ΒΓ, α απο ί τ ότι η ΕΖ ί αι κάθ τη στη ΒΓ. (Μο ά ς 5)

Θ ΜΑ 2 Σ ο θο ώ ιο ί ω ο Α αι ˆ φέ ο ο ύψος ο Α αι η ιά σο ΑΜ σ η ά. α α ο ί ό ι: α) οι ω ί ς αι ί αι ίσ ς, Μο ά ς 2) β) ˆ 2. Μο ά ς )

Θ ΜΑ 2 ί αι α α η ό α ο Α ˆ =60 Ο. Φέ ο α ύψη Α αι Ζ ο α α η ο ά ο ο α ισ οιχού σ η θ ία. α α ο ί ό ι: α) Α Ζ, Μο ά ς 8) 2 β) ο ί ω ο Α ί αι ίσο ο ί ω ο Ζ, Μο ά ς 9) ) ο ά ο Α Ζ ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 8)

Θ ΜΑ 2 Έσ ω ο θο ώ ιο Α αι α ση ία αι Κ ω Α αι α ίσ οιχα, έ οια ώσ Α = Κ. α) α α ο ί ό ι: i. α ί ω α Α αι Κ ί αι ίσα, Μο ά ς 8) ii. ο ά ο Κ ί αι α α η ό α ο. Μο ά ς 8) β) Α αι Ζ ί αι α έσα ω αι Κ α ίσ οιχα, α α ο ί ό ι ο ά ο ΚΖ ί αι α έ ιο. Μο ά ς 9)

Θ ΜΑ 2 ί αι ο θο ώ ιο ί ω ο Α ( φέ ο η α ά η η ος η Α ο έ ι η Α σ ο. 0 90 ) αι Α η ιχο ό ος ης ω ίας Α. Α ό ο ση ίο α) α α ο ί ό ι ο ί ω ο ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 9) β) α ο ο ίσ η ω ία Α. Μο ά ς 9) ) Α η ω ία ί αι 20 οί ς α ύ η ης ω ίας ˆ, α ο ο ίσ η ω ία. Μο ά ς 7)

Θ ΜΑ 2 ί αι ισοσ ές α έ ιο Α Α // ) Α =8 αι = 2. Α ΑΗ αι Θ α ύψη ο α ίο, α) α α ο ί ό ι Η = Θ. Μο ά ς 2) β) α ο ο ίσ η ιά σο ο α ίο. Μο ά ς )

Στο πα ακάτω σχή α η θ ία φάπτ ται το κύκ ο O, ) στο ση ίο Γ. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς x,y και ω ικαιο ο ώ τας σ κάθ π ίπτωση τη απά τησή σας. Μο ά ς 5) β) α β ίτ το ί ος το τ ι ώ ο ΟΑΓ ως π ος τις π ές. (Μο ά ς 10)

Έστω κύκ ος κέ τ ο Κ, ια ιά τ ός το ΒΓ και ση ίο Α το κύκ ο τέτοιο ώστ ΒΑ=ΚΓ. Α τ χαίο ση ίο το κύκ ο ιαφο τικό τω Β και Γ, α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΒΚΑ ί αι ισόπ ο. Μο ά ς 7) β) α πο ο ίσ τ τη ω ία ˆ. Μο ά ς 9) ) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

Στο τ απέζιο το πα ακάτω σχή ατος έχο ΑΒ=Α =, 2 o 60 και Μ το έσο της π άς Γ. α απο ί τ ότι: α) η Β ί αι ιχοτό ος της ω ίας, Μο ά ς 9) β) η ΒΜ χω ίζ ι το τ απέζιο σ έ α ό βο και έ α ισόπ ο τ ί ω ο. Μο ά ς 16) M Γ

Θ ΜΑ 2 ί αι ισοσ ές ί ω ο Α Α =Α ). Σ α ση ία αι ης φέ ο ος ο ί ιο έ ος ης, α ή α α αι έ οια ώσ =. Α Μ ο έσο ης, α α ο ί ό ι : α) α ί ω α Μ αι Μ ί αι ίσα, Μο ά ς 2) β) Α =Α. Μο ά ς )

Θ ΜΑ 2 Έσ ω ισοσ ές ί ω ο Α Α =Α ). α) α α ο ί ό ι α έσα αι ω ώ Α αι Α α ίσ οιχα, ισα έχο α ό η βάση. β) Α A 75 B, α ο ο ίσ ις ω ί ς ο ι ώ ο Α. Μο ά ς ) (Μο ά ς 2)

Στο πα ακάτω σχή α, α απο ί τ ότι: α) το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ισοσκ ές, (Μο ά ς 2) β) η ω ία ΑΕ ί αι ο θή. (Μο ά ς )

Α Η Α ΠΟ Ο ΟΧΟ ο Π.. Μαθη ατικά: Γ ω τ ία ΓΕ Tl. Τα ι ο ού τα τ ί ω α βάση τις σχέσ ις τω π ώ και το ί ος τω ω ιώ το, α α ω ίζο τα τ ύο τα στοιχ ία το τ ι ώ ο ιά σος, ιχοτό ος ύ ος) βάση το ς α τίστοιχο ς ο ισ ούς, τα σχ ιάζο και τα σ βο ίζο. ΠΕ. Απο ικ ύο και χ ησι οποιού στη πί ση π οβ η άτω τη π όταση ια το άθ οισ α ω ιώ τ ι ώ ο.

φώ α ιό α ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ µ 90 και Ζ το ση ίο το ής το ύ ο ς το Α και της ιχοτό ο το ΒΕ. i) α απο ί τ ότι. ii)α το τ ί ω ο ΑΕΖ ί αι ισόπ ο, α πο ο ίσ τ τις ω ί ς µ και µ Γ. ι ι Α ά Α Β 2 1 2 1 1 Ζ 1 Ε Γ i)για α απο ί ο ότι το τ ί ω ο ΑΕΖ ί αι ισοσκ ές Α Α, α κ ί α απο ί ο ότι µ µ 1 1. Π ος τούτο, πα ατη ού ότι οι ω ί ς µ 1 και Β µ 2 ί αι οι ο ί ς ω ί ς το ο θο ω ίο τ ι ώ ο ΑΕΒ. Επο έ ως, µ µ 1 90 Β2(1) Επίσης, µ µ 1 2, ως κατακο φή και µ µ 2 90 Β1 2)αφού το τ ί ω ο Β Ζ ί αι ο θο ώ ιο. Ό ως, ηβε ί αι ιχοτό ος της ω ίας µ Β και σ πώς Βµ µ 1 Β2(3) Από τις σχέσ ις ), 2) και ) σ π αί ο ότι Β µ µ 1 Β2. ii)a το τ ί ω ο ΑΕΖ ί αι ισόπ ο,

τότ Α µ 1 60. Και π ι ή το τ ί ω ο Α Γ ί αι ο θο ώ ιο Δ µ 90 σ π αί ο ότι $ Γ 90 Αµ 1 90 60 30. Το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι πίσης ο θο ώ ιο Α µ 90. Επο έ ως, µβ 90 $ Γ 90 30 60. Α 4 Ω Η ΑΠΑ Η Η (4,2),(4,5),(4,8) 2. α ο τις ώσ ις πο ιαθέτο ια τη πί ση ός η οικ ίο π ο-β ή ατος. 5. α ι ο αι α ια ώ ο ι α ί τις οποί ς α απο ικ ύο πι- έ ο τας τη κατά η η στ ατη ική. 8. α ο α ό ο ός π οβ ή ατος ότα τα ο έ α της κφώ η-σης ταβά ο ται.

ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ<ΑΓ και Μ το έσο της ΒΓ. Π ο κτ ί ο τη ιά σο ΑΜ κατά τ ή α Μ =ΜΑ. Από το Α φέ ο πα ά η η π ος τη ΒΓ η οποία τέ ι τη π οέκταση της Γ στο ση ίο Ε. α απο ί τ ότι: α) το τ τ άπ ο ΑΒ Γ ί αι πα α η ό α ο, Μο ά ς 2) β) (Μο ά ς )

Θ ΜΑ 2 ί αι ί ω ο Α έ οιο, ώσ AΓ AB.Σ η ά Α θ ω ού ση ίο έ οιο ώσ AΔ AΓ αι σ η οέ αση ης Α ος ο Α) θ ω ού ση ίο έ οιο ώσ AE AΓ. α α ο ί ό ι: α) ΔΓ EΓ, Μο ά ς 2) β) η ω ία Α ί αι ι άσια ης ω ίας Α. Μο ά ς 13)

Θ ΜΑ 2 Σ α α η ό α ο Α ί αι ι ώ ο. ˆ 120 0 B αι. Έσ ω Ζ η ιά σος ο α) α ο ο ίσ ις ω ί ς Α αι ο α α η ο ά ο. (Μο ά ς 8) β) Α Κ ί αι ο έσο ης άς Α, α α ο ί ό ι Ζ=ΑΚ. (Μο ά ς 9) ) α ο ο ίσ η ω ία Ζ. (Μο ά ς 8)

Θ ΜΑ 2 ί αι ο θο ώ ιο ί ω ο Α Α=90 0 ) αι η ιχο ό ος ο. Α ό ο φέ ο ο έ ι η οέ αση ης Α ος ο Α) σ ο Ζ. α α ο ί ό ι: α) =Α, Μο ά ς 2) β) ο ί ω ο B Ζ ί αι ισοσ ές. Μο ά ς )