ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η πιθανότερη ακτίνα, *, στην οποία θα βρίσκεται ένα ηλεκτρόνιο που καταλαμβάνει το τροχιακό 1s ενός υδρογονοειδούς ατόμου. Η πιθανότερη ακτίνα αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης P(). Αντιστοιχεί στο σημείο της καμπύλης όπου: Για το τροχιακό 1s : Z P( ) 4 a 3 2 dp Z 2Z 3 d a a 2 Z / a 4 2 e 3 3 2 2 Z / a e dp d 2 2Z 2 a a * Z 52.9 pm
Άσκηση 2 Να προσδιοριστούν τα τροχιακά στα μπορεί να υποστεί μετάπτωση ένα ηλεκτρόνιο 4d με εκπομπή φωτονίου. Αρχική κατάσταση Επιτρεπτές τελικές καταστάσεις l= 2 l= 1 l= 3 4d np nf m l, 1 l 1, 1 m l
Μαθηματικό βοήθημα
Σφαιρικές συντεταγμένες Η περιγραφή των ατομικών (και άλλων) συστημάτων όπου υπάρχει ένα φυσικό κέντρο γίνεται ευκολότερα με χρήση σφαιρικών συντεταγμένων. Στο σύστημα αυτό, ένα σημείο ορίζεται από τις σφαιρικές συντεταγμένες, θ και φ, οι οποίες σχετίζονται με τις καρτεσιανές ως εξής: x sincos y sinsin z cos image_ul Οι αντίστοιχες σχέσεις για μετατροπή των καρτεσιανών σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι: x y z cos tan 2 2 2 y x z 1/ 2 x y z 2 2 2 1/ 2
Σφαιρικές συντεταγμένες Κάθε σημείο στην επιφάνεια σφαίρας με μοναδιαία ακτίνα μπορεί να οριστεί από τις τιμές των θ και φ. Η γωνία θ αναπαριστά την απόκλιση από το βόρειο πόλο της σφαίρας και, επομένως, Η γωνία φ αναπαριστά την απόκλιση γύρω από τον ισημερινό της σφαίρας 2 (κατά σύμβαση από τον άξονα x) και, επομένως,. image_ul Εφόσον το είναι η απόσταση από το την αρχή των αξόνων (κέντρο της σφαίρας), λαμβάνει θετικές τιμές:. Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, ο στοιχειώδης όγκος είναι: d dx dydz Στις σφαιρικές συντεταγμένες τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά.
Σφαιρικές συντεταγμένες Όπως γίνεται αντιληπτό από το Σχήμα, ο στοιχειώδης όγκος στις σφαιρικές συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο: sin dv d d d dv 2 sin d d d image_ul Η στοιχειώδης επιφάνεια στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας είναι: da 2 sin d d
Σφαιρικές συντεταγμένες Όπως γίνεται αντιληπτό από το Σχήμα, ο στοιχειώδης όγκος στις σφαιρικές συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο: sin dv d d d dv 2 sin d d d Η εξίσωση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του όγκου μιας σφαίρας με ακτίνα a: image_ul a 2 2 V d sind d 3 3 2 2 V 4 a 3 3
Σφαιρικές συντεταγμένες Όπως γίνεται αντιληπτό από το Σχήμα, ο στοιχειώδης όγκος στις σφαιρικές συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο: sin dv d d d dv 2 sin d d d Με παρόμοιο τρόπο, εάν η ολοκλήρωση γίνει μόνο ως προς θ και φ, υπολογίζεται ο όγκος σφαιρικού φλοιού ακτίνας και πάχους d: image_ul 2 2 dv d sind d dv 4 2 d Επιφάνεια σφαίρας
Σφαιρικές συντεταγμένες Όπως γίνεται αντιληπτό από το Σχήμα, ο στοιχειώδης όγκος στις σφαιρικές συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο: sin dv d d d dv 2 sin d d d Με παρόμοιο τρόπο, εάν η ολοκλήρωση γίνει μόνο ως προς θ και φ, υπολογίζεται ο όγκος σφαιρικού φλοιού ακτίνας και πάχους d: image_ul dv 4 2 d
Άσκηση 3 Θεωρήστε ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου, το οποίο χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς n=2, l=1, m l =. (α) Ποια κυματοσυνάρτηση περιγράφει την κατάσταση του ηλεκτρονίου; (β) Να προσδιοριστούν τα σημεία του χώρου όπου υπάρχει η μεγαλύτερη πιθανότητα να εντοπιστεί το ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε αυτή την κατάσταση. (γ) Να υπολογιστεί η ολική ενέργεια (σε ev) σε αυτήν την κατάσταση. Πόσες καταστάσεις του ατόμου υπάρχουν με αυτή την ενέργεια; (δ) Να υπολογιστεί η συνολική στροφορμή καθώς και η z-συνιστώσα της. Δίνονται Χρήσιμες σχέσεις Μάζα ηλεκτρονίου: m e 31 9,1939 1 kg 19 1 ev 1,6219 1 J Στοιχειώδες φορτίο: e 19 1,62177 1 C Διαπερατότητα κενού: Σταθερά του Planck: 8,85419 1 J C m 34 1,5457 1 J s 12-1 2 1
Άσκηση 3 (α) Ποια κυματοσυνάρτηση περιγράφει την κατάσταση του ηλεκτρονίου με n=2, l=1, m l = Σφαιρικές αρμονικές image_ul R ( ) Y (, ) 2,1 2,1, 1, Ακτινικές συναρτήσεις υδρογονοειδών image_ul R 1 Z ( ) 24 a 2, 1 1/ 2 3/ 2 / 2 e Y 1, 1/ 2 3 (, ) cs o 4
Άσκηση 3 (α) Ποια κυματοσυνάρτηση περιγράφει την κατάσταση του ηλεκτρονίου με n=2, l=1, m l = R ( ) Y (, ) 2,1 2,1, 1, 1 1 2 6 3/ 2 e a 2a 3 4 1/ 2 cos 1 1 2,1, 4 2 a 3 2 e 2a cos Z 1, n2 R 1 Z ( ) 24 a 2, 1 1/ 2 3/ 2 / 2 e 2Z na a Y 1, 1/ 2 3 (, ) cs o 4
Άσκηση 3 (β) Να προσδιοριστούν τα σημεία του χώρου όπου υπάρχει η μεγαλύτερη πιθανότητα να εντοπιστεί το ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε αυτή την κατάσταση. 2,1, 1 1 4 2 3 2 e a 2a cos d 2 sind d d Η πιθανότητα P εύρεσης του σωματιδίου σε στοιχειώδη όγκο dτ είναι: 1 5 32 a 4 a 2 P e cos sin d d d P * d f (,θ) Η πιθανότητα P μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται η συνάρτηση f(,θ).
Άσκηση 3 (β) Να προσδιοριστούν τα σημεία του χώρου όπου υπάρχει η μεγαλύτερη πιθανότητα να εντοπιστεί το ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε αυτή την κατάσταση. Άρα, πρέπει να βρεθούν τα σημεία του χώρου f 4 a 2, e cos sin στα οποία μεγιστοποιείται η συνάρτηση: (i) Μεγιστοποίηση ως προς : df (, ) d d d e 4 a a 3 a a 4 e e 4 a 3 a 4 e 4a (απορρίπτεται) o 2,1167 A
Άσκηση 3 (β) Να προσδιοριστούν τα σημεία του χώρου όπου υπάρχει η μεγαλύτερη πιθανότητα να εντοπιστεί το ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε αυτή την κατάσταση. Άρα, πρέπει να βρεθούν τα σημεία του χώρου f 4 a 2, e cos sin στα οποία μεγιστοποιείται η συνάρτηση: (ii) Μεγιστοποίηση ως προς θ : df (, ) d d d 2 cos sin 2 2 cos cos 2sin 3 cos 2cos sin cos 2 tan 1/ 2 2 ο 35,2 ο 144,8 (ελάχιστο)
Άσκηση 3 (β) Να προσδιοριστούν τα σημεία του χώρου όπου υπάρχει η μεγαλύτερη πιθανότητα να εντοπιστεί το ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε αυτή την κατάσταση. Άρα, η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου με κυματοσυνάρτηση 2,1, 1 1 4 2 3 2 e a 2a cos μεγιστοποιείται στα σημεία όπου: 4a o 35,2 και 4a ο 144,8 για κάθε φ 2
Άσκηση 3 Θεωρήστε ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου, το οποίο χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς n=2, l=1, m l =. (γ) Να υπολογιστεί η ολική ενέργεια (σε ev) σε αυτήν την κατάσταση. Πόσες καταστάσεις του ατόμου υπάρχουν με αυτή την ενέργεια; Οι ενεργειακές στάθμες υδρογονοειδούς ατόμου με κβαντικό αριθμό n υπολογίζονται από την εξίσωση: E n Z me 32 2 4 1 n 2 2 2 2 Z 1 n 2 4 me 32 2 2 2 18 2,181 J 19 E 2 5, 451 J Ο αριθμός των (εκφυλισμένων) καταστάσεων με την ενέργεια αυτή είναι g=n 2 : E2 3,4eV g 4
Άσκηση 3 Θεωρήστε ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου, το οποίο χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς n=2, l=1, m l =. (δ) Να υπολογιστεί η συνολική στροφορμή καθώς και η z-συνιστώσα της. Οι τιμές αυτές υπολογίζονται από τις παρακάτω εξισώσεις, θέτοντας l=1 και m l = : L l l 1 34 2 1,5457 1 J s L 34 1,49139 1 J s L z m l L z
Άσκηση 4 Να υπολογιστεί η τιμή του < > για τις καταστάσεις (α) n=2, l= (β) n=2, l=1 του ατόμου του υδρογόνου, και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. Για ευκολία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η γενική σχέση: 1 ll 1 1 2 1 1 6 2 1 2 2, 2, 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 n 1 1 2 n Z 2 nl, 2 2 21, 2 2, 1 5 Σχόλιο: Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι ένα ηλεκτρόνιο στο τροχιακό 2s βρίσκεται (κατά μέσο όρο) μακρύτερα από τον πυρήνα σε σχέση με ένα ηλεκτρόνιο 2p, σε αντίθεση με όσα γνωρίζουμε από τη βασική χημεία για τα πολυηλεκτρονιακά άτομα. Αυτό οφείλεται στο ότι οι κυματοσυναρτήσεις των υδρογονοειδών ατόμων διαφέρουν από εκείνες των πολυηλεκτρονιακών.
Άσκηση 5 Να υπολογιστεί αναλυτικά η τιμή του < ατόμου του υδρογόνου. > για την κατάσταση n=2, l= του Βρίσκουμε πρώτα την έκφραση για την κυματοσυνάρτηση ανατρέχοντας στους Πίνακες με τις σφαιρικές αρμονικές και τις ακτινικές κυματοσυναρτήσεις: R Y 2,, 2 (, ) 1 Z 2 2 1 4 1/2 3 2 e 1 2 2Z Z 1 n2 na a 2,, 3 2 1 1 2 e 32 2
Άσκηση 5 Να υπολογιστεί αναλυτικά η τιμή του < ατόμου του υδρογόνου. > για την κατάσταση n=2, l= του Η μέση τιμή του υπολογίζεται από τη σχέση (,, ) (,, ) d * n, l n, l όπου d 2 sind d d d d d * 3 2., 2,, 2,, sin 3 2 1 1 32 3 2 sin e d d d 2,, 3 2 1 1 2 e 32 2
Άσκηση 5 Να υπολογιστεί αναλυτικά η τιμή του < ατόμου του υδρογόνου. > για την κατάσταση n=2, l= του Η μέση τιμή του υπολογίζεται από τη σχέση (,, ) (,, ) d * n, l n, l όπου d 2 sind d d d d d * 3 2., 2,, 2,, sin 3 2 1 1 32 1 32 a 3 2 sin 3 2 e d 3 2 e d d d sin d 2 d Ι 1 Ι 2 Ι 3
Άσκηση 5 Να υπολογιστεί αναλυτικά η τιμή του < ατόμου του υδρογόνου. I 1 3 2 2 2 2 e 3 3 x d a x x e a dx > για την κατάσταση n=2, l= του Θέτουμε x / x dx d / d a dx 4 3 x 4 4 x 4 5 x 4 a x e dx 4 a x e dx a x e dx 4a 3! 4a 4! a 5! 4 4 4 n x x e dx n! n1 I 48 a 4 1
Άσκηση 5 Να υπολογιστεί αναλυτικά η τιμή του < ατόμου του υδρογόνου. > για την κατάσταση n=2, l= του I 48 a 4 1 I 2 sin d cos I 2 2 I 3 2 d I 3 2 2 2 1 3 2 e d sin d d 3 2., 2., 6 32 a Ι 1 Ι 2 Ι 3
Άσκηση 6 Να υπολογιστεί αναλυτικά η τιμή του < > για την κατάσταση n=2, l=1, m l = του ατόμου του υδρογόνου. Δίνονται: R 2,1 1 Z 2 6 3 2 1 e 2 2Z na Y 1, Χρήσιμες σχέσεις: 1/ 2 3 (, ) cs o 4 n x x e dx n! n1 2 1 3 cos x sin x dx cos x 3
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1...
Σημείωμα αναφοράς Copyight Πανεπιστήμιο Πατρών. Αναπληρωτής Καθηγητής, Δημήτρης Κονταρίδης. «Φυσικοχημεία Ι». Έκδοση: 1.. Πάτρα 215. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatas.g/couses/cmng2172/
Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Ceative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://ceativecommons.og/licenses/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.