Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης

3 Πίνακας Περιεχομένων Γ.08.1 Μήκος τόξου καμπύλης Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Περιφέρεια Έλλειψης Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Πρόβλημα... 7 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης

4 Γ.08.1 Μήκος τόξου καμπύλης Το μήκος ενός τμήματος μιας καμπύλης στο επίπεδο ονομάζεται πολλές φορές μήκος τόξου της καμπύλης. Υποθέτουμε ότι το μήκος αυτό υπάρχει και θα προσπαθήσουμε να το εκφράσουμε με την βοήθεια του ολοκληρώματος. Σε πρώτη φάση περιοριζόμαστε σε καμπύλες που είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Γενικότερες καμπύλες θα θεωρήσουμε αργότερα. Θεωρούμε μία καμπύλη που είναι γραφική παράσταση της =f(x) από x=α έως x=, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η καμπύλη αυτή μπορεί να θεωρηθεί ότι συνίσταται από απειροστά τμήματα. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι το μήκος ds εκάστου απειροστού τμήματος είναι Έχουμε όμως d f x dx ds dx d d fxdx και επομένως ds dx f x dx 1 f x dx Για να βρούμε επομένως το ολικό μήκος της καμπύλης θα πρέπει να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα Επομένως: ds 1 f x dx Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [,] και ότι η f' υπάρχει και είναι συνεχής στο [,] εκτός από πεπερασμένο αριθμό σημείων. Τότε το μήκος της καμπύλης =f(x) στο [,] είναι L 1 f x dx Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος της καμπύλης fx 1 x στο [0,] όπου 0<<1. Nα υπολογισθεί το ίδιο μήκος γεωμετρικά και να συγκριθούν τα αποτελέσματα. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης 4

5 8.1. Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος της καμπύλης της f x x 1 στο διάστημα [1,] 8.1. Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος της παραβολής x στο [0,1] Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης x από x=0 έως x= Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης x 1 από x 0 έως x Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης 4 4x x 48 από x= έως x= Παράδειγμα 1 x x Να ευρεθεί το μήκος τόξου της αλυσοειδούς e e Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της παραβολής συμμετρίας στην εστία Παράδειγμα από x=0 έως x=α. 1x που τέμνεται από την κάθετη στον άξονα Να ευρεθεί το μήκος του τόξου της καμπύλης Παράδειγμα x t, t από t 0 έως t 4. Να ευρεθεί το μήκος τόξου μιας αψίδας της κυκλοειδούς x sin, cos Παράδειγμα x 1 Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης 5

6 8.1.1 Παράδειγμα Ένα καλώδιο πρέπει να πάρει το σχήμα που προσδιορίζεται από την καμπύλη 4 x 6x 0 από το σημείο (1,/) στο σημείο (, 14/), όπου οι αποστάσεις είναι σε μέτρα. Το καλώδιο στοιχίζει δρχ./μέτρο. Ποιο το ολικό κόστος; Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης της εξίσωσης 14, Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της Παράδειγμα 4 6x 0 από 19 1, έως x μεταξύ των σημείων 1,1 και 4,8. Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης x 1 από x 1 έως x Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης Παράδειγμα x 1 από 1 έως Να ευρεθεί το ολοκλήρωμα η τιμή του οποίου δίδει το μήκος της έλλειψης x Παράδειγμα Ενας μηχανικός σχεδιάζει να δώσει σε μια οπτική ίνα το σχήμα της καμπύλης 1, έως 1,. Η ίνα κοστίζει 1 ευρώ το μέτρο. Ποιο το ολικό κόστος; Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης lncosx Παράδειγμα για 0 x Να υπολογισθεί το μήκος τόξου της καμπύλης lnsecx Παράδειγμα για 0 x 4 4 x 6x 0 από Να ευρεθεί το μήκος της καμπύλης 4 x 1 στο διάστημα 0 x Παράδειγμα 4 1 Να ευρεθεί το μήκος της καμπύλης x από x=1 έως x=. x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης 6

7 8.1. Παράδειγμα Περιφέρεια Έλλειψης Να ευρεθεί η περιφέρεια της έλλειψης x 1 όπου Παράδειγμα f x x x στο [1,]. 1 1 Να ευρεθεί το μήκος s της Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος της καμπύλης =coshx στο [0,]. Στην συνέχεια να ευρεθεί το μήκος για [0,] Παράδειγμα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της ημικυβικής παραβολής x μεταξύ των σημείων (1,1) και (4,8) Πρόβλημα Να ευρεθεί το μήκος τόξου της x 1 1 στο διάστημα 6 x.. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης 7

8 Σημειώματα Α) Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της Μαθηματικής Ανάλυσης προέρχεται από τις σημειώσεις του Επίκουρου Καθηγητή κ. Γεωργίου Ν. Μπροδήμα για τις ανάγκες διδασκαλίας του ομώνυμου μαθήματος στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Β) Σημείωμα Αναφοράς Copright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γεώργιος Ν. Μπροδήμας. «Μαθηματική Ανάλυση. Ενότητα Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY191/ Γ) Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Δ) Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ όσον υπάρχει). Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης 8