ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής Δ. Ματαράς
9.Μεταφορά Θερμότητας, Αγωγή
Αγωγή Αν σε συνεχές μέσο υπάρχει βάθμωση θερμοκρασίας τότε υπάρχει ροή θερμότητας χωρίς ορατή κίνηση της ύλης. Fourier: Η πυκνότητα ροής θερμότητας είναι ανάλογη της διαφορικής κλίσης της θερμοκρασίας και έχει αντίθετο πρόσημο από αυτήν Για μονοδιάστατη ροή: dq da = k dt dx Q ο ρυθμός ροής της θερμότητας κάθετα προς την επιφάνεια A το εμβαδόν της επιφάνειας m 2 T η θερμοκρασία K x απόσταση, κάθετη στην επιφάνεια m k θερμική αγωγιμότητα Ολοκληρώνοντας για σταθερό k και Δx = L προκύπτει: m K Q = k A ΔT L
Συναγωγή Η ροή θερμότητας που σχετίζεται α) με την κίνηση ενός ρευστού και β) με την μεταφορά θερμότητας από μια θερμή επιφάνεια σε κινούμενο ρευστό. Στη β) περίπτωση: Q A = h T s T f ή Q = h A ΔT Q ο ρυθμός ροής της θερμότητας κάθετα προς την επιφάνεια A το εμβαδόν της επιφάνειας m 2 T s η θερμοκρασία της επιφάνειας K T f η θερμοκρασία του ρευστού K h ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας m 2 K Φυσική Συναγωγή (διαφορά πυκνότητας λόγω διαφοράς θερμοκρασίας) Εξαναγκασμένη Συναγωγή (λόγω αντλίας, ανάδευσης κ.λ)
Ακτινοβολία Η ενέργεια που μεταφέρεται στο χώρο (απορροφάται) μέσω ηλεκρομαγνητικών κυμάτων Η ενέργεια που εκπέμπει μέλαν σώμα είναι ανάλογη της 4 ης δύναμης της απόλυτης θερμοκρασίας του. b = σ T 4 b ο ρυθμός εκπομπής ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας σ σταθερά Stefan-Boltzmann σ = 5.669 10 8 T η απόλυτη θερμοκρασία της επιφάνειας K m 2 m 2 K 4 Η μεταφορά θερμότητας λόγω ακτινοβολίας είναι συνήθως ανεξάρτητη της μεταφοράς θερμότητας λόγω αγωγής/συναγωγής
Αγωγή και νόμος Fourier Ο νόμος του Fourier είναι η αναλογία ανάμεσα στην πυκνότητα ροής θερμότητας και στη διαφορική κλίση της θερμοκρασίας Οι γενικές εκφράσεις του νόμου του Fourier για ροή στις τρεις κατευθύνσεις σε ένα ισότροπο υλικό είναι συνιστώσες μιας διανυσματικής εξίσωσης: dq = k T da x x dq da = k T dq = k T da y y dq = k T da z z Η θερμότητα σε ένα ισότροπο υλικό ρέει στην κατεύθυνση της πιο απότομης μείωσης της θερμοκρασίας
Θερμική Αγωγιμότητα Το k ή Btu m K ft h dq da = k dt dx είναι φυσική ιδιότητα μεταφοράς (όπως και το Νευτωνικό Ιξώδες) και δείχνει πόσο γρήγορα (ή πόσο εύκολα) μεταδίδεται η θερμότητα μέσω μιας ουσίας Το dt dx είναι η διαφορική κλίση της θερμοκρασίας Το k είναι ανεξάρτητο της διαφορικής κλίσης της θερμοκρασίας όχι όμως κατ ανάγκη και της θερμοκρασίας. Για μικρές περιοχές θερμοκρασίας μπορεί να θεωρηθεί σταθερό Υλικό m K Στερεά Μέταλλα 15 400 Υγρά 0.1 10 Αέρια 0.01 0.2
Θερμική Αγωγιμότητα Για μεγαλύτερες περιοχές θερμοκρασίας μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση από μια εξίσωση της μορφής: k = a + b T Όπου a, b εμπειρικές σταθερές k solids > k liquids > k gases και στα αέρια είναι σχεδόν ανεξάρτητο της πίεσης k = 1 k = 1 m K = 0.577789317 Btu ft h Btu ft h = 1.730734666 m K Q = 1 = 3.4121 Btu h Q = 1 Btu h = 0.293071
Αγωγή σε μόνιμη κατάσταση T 1 T 1 T 2 T 2 Eικόνα 16 Για μια σταθερή επιφάνεια A, σε μόνιμη κατάσταση το Q είναι σταθερό κατά μήκος της διαδρομής (δεν υπάρχει συσσώρευση ή καταστροφή της θερμότητας) dt = Q k A dx Υποθέτοντας ότι το k είναι ανεξάρτητο της θερμοκρασίας, ολοκληρώνουμε: Q A = k T 1 T 2 = k ΔT x 1 x 2 L
Αγωγή σε μόνιμη κατάσταση Η εξίσωση μπορεί να χτρησιμοποιηθεί ακόμα κι όταν το k μεταβάλλεται γραμικά μεταξύ των θερμοκρασιών T 1 και T 2, χρησιμοποιώντας είτε το μέσο όρο των τιμών του k για τις δύο θερμοκρασίες είτε την τιμή του k για το μέσο όρο των θερμοκρασιών. Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί επίσης: Όπου R = L k 1 και 2 Q A = Κινητήρια Δύναμη Αντίσταση = ΔT R είναι η θερμική αντίσταση του στερεού ανάμεσα στα σημεία Το αντίστροφο της θερμικής αντίστασης είναι ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας που είναι: h = k L
Άσκηση 9.1 Ένα στρώμα κονιορτοποιημένου φελλού πάχους 150 mm χρησιμοποιείται ως θερμική μόνωση σε ένα επίπεδο τοίχο εμβαδού 2 m 2. Η θερμοκρασία της ψυχρής πλευράς είναι 5 C, ενώ η θερμοκρασία της θερμής πλευράς είναι 80 C. Η θερμική αγωγιμότητα του φελλού είναι 0.036 /m στους 0 και 0.055 /m στους 93.3. Να υπολογιστεί ο ρυθμός ροής της θερμότητας μέσα από τον τοίχο. Υπολογίζουμε τη θερμική αγωγιμότητα στη μέση τιμή θερμοκρασίας 80+5 2 = 42.5 χρησιμοποιώντας γραμμική παρεμβολή: k = 0.036 + 42.5 0 0.055 0.036 93.3 0 = 0.045 m = 0.026 Btu ft h Q = k A ΔT L = 0.045 m 2 m2 80 5 0.15 m Q A = 22.5 m 2 = 45 = 153.55 Btu/h
Άσκηση 9.2 Ένα παράθυρο έχει υαλοπίνακα με πάχος 1 cm, επιφάνεια 3 m 2 και θερμική αγωγιμότητα 1.4 /m. Η εξωτερική θερμοκρασία είναι 10 C και ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας είναι 3 k. Να υπολογιστεί η θερμοκρασία στην εσωτερική επιφάνεια του υαλοπίνακα. Στη μόνιμη κατάσταση: Q A = k T h T c L T h = T c + Q L A k T h = 10 + 3000 0.01 = 17.1 3 1.4
Σύνθετες Αντιστάσεις σε σειρά Έστω επίπεδο τοίχωμα αποτελούμενο από 3 στρώματα σε άριστη θερμική επαφή μεταξύ τους. ΔT A = Q A Προσθέτοντας τις εξισώσεις προκύπτει: L A k A A ΔT B = Q B L B k B A ΔT C = Q C L C k C A ΔT = Q A L A k A A + Q B L B k B A + Q C L C k C A Στη μόνιμη κατάσταση η θερμότητα διαπερνά και τα τρία στρώματα και άρα Q = Q A = Q B = Q C, οπότε: Q A = ΔT L A + L B + L = C k A k B k C ΔT = ΔT R A + R B + R C R
Σύνθετες Αντιστάσεις σε σειρά Ο ρυθμός ροής της θερμότητας μέσα από μια σειρά θερμικών αντιστάσεων παρουσιάζει αναλογία με το ρεύμα που ρέει μέσω διαφόρων ηλεκτρικών αντιστάσεων σε σειρά Οι επιμέρους διαφορές θερμοκρασίας, είναι για την ολική πτώση θερμοκρασίας ότι οι μεμονωμένες θερμικές αντιστάσεις για την ολική θερμική αντίσταση: ΔT R = ΔT A R A = ΔT B R B = ΔT C R C
Σύνθετες Αντιστάσεις σε σειρά ΔT ΔT A ΔT B ΔT C R A R B R C L A L B ΔT A L C Λεπτό στρώμα με μικρό k προκαλεί μεγαλύτερο ΔT από μεγαλύτερο στρώμα με μεγάλο k ΔT ΔT B ΔT C Εικόνα 17
Άσκηση 9.3 Ο ρυμός μεταφοράς θερμότητας στο μανδύα ενός αναδευόμενου δοχείου πολυμερισμού είναι 7.4 k/m 2 όταν η θερμοκρασία πολυμερισμού είναι 50 C και η θερμοκρασία του νερού στο μανδύα είναι 20 C. Το δοχείο είναι κατασκευασμένο από ανοξείδωτο χάλυβα πάχους 12 mm και k = 16.3 /m. Πάνω στα τοιχώματα του δοχείου έχει αποτεθεί λεπτό στρώμα πολυμερούς από προηγούμενη χρήση με k = 0.16 /m. Α) Ποια είναι η πτώση θερμοκρασίας στο μεταλλικό τοίχωμα; Β) Ποιο θα πρέπει να είναι το πάχος του στρώματος πολυμερούς που έχει εναποτεθεί ούτως ώστε να δικαιολογείται η υπόλοιπη διαφορά θερμοκρασίας; C) Με ποιο συντελεστή θα αυξανόταν η πυκνότητα ροής θερμότητας αν χρησιμοποιούσαμε ένα αντιδραστήρα με ανοξείδωτη επένδυση 3 mm σε κέλυφος μαλακού χάλυβα 9 mm με k = 45 /m ; A. Η ολική θερμική αντίσταση είναι: R = ΔT Q/A 50 20 = 7400 = 0.004054 m2 Η αντίσταση του ανοξείδωτου τοιχώματος είναι: R w = L w = 0.012 k w 16.3 = 0.000736 m2
Άσκηση 9.3 ΔT R = ΔT w R w ΔT w = ΔT R w R = 30 0.000736 0.004054 = 5.45 B. Για το στρώμα του πολυμερούς: R p = ΔT ΔT w Q/A = 30 5.45 7400 = 0.003318 m2 R p = L p k p L p = R p k p = 0.003318 0.16 = 0.00053 m = 0.53 mm C. Για το σύνθετο τοίχωμα: R comp = R ss + R s = 0.003 16.3 + 0.009 45 = 0.003702 m2 Q comp Q = Αύξηση κατά 9.5% ΔT R comp ΔT R = R R comp = 0.004054 0.003702 = 1.095
Άσκηση 9.4 Επίπεδος φούρνος αποτελείται από ένα στρώμα τούβλων sil-o-cel πάχους 114 mm με θερμική αγωγιμότητα 0.138 /m που έχει ως επένδυση ένα άλλο στρώμα από κοινά τούβλα πάχους 229 mm με θερμική αγωγιμότητα 1.38 /m. Η θερμοκρασία της θερμής πλευράς είναι 760 C και της ψυχρής πλευράς 77 C. Α) να υπολογίσετε την απώλεια θερμότητας μέσω του τοιχώματος. Β) ποια είναι η θερμοκρασία της διεπιφάνειας ανάμεσα στα πυρίμαχα και τα κοινά τούβλα; C) Αν υποτεθεί ότι η επαφή ανάμεσα στα πυρίμαχα και τα κοινά τούβλα δεν είναι καλή και ότι η θερμική αντίσταση της επαφής είναι 0.088 m2 θερμότητας; A. Υπολογίζουμε τις θερμικές αντιστάσεις ανά μονάδα επιφάνειας: ποια θα είναι η απώλεια R A = 0.114 0.138 = 0.827 m2 R B = 0.229 1.38 = 0.166 m2 R = R A + R B = 0.993 m2 ΔT = 760 77 = 683 Q A = 683 0.993 = 687.8 m 2 = 218 Btu h ft 2
Άσκηση 9.4 Επίπεδος φούρνος αποτελείται από ένα στρώμα τούβλων sil-o-cel πάχους 114 mm με θερμική αγωγιμότητα 0.138 /m που έχει ως επένδυση ένα άλλο στρώμα από κοινά τούβλα πάχους 229 mm με θερμική αγωγιμότητα 1.38 /m. Η θερμοκρασία της θερμής πλευράς είναι 760 C και της ψυχρής πλευράς 77 C. Α) να υπολογίσετε την απώλεια θερμότητας μέσω του τοιχώματος. Β) ποια είναι η θερμοκρασία της διεπιφάνειας ανάμεσα στα πυρίμαχα και τα κοινά τούβλα; C) Αν υποτεθεί ότι η επαφή ανάμεσα στα πυρίμαχα και τα κοινά τούβλα δεν είναι καλή και ότι η θερμική αντίσταση της επαφής είναι 0.088 m2 θερμότητας; ποια θα είναι η απώλεια B. Η πτώση της θερμοκρασίας σε μια αντίσταση είναι ότι και η ολική πτώση για την ολική αντίσταση: ΔT R = ΔT A 683 R A 0.993 = ΔT A 0.827 ΔT A = 568.8 Επομένως η θερμοκρασία στη διεπιφάνεια θα είναι 760-568.8=191.2 C. Η νέα ολική αντίσταση είναι: R = 0.993 + 0.088 = 1.081 m2 Q A = 683 1.081 = 631.8 m 2 = 200.2 Btu h ft 2
Ροή Θερμότητας σε Κύλινδρο T i > T o σε ακτίνα r ο ρυθμός ροής της θερμότητας είναι: Q A = Q dt = k 2 π r L dr Με αναδιάταξη και ολοκλήρωση προκύπτει: r o dr r r i = ln r o ln r i = 2 π L k Q T o 2 π L k Q T i dt T i T o T o T i r i r o r dr Q = k 2 π L T i T o ln r o / r i Μια πιο εύχρηστη μορφή είναι: Q = k A L T i T o r o r i όπου A L = 2 π L r o r i ln r o / r i A L είναι η επιφάνεια κυλίνδρου μήκους L και ακτίνας r L = r o r i ln r o / r i Η ακτίνα r L λέγεται Μέση Λογαριθμική Ακτίνα
Μέση λογαριθμική Ακτίνα Εικόνα 18 Σχέση ανάμεσα στη μέση λογαριθμική και τη μέση αριθμητική τιμή Όταν r o r i = 1.4 τότε r L = 0.99 r a Όταν r o r i = 2 τότε r L = 0.96 r a Όταν r o r i = 5 τότε r L = 0.80 r a δηλαδή το σφάλμα είναι 20%
Άσκηση 9.5 Αγωγός με εξωτερική διάμετρο 60 mm περιβάλλεται με μονωτικό στρώμα πάχους 50 mm, αφρού σιλικόνης με k = 0.055 /m και με ένα στρώμα φελλού πάχους 40 mm με k = 0.05 /m. Αν η θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού είναι 150 και της εξωτερικής επιφάνειας του φελλού 30, να υπολογιστεί η απώλεια θερμότητας ανά μέτρο του αγωγού. Η μέση λογαριθμική ακτίνα για τον αφρό είναι: r L = r o r i 30 + 50 30 = = 50.97 mm ln r o / r i ln 80/30 Η μέση λογαριθμική ακτίνα για τον φελλό είναι: 30 + 50 + 40 80 r L = = 98.64 mm ln 120/80 Έστω Α ο αφρός και Β ο φελλός: A A = 2π 0.05097 L = 0.3203 L Q A = k A A A T i T x x A A B = 2π 0.09864 L = 0.6198 L Q B = k B A B T x T o x B
Άσκηση 9.5 Αγωγός με εξωτερική διάμετρο 60 mm περιβάλλεται με μονωτικό στρώμα πάχους 50 mm, αφρού σιλικόνης με k = 0.055 /m και με ένα στρώμα φελλού πάχους 40 mm με k = 0.05 /m. Αν η θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού είναι 150 και της εξωτερικής επιφάνειας του φελλού 30, να υπολογιστεί η απώλεια θερμότητας ανά μέτρο του αγωγού. Αντικαθιστούμε τιμές: Q A = 0.055 0.3203 L T i T x 0.050 Q B = 0.050 0.6198 L T x T o 0.040 = 0.3523 L T i T x = 0.7748 L T x T o 2.839 Q A L = T i T x Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις και προκύπτει: Q L = T i T ο 4.13 = 150 30 4.13 1.291 Q B L = T x T o = 29.1 /m
Σημείωμα Xρήσης Έργων Τρίτων Εικόνες 16,17,18 :. Mccabe, J. Smith, P. Harriott, Unit Operations Of Chemical Engineering, 2005, 7 th ed., McGraw-Hill Higher Education
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.0.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών. Καθηγητής, Δημήτριος Ματαράς. «Φυσικές Διεργασίες ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/cmng2120/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.