ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Εφαρμογή Ερώτημα: Με τί ρυθμό γεμίζει το κυλινδρικό δοχείο από μια βρύση; 4

5 Εφαρμογή Ερώτημα: Με τί ρυθμό γεμίζει το κυλινδρικό δοχείο από μια βρύση; Μετράμε το ρυθμό μεταβολής της στάθμης του νερού στο δοχείο: dh dt Υπολογίζουμε έπειτα το ρυθμό μεταβολής του όγκου, παραγωγίζοντας τον όγκο ως προς t και αντικαθιστώντας το ρυθμό μεταβολής της στάθμης που βρήκαμε προηγουμένως. 5

6 Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Έστω ανεστραμμένος κώνος ύψους h 80cm Γεμίζουμε τον ανεστραμμένο κώνο με ρυθμό 10 και ακτίνας r 40cm. cm 3 / sec Να υπολογίσετε το ρυθμό ανόδου της στάθμης του νερού, όταν αυτή βρίσκεται σε ύψος 0 cm από το έδαφος. 6

7 Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι V 1 r 3 h 7

8 Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι 1 r 3 Από τα όμοια τρίγωνα υπολογίζουμε την ακτίνα του κώνου όταν η στάθμη είναι σε ύψος 0 cm. V h 8

9 Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι 1 r 3 Από τα όμοια τρίγωνα υπολογίζουμε την ακτίνα του κώνου όταν η στάθμη είναι σε ύψος 0 cm. Από τα στοιχεία του κώνου γνωρίζουμε ότι h = r (αφού h = 80 cm και r = 40 cm) V h 9

10 Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι V 1 r 3 Από τα όμοια τρίγωνα υπολογίζουμε την ακτίνα του κώνου όταν η στάθμη είναι σε ύψος 0 cm. Από τα στοιχεία του κώνου γνωρίζουμε ότι h = r (αφού h = 80 cm και r = 40 cm) Παραγωγίζουμε τον όγκο ως προς το χρόνο, αντικαθιστώντας r = h/: dv dt d dt 1 h 3 h h 10

11 Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση dv d 1 h d h h 3h dt dt 3 dt 1 1 dh dt Λύνουμε ως προς το ρυθμό μεταβολής της στάθμης: dh dt 1 dv dt 1 3h 11

12 Θεωρήματα Rolle, Μέσης Τιμής Θεώρημα του Rolle: Για μια συνεχή συνάρτηση () της οποίας είναι γνωστές οι τιμές στα άκρα ενός διαστήματος (a,b): ' 0 ( a) ( b) a b 1

13 Θεωρήματα Rolle, Μέσης Τιμής Θεώρημα του Rolle: Για μια συνεχή συνάρτηση () της οποίας είναι γνωστές οι τιμές στα άκρα ενός διαστήματος (a,b): ' 0 ( a) ( b) a b Θεώρημα της Μέσης Τιμής: Για μια συνεχή συνάρτηση () της οποίας είναι γνωστές οι τιμές στα άκρα ενός διαστήματος (a,b): ( b) b a ( a) ' a b ( ) 13

14 Διαφορικό Συνάρτησης Μετατόπιση κατά Δ: ( ) ( ) '( ) Διαφορικό της συνάρτησης : ( ) ( ) '

15 Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Εάν μια συνάρτηση τείνει ασυμπτωτικά προς μια ευθεία: y m b Μπορούμε να υπολογίσουμε τους όρους m, b ως εξής: ( ) m lim b lim ( ) m 15

16 lim Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η πρώτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: ( ) y 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 16

17 lim Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η πρώτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: ( ) y 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m 1 b 0 lim ( ) m b 0 17

18 Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η πρώτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: lim ( ) m 1 b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) lim m b 0 lim ( ) m 18

19 Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η δεύτερη σχέση αποδεικνύεται, με χρήση της πρώτης, ως εξής: lim ( ) m b 0 b lim ( ) m 19

20 Ακρότατα Αν έχουμε μια συνάρτηση () και αναζητούμε τα ακρότατα της, παραγωγίζουμε και θέτουμε () = 0. Η λύση αυτής της εξίσωσης θα μας δώσει τα σημεία στα οποία η παράγωγος μηδενίζεται, δηλαδή εκείνα τα σημεία στα οποία η κλίση της () είναι μηδέν. Βρίσκουμε αν ένα ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο, από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου στο ακρότατο: ''( ) 0 ''( ) 0 0

21 Ακρότατα: Εφαρμογή 1 Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του στην αρχή των αξόνων και τις δύο κορυφές του στην καμπύλη y 7. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου. 1

22 Ακρότατα: Εφαρμογή 1 Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του στην αρχή των αξόνων και τις δύο κορυφές του στην καμπύλη y 7. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου. Λύση Το εμβαδό του τριγώνου θα είναι: 1 E( ) 7 E'( ) 3 7 Ακρότατο: E' ( ) 0 3

23 Ακρότατα: Εφαρμογή 1 Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του στην αρχή των αξόνων και τις δύο κορυφές του στην καμπύλη y 7. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου. Λύση Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο: E' '( ) 6 E' '(3) 18 Άρα το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου θα είναι E( 3) 54 3

24 Ακρότατα: Εφαρμογή Α θ1 Β Γ Να δειχθεί ότι το φως θα ακολουθήσει τη διαδρομή ελάχιστου χρόνου για v1 sin1 v sin όπου οι ταχύτητες του φωτός στα δύο μέσα θ v 1,v 4

25 Ακρότατα: Εφαρμογή Α θ1 Β θ Γ Να δειχθεί ότι το φως θα ακολουθήσει τη διαδρομή ελάχιστου χρόνου για v1 sin1 v sin όπου οι ταχύτητες του φωτός στα δύο μέσα v 1,v a A t v 1 v a v 1 v 5

26 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

27 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

28 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 015

29 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

30 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.