ρπεα εμτων αματών 2014 ΓΕΟ ΗΕΡΗΟ ΕΟ ΓΕΩΕΡΑ Θμα 4ο
ΘΕΜΑ 4 Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος, η κάθετη από το μέσο Μ της ΒΓ τέμνει την προέκταση της διχοτόμου ΑΔ στο σημείο Ε. Αν Θ, Ζ είναι οι προβολές του Ε στις ΑΒ, ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΘΒΕ και ΖΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 8) γ) ΑΓΕ ˆ ΑΒΕ ˆ 180 ο + = (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με, το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε στην ΔΓ ώστε ΔΕ=ΒΔ. Το σημείο Ζ είναι η προβολή του Γ στην ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii. ΓΑΕ ˆ 10 ο =. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΖΓΕ. (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ 4 Σε μια τάξη της Α' Λυκείου στο μάθημα της Γεωμετρίας ο καθηγητής έδωσε στους μαθητές του το παρακάτω πρόβλημα: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία (ε) που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η εξωτερική γωνία ˆΓ του τριγώνου είναιδιπλάσια της εσωτερικής γωνίας Â. Ζητείται, χωρίς την βοήθεια γεωμετρικών οργάνων, να χαραχθεί η διάμεσος ΒΜ του τριγώνου και η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας ˆΓ. Ο καθηγητής για να διευκολύνει τους μαθητές του, έδωσε την εξής υπόδειξη: «Αν πάρω στην ευθεία (ε), στο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ) ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΒΓ τότε: α) η ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο μέσο Μ, (Μονάδες 12) β) η ΓΔ είναι η ζητούμενη διχοτόμος. (Μονάδες 13) Μπορείτε να δικαιολογήσετε τους ισχυρισμούς αυτούς; 32
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία Γ, Δ ώστε να ισχύει ΑΓ= ΓΔ= ΔΒ. Επίσης θεωρούμε σημείο Ο εκτός του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έτσι ώστε να ισχύουν ΟΓ=ΑΓ και ΟΔ=ΔΒ. α) Να αποδείξετε ότι: i. η γωνία ˆ ΓΟΔ είναι 60 0 (Μονάδες 9) ii. οι γωνίες ΟΑΓ ˆ, ΟΒΔ ˆ είναι ίσες και κάθε μια ίση με 30 0. (Μονάδες 9) β) Αν Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, να αποδείξετε ότι 2ΟΜ=ΟΑ. (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ 4 Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) είναι ΓΔ= 2ΑΒ. Επίσης τα Ζ, Η, Ε είναι τα μέσα των ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ αντίστοιχα. Ακόμη η ΖΗ τέμνει τις ΑΕ, ΒΕ στα σημεία Θ, Ι αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι, τα σημεία Θ, Ι είναι μέσα των ΑΕ, ΒΕ αντίστοιχα. (Μονάδες 5) γ) Να δείξετε ότι ΖΗ = 3 2 ΑΒ. (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, και έστω ΑΒ μια διάμετρος του, Γ το μέσο του ενός ημικυκλίου του και Δ τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της ΔΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΒΕ=ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii. Η ΓΔ είναι κάθετη στην ΓΕ. (Μονάδες 8) β) Να αιτιολογήσετε γιατί, στην περίπτωση που το σημείο Δ είναι το αντιδιαμετρικό του Γ, η ΓΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α ˆ + Γ ˆ = 2Β ˆ και έστω ΑΔ ύψος και ΒΕ διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι: i. ii. ˆΒ 60 ο = και ΑΖ=ΒΖ. (Μονάδες 10) 3 Α = ΒΖ (Μονάδες 8) 2 β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ, Ζ). Αν το σημείο Θ, είναι μέσο των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ ενώ το σημείο Ε είναι μέσο των τμημάτων ΓΖ και ΔΗ, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΓΗΖΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10) β) Τα σημεία Β, Δ, Ζ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6)
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται ευθεία (ε) και δυο σημεία Α, Β εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία ΑΒ να μην είναι κάθετη στην (ε). Φέρουμε ΑΔ, ΒΓ κάθετες στην (ε) και Μ, Ν μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α) Αν τα Α, Β είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την (ε) i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας: 1) ΑΔ < ΒΓ (Μονάδες 4) 2) ΑΔ = ΒΓ. (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα ΜΝ σε σχέση με τα τμήματα ΑΔ, ΒΓ στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) τέμνει το τμήμα ΑΒ στο μέσο του Μ να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΑΓΒΔ (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα Μ, Ν ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+2)
ΘΕΜΑ 4 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που τέμνονται στο σημείο Η και το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι i. ΜΔ=ΜΕ (Μονάδες 10) ii. Η ευθεία ΑΗ τέμνει κάθετα τη ΒΓ και ότι AH = Γ, όπου Γ η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΗ. (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 4 Δύο κύκλοι (Κ,ρ), (Λ,R) τέμνονται σε δύο σημεία Α, Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι: α) ο AB Γ = 90 (Μονάδες 5) β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10) γ) το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Λ,Γ,Δ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τις προβολές Α, Β, Γ, Δ των κορυφών του Α, Β, Γ, Δ αντίστοιχα, σε μια ευθεία ε. α) Αν η ευθεία ε αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι ΑΑ =3, ΒΒ =2, ΓΓ =5, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του παραλληλογράμμου από την ε είναι ίση με 4. (Μονάδες 8) ii. Να βρείτε την απόσταση ΔΔ. (Μονάδες 9) β) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τέμνονται στο Ι. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΒΙ και ΓΙ αντίστοιχα, να αποδείξετε: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίσα (Μονάδες 5) γ) Το ΑΙ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ. (Μονάδες 5) δ) Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10)
Εκφώνηση Δραστηριότητας Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τέμνονται στο Ι. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΒΙ και ΓΙ αντίστοιχα, να αποδείξετε: α. Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 β. Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίσα Μονάδες 5 γ. Το ΑΙ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ. Μονάδες 5 δ. Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Μονάδες 10 Ενδεικτική Απάντηση ΘΕΜΑ 4 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ της δραστηριότητας
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7) β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο, με ΒΘ = ΒΖ και ΘΗ = 2 ΒΓ. (Μονάδες 10)
ΘΑ 4 Οι οι, αι, 3 φάοαι ωιά ο ηίο Α. ία θία φάαι ωιά αι ο ο ο α ηία αι αίοιχα αι ι η οαη η ιαο ο ηίο. Φο αό ο ηίο αάηο ήα η ο ι ο ήα ο. α α αοί όι ο άο ίαι οθοώιο. οά β α αοί όι η ωία ίαι 30. οά α αοί όι ο ήα =6, όο η αία ο ο,. οά
ΘΑ 4 ίαι οθοώιο ίωο Α αι ιχοόο ο. Αό ο φο αι οοάο ο ίο ο οοίο θία ι οα Α. α αοί όι: α Το ίωο Α ίαι ιο. οά 6 βτα ίωα Α αι ίαι ία. οά 6 θία ίαι οάθ ω άω Α αι. οά 6 Το άο Α ίαι ιο αιο. (οά 7)
ΘΜΑ 4 ίαι ίωο Α Α < Α αι η ιχοόο ο Α. Φο αό ο άθη η Α ο ι η Α ο αι η ά Α ο Η. Α Μ ίαι ο ο η ά, α αοί όι: α Το ίωο ΑΗ ίαι ιο. β Μ//Η Μ=Α-Α/2 Μοά Μοά Μοά
ΘΑ Α ίο αι α η ο ο αιοιο ι αι αίοια. ίαι η αόοθη όαη: Π: Α ο ίο Α ίαι ιο Α=Α, ό α η ο αιοιο ι ί ο ίαι ία. α α ά α ιι η όαη Π αιιοοα η αάηή α οά β α ια η αντίστροφη όαη η Π αι α αοί όι ιι. οά α ια η όαη Π αι η αντίστροφή της ιαία όαη. οά
ΘΑ 4 ίαι οία ία xoy αι ο οόοι οι Ο, 1 αι Ο, 2 1 < 2, ο ο η O α ηία, Α αι η O α, Β αίοια. α αοί όι: α Α = Β. οά β Το ίο ΑΡΒ ίαι ιο, όο Ρ ο ηίο οή Α αι Β. οά Η ΟΡ ιοοί η xoy. οά
ΘΕΑ 4 α α αοί όι ο ίωο οφ α α ώ ιοο ιώο ίαι ιο. οά β α ιαώ αι α αοί αάοη όαη ια i. ιόο ίωο. οά ii. οθοώιο αι ιο ίωο. οά
ΘΑ ίαι αιο Α A = =0, =2Α και =3. Αό ο φο κάθ ο ι Α ο ίο και ο. ί φο Α ο ι ο ίο. α αοί όι: α = β =Α = 4 1. οά οά οά
ΘΜΑ 4 ω ααηόαο Α. Α α ηία αι ίαι α α ω ώ ο Α αι αίοιχα, α αοί όι : α Το άο ίαι ααηόαο. Μοά β Α= Μοά Οι αι ιχοοο η ιαώιο Α ο ααηοάο Α. Μοά
ΘΑ Σο οθοώιο ααόαο Α ίαι Φο Α. 30 αι Ο ο ο ο. α α αοί όι ωία ί ωί. χωίαι αό αι ιαώιο ι οά 1 β Φο άθ Α ο ίο Ο οοία ι οα Α ο Ζ. α ί όι α ίωα ΑΖΟ αι Α ίαι ία. (οά 12)
ΘΑ 4 ω όι αι ίαι α α ω ώ Α αι ααηοάο Α αίοιχα. Α ια ο ααηόαο Α ιο ιχι Α>Α, α ά α ίαι αηθί ή όχι οι αόοθοι ιχιοί: Ισχυρισμός : ο άο ίαι ααηόαο. Ισχυρισμός : =. Ισχυρισμός : Οι αι ίαι ιχοόοι ω ααι ωιώ α. α η ίωη ο θωί όι άοιο ιχιό ίαι αηθή α ο αοί. οά 16 β η ίωη ο άοιο ιχιό ίαι αηθή, αβί η χη ω ιαοχιώ ώ ο ααηοάο ώ α ίαι αηθή. α αιιοοή η αάηή α. οά 9
ΘΑ 4 ω όι αι ίαι α α ω ώ Α αι ααηοάο Α αίοιχα. Α ια ο ααηόαο Α ιο ιχι Α>Α, α ά α ίαι αηθί οι αόοθοι ιχιοί: Ισχυρισμός : ο άο ίαι ααηόαο. Ισχυρισμός : α ίωα Α αι ίαι ία. Ισχυρισμός : α ίωα Α αι ίαι ιοή. α η ίωη ο θωί όι άοιο ιχιό ίαι αηθή α ο αοί. οά 16 β η ίωη ο άοιο ιχιό ίαι αηθή, α βί η χη ω ιαοχιώ ώ ο ααηοάο ώ α ίαι αηθή. α αιιοοή η αάηή α. οά 9
ΘΑ 2 ίαι ίο Α. Ποίο ο ο ο ΑΗ αά α Η=ΑΗ αι ιάό ο Α αά α =Α. α αοί όι: α Α== οά β οά Το άο ίαι ιο αιο. οά
ΘΕΑ Έω ο άθ θί ο οαι ο Ο αι χαίο ηίο ο ιο ο αήι ι θί. α Α ίαι ο ιό ο ω ο η αι ο ιό ο ω ο η, α αοί όι: I. οά II. Τα ηία, Ο αι ίαι θιαά. οά 8 III. Το ίωο ίαι οθοώιο. οά Β Α ίαι ο ιό ηίο ο ω ο η, ι ίο ααηόαο ίαι ο ; α αιιοοή η αάηή α. οά
ΘΑ ίαι οοώιο Α αι ω αό αό, ααάο α ιόα ίωα Α,,, ΑΘ. α α αοί όι ο άο Θ ίαι όβο. οά β Α ο αχιό άο Α ίαι άωο, ό ο Θ ι ίο ααόαο ίαι; ιαιοο αά α. οά
ΘΕΑ 4 Θωο ία αι ο ία Α αι Β ό α, α οοία βίοαι ο ίιο ίο χ ι ώ, ία ΑΒ α ίαι ά. Έω Α αι Β α ιά ία ω Α αι Β αίοιχα ω ο ία. α Α οάο ο ΑΒ ι ία ο ίο Κ, α αοί όι ο Κ αι αι οάο ο Α Β. οά β α αοί όι ο άο ΑΒΒ Α ίαι αιο. (οά 8) α βί χ ω ιώ ΑΒ αι ία ώ ο άο ΑΒΒ Α α ίαι οοώιο. α αιιοο αά α. (οά 7)
ΘΑ ίαι αιο Α Α// ωία ί αι ω, α α ω ιαωίω ο. Οι αά ο Α αι οιό οαι άα ο ίο. α αοί όι: α Α=Α οά β =Α οά Σ οια ίω ο Α ίαι ααόαο; α αιιοο αά α. οά
ΘΑ ίαι αιο Α Α// ωία ί αι ω, α α ω ιαωίω ο. Οι αά ο Α αι οιό οαι άα ο ίο. α αοί όι: α Α=Α οά β =Α οά Σ οια ίω ο Α ίαι ααόαο; α αιιοο αά α. οά
ΘΑ 4 Θο οθοιο ίο Α αι ο ο ο ΑΗ. αι α ιά ηία ο Η ο ι θί Α αι Α αίοια. α α αοί όι: I. ΑΗ=Α=Α. οά 6 II. Το ίο Η ίαι οθοιο οά 6 III. Τα ηία, Α αι ίαι θιαά. οά 6 β Τα ία Α αι Η ίαι ία; Α αι, α ο αοί. Α όι, ά αό οι αι οοθι θα οο α ίαι ία; α αιιοοή η αάηή α. (οά 7)
ΘΑ ίαι ίωο Α B =2, αι η ιχοόο η ωία B. Αό ο ο η Α φο αάηη η ιχοόο ο ι η ά ο. α αοί όι: α Το ίωο ίαι ιο. α Το ίωο ίαι ιο. β Α οά οά οά
ΘΑ 4 ο ο Ο θωο α ία όα Α αι Α, ο αθα ίο. ω αι α α ω όω Α αι Α αίοιχα. α αοί όι: α ο ίωο Α ίαι ιόο. οά β α ίωα Α αι Α ίαι ία αι α οοί ι ωί ο. οά χοή ιχοοίαι αό ι χο Α αι Α. οά
ΘΑ ίοαι οι αόοθ οάι Π αι Π: Π: Α α ααηόαο ίαι όβο, ό οι αοάι ω ααι ώ ο ίαι ί. Π: Α οι αοάι ω ααι ώ ό ααηοάο ίαι ί, ό ο ααηόαο ίαι όβο. α α ά α ιχο οι οάι Π αι Π αιιοοώα ήω η αάηή α. (οά 20) β Ση ίωη ο αι οι ο οάι ιχο, α ι ιαώ ω ια ιαία όαη. οά
ΘΑ ίαι ίωο Α αι ω, α α ω ώ ο Α αι Α αίοιχα. α Θωο χαίο ηίο Μ σο εσωερικό ο ριγώο αι, α ιά ο ω ο αι αίοιχα. α αοί όι //. οά β Ση ίωη ο ο σηείο Μ είαι ο έσο η ά, αι, α ιά ο ω ο αι αίοιχα. α αοί όι α ηία, Α αι ίαι θιαά. οά
ΘΑ 4 Το άο Α ο ααάω χήαο ίαι όβο. Θωο αι. α αοί όι: α Το ίωο Α ίαι ιο. οά 6 β θία Α ίαι οάθο ο ήαο. οά 9 Α αι α α ω ώ Α αι Α αίοιχα, α αοί όι ο άο ίαι ιο αιο. οά
ΘΑ 4 ίαι θία ο ιο. Τα αάηα ήαα Α αι αθώ αι α χαίο ηίο βίοαι ο ίιο ηιίο η. α αοί όι: α) Α ο ίαι ό ω ηάω Α αι ό:=+ (οά ) β) Α ο ίαι αάα α ήαα Α αι αι Ζ//Α, ό α αοί όι (οά 5)
ΘΑ 4 ίαι όβο Α =120 0. ω όι Α αι Α ίαι οι αοάι ο ηίο Α ι αι αίοιχα. α α αοί όι: i. Τα ηία αι ίαι α α ω ώ αι αίοιχα. οά 8) ii.. οά 8) β Α αι α α ω ώ Α αι Α αίοιχα, α αοί όι ο άο ίαι οθοώιο ααηόαο. οά 9
ΘΑ 4 Σο ιο ίωο Α Α=Α φο ι ιαο αι. ία θία αάηη η βάη ι ι Α αι Α α αι αίοιχα αι ι ιαο αι α ηία Θ αι Κ αίοιχα. α αοί όι: α =. β α ίωα Θ αι Κ ίαι ία. Κ=Θ. (οά ) (οά ) (οά )
ΘΑ 4 ίαι ό άο Α = αι =. α αοί όι: α Το ίωο Α ίαι ιο. β Οι ιαώιοι ο αο Α οαι άθα. οά 9 οά 6 Το άο ο χι ια οφ α α ω ώ ο Α ίαι οθοώιο. οά
ΘΑ 4 ο ό άωο Α ιχο α ή: =, = αι =. α α οοί ο άθοια + +. οά β Α οι Α αι οιό οαι ο αι οι Α αι οιό οαι ο Θ, α αοί όι: i. Οι ωί Α αι ίαι ααηωαι οά ii. ο άο ΑΘ ίαι ααηόαο. οά
ΘΜΑ 4 ίαι ο Ο, R ιάο Α αι ο ί 1, 2 φαό ο ο α άα ιαο Α. ω όι, ια ί ία φάαι ο ο α ίο ο αι ι ι 1 αι 2 α αι αίοιχα. α Α ο ίο ίαι ο ο ο όο Α, α αοί όι: i. ο άο Α ίαι αιο. Μοά 8 ii. = Α+. Μοά 8 β Α ο ίο βίαι ο ο ο όο Α, α αοί όι ο άο Α ίαι οοώιο. ίω α α φά ίο ο οοωίο Α ω ά αία R ο ο. (Μοά 9)
ΘΑ 4 ο άωο Α οοάο Ο ο κο ο και ωο χαίο ίο ο αο Ο. Φο κά αό ο Α, ο ι ο α ΑΟ ο Ζ. α αοί όι: α) Οι ωί ω και φ ο αακάω χαο ίαι ί. (οά ) β) Ζ=Α και Ζ= (οά ) ) ο α Ζ ίαι κάο ο Α. (οά )
ΘΕΜΑ 4 Θωο ο ία Α αι Β α οοία βίοαι ο ίιο ο ω ο ια θία, οια ώ θία ΑΒ ίαι άθ. Έω Α ο ιό ο Α ω ο θία. α Α Α Β ι θία ο ίο Ο, α αοί όι: i. Η θία ιχοοί ωία. (Μοά ii. Οι ιθί ΟΑ αι ΟΒ χαίο ί οί ωί θία Μοά β Α Κ ίαι α άο ίο άω θία, α αοί όι: i. = Μοά ii. +> + Μοά
ΘΑ 4 Σο άωο Α οίο η ά Α αά ήα =Α αι η ά αά ήα =Α. α) α αοί όι: i. = (οά ) ii. (οά ) β) Α ο ιό ηίο ο ω ο η θία, α αοί όι ο άο ίαι άωο. (οά )
ΘΑ ω όι ο ο Ο, φάαι ω ώ ο ιώο Ρ α ηία Α, αι. α α αοί όι: I. =+ οά II. = οά 8 β Α Α=, α αοί όι I. Το ίωο Ρ ίαι ιο. οά II. Τα ηία Ρ, Ο αι ίαι θιαά. οά
ΘΑ 4 Θωο ο ο Ο αι ωιό ηίο ο Ρ. Αό ο Ρ φο α φαόα ήα ΡΑ αι Ρ. Η ιαιή θία ΡΟ ι ο ο ο ηίο. Η φαόη ο ο ο ι α ΡΑ αι Ρ α ηία αι αίοιχα. α αοί όι: α ο ίωο Ρ ίαι ιο. β Α=. η ίο ο ιώο Ρ ίαι ίη ΡΑ+ Ρ. οά οά οά
ΘΕΜΑ 4 Αό ηίο Μ ιό ο Ο, φο ι φαό ΜΑ αι Μ ο ο. Α ίαι ο ιό ηίο ο ο Ο ο η Μ, α αοί όι: α ΜΑ=Μ=Μ (Μοά 9) β η ία ίαι ιάια η ία. (Μοά 9) ο άο ΑΜΟ ίαι άιο ο αι α οιοί ο ο ο ο. (Μοά 7)
ΘΑ 4 ίαι ιο ίο Α αι ο ο ο Α. ο Α θο ηίο οιο Α=. όι ίαι ο ηίο οή η η Α. Φο η Α άθη η, η οοία ι η ά ο Θ. α α αοί όι: i. α ία αι Α ίαι ία. οά ) ii. Θ=Θ. οά ) iii. θία Θ ίαι οάθο ο ήαο Α. (οά ) β Ποιο αό α ηία ο ήαο ίαι ο οθόο ο ιο Α ; α ιαιοοή η αάηή α. οά
ΘΑ 4 Σ ιο αιο Α Α// ίαι Α=Α. α α αοί όι ίαι ιχοόο ωία. (οά 7) β α οιοί θ ό ίο, ώ ο άο Α α ίαι όβο. οά Α ιο ίαι ωία Α=120 αι οι ιαώιοι ο όβο οαι ο ίο Ο, α οοί ι ωί ο αο Ο. (οά 8)
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α Α<Α. ω Αx η ωιή ιχοόο η ωία A. α α αοί όι: i. ˆ ˆ ˆ ˆ 180, όο 2 2 ˆ αι ˆ αιάο ι ωι ωί ω ˆ, ˆ αίοιχα. οά ii. ωιή ιχοόο η ωία ι η οαη η ά ο ο ο ο ηίο. οά ) β Α ο ίωο Α ίαι οθοώιο ο Α αι 15, α αοί όι =Α. οά )
ΘΕΜΑ 4 ΘωοΝαποΝΑΓΔ,ΝοοΝΝ ˆ ˆ 90, φον. 1 4 1 αν ένππο,ν 3 α)ναναποννονποναδνανοοοέννννννννννννν )ΝαΝαποΝΝοΝωοΝΓΝαΝοοοΝαΝοέ (ονζ) (ον10) )ΝΑΝ,ΝΝαΝαΝαΝωΝΝαΝΑΓΝαοα, αναποννναγναναπνονον ονοναονένννννννννννννννννννννν (ον9)
ΘΑ ίαι ο Ο, R ιάο Α αι θί 1, 2 φαό ο ο α άα ιαο Α. Θωο θία φαο ο ο ίο ο, οοία ι ι 1 αι 2 α αι αίοιχα. α α αοί όι: i. Το άο Α ίαι αιο. (οά 6) ii. = Α + (οά ) iii. Το ίωο Ο ίαι οθοώιο. (οά ) β Α ωία Α ίαι 0 ο αι Ο ι ο ο Ο, R ο ίο Κ, α αοί όι ο Κ ίαι ο ο Ο. (οά )
ΘΑ 4 ααηόαο Α ωία Α αβία, ιχι όι Α=2Α. α ηία αι, ίαι α ω ώ ο Α αι αίοιχα. Αό ο φο η άθη η οαη η. α αοί όι: α) ο άο Α ίαι όβο. (οά 8) β) ο ίωο ίαι ιο. (οά 9) ) ο ήα, ίαι ιχοόο η ωία. (οά 8)
ΘΑ 4 ίαι ιο ίο Α Α=Α αι Α ο ο ο η ά. η οαη ο Α θο ήα =Α. η οαη ο ο ο ο ο θο ήα =. α αοί όι: α ο άο Α όβο. (οά 8) β ο ίο Α ίαι ιο. ο ηίο ίαι ο βαο ο ιο Α. (οά ) (οά )
ΘΑ ίαι ίωο Α ωία Α ίη αι ωία ίαι ίη ο. η οαη η Α ο ο Α, αίο ήα Α = Α. Αό ο φο η άθη η Α ο η ι ο ηίο Κ. α αοί όι: α ωία ΑΚ ίαι ίη ο. (οά ) β ο ίωο ΚΑ ίαι ιο. οά ) Α ο ο η Α, ό =90 ο. (οά ) ο ηίο Κ αήι η οάθο ο ήαο. οά )
ΘΑ ίαι χαίο ίωο Α αι η ιάό ο Α. ω όι ίαι ο ο η Α οιο ώ = αι ωία = 120 ο. 2 α α οοί ι ωί ο ιώο. β α αοί όι ο ίωο ίαι οθοώιο. α αοί όι α ίωα Α αι ίαι ία. οά οά οά Α ο ηίο Κ ίαι η οβοή ο η, α αοί όι 2Κ=Α. οά 8
ΘΑ ίαι οθοώιο ααηόαο Α. Αό η οφή Α φο Α. ω, α α ω ώ Α αι Α αιοίχω, ό: α) α αοί όι: ο i. ˆ 0. (οά ) ii. Α. (οά ) 2 ο ) Α Α ˆ 0, α αοί όι =. (οά )
ΘΑ 4 ίαι οθοώιο Α ο Ο αι Α >, Α=2. η οαη η ά Α ο ο Α αίο ηίο ώ Α=Α. α α αοί όι: i. ο άο Α ίαι ααηόαο. (οά ) ii. ο ίωο ίαι ιόο. (οά ) β) Α η Ο ι η ά Α ο ηίο Ζ, α αοί όι Ζ. (οά )
ΘΑ ίαι ο Ο,R) ιάο. Θο ίο Α ο ο αι ιάο ο ίο Α. H οα ΑΟ ι ο ο ο ίο Ζ. Φο ο ο ο Α, οα ο οοίο ι ο ο ο ίο. α α αοί όι: i. Ζ=Α= οά ii. Το άο Ζ ίαι ιο αιο. οά ο β) Α ˆ, α αοί όι ίο ο αίο Ζ ίαι ί R, όο R αία ο ο. οά
ΘΑ 4 ίαι άωο Α. ω ο ικό ηίο ο ω ο ο και ίαι ο ο η Α. οκαη η ι η Α ο. α αοί όι: α) Α 2 (οά 8) β) Τα ίωα Α και ίαι ία. (οά ) ) ίαι κάθη η Α. (οά )
ΘΑ ίαι αιο Α Α // Αˆ 90 ˆ ο, = Α αι ˆ ˆ. Φο ο ι ιαώιο Α ο. Φο Α ο ι ιαώιο ο. α αοί όι: α ˆ ο. (οά ) β Το άο ΑE ίαι ααόαο. (οά ) β 1. (οά ) 4 Α. (οά )
ΘΑ 4 ίαι ο Ο, R αι ια ίη ωία ο ΑΟΒ ίη 0. Οι φαό ο ο α ηία Α αι Β οαι ο ηίο. Θωο ηίο ο όο ΑΒ αι φο ι χο Α αι Β, οι οοί οιό ο ι Β αι Α αι α ηία αι αίοιχα. α αοί όι: α Το ίωο ΑΒ ίαι ιόο. (οά 8) β ΑΒ ˆ ΒΑ ˆ 6 ο. (οά 8) ) Τα ίωα ΑΒ αι ίαι ία. (οά 9)
ΘΑ 4 ίαι ηιιο ιαο Α αι ο ο ο Α αι, οι οοί οαι ο ηίο. Φο EZ α αοί όι: AB. α) Οι ί Α αι ίαι ί (οά 7) β) Τα άα Α αι ίαι άια. (οά 9) ) ίαι ιοόο η ία ˆ. (οά 9)
ΘΑ 4 ίαι ααόαο Α Ο ο ο ο. Αό οφ φο ο α Κ άο Α αι οα ο ο ο Κ ωο ίο, ώ Κ= Κ. α αοί όι: α) Ο. (οά 8) 2 β) Η ωία ίαι ο. (οά 8) ) Το άο Α ίαι ιο αιο. (οά 9)
ΘΑ 4 ο οι Ο, 1, Κ, 2 ) φάοαι ωιά ο. ια θία φάαι ο ο ο α ηία Α, Β αίοιχα. Η οιή φαοη ω ω ο ι η ο. α αοί όι: α Το ίαι ο ο ΑΒ. (οά 7) β) ) ΟΚ ˆ 90 ΑΒ ˆ 90 0 (οά 9) 0 (οά 9)
ΘΕΑ 4 Έω ο Ο, αι Ε ο ο ο όο ο. ια θία φάαι ο ο ο Ε. Οι οάι ω Ο, Ο ο η θία α ηία αι αίοιχα. α αοί όι : α // (οά 5) β Ο=Ο (οά 5) Α ο η Ο i. α αοί όι Ο ˆ Ε ˆ (οά 8) 4 ii. α οοί ι ωί ο ιώο Ο. (οά 7)
ΘΑ ίαι άο Α Α=. Α,,,,, ίαι α α ω Α,,, Α, αι Α αίοιχα, α αοί όι: α) Το άο όβο. (οά 8) β) ίαι οάθο ο θαο ήαο. (οά 7) ) = (οά 5) ) Τα θαα ήαα,, ιχοαι αό ίιο ηίο. (οά )
ΘΑ 4 Α,, θιαά ία Α=2. Θο ο ο Α. Πο ο ίιο ιίο ααάο α ιόα ία Α,. α αοί όι: α Το άο Α ίαι αιο Α//. (οά 9) β Τα ία, ίαι ία. (οά 8) Το άο ίαι άιο. (οά 8)
ΘΑ 4 ίαι ααηόαο Α. Θωο ο ο η ά Α αι άθο αό η οφή η θία. αάηη αό η οφή η θία x // MB ι ι αι α ηία, αίοιχα. α αοί όι: α Το άο ίαι ααηόαο. (οά 7) β) Το ηίο ίαι ο ο θάο ήαο. οά 9 ) =. (οά 9)
ΘΑ ίαι οιο ίο Α. Κααάο ιά ο ιο α ιόα ία Α, Α. Οοάο ο ίο ο ά ά,. α αοί όι: α) Τα ία Α αι Α ίαι ία αι α ά α ί ι (οά ) β) Τα άα Α, Α ίαι άια. (οά ) ) ία ˆ ίαι 0. (οά )
ΘΑ 4 ίοαι οιο ίο Α,,, α η αό ι οφ, αίοια αι ο οθόο ο ιο. ίη ίοαι α,,, α θά ηά Α, Α,, αίοια. α) α αοί όι: i. = (οά 6) ii. == Α 2 (οά 6) iii. Το άο ίαι οθοιο. (οά 6) 0 β) Α ο Ο ίαι ο ο η, α αοί όι ο Ο ˆ 90. (οά 7)
ΘΑ 4 ίαι οθή ωία ˆ xoy =90 0 αι Α,Β ηία ω ηιθιώ Οy, O, ΟΑ=ΟΒ. Η ίαι θία ο ιχαι αό η οφή Ο αι αφήι ι ηιθί O, O ο ίιο ηιίο. Η άθο αό ο ηίο Α η η ι ο αι η άθο αό ο ηίο Β η η ι ο. α αοί όι: α Τα ίωα ΟΑ αι ΟΒ ίαι ία. (οά 7) β Α+Β=. (οά 7) = 2 ΑΒ., όο ίαι ο θαο ήα ο ώι α α ω αι (οά 7) Το ίωο ίαι οθοώιο ιο. (οά 4)
ΘΑ 4 Θο ιόο ίο Α αι α ηία αι Α αι Α αίοια, α ίαι Α=. Ο ο ηίο οή αι. α) α αοί όι: i. ˆ Α ˆ. (οά 10) 0 ii. ˆ 120. (οά 10) β) α ά α ο άο ΑΟ ίαι άιο. α αιιοοή η αάηή α. (οά 5)
ΘΑ 4 Σ άωο Α οίο η ιαώιο αά ήα =. ω ο ο η Α αι ο ηίο οή ω Α αι. α α αοί όι =. (οά 8) β α οοί ι ωί ο ιώο Α. (οά 7) α αοί όι: i. Α οά 5) ii. Α οά 5)
ΜΑ 4 ίαι ο άωο Α. η ιαώιο Α θωο ηία, Ο, ώ. Α, αι α α ω ώ, Α αι αίοιχα α αοί όι: α) ο άο Ο ίαι άωο. (Μοά ) β). (Μοά ) 4 ) ο άο ίαι οθοώιο ααηόαο, 2. (Μοά 10)
ΘΑ Θο α οθοιο ίο Α ( ˆΑ 90 ο ), α α,, ο αι ο ο ο ΑΚ. Θ ίαι ο ηίο οή Α αι. α) α αοί όι: i. Το άο Α ίαι οθοιο. (οά ) ii. Θ = ΘΕ = 4 Α ιο ίαι ία ˆΓ =30 ο, (οά ) i. α βί η ία ii. α αοί όι. οά Κ = 4. (οά 5) Θ Κ Γ
ΘΜΑ 4 αιο Α Α// ιχι Α+=Α. Α ιχοόο ωία Α ι ο αι οα ο, α αοί όι: α ο ίωο Α ίαι ιο. β ο ίαι ο ο ) ίαι ιχοόο ωία ο αίο. (Μοά ) (Μοά ) (Μοά )
ΘΜΑ 4 ίαι αιο ΑΒ, Α//Β, ο οοίο ιχι όι ΑΒ=Α+Β, και Ο ο ο. Θωο ίο Ζ ΑΒ οιο ώ ΑΖ=Α και ΒΖ=Β. Α ωία ΔΑΖ ˆ φ, α) α κφά ωία ΑΖ ά φ. (Μοά ) β) α κφά ωία ΖΒ ά φ. (Μοά ) ) α αοί όι οι ΟΑ και ΟΒ ίαι οκάθοι ω άω Ζ και Ζ αίοιχα. (Μοά )
ΘΕΜΑ 4 ίαι ααηόαο Α, Α > Α. Θωο ηία,, ω Α αι Α αίοιχα ώ Α = Α. ω ο ο ο αι η οαη ο Α ο ο ι η ο ηίο. α αοί όι: α Α =. (οά 8) β + = Α. (οά 10) 2. (οά 7)
ΘΑ 4 ίαι ααόαο Α Α = 2. Αό οφ Α φο Α ά ία αι, α α ω Α, αίοιχα. α αοί όι: α Το άο ίαι όβο. β Το άο ίαι ιο αιο. οά οά Η ίαι ιχοόο ωία. οά
ΘΜΑ 4 ίαι ααηόαο Α Α = 2, η ωία Α αβία αι Μ ο ο η. Φο άθη η Α ο ηίο Α, η οοία ι η ο Η. Α η οαη η ΗΜ ι η οαη η Α ο, α αοί όι: α) Η ΑΜ ίαι ιχοόο η ωία Α. (Μοά ) β) Τα ήαα Η, ιχοοοαι. (Μοά ) ). (Μοά )
ΘΑ 4 ίαι οώιο ίωο Α και ο ωικό ο χαίοαι α άωα Α και Α. α αοί όι: α) (οά ) β) = (οά ) ) ίαι κάθ. (οά )
ΘΑ 4 ίαι οοώιο ίωο Α ωία Α ο, αι χαίο ίο ά Α. ω Κ,, α α ω,, αίοιχα. α αοί όι: α) Το άο Κ ίαι ααόαο. (οά 8) β) Το άο ΑΚ ίαι ιο αιο. (οά 9) ) Η ιάο ο αίο ΑΚ ίαι ί. (οά 8) 2
ΘΑ 4 ίαι ααόαο Α ία ο α ίαι ί 0 ο ο Α. ίο =. αι ο ο α) α αοί όι ο άο Α ίαι ιο αιο. (οά ) β) α οοί ι ί ο αίο Α (οά 9) ) Α ο ο ο, α αοί όι =. 2 (οά )
ΘΑ 4 ίαι οθοιο ίο Α 90 αι 30. Φο ο ο ο Α αι ιάό ο Α. Αό ο φο άθ θία Α, οοία ι ο. α αοί όι: α) Το ίο Α ίαι ιόο. (οά 8) β) ==/4 (οά 9) ) Το Α ίαι ιο αιο. (οά 8)
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α Α < Α. Φο η ιχοόο ο ΑΚ και χαίο ηίο η φο θία κάθη η ιχοόο ΑΚ, η οοία ι ι Α και Α α ηία και αίοιχα και η οκαη η ο ηίο. α αοί όι: α) 90. (οά 7) 2 β) Κ = Κ. (οά 8) ). (οά 10) 2
ΘΜΑ 4 ίαι άο Α Α = Α αι =. Α ο ηίο οή ω οάω ω Α αι αι ο ηίο οή ω οάω ω Α αι α αοί όι: α) Α ίαι ιχοόο η ωία. (Μοά 7) β) = (Μοά 9) ) // (Μοά 9)
ΘΑ 4 α) οθοώιο Α θωο,,, α α ω ώ ο Α,,, Α αίοιχα. α αοί όι ο άο ίαι όβο. (οά 15) β) α άο Α α α,,, ω ώ ο Α,,, Α αίοιχα ίαι οφ όβο. ο άο Α, ι α ίαι αααίηα οθοώιο; α ηιώ η θιή ή αηιή α αάηη. (οά 10)
ΘΑ 4 κό ιώο Α καακάο άωα Α και Α. Α ο ο ο και ίο οκα Α οιο ώ Α =, α αοί όι: α) = Α. (οά 10) β) 0ι ωί Α και Α ίαι ί. (οά ) ) οκα Α (ο ο Α) ι κάθα. (οά 5)
ΘΜΑ 4 ο ίοι οι Ο, αι Κ, φάοαι ωιά ο ηίο. Α ΟΑ αι ΟΒ ίαι α φαόα ήαα αό ο ηίο Ο ο ο Κ, α αοί όι: α Α = Β. (Μοά 9) β 30. (Μοά 8) Το άο ΑΚΒ ίαι όβο. (Μοά 8)
ΘΑ α) Σ ιο αιο Α ωο,,, α α ω ώ ο Α,,, Α αίοιχα. α αοί όι ο άο ίαι όβο. (οά ) β) Σ α άο Α α α,,, ω ώ ο Α,,, Α αίοιχα ίαι οφ όβο. ια α χαίαι όβο ο Α ι α ίαι ιο αιο; α αιιοο ω ι αι αά α. (οά)
ΘΑ α) Σ όβο Α θωο,,, α α ω ώ ο Α,,, Α αίοιχα. α αοί όι ο άο ίαι οθοώιο. (οά 1) β) α αοί όι α α ω ώ ό οθοωίο ίαι οφ όβο. (οά 12)
ΘΑ 4 ίαι ιο ίο Α Α = Α αι Α, α η ο. α αοί όι: α) =2. (οά ) β). (οά ) 2 ) Το άο Α ίαι άιο. (οά 6) ). (οά )
ΘΑ 4 ίαι ιο ίο Α Α = Α, αίο ηίο η βάη ο αι ο ο ο Η. Αό ο φο άθ, αι Θ ι Α, Α αι Η αίοια. α αοί όι: α) Το άο ΗΘ ίαι οθοιο. (οά 9) β) Θ = (οά 9) ) Το άθοια +=BH. (οά 7)
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α Α > Α αι,, Ζ α α ω ώ ο, Α, Α αίοιχα. Α η ιχοόο η ωία ι η Ζ ο ηίο αι η οαη η ο ηίο, α αοί όι: α) Το άο Ζ ίαι ααηόαο. (οά ) β) Τα ίωα Ζ αι ίαι ιοή. (οά ) ) Ζ + = (οά )
ΘΑ ίαι ίωο Α, Α ιάό ο και ο ο ο Α. Α η οκαη η ι η Α ο ηίο, και ίαι ο ο ο, α αοί όι: α) Το ηίο ίαι ο ο Α. (οά 9) β) (οά 9) ) = (οά 7)
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α = 2Α. ω Α ιάο ο Α και, α α ω και Α αίοιχα. α αοί όι: α). (οά 7) β) =. (οά 9) ) Η Α ίαι ιχοόο η ωία. (οά 9)
ΘΑ ίαι άο Α Α = αι,, Κ α α ω Α,, αίοιχα. Α οι οάι ω Α αι ο η οαη η α ηία αι Ζ αίοιχα α αοί όι: α Κ = Κ. οά β. οά
ΘΑ ίαι ααηόαο Α αι η οαη η Α θωο ηίο οιο ώ = ώ η οαη η Α θωο ηίο θωο ηίο οιο ώ =. α α αοί όι: i.. (οά 10) ii. α ηία,, ίαι θιαά. (οά 10) β α αθηή ια α αοίι όι α ηία,, ίαι θιαά α ο ααάω οιό. «χο: οαι αό η αι ω ό ό αι ι α αά η ω ααήω αι ο. ω ό αά ω ααήω αι ο οαι αό η Όω 180 ω άθοια ω ωιώ ο ιώο. Άα φωα α οηοα: 180. Οό α ηία,, ίαι θιαά.» Όω ο αθηηή ι α άθο ο οιό αό. α βί ο άθο ο ιο οιό. (οά )
ΘΜΑ 4 ίαι οθοώιο ίωο Α η ωία Α οθή. Φο η ιάό ο ΑΜ και χαίο ηίο Κ αή φο κάθη η ΑΜ η οοία ι ι Α και Α α ηία και αίοιχα. Α Η ίαι ο ο ο α αοί όι: α. Μοά β. Μοά Η θία ΑΗ ι κάθα η. Μοά
ΘΑ ίοαι οθοώια ίωα Α και και Α αίοιχα. α αοί όι: α Α =. β Η ίαι κάθη η Α. 90, 90 και, α α ω οά οά. οά 5
ΘΑ 4 ίαι ιο ίωο Α Α = Α αι, α α ω ώ ο Α αι Α αίοιχα. η οαη η ο ο θωο ηίο ώ = Α αι η οαη η ο ο θωο ηίο οιο ώ = Α. α αοί όι: α =. β α ίωα Α αι Α ίαι οθοώια. α ίωα Α αι Α ίαι ία. οά 6 οά 9 οά
ΘΑ 4 Θο ο ο Ο, ιάο. Αό ηίο Α ο ο φο η φαοη ο ιαο ο ο ιο. Αό α ηία αι φο α ήαα αι άθα η θία. α α αοί όι Α αι Α ίαι ιοόοι ι αίοια. β) Α ΑΖ ίαι ο ο ιο, α αοί όι αι οά. οά α αοί όι. οά
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και από το μέσο Μ του ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο με το ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο με το ΓΑ (τα σημεία Δ και Ε είναι στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη ΒΓ και το σημείο Α). Να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10) β) Η περίμετρος του τριγώνου ΜΔΕ είναι ίση με την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) γ) Όταν ένας καθηγητής έθεσε το ερώτημα αν τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά στους μαθητές του, ένας από αυτούς έκανε το παρακάτω σχήμα και απάντησε ως εξής: (εντός εναλλάξ των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΑΖ) Α ˆ Ζ = Ε ˆΑΒ (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ) Όμως (άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΔΖ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε: Ε ˆΑΒ + Β ˆΑΓ + ˆΑΖ =180 0. Οπότε Δ,Ε,A συνευθειακά. Όμως ο καθηγητής είπε ότι υπάρχει λάθος στο συλλογισμό. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος του μαθητή; (Μονάδες 6)
ΘΜΑ 4 ίοαι ο αά ί αι, αι ια ί ο ι ι α ία Α αι Β αίοιχα. Θωο ι ιχοόο ω ό αι ί α αά ωιώ ο χαίοαι, οι οοί οαι ίο. Α Μ ίαι ο ο ο ΑΒ, α αοί όι: α Η ωία ΒΑ ίαι ο. Μοά β 2 Μοά Μ // Μοά
ΘΑ 4 ίαι οθοώιο ίωο Α η ωία Α οθή αι χαίο ηίο η ά. Φο ι ιχοόο ωιώ Α αι Α οι οοί ο ι Α αι Α α ηία αι αίοιχα. α α αοί όι, η ωία ίαι οθή. (οά β Α Κ ο ο ο, α αοί όι Κ = ΚΑ οά 13)
ΘΑ 4 ίαι οθοώιο ίωο Α η ωία Α οθή και Α η ιάό ο. Αό ο φο κάθη η Α και κάθη η Α. Α, Ρ ίαι α α ω και αίοιχα, α αοί όι: α) (οά 7) β) Η ίαι ιχοόο η ωία Α. (οά 9) ) Α = + Ρ. (οά 9)
ΘΜΑ 4 ίαι άωο Α αι ό αο ιόο ίωο Μ. Α η οαη η ΑΜ ι η ο ηίο, α αοί όι: α 15. Μοά 8) β Τα ίωα Α αι ίαι ία. Η ίαι ιχοόο η ωία Μ. Μοά Μοά
ΘΜΑ 4 ίαι αιο Α Α// αι Α = Α +. Α ιχοόο ωία ι Α ο ίο Μ, α αοί όι: α) Το ίωο ΑΜ ίαι ιο. (Μοά ) β) Το ίωο Μ ίαι ιο. (Μοά ) ) Η Μ ίαι ιχοόο ωία ο αίο. (Μοά )
ΘΑ 4 ίαι ιο ίωο Α Α = Α αι ηίο η οαη η. Αό ο φο Κ άθη η Α αι άθη η οαη η Α. Αό ο ηίο φο άθη η Α αι άθη η Κ. α αοί όι: α H ωία ίαι ίη η ωία. β ίαι ιχοόο η ωία. Το ίωο ίαι ιο. Κ = οά 4 οά 4 (οά ) (οά )
ΘΑ ίαι ίωο Α Α αι Α αίοιχα η ωιή αι η ωιή ιχοόο η ωία Α, ηία η θία. Φο άθη η Α αι άθη η Α αι θωο ο ο ο. α αοί όι: α Το άο Α ίαι οθοώιο. οά β ωία Α ίαι ίη η ωία Α. οά θία ιχαι αό ο. οά. οά 8 2
ΘΑ ίαι ίωο Α Α αι Α αίοιχα η ωιή αι η ωιή ιχοόο η ωία Α, ηία η θία. Φο άθη η Α αι άθη η Α αι θωο ο ο ο. α αοί όι: α Το άο Α ίαι οθοώιο. οά β ωία Α ίαι ίη η ωία Α. οά θία ιχαι αό ο. οά. οά 8 2
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α Α < Α, η ιχοόο ο Α αι θία αάηη αό ο ο η Α. Αό ο ο η φο θία αάηη η Α η οοία ι η Α ο ηίο Ζ, η θία ο ηίο αι η οαη η Α ο ηίο. α αοί όι: α Τα ίωα ΑΖ αι ίαι ιοή. β =Ζ. Α=Α-. οά οά οά
ΘΑ ίαι ιόο ίωο Α αι η οαη η ο ο θωο ηίο οιο ώ =, ώ η οαη η ο ο θωο ηίο οιο ώ =. Φο η άθη η ο ηίο, η οοία ι η οαη η Α ο Ζ. α α οοί ι ωί ω ιώω Α αι Α. β α αοί όι η Ζ ίαι οάθο ο Α. α αοί όι Α//Ζ. οά 8 οά οά
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α αι οι ιάοί ο Α, αι. Ποίο ο ήα ο ο αά ήα =. α αοί όι: α Το άο ίαι ααηόαο. (οά ) β ίο ο ιώο Α ίαι ίη ο άθοια ω ιαω ο ιώο Α. (οά ) Οι θί αι ιχοοο ο ήα. (οά )
ΘΑ 4 ίαι οθοώιο αιο Α 90 = = 2Α αι, α α ω αι. αά αό ο ο Α ι Α ο. α αοί όι: α = 2. β Το άο ίαι όβο. οά οά 90. οά
ΘΜΑ 4 ίαι ιο ίο Α Α = Α, αι αίο ηίο Μ η ά. Αό ο ηίο Μ φο θία άθη η ά ο ι ι θί Α αι Α α ηία αι Θ αίοια. Α Α αι ΑΗ α η ι Α αι ΑΘ αίοια, α αοί όι: α 90. (Μοά ) β Το ίο ΑΘ ίαι ιο. ΜΘ+Μ = 2Α. (Μοά ) (Μοά )
ΘΑ 4 ίαι ο ο Ο αι ο η αιιαιά ηία ο Α αι. Φο ι φαό ο ο α ηία Α αι οι οοί οαι ο ηίο. Φο ίη αι α η Α αι ο ιο Α α οοία οαι ο ηίο Η. α αοί όι: α Το ίο ΗΑ ίαι ιο. β Το άο ΟΗΑ ίαι όβο. Τα ηία Ο, Η, ίαι θιαά. οά οά οά
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α αι η οαη η ο ο θωο ηίο οιο ώ =Α ώ η οαη η ο ο θωο ηίο οιο ώ = Α. Α οι ωιοί ιχοόοι ω ωιώ αι ο ι Α αι Α α ηία αι αίοιχα, αι η ι ι Α αι Α α ηία αι αίοιχα, α αοί όι: α Τα ηία αι ίαι α ω Α αι Α αίοιχα. β Τα ίωα Α αι Α ίαι ιοή. = 2 (οά ) (οά ) (οά )
ΘΑ 4 ίαι άωο Α αι χαίο ηίο η ά. Φο η ιχοόο Α η ωία Α αι η άθη αό ο ο η Α, η οοία ι η Α ο αι η Α ο. α αοί όι: α) Τα ίωα Α αι Α ίαι ία. (οά ) β) Α=Α αι =. (οά ) ) Α = + (οά )
ΘΑ 4 ίαι ααηόαο Α αι ο ο η ά. Φο άθη η Α ο ηίο η, η οοία ι η θία Α ο ηίο Ρ αι η ο. α αοί όι: α) Ρ =. (οά ) β) ο ίωο ΑΡ ίαι ιο. (οά ) ) Α = Α +. (οά )
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α αι ο ο η ιαο. η οαη η Α θωο ηίο Ζ οιο ώ Ζ=Α. α αοί όι: α ο άο ΑΖ ίαι ααηόαο. β ο άο Ζ ίαι ααηόαο. ο ηίο Θ ίαι βαο ο ιώο Ζ. οά (οά οά
ΘΑ ίαι ιόο ίο Α αι ο ο ο. Ση οαη η ο ο θο ηίο οιο = ΖΘ // :. Α η θία ι η Α ο Ζ αι 2 α α αοί όι ο ίο ίαι ιο αι ο ίο ΑΘΖ ίαι ιόο. β α οοί ι ί ο ιο ΘΖ. α αοί όι Α = ΘΖ. ) α αοί όι Α = Θ. οά ) οά οά οά
ΘΜΑ 4 ια θία θωο ιαοχιά α ία Α,, ι ώ Α = 2 αι ο ίιο ιίο θωο ιόα ίωα Α αι. Α ίαι ο ο ο Α αι θία ι θία ο ίο α αοί όι: α ο άο ίαι οθοώιο. β ο ίωο ίαι ιο. ο άο Α ίαι ιο αιο. Μοά Μοά Μοά
ΘΑ 4 ίαι ααόαο Α αι Κ ο ίο ο ω ιαωίω ο. Φο ΑΗ ά αι οα ΑΗ ο ο Η ωο ίο οιο ώ ΑΗ = Η. α αοί όι: α Το ίωο ΑΚ ίαι ιο. οά 7 β Το ίωο Α ίαι οοώιο. οά 9 Το άο ίαι ιο αιο. οά 9)
ΘΑ 4 ίαι οθοιο ίο Α η ία Α οθή αι ο Α αι ηίο η οαη η Α οιο =. α α οοί ι ί ο ιο. β α αοί όι: i. BE = 2 2. Φο ο ο οά οά ii. Α = οά
ΘΑ ίαι ίωο Α ωί αι οί αι, αι α α ω ώ ο Α, Α αι αίοιχα. ι οάθ ω Α αι αι ό ο ιώο Α θωο ηία αι αίοιχα, οια ώ = 2 αι =. 2 α α αοί όι: i. ο άο ίαι ααηόαο. οά ) ii. α ίωα αι ίαι ία. οά β Α α ηία,, ίαι θιαά, α αοί όι η ωία Α=9 ο. οά
ΘΑ 4 ίαι οθοώιο ίωο Α (A=90 o. Φο η ιάο ο Α η οοία οίο ο ο ο ο αά ήα = Α. Θωο θία Κ άθη η, η οοία ι η ιχοόο η ωία ο. α αοί όι: α Το άο Α ίαι οθοώιο οά α 90 2 οά ) β = οά )
ΘΑ 4 Σο ααάω άο Α ιχο:,, αι Α. α α αοί όι α ίωα ΑΟ αι Ο ίαι ιο. οά β α αοί όι ο άο Α ίαι αιο. οά Α ιο ιχι όι =3Α αι, α α ω ιαωίω αι Α αίοιχα, α αοί όι ο άο Α ίαι οοώιο ααόαο. οά
ΘΑ 4 ίαι οθοιο ίο ( 90 αι 30 αι α α αι Α αίοια. όι η οάθο η ά ι η Α ο ηίο. α α αοί όι: i η ίαι ιοόο η ία. ii) οά. οά 2 iii η ίαι οάθο η ιαο Α. β Α Α ίαι ο ο ο ιο όι α ηία, Η αι ίαι θιαά. οά ο ι η ο Η, α αοί οά
ΘΑ 4 Αό ωιό ίο Ρ ό ο ο Ο φο α φαόα αα ΡΑ, Ρ αι ιαι ία ΡΟ ο ι ο ο α ία αι αίοιχα. φαο ο ο ο ίο ι ι οάι ω ΡΑ αι Ρ α ία αι αίοιχα. α αοί όι: α) B (οά ) β) Α= (οά ) ) Το άο Α ίαι ιο αιο. (οά )
ΘΜΑ 4 ίαι ίωο Α Α< αι η ιχοόο η ωία B. Α ΑΖ, όο Ζ ηίο η αι Μ ο ο η Α, α αοί όι : α) Το ίωο ΑΖ ίαι ιο. (Μοά 7) β) Μ// αι Μ = B 2 (Μοά 10) ) B E, όο B η ωία ο ιώο Α. (Μοά 8) 2
ΘΜΑ 4 ο ααάω χα ίαι ίωο Α, ιχοόο x ωία ο ιώο Α αι ιχοόο y ωι ωία. Α αι ίαι οι οβο οφ Α ο ιώο Α x αι y αίοιχα, α αοί όι: α ο άο Α ίαι οοώιο. Μοά 7) β Η ία ίαι αά ο αι ιχαι αό ο ο Μ Α. (Μοά 10) ο άο ΚΜ ίαι αιο αι ιάό ο ίαι ί όο α=. (Μοά 8) 3, 4
ΘΑ 4 ααηόαο Α θωο ηία,,, Θ ι Α,,, Α αίοιχα, Α= αι =Θ. α αοί όι: α ο άο Α ίαι ααηόαο. β ο άο Θ ίαι ααηόαο. α ήαα Α,, αι Θ ιχοαι αό ο ίιο ηίο. (6 οά οά 9 οά
ΘΑ 4 ίαι ααηόαο Α αι ηία, η ιαωίο ο, οια ώ α ιχι ==. α α αοί όι ο άο Α ίαι ααηόαο. οά β α αοί όι, α ο αχιό ααηόαο Α ίαι όβο, ό αι ο Α ίαι όβο. οά 8) Ποιά ι α ίαι η χη ω ιαωίω ο αχιο ααηοάο Α, ώ ο Α α ίαι οθοώιο. α αιιοοή η αάηή α. οά 7
ΘΜΑ 4 ίαι ααόαο Α αι ω Ο ο ίο ο ω ιαωίω Α αι. Φο Α ά ιαώιο. ά Ζ ίαι ο ιό ο Α ω ο ιαώιο, ό α αοί όι: α) Το ίωο ΑΖ ίαι ιο. (Μοά 7) β) Ζ = 2Ο. (Μοά 9) ) Το Ζ ίαι ιο αιο. (Μοά 9)
ΘΑ 4 ίαι ααηόαο Α. η οαη η ά Α αίο ήα =Α αι η οαη η ά Α ήα Ζ=Α. α α αοί όι: i. α άα αι Ζ ίαι ααηόαα. οά 7 ii. α ηία, αι Ζ ίαι θιαά. οά 9 β Α αι ίαι α α ω αι Ζ αίοιχα, ό // αι = 3 2 ΔΒ. οά 9
ΘΑ 4 ίαι ιο ίο Α Α = Α αι ο ο ο Α. Φο άθη η Α αι θο ο ο ο ήαο. Αό ο φο αάηη η η οοία ι ι Α αι Α α ηία Κ αι αίοια. α αοί όι: α = 4 β // θία Α ίαι άθη η. οά οά οά
ΘΑ 4 ω ίωο Α αι Α η ιχοόο η ωία Α, ια η οοία ιχύι ίαι ιχοόο η ωία Α αι η αάηη η Α. α αοί όι:. α) Τα ήαα αι Α ίαι αάηα. (οά ) β) Το ίωο Α ίαι ιο. (οά ) ) Τα ήαα Α αι ιχοοούαι. (οά )
ΘΑ 4 ίαι ο ίο Α ία =60 ο. Φο α Α αι ο οαι ο. Φο Κ ιοόο ία Α αι Θ άο ο ο Α. α αοί όι: α) ια ο α ιι =2. (οά ) β) Το ίο Θ ίαι ιόο. (οά ) ) Το άο ΘΚ ίαι ιο αιο. (οά )
ΘΑ ίαι ίωο Α. η οαη η Α ο ο θωο ηίο ι ώ Α=Α. η ά Α θωο ηίο ι ώ. Α α ήαα αι οαι ο αι η οαη η Α ι η ο. α αοί όι: α β (οά 6) (οά 7) Η Α ίαι ιχοόο η ωία Α. (οά 6) Η Α ίαι οάθο η. (οά 6) ΑΗΑ ΠΟ ΕΟ αθηαιά: ωία...
ΟΧΟ ο Π.. ω οοίω η οοίηη χαι ω η αηιόηα Ενικική Απάνηση 4.1 4.2 ΕΑ 4 ΓΩΗ ΑΠΑΗΗ η αηιόηα
ΘΑ 4 ίαι ο ο Ο αι αία. ίο Α ιό ο ο αι α φαόα αα Α αι Α α ιι 60. όι φαό ο ο ο ι ι Α αι Α α αι αίοια. α αοί όι: α) Το άο ΑΟ ίαι άιο ΟΑ=2Ο. (οά 6) β) Το ίο Α ίαι ιόο. (οά 6) ) 2 (οά 7) ) Το άο ίαι ιο αιο. (οά 6)
ΘΑ 4 ίαι ο Ο, αι Α ια ιάό ο. Θωο ι χο Α=. ω αι α α ω χοώ αι αίοιχα. α αοί όι: α Οι χο Α αι ίαι αάη. β Το άο Α ίαι οθοώιο ααηόαο. Η ίαι ιάο ο ο. Το άο Ο ίαι οθοώιο ααηόαο. οά οά οά οά
ΘΜΑ 4 ι x' αι Ax ωία Λ x 'Ax ωο ία αι ώ Α=Α. Οι ά ι Αx αι Αx α ία αι αίοιχα, οαι ο. Α οι ιί Ay αι Az χωίο ωία Λ x 'Ax ι ί ωί αι ο ι αι α ία αι Ζ αίοιχα, α αοί όι: α ο ίωο Δ EAZ ίαι ιο. β ο αι ιχοόο ωία Οι ωί αι Α ίαι ί. Λ x 'Ax. Μοά Μοά Μοά
Θα 4 ο ααάω χα ο οοώιο Θ αιάι α αι ο ιιάο. α αί οοί ια άα ο ίο Α ο οοίο αι οά Θ αι αχι αό α αόα ί Θ. Όα ο αί χι άα α αοοί ιαο Α Α χώα ο οίχο ο ιιάο Θ, Θ, ιαοχιά. ια ιαο α ιχι όι ά ωία όω οίχο.χ ωία Α ίαι ί ά ωία αάα οίχο.χ ωία Θ αι ά ια α α ίαι ο. α α αοί όι: i. ιαο Α άα ίαι άωο. οά 9) ii. ο ίο Α ιαχι αό α ι οφ αι ο ιιάο. οά 8) β Α Α ίαι ιάια αό αόα ο Α αό ο οίχο, α οοί ι ωί ο ιώο Α. οά 8
ΘΑ 4 Σ ίωο οι ιχοόοι ω ωιώ αι οαι ο. Η ωι ιχοόο ι οα ο. ίαι όι 70 2 α α οοί ι ωί ο ιώο. (οά 8) β α αοί όι ο άο Α ίαι αιο. (οά 9) α αοί όι ο ίωο ίαι ιο οά 8)
ΘΑ 4 ω οθοώιο ίωο,, ώ 90. ά θωο α ία. Α α ία αι ίαι α α ω ώ Α αι Α αίοιχα, α αοί όι: α) ο άο ίαι ααόαο. (οά 13) 3 β) Η ιάο ο αίο Α ιοαι 8. ( οά 12)
ΘΑ 4 ω ιο αιο Α Α// 2 αι. 2 Φο ιχοόο ωία, οοία ι ο ο Κ αι άθ αό ο Κ ο ο ο ι ο. α α οοί ι ωί ο Α. (οά 10) β α αοί όι: i. Το άο ΑΚ ίαι όβο. (οά 8) ii. Το ίο ίαι ο ο ο. οά 7)
ΘΑ 4 ω άωο Α αι ο ο ά Α. Ποίο ο α Α ο ά ο Ααά α Α=. Φο α αα αι αι 2 ωο α α ο αι αίοιχα. α αοί όι: α Το άο ίαι ααόαο. (οά 8) β Το άο Α ίαι ααόαο. οά 9) Το άο Α ίαι ιο αιο. οά 8)
ΘΑ 4 ω ο ο Ο αι ο άθ αί ο Ο αι Ο. ω Α ο ο ο όο. Αό ο Α φω άθ ι αί Ο αι Ο ο ι ο α αι αίοιχα. Οι οάι ω Α αι Α ο ο ο α ία αι αίοιχα. α αοί όι: α Α=Α. (οά 4) α Το ΑΟ ίαι οθοώιο. (οά 7) β) Τα ία αι ίαι αιιαιά. (οά 7) Το άο ίαι ιο αιο. οά 7)
ΘΑ 4 ω ααόαο Α A B =2B G. οα ο ο ο ωο α. Θωο ίο Α, οιο ώ =. α αοί όι: α ωία ίαι ο. (οά 8) β) ο άο Α ίαι ιο αιο. οά 8) ο άο Α ίαι ααόαο. οά 9)
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α, ΑΚ ιχοόο η ωία Α. η οαη η ΑΚ θωο ηίο ώ. αάηη αό ο ο η Α ι ι Α αι α αι αίοιχα. α αοί όι: α ο ίωο Α ίαι ιο. οά β Κ ίαι οάθο η Α. (οά α ίωα ΑΚ αι Κ ίαι ία. οά ο άο Α ίαι ααηόαο. οά
ΘΑ 4 ίαι ίο Α. η οαη ο ο ο Α θο ηίο.,, α α Α, Α αι αίοια. α αοί όι: α ο ίο Α ίαι ιο. οά 7 β ο άο ίαι όβο. (οά 9 οά 9
ΕΑ ωο ίωο Α αι ι οαθο, ω ώ ο Α αι Α, οι οοί οαι ο ο η. α α αοί όι: i. Το ίωο ίαι οθοώιο ii. iii. 90. οά Το άο Α ίαι οθοώιο ααηόαο., όο ο ηίο οή ω Α αι. 4 Α ηίο η οιο ώ ίαι ααηόαο. (οά οά, α αοί όι ο άο 4 οά )
ΘΜΑ 4 ίαι αιο Α //, 4 αι 2. Θο ίο Ζ,. Α ία ίαι 60 0 αι ο ο ο αίο, α αοί όι: α Το άο Α ίαι ααόαο. Μοά β Το ίο ΖΑ ίαι ιόο. (Μοά Τα ία ΑΖ αι Α ίαι ία. Μοά
ΘΑ ίαι ιο αιο Α αι άα ι ιαώι αι Α αίοιχα. α αοί όι: // αι Α= =Α. Φο αα Α α Τα ία αι ίαι α ω ιαωίω Α αι αίοιχα. οά β Α =. Το άο Α ίαι ιο αιο. ίαι ιχοόο ωία. (οά (οά οά
ΘΑ 4 ίαι ααηόαο Α οιο ώ α φο η άθη η Α ο ο ο Ο, αή ι η οαη η Α ηίο οιο ώ =Α. α αοί όι: α Το ίωο Α ίαι ιο. οά 7 β Το άο ίαι ααηόαο. (οά 9) Το ίωο Ο ίαι ιο. οά 9
ΘΑ 4 ίαι ιόο ίωο Α. οα ο ο ωο α. Α, αι ίαι α α ω ώ, Α αι Α αίοιχα ό: α α οοί ι ωί ο ιώο Α. οά β α αοί όι: i ο άο ίαι ιο αιο ά βά ιάια αό ι. (οά ii) ο ίωο ίαι οοώιο. οά
ΘΑ 4 ίαι άο Α αι ο ιαο ο ο Ο, η ιαιο ο α ίαι ιάο ο ο. ία ίαι ιάια η ία αι οι Α αι ίαι ί. Φο άθη η ο Ο, η οοία ι ι Α αι α αι αίοια. α α οοί ι ί ο αο Α. οά β α ί α ία Α αι. οά α αοί όι ο άο ΑΟ ίαι όβο. (οά α αοί όι ο άο ΑΟ ίαι άιο ο. οά
ΘΑ ίαι οθοιο ίο Α 90 ιοόο αι Α ο, ο οαι ο. άθη αό ο η Α ι ι Α αι α αι αίοια. α) α αοί όι: i. α ία Α αι ίαι ία. (οά 6) ii. ο ίο ίαι ιο ίο. (οά 6) iii. Οι Α αι ίαι άθ. (οά 7) β) Α ιο ο οθοιο ίο Α ίαι αι ιο, α αοί όι η ίαι ιοόο η ία. (οά 6) ΑΗΑ ΠΟ ΕΟ ΟΧΟ ο Π.. οοί η οοίηη αι η αηιόηα αθηαιά: ία... Τ ΠΤ
Ενικική Απάνηση ΕΑ 4 ΓΩΗ ΑΠΑΗΗ η 4.1 4.2 αηιόηα
ΘΑ 4 ίαι ιόο ίωο Α. βά Α ααάο ιο ίωο Α, ό ο ιώο Α, ωία ω ώ Α αι Α αίοιχα. α α αοί όι ίαι οάο ο Α. 120 β Α ι Α ο Θ, α αοί όι ωία. Θωο α α αι οά ίαι ο. Α Κ ίαι ά Α αό ο ίο, α αοί όι οά. 4 (οά
ΘΑ 4 ίαι ιο αιο Α Α// αι Ο ο ίο ο ω ιαωίω ο. Α ίαι ά Α αι ίαι ά. Θωο α α, αι ω, αι Α αίοιχα. α αοί όι: α =. οά β ίαι ά Α. (οά 6) Τα ίωα αι ίαι ία. οά Ο ίαι οάο ο. οά 6)
ΘΑ 4 ίαι ιόο ίωο αι α α, αι ω Α, Α αι αίοιχα. η οαη ο ο ο θωο ήα =. α αοί όι: α α ίωα αι ίαι ία. β ο άο Α ίαι ααηόαο. α ήαα αι Α οαι άθα αι ιχοοοαι. ίαι άθη η Α. οά (οά οά οά
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α<Α. Φο ήα άθο η Α αι αι ήα άθο η Α. Θωο α α Ζ αι Θ ω Α αι Α αθώ αι η ιχοόο Α η ωία α α αοί όι.. (οά 9) β Α Κ χαίο ηίο η ιχοόο Α, α αοί όι ο Κ ιαχι αό α α Ζ αι Θ. (οά 9) Α ο Κ ίαι ηίο η ιχοόο Α οιο ώ ΚΖ=ΑΖ, α αοί όι ο άο ΑΖΚΘ ίαι όβο. οά 7
ΘΑ ίαι οιο ιο ίο Α=Α. Φο ήα Α άθο η Α αι ήα Α άθο η Α Α=Α. Θο α α, αι α α, αι αίοια. α) α αοί όι: i. Τα ία ii. Το ίο αι ίαι ία. ίαι ιο. iii. Α ίαι οάθο ο. (οά ) (οά ) (οά ) β) α αθηή ίοα α ία «1. Α=Α αό όθη 2. Α=Α ιοο ιώο 3. = ω ααοφή αι α α ή: Άα α ίωα ίαι ία χοα ο ί ια ο ια αι η ιχόη ωία ίη». Ο αθηηή ί όι αή η η ιι άθο οί α ο οίι; (οά )
ΘΑ ίαι ίωο Α ιχοόο ωία. οάο ά ι Α ο ίο. Αό ο φο ι αι ά ι Α αι Α αίοιχα. α α αοί όι: i. =. οά ii. Το άο ίαι ιο αιο. β Κάοιο α α ο οιό: «Τα ρίωα 1. Α οιή αι χο 2. όω σοαθο 3. ωίς όω ιχοόο. οά Άρα α ρίωα ίαι ίσα σφωα ο ριήριο Πρά-ωία-Πρά» χι ίιο όχι ο α; α ιαιοο αά α. οά
ΘΑ ω ιο ίωο 120. Φο ηιθία Αx άθη η Α ο Α, η οοία ι η ο. ω ο ο ο Α αι ο ο ο. α αοί όι: α Το ίωο ίαι ιο οά 8 β 2 οά 8 // οά Α=2 οά
ΘΕΑ 4 Έω οθοώιο ίωο 90 αι 60. ιχοόο η ωία ι η Α ο. Τα ηία αι ίαι α α ω αι αίοιχα. Α ο ήα ίαι άθο η ιχοόο α αοί: α) Το ίωο ίαι ιο. (οά 6) β) Το άο Α ίαι όβο. (οά ) ) ) 2 (οά ) (οά )
ΘΑ 4 ίο ιάο Α οια Α=Α. Φο ο ο ο ΑΚ αι ο οίο ο ο Κ αά ήα. Ποίο η ιάο Α ο ο αά ήα =Α. α αοί όι: α αι 2 οά β Το άο Α ίαι ααηόαο. οά Το άο Α ίαι όβο. οά οαη η ι ο Α ο ο ο. οά
ΘΑ 4 ω ο ο Ο αι ιάο. ω Α ηίο ο ο ώ η αία ΟΑ α ίαι άθη η. Φο ι χο. ω αι α ηία οή ω οάω ω Α αι Α αίοιχα η θία η ιαο. α αοί όι: α) Η ωία Α ίαι ο. (οά 7) β) Τα ηία αι ίαι α ω Α αι Α αίοιχα. (οά 9) ). (οά 9)
ΘΑ 4 Θο ιο ίο Α, αι η θία η ιή ιοόο η ία Α. άθη η ά Α ο ι η ο αι η θία Α ο. άθη η ά Α ο ι η ο αι η θία Α ο. α) α αοί όι: i. AZ=AE (οά ) ii. Α=Α (οά ) β) α αθηή οια ο ήα, ια η άοη όι η ΑΘ ίαι ιοόο η ία Α ο ιο Α, όο Θ ο ηίο οή αι. Σφί η ααά η ο αθηή ή όι; ιαιοοή ή η αάηή α. (οά )
ΘΑ 4 ίοαι ο ία ιοή ίωα Α (Α=Α αι Α (Α=Α, οια ώ οι ο Α αι α ίαι άθ. Τα ηία αι ίαι α α ω ηάω Α αι αίοιχα. α αοί όι: α) =. οά 7) β) //Α. (οά 8) Το ίωο ίαι ιο αι //Α. (οά 10)
ΘΑ 4 ω ααηόαο Α Ο ο ηίο οή ω ιαωίω ο αι Κ ο ο ο. Ποίο ο ήα ΟΚ αά ήα ιαώιο Α ο Θ. α αοί όι:. ι η α) Τα ήαα Ο αι ιχοοοαι. (οά ) β). (οά ) ) Τα ίωα αι ίαι ία. (οά )
ΘΑ 4 ω ιο ίωο. Ποίο ο ο ο αά ήα. Φο ι ιαο Α αι ο ιώο οαι ο Θ. Το Θ οιόο, ι ο Α ο Κ αι ο Α ο. α αοί όι: α Το Κ ίαι ααηόαο. (οά 9) β. (οά 9) Α=2Θ. οά 7 ο
ΘΑ 4 ω ο ο Ο αι ιάο Α. Φο χοή η. Αό ο φο ο ήα άθο η. α αοί όι: // Κ ο ο α) Το άο ΚΟ ίαι ααηόαο. (οά 8) β) ). (οά ) 2. (οά 5)
ΘΑ 4 ω οθοώιο ίωο 90 αι, αι α α ω Α, Α αι αίοιχα. ο ήα θωο ηία αι ώ. α αοί όι: α) 2 αι αι 2. (οά ) β) ο άο ίαι ααηόαο 2. ) (οά 8) (οά 7) 4
ΘΑ 4 ίο ( ), Α ο ο ο και ο ο ο Α. Η οκαη η ι η οκαη η Α ο ηίο α αοί όι:. α). (οά ) β) 2. (οά ) ) <Α. (οά )
ΘΑ 4 ω ίωο, Α η ιχοόο η ωία Α αι ο ο η Α. Η άθη αό ο η Α ι ο Α ο. Η αάηη αό ο ο Α ι η οαη η Α ο αι η οαη η ο α αοί όι: α) Τα ίωα Α, αι Α ίαι ιοή. (οά 15) β) Το άο Α ίαι ααηόαο. (οά )
ΘΑ 4 ω οθοώιο ίωο Α 90. ιάο η ά ο Α φο ο ο ι η οίοα ο. Αο ο φο φαόο ήα ο οοίο ι η Α ο. α αοί όι: α (οά 9) β) Το ίωο ίαι ιο. (οά 9) ) Το ίαι ο ο ο Α. (οά 7)
ΘΑ 4 ω ιο ίωο ( αι Α ιάο. ο α Α ωο χαίο ίο Κ αό ο οοίο φο α αα Κ αι Κ άα ι Α αι Α αίοιχα. α α αοί όι: i.. (οά 6) ii. ο ίωο ίαι ιο. οά 6) iii. ο άο ίαι ιο αιο. (οά ) β α α ο αi. ώα ω αά: «Το ήα Α ίαι ιάο η βάη ιοο άα ο αι ιοόο ο ιο ίαι ιο. αι οάθο ο. Οό αι ο ίο Τα ία, ο 1. 2. ιή ΑΚ ιοόο η 3. ιαφο ί ι ιο ι. Άα α ία ίαι ία βάη ο ιηίο ία Πά ία.» Ο α ί όι αά ο ίαι ι. α ώ αά ο α ώ α ιαοοιί ο ιιο ωία Πά- ωία ιαώα ι Κ αι Κ. (οά )
ΘΜΑ 4 ίαι ίο Α Α < Α αι ο ο ο Α. Α, αι ίαι α α Α,Α αι αίοια, α αοί όι : α ο άο ίαι ιο αιο. β οι ί αι ίαι ί. οι ί αι ίαι ί. Μοά Μοά Μοά
ΘΑ 4 ίοαι α οθοώια ίωα Α = 90 o αι ( αωθ η αι ο ο η. α αοί όι: α ο ίωο Α ίαι ιο. 90 όο Α αι οά 9 β 2 οά 9 οά 7
ΘΑ 4 ίαι ίο Α Α<Α αι η ιοόο ο Α. Ση ά Α θο ηίο οιο Α = Α. α αοί όι : α α ία Α αι Α ίαι ία. οά 7 β η θία Α ίαι οάθο ο ήαο. οά 9 ) α ο ο αό η οφή ο ιο Α ι η Α ο Η ό η θία Η ίαι άθη η Α. οά 9
ΘΜΑ 4 ω ιο ίωο Α (Α = Α) αι Μ ο ο η. Φο =Α Α, αωθ η. Nα αοί όι: α ΑΜ // β η Α ίαι ιχοόο η ωία ˆ. Μοά Μοά ˆ ˆ 45 Μοά 2 Α < 2 Α Μοά
ΘΑ 4 ίαι οώιο ίωο Α Α<Α. Αό ο φο άθ ιχοόο Α ωία Α, οοία ι Α ο αι Α ο. Σ οα Α θωο ίο οιο ώ Α = αι ω Θ ο ο ά. α αοί όι: α) ο άο Α ίαι όβο. οά 9 β) ο άο Θ ίαι αιο. οά 9 ) ιάο ο αίο Θ ίαι ί. οά 7 4
ΘΑ ο ααάω χήα φαίοαι οι θι ο χάη χωιώ Α,,, αι αι οι όοι ο α ο. ο χωιό ιαχι αό α χωιά, αι ίη αό α χωιά Α αι. α α αοί όι: i. η αόαη ω χωιώ Α αι ίαι ίη η αόαη ω χωιώ αι. οά ii. α οι όοι Α αι χο αόηα α οαθο, α αοί όι αοίαι α αηθο. οά iii. α χωιά αι ιαχο αό ο όο Α. οά β) α οιοί ωιά ο ηίο ο όο Α ο ιαχι αό α χωιά Α αι. οά
ΘΑ ίαι ααηόαο Α Α > Α αι οι ιχοόοι ω ωιώ ο ΑΡ,, αι όο Ρ, η αι, η Α οαι α ηία,, M αι N όω φαίαι ο ααάω χήα. α αοί όι: α ο άο ίαι ααηόαο. οά 7 β ο άο ίαι οθοώιο. οά 8) // Α οά = Α Α οά
ΘΑ 4 ίαι ίο Α Α < Α, αο ο ο Ο. Θο ο ο ο οιο όο αι ο ο Α ο ιο Α. α αοί όι: α Α ίαι ιοόο η ία ΑΟ. οά β οά οά 8)
ΘΑ 4 ω Α οθοώιο Α> οιο ώ οι ιαώιοί ο α χαίο ωία 60. Αό ο φο άθ Α. α α αοί όι: i. ο ίο ίαι ο ο ΑΟ όο Ο ο ο ο οθοωίο. (οά 8) ii. Α= 1 Α οά 7) 4 β Α αό ο φο άθ, α αοί όι ο ίαι ιο αιο. οά 10)
ΘΑ 4 Σ οθοώιο ίωο Α 90 φο η ιχοόο ο Α. Eω Κ αι Ρ οι οβο ο ι Α αι Α αίοιχα. άθη η ο ηίο ι η ά Α ο αι η οαη η ά Α ο ο ο ηίο. α α αοί όι: i. (οά ) ii. = (οά ) β) α οοί η ωία (οά )
ΘΑ ίαι ίο Α. Φο α η Α αι. Α ο ο η ά Α ό : α) α αοί όι ο ίο ίαι ιο. (οά ) β) Α η ία ίαι 8 0, α αοί όι η ίαι ιοόο η ία. (οά )
ΘΕΑ Σ οθοιο ίο Α 90 0 ο όι 0 30. Φο ο ο ΑΗ αι η ιάο Α ο ιο Α. Αό η οφή φο άθη η ιάο Α, η οοία η ι ο ηίο Ε ό φαίαι ο ααά ήα. α αοί όι: α Ε, οά 7) 2 β ΑΗ=Ε, οά 7) ο άο ΑΗΕ ίαι άιο, οά 6) ΕΗ//Α. οά )
ΘΑ 4 ίαι οώιο ίωο Α αο ο Ο,R. ω ηίο ο όο Α οιο ώ. α α αοί όι Α Α. (οά 8) β ω Η ο οθόο ο ιώο Α. α αοί όι ο άο ΑΗ ίαι ααηόαο. Α ο ο η, α αοί όι Ο=. 2 οά οά
ΘΑ 4 ίαι ίωο Α αι η ιάό ο Α. ω, αι ίαι α α ω, Α αι Α αίοιχα. α α αοί όι ο άο ίαι ααηόαο. οά β) α βί η χη ω ώ Α αι ο ιώο Α, ώ ο ααηόαο α ίαι όβο. οά 10) Ση ίωη ο ο ίωο Α ίαι οθοώιο η ωία οθή, α βί ο ίο ο ααηοάο. οά 5)