Κυματοσωματιδιακός Δυϊσμός

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η ενότητα αυτή στοχεύει στην παρουσίαση των αρχών της Κβαντομηχανικής και του δυϊσμού σωματιδίου-κύματος, όπως αυτά χτίστηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα με βάση τα αντικρουόμενα προς την Κλασική Φυσική πειραματικά δεδομένα Εισάγονται οι έννοιες του υλοκύματος, της απροσδιοριστίας και της κυματοσυνάρτησης ενώ παρουσιάζεται η εξίσωση Schrödinger που υπακούει η κυματοσυνάρτηση Με τα εργαλεία αυτά προχωρούμε στην εξήγηση της ηλεκτρονικής δομής του ατόμου, στην περιγραφή των καταστάσεών του, στην εισαγωγή του σπιν των ηλεκτρονίων, της απαγορευτικής αρχής και τελικά στην εξήγηση-ερμηνεία του Περιοδικού Πίνακα Στο τελευταίο μέρος εξετάζεται η δομή των μορίων και τα είδη των χημικών δεσμών που με βάση αυτή συναντώνται στην ύλη Κυματοσωματιδιακός Δυϊσμός Εισαγωγή Στο γύρισμα του εικοστού αιώνα η λεγόμενη σήμερα Κλασική Φυσική είχε καταφέρει να εξηγήσει σχεδόν το σύνολο των πειραματικών δεδομένων του μακρόκοσμου με βάση τις θεωρίες της Βαρύτητας, του Ηλεκτρομαγνητισμού και της Στατιστικής Φυσικής Η θεώρηση των φαινομένων στα πλαίσια των παραπάνω θεωριών είχε ως ενδογενή προϋπόθεση την θεώρηση δυο ξεχωριστών κι αμοιβαία αποκλειόμενων φυσικών οντοτήτων: Τα σωματίδια που έχουν καλά καθορισμένες τροχιές Η ενέργεια και η ορμή είναι εντοπισμένες στο χώρο που καταλαμβάνει το σωμάτιο και έχουν ένα συνεχές πεδίο τιμών Τα κύματα που δεν έχουν καθορισμένες τροχιές Η ενέργεια και η ορμή δεν είναι εντοπισμένες στο χώρο, αλλά έχουν κι αυτές ένα συνεχές πεδίο τιμών εκτός από μερικές περιπτώσεις που έχουν διακριτό πεδίο τιμών (πχ στάσιμα κύματα) Ωστόσο η όλη παραπάνω θεώρηση απέτυχε να εξηγήσει φαινόμενα που παρατηρήθηκαν στο μικρόκοσμο όπως η ακτινοβολία μέλανος σώματος, το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, το φαινόμενο Compton, το πείραμα Davisson-Germer και τα φασματοσκοπικά δεδομένα αερίων Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο αυτό η εξήγηση των παραπάνω φαινομένων απαιτεί ολική αναθεώρηση της αντίληψής μας για τις έννοιες του σωματιδίου και του κύματος Στο μικρόκοσμο αυτός ο διαχωρισμός δεν υφίσταται Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Ως φωτοηλεκτρικό φαινόμενο μπορούμε να ορίσουμε την εκπομπή ηλεκτρονίων από μεταλλική επιφάνεια που προκαλείται από την πρόσπτωση ορατής ή υπεριώδους ακτινοβολίας Η μελέτη του φαινομένου έγινε με μια πειραματική διάταξη όπως αυτή του σχήματος 1α Γυάλινος θάλαμος περιέχει δυο ηλεκτρόδια, ένα εκ των οποίων είναι φτιαγμένο από το υπό εξέταση μέταλλο Φως συχνότητας κι έντασης πέφτει στο ηλεκτρόδιο αυτό με αποτέλεσμα την εκπομπή ηλεκτρονίων Εφαρμόζοντας κατάλληλη διαφορά δυναμικού στα δυο ηλεκτρόδια συλλέγονται τα ηλεκτρόνια στο απέναντι ηλεκτρόδιο (συλλέκτης) και καταγράφεται το ρεύμα (φωτορεύμα) Για αρκετά μεγάλες τάσεις συλλέγονται όλα τα ηλεκτρόνια και το φωτορεύμα είναι σταθερό Καθώς όμως η τάση τείνει στο μηδέν το φωτορεύμα μειώνεται αλλά δεν μηδενίζεται Για να μηδενιστεί το φωτορεύμα χρειάζεται να αντιστραφεί η πολικότητα της τάσης και να φτάσει μια συγκεκριμένη τιμή που ονομάζεται τάση αποκοπής 1

(α) (β) Σχήμα 1 (γ) Η συνολική μελέτη του φαινομένου μπορεί να συνοψιστεί στα εξής τέσσερα αποτελέσματα που παριστάνονται και γραφικά στα σχήματα 1β και 1γ 1 Το φωτορεύμα αυξάνει ανάλογα με την ένταση της φωτεινής δέσμης, δηλ 2 Η μέγιστη κινητική ενέργεια των εκπεμπόμενων ηλεκτρονίων δεν εξαρτάται από την ένταση της φωτεινής δέσμης αλλά είναι ανάλογη της συχνότητά της, δηλ και 3 Το φωτορεύμα εμφανίζεται μόνο για συχνότητες μεγαλύτερες μιας χαρακτηριστικής για κάθε υλικό συχνότητας της συχνότητας κατωφλίου 4 Το φωτορεύμα εμφανίζεται «ταυτόχρονα» με την πρόσπτωση της φωτεινής δέσμης στο μέταλλο Το δεδομένο 1 είναι εύκολο να εξηγηθεί με την Κλασική Φυσική Πράγματι προσπίπτον ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε μεταλλική επιφάνεια ασκεί δύναμη στα ηλεκτρόνια μεταβιβάζοντάς τους ενέργεια που όταν ξεπεράσει μια ορισμένη τιμή οδηγεί στην απόσπασή τους από την επιφάνεια του μετάλλου Μάλιστα αύξηση της η έντασης της φωτεινής δέσμης οδηγεί σε αύξηση της επαγόμενης δύναμης (είναι κι άρα σε αύξηση του ρυθμού εξαγωγής ηλεκτρονίων, δηλαδή του φωτορεύματος Η Κλασική Φυσική ωστόσο αδυνατούσε να εξηγήσει τα δεδομένα 2, 3 και 4 Πράγματι η κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων θα έπρεπε να εξαρτάται από την ένταση της φωτεινής δέσμης αφού η μεγαλύτερη ένταση σημαίνει μεγαλύτερη δύναμη, μεγαλύτερη επιτάχυνση των ηλεκτρονίων κι άρα μεγαλύτερη τελική ταχύτητα και κινητική ενέργεια Επίσης θα έπρεπε για οποιαδήποτε συχνότητα να υπάρχει εκπομπή ηλεκτρονίων για κατάλληλα μεγάλη προσπίπτουσα ένταση Τέλος προβλέπει την βαθμιαία μεταβίβαση της ενέργειας στα ηλεκτρόνια που ανάλογα με την ένταση και τη συχνότητα μπορεί να χρειαστεί και ώρες! Το φαινόμενο εξηγήθηκε από τον Einstein το 1905 για το οποίο του απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ το 1921 Αναπαράγοντας τα δικά του λόγια: " Σύμφωνα με την παραδοχή που προτείνεται εδώ, η ενέργειά μιας φωτεινής ακτίνας που εκπέμπεται από μια σημειακή πηγή δεν είναι συνεχώς κατανεμημένη στο χώρο, αλλά αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό ενεργειακών κβάντων, που είναι τελείως εντοπισμένα στο χώρο χωρίς να διαιρούνται, και τα οποία 2

μπορούν να παραχθούν ή να απορροφηθούν μόνο ως ολόκληρες μονάδες" Τα ενεργειακά κβάντα ονομάστηκαν φωτόνια και η ενέργειά τους περιγράφεται από τη σχέση (41) όπου η σταθερά του Planck Η εξήγηση του φαινομένου γίνεται πλέον απλή Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος, όπου παρουσιάζεται η ενεργειακή δυναμική του φαινομένου, βλέπουμε ότι αρχικά το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στον πυθμένα ενός πηγαδιού το βάθος του οποίου αντιπροσωπεύει την ενέργεια σύνδεσής του ηλεκτρονίου στο μέταλλο και ονομάζεται έργο εξόδου Το έργο εξόδου είναι χαρακτηριστικό για κάθε υλικό Για να απελευθερωθεί ένα ηλεκτρόνιο από το πηγάδι θα πρέπει να του δώσουμε ενέργεια ίση ή μεγαλύτερη με το έργο εξόδου Όταν ένα φωτόνιο με ενέργεια μεγαλύτερη από το έργο εξόδου του μετάλλου απορροφηθεί από το εν λόγω ηλεκτρόνιο θα εκπεμφθεί με κινητική ενέργεια ίση με τη διαφορά της ενέργειάς του και το έργου εξόδου, κι αυτή είναι η λεγόμενη φωτοηλεκτρική εξίσωση (42) Με βάση λοιπόν τη φωτονική θεωρία εξηγούνται απλά όλα τα προαναφερθέντα δεδομένα που δεν μπορούσαν να εξηγηθούν από την Κλασική Φυσική Πράγματι με βάση της σχέση 42 η μέγιστη κινητική ενέργεια δεν εξαρτάται από την ένταση της φωτεινής δέσμης αλλά για δεδομένο υλικό (δεδομένο ) είναι ανάλογη της συχνότητας του προσπίπτοντος φωτός, δηλ Για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας κατωφλίου τα φωτόνια δεν απορροφώνται κι άρα το φαινόμενο δεν παρατηρείται Επίσης η απορρόφηση του φωτονίου γίνεται "ακαριαία" κι όχι βαθμιαία (στην ερμηνεία του όρου "ακαριαία" θα επανέλθουμε στο κεφάλαιο της Ατομικής Φυσικής) Τέλος το φωτορεύμα εξαρτάται από τον αριθμό των προσπιπτόντων φωτονίων άρα από την ένταση της φωτεινής δέσμης Να σημειωθεί πως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο βρίσκει εφαρμογή σε πολλές συσκευές καθημερινής χρήσης όπως τις βιντεοκάμερες και οι συσκευές νυχτερινής όρασης αλλά και σε επιστημονικά όργανα όπως οι φωτοπολλαπλασιαστές Το φαινόμενο Compton Η παραδοχή ότι το φως αποτελείται από ενεργειακά κβάντα κι άρα εμφανίζει σωματιδιακές ιδιότητες απαιτούσε περεταίρω ελέγχους για να γίνει αποδεκτή Ο ίδιος ο Einstein το 1916 επέκτεινε την έννοια των φωτονίων εισηγούμενος ότι τα φωτόνια έχουν ορμή, το μέτρο της οποίας είναι (43) Η επιβεβαίωση της παραπάνω πρότασης ήρθε το 1923 από τον Compton ο οποίος έκανε πειράματα σκέδασης ακτίνων Χ από ελεύθερα ηλεκτρόνια Η αρχή της πειραματικής του διάταξης φαίνεται στο σχήμα 2α Μια δέσμη ακτίνων Χ μήκους κύματος λ κατευθύνεται πάνω σε ένα στόχο από άνθρακα (το έργο εξόδου των ηλεκτρονίων του άνθρακα είναι πολύ μικρότερο της ενέργειας των φωτονίων ακτίνων Χ, με αποτέλεσμα αυτά να μπορούν να θεωρηθούν με πολύ καλή ακρίβεια ως "ελεύθερα") 3

Στο πείραμα μετράται η σκεδαζόμενη ακτινοβολία Χ ως συνάρτηση της γωνίας θ και η έντασή της Στο σχήμα 2β παρουσιάζονται τα πειραματικά αποτελέσματα Σχήμα 2 Στα δεδομένα παρατηρείται ένα σκεδαζόμενο κύμα με μήκος κύματος σε όλες τις γωνίες σκέδασης εκτός από την Η ερμηνεία της Κλασικής Φυσικής είναι και σε αυτή την περίπτωση ανεπαρκής αφού προβλέπει σκέδαση της ακτινοβολίας αλλά όχι αλλαγή του μήκους κύματος Η ερμηνεία στα πλαίσια της φωτονικής θεώρησης εδράζεται στην αρχή διατήρησης της ενέργειας και της ορμής κατά την κρούση, όπως ακριβώς κατά την ελαστική κρούση δυο σωματίων, με τη διαφορά πως στην περίπτωσή πρέπει να χρησιμοποιηθούν τα σχετικιστικά μεγέθη της ενέργειας και η ορμής του ηλεκτρονίου Τότε αποδεικνύεται η προσέγγιση αυτή αναπαράγει ακριβώς τα πειραματικά αποτελέσματα που υπακούουν τη σχέση (44) όπου είναι η μάζα του ηλεκτρονίου και η ταχύτητα του φωτός Η ποσότητα ονομάζεται μήκος κύματος Compton Παρά το ότι απαιτείται η χρήση της σχετικότητας για την παραπάνω απόδειξη, η λύση δεν είναι δύσκολη Η ενέργεια του σχετικιστικού ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση Τα φωτόνια έχουν μηδενική μάζα οπότε η ενέργειά τους γράφεται από όπου προκύπτει ότι η ορμή του φωτονίου είναι, όπως περιγράψαμε στη σχέση 43 Με βάση το διπλανό διάγραμμα σκέδασης μπορούμε να γράψουμε το σύστημα εξισώσεων για την αρχή διατήρηση της ενέργειας και των συνιστωσών της ορμής ως 4

Η λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων καταλήγει στην σχέση 44 και αφήνετε ως άσκηση για τον φοιτητή Η δε ερμηνεία αυτής είναι ότι τα φωτόνια πέρα από ενέργεια μεταφέρουν και ορμή όπως ακριβώς τα σωματίδια Το πείραμα Young Μια άλλη προοπτική Στο σημείο αυτό κρίνεται σκόπιμο να εξετάσουμε από μια άλλη οπτική το πείραμα συμβολής από δυο σχισμές που παρουσιάσαμε στο κεφάλαιο 4, δηλαδή το ιστορικό πείραμα του Young, για να ρίξουμε λίγο φως στο δικαιολογημένο ερώτημα αν το φως τελικά είναι σωματίδιο ή κύμα Θα επαναλάβουμε νοητά το πείραμα Young αλλάζοντας μόνο μια παράμετρο Ελαττώνουμε την ένταση της φωτεινής πηγής έτσι ώστε να εκπέμπει τυχαία χρονικά ένα φωτόνιο τη φορά και ποτέ δυο ή παραπάνω ταυτόχρονα Τότε, εφόσον το φωτόνιο το θεωρούμε σωμάτιο, θα περάσει μέσα από μια εκ των δυο σχισμών και θα ανιχνευθεί στο πέτασμα από τους φωτοανιχνευτές, που καλύπτουν όλη την επιφάνεια του πετάσματος κι ανιχνεύουν το κάθε φωτόνιο ένα προς ένα Ο κάθε ανιχνευτής μπορεί να ιδωθεί ως απαριθμητής που αυξάνει τον αριθμό των ανιχνευόμενων φωτονίων κατά ένα κάθε φορά που προσπίπτει πάνω του ένα φωτόνιο Τα αποτελέσματα αυτού το νοητού πειράματος, που πραγματοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1909 από τον G I Taylor, παρουσιάζονται στο σχήμα 3 Σχήμα 3 Αρχικά καθώς ο αριθμός των ανιχνευόμενων φωτονίων είναι μικρός η εικόνα είναι ασαφής (βλ σχήματα 3α και 3b), τα φωτόνια μοιάζουν να ισοκατανέμονται εξαιτίας της φτωχής στατιστικής Καθώς όμως ο αριθμός τους αυξάνει αρχίζει να σχηματίζεται το γνωστό σχέδιο της διαμόρφωσης της συμβολής (βλ σχήματα 3c, 3d, και 3e) Το αποτέλεσμα του πειράματος μας λέει ότι αν και τω φωτόνια ως σωματίδια πρέπει να περνούν από μια μόνο σχισμή εντούτοις στο τέλος θα σχηματιστεί η προβλεπόμενη από την συμβολή κυμάτων διαμόρφωση της έντασης Με άλλα λόγια το φωτόνιο εμφανίζει και σωματιδιακές αλλά και κυματικές ιδιότητες σε ευθεία αντίθεση με όσα πρεσβεύει η Κλασική Φυσική Αυτός είναι ένας τρόπος να διατυπώσει κανείς την αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού Σε αυτό το πολύ λεπτό θέμα θα επανέλθουμε λίγο παρακάτω όταν θα έχουμε τα κατάλληλα εργαλεία για να το περιγράψουμε Η υπόθεση de Broglie Το γεγονός πως η σωματιδιακή και κυματική φύση του φωτός δεν είναι "αμοιβαία αποκλειόμενες" όπως είχε δεχθεί η Κλασική Φυσική, μας οδηγεί αβίαστα στο ερώτημα μήπως και τα γνωστά σωματίδια (ηλεκτρόνια, πρωτόνια, κτλ) εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες Το 5

1923 ο L de Broglie πρότεινε, χωρίς να υπάρχουν πειραματικά δεδομένα, την παραπάνω ιδέα στη διδακτορική του διατριβή ως "Εφόσον τα φωτόνια έχουν και κυματικά και σωματιδιακά χαρακτηριστικά, ίσως όλες οι μορφές της ύλης να έχουν εκτός από σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες" Με άλλα λόγια πρότεινε την ιδέα ότι τα ηλεκτρόνια, για παράδειγμα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί των φωτονίων σε ένα αντίστοιχο πείραμα Young και να δώσουν ένα σχέδιο συμβολής στο πέτασμα ανίχνευσής τους Η επέκταση αυτή της ιδέας του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού συνεπάγεται ότι οι σχέσεις (45) ισχύουν για όλα τα σωματίδια και συνδέουν την (εντοπισμένη) ενέργεια κι ορμή του σωματιδίου με τα καθαρά κυματικά χαρακτηριστικά της συχνότητας και του μήκους κύματος Επομένως κάθε σωματίδιο συνδέεται με ένα κύμα, το μήκος κύματος του οποίου ονομάζεται μήκος κύματος de Broglie Τα κύματα αυτά δεν έχουν καμία σχέση με τα μηχανικά κύματα ή τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα κι ονομάζονται κύματα ύλης ή υλοκύματα Η πλήρης μαθηματική περιγραφή τους βασίζεται στην έννοια της κυματοσυνάρτησης που θα εξετάσουμε λεπτομερώς παρακάτω Πριν το κάνουμε αυτό όμως να δούμε αν αυτή η ιδέα είναι ρεαλιστική ή απλώς ένα "τέχνασμα" Το πείραμα Davisson-Germer Οι Davisson και Germer, εκτελούσαν πειράματα σκέδασης ηλεκτρονίων από επιφάνειες νικελίου Η πειραματική διάταξης φαίνεται στο σχήμα 4α (α) (β) Σχήμα 4 Ηλεκτρόνια προερχόμενα από θερμιονική εκπομπή επιταχύνονταν προς την επιφάνεια του νικελίου σκεδάζονταν κι ανιχνεύονταν συναρτήσει της γωνίας σκέδασης φ Παρατηρήθηκε ότι το σχέδιο σκέδασης των ηλεκτρονίων ήταν όμοιο με το σχέδιο της σκέδασης Bragg των ακτίνων Χ από κρυστάλλους Οι Davisson και Germer αντιλήφθησαν ότι το νικέλιο ήταν σε κρυσταλλική μορφή (μάλλον μετά από κάποιο ατύχημα στην πειραματική διάταξη κρυσταλλώθηκε ) Παρατήρησαν ότι για ηλεκτρόνια κινητικής ενέργειας 54 ev (τάση επιτάχυνσης 54 Volt, 1eV = 16 x 10-19 J) το πρώτο μέγιστο εμφανίζονταν στις 50ο όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 4β Εφαρμόζοντας την 6

συνθήκη Bragg,, γεωμετρικά στο σχήμα 5, δηλ κρυσταλλικά χαρακτηριστικά των προκύπτει ότι για τις συνθήκες του πειράματος που παρουσιάζονται, και (τα και μετρήθηκαν με πειράματα σκέδασης ακτίνων Χ) και Σχήμα 5 Επομένως εάν ισχύει η υπόθεση de Broglie θα πρέπει τα συνδεδεμένα με τα ηλεκτρόνια υλοκύματα να έχουν την ίδια τιμή Πράγματι με βάση την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων προκύπτει για το μήκος κύματος de Broglie Η συμφωνία θεωρίας και πειραματικών δεδομένων δεν αφήνει περιθώρια αμφισβήτησης της υπόθεσης de Broglie και του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού Οι Davisson και Germer επανέλαβαν τα πειράματά τους σκεδάζοντας ένα ηλεκτρόνιο τη φορά, όπως στο πείραμα Young του Taylor, καταλήγοντας στα ίδια αποτελέσματα Έκτοτε πειράματα περίθλασης με σωματίδια επιτεύχθηκαν με νετρόνια, άτομα αλλά και μόρια Η σκέδαση Bragg των ηλεκτρονίων χρησιμοποιείται ευρύτατα σήμερα στα ηλεκτρονικά μικροσκόπια τα οποία έχουν πολύ καλύτερη διακριτική ικανότητα από τα απλά μικροσκόπια που χρησιμοποιούν φως Ο λόγος είναι ο εξής: Το μήκος κύματος του φωτός ενέργειας, και το μήκος κύματος de Broglie ενός ηλεκτρονίου κινητικής ενέργειας, μπορούν να υπολογιστούν (από τους ορισμούς τους) ως (46) Από τις σχέσεις αυτές είναι προφανές ότι μικρής κινητικής ενέργειας ηλεκτρόνια έχουν μήκος κύματος de Broglie για να διακρίνουν ατομικής κλίμακας δομές χωρίς να τα καταστρέφουν από την άλλη, η αντίστοιχη ενέργεια για τα φωτόνια πρέπει να φτάσει στο φάσμα των σκληρών 7

ακτίνων Χ με συνήθως καταστρεπτικές συνέπειες για το υπό εξέταση δείγμα, ιδιαίτερα αν είναι βιολογικό Στο σχήμα 6 παρουσιάζεται η αρχή λειτουργίας του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου σάρωσης (Scanning Electron Microscope - SEM) Σχήμα 6 Η Αρχή της Απροσδιοριστίας Η εισαγωγή της έννοιας του υλοκύματος δημιούργησε πολλά επιπλέον ερωτήματα ως προς την φύση αυτού του κύματος Πώς θα μπορούσε για παράδειγμα ένα εντοπισμένο σωματίδιο να σχετιστεί με ένα επίπεδο κύμα συγκεκριμένου μήκους κύματος, όπως αυτά που εξετάσαμε μέχρι τώρα, αφού το τελευταίο εκτείνεται από το έως το Ένα τέτοιο κύμα όμως είναι εξιδανίκευση, όπως είπαμε, δεν υπάρχει στη φύση κι άρα δεν τίθεται τέτοιο θέμα Παρόλα αυτά η φύση επιτρέπει τον χωρικό εντοπισμό των κυμάτων που σχηματίζονται με υπέρθεση αρμονικών (επίπεδων) κυμάτων κατάλληλου μήκους κύματος, πλάτους και φάσης Χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ίδιο πλάτος και ίδια φάση για μια σειρά αρμονικών κυμάτων που καλύπτουν ένα εύρος συχνοτήτων γύρω από μια κεντρική συχνότητα Οι συχνότητες αντιστοιχούν σε μήκη κύματος κι άρα σε κυματάριθμους κι επομένως σε ορμές Το αποτέλεσμα της υπέρθεσής τους φαίνεται στο σχήμα 7 Παρατηρούμε ότι όσο ευρύτερο είναι το εύρος των συμβαλλόμενων συχνοτήτων, ή αντίστοιχα των κυματαριθμών και των ορμών, τόσο περισσότερο στενεύει η χωρική έκταση της κυματομορφής Αυτή η μορφή των κυμάτων ονομάζεται κυματομάδα και είναι κατάλληλη για την περιγραφή των υλοκυμάτων de Broglie Με άλλα λόγια μπορούμε να θεωρήσουμε τον χωρικό εντοπισμό των σωματιδίων ως αποτέλεσμα της υπέρθεσης ενός εύρους υλοκυμάτων de Broglie κατανεμημένων γύρω από την μέση τιμή του 8

Σχήμα 7 Με βάση τα παραπάνω γίνεται ποιοτικά φανερό ότι η κυματική προβλέπει για τα μεγέθη και ότι το γινόμενό τους ικανοποιεί την σχέση (η μονάδα ισχύει όταν όλες οι φάσεις των κυμάτων είναι σταθερές) Με βάση την υπόθεση de Broglie ισχύει κι επομένως είναι (46) Αυτή είναι η Αρχή της Απροσδιοριστίας όπως διατυπώθηκε από τον Heisenberg το 1927 Η αρχή αυτή μας λέει ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με ακρίβεια ταυτόχρονα την θέση και την ορμή ενός σωματιδίου Αυτό δεν οφείλεται σε αδυναμία της τεχνολογίας μετρήσεων αλλά είναι ενδογενής ιδιότητα του μικρόκοσμου Πράγματι παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή δεν απαγορεύει την απόλυτη ακρίβεια στην μέτρηση πχ της θέσης Τότε όμως η απροσδιοριστία στην ορμή απειρίζεται με αποτέλεσμα την επόμενη στιγμή να μην ξέρουμε που βρίσκεται το σωμάτιο Από την άλλη αν γνωρίζουμε με απόλυτη ακρίβεια την ορμή τότε 9

το σωμάτιο έχει άπειρη απροσδιοριστία και βρίσκεται παντού στο χώρο Αυτή είναι και η περίπτωση του επίπεδου κύματος Άρα ενδογενώς όσο μεγαλώνει η ακρίβεια στο ένα μέγεθος τόσο μεγαλώνει η αβεβαιότητα στο άλλο Η αρχή απροσδιοριστίας ισχύει και για τις υπόλοιπες χωρικές συνιστώσες, δηλαδή ισχύει και Ωστόσο δεν ισχύει η αρχή για γινόμενα διαφορετικών διαστάσεων, για παράδειγμα Επίσης η αρχή απροσδιοριστίας ισχύει και για άλλα συζυγή όπως λέγονται μεγέθη όπως για παράδειγμα η ενέργεια και ο χρόνος (47) Για παράδειγμα τα επίπεδα κύματα που έχουν άπειρη διάρκεια έχουν πολύ καλά καθορισμένη ενέργεια κι άρα συχνότητα και μήκος κύματος Ένας τρόπος για να κατανοήσουμε την αρχή απροσδιοριστίας είναι να την εξετάσουμε σε σχέση με την διαδικασία της μέτρησης στο μικρόκοσμο Εάν για παράδειγμα θέλουμε να μετρήσουμε τη θέση ενός ηλεκτρονίου με μεγάλη ακρίβεια θα χρειαστεί να σκεδάσουμε πάνω του ηλεκτρομαγνητικά κύματα πολύ μικρού μήκους κύματος (πχ ακτίνες Χ με λ=01å, οπότε ) Τότε όμως η ορμή που θα του προσδώσει η αλληλεπίδραση (σκέδαση Compton) θα είναι μεγάλη και θα το εκτρέψει πολύ μακριά από τη μετρημένη θέση του Από την άλλη αν χρησιμοποιήσουμε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία πολύ μεγάλου μήκους κύματος (πχ υπέρυθρη ακτινοβολία με λ=1μm) τότε ναι μεν του προδίδουμε πολύ μικρή ορμή αλλά η απροσδιοριστία στη θέση του ( είναι τεράστια για τα ατομικά δεδομένα Επομένως η μέτρηση στον μικρόκοσμο δεν είναι ανεξάρτητη από το σύστημα όπως στην Κλασική Μηχανική Αποτελεί μέρος του συστήματος και διέπεται από την αρχή της απροσδιοριστίας Η εξίσωση Schrödinger και η Κυματοσυνάρτηση Κάθε κύμα για να περιγραφεί σωστά μαθηματικά απαιτείται να ικανοποιεί τη λύση μιας κυματικής διαφορικής εξίσωσης, όπως ικανοποιούν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα τις εξισώσεις του Maxwell Την διαφορική αυτή εξίσωση παρουσίασε το 1926 ο Schrödinger, που έκτοτε έχει λάβει το όνομά του ως εξίσωση Schrödinger, η οποία στη μια διάσταση γράφεται (48) Η λύση της εξίσωσης Schrödinger είναι η λεγόμενη κυματοσυνάρτηση εξαρτάται και από τη θέση και από το χρόνο Στην παραπάνω εξίσωση ο όρος κινητική ενέργεια του σωματίου, ο όρος που εν γένει είναι η είναι η δυναμική ενέργεια του σωματίου και ο όρος η ολική ενέργεια του σωματίου Μάλιστα στην περίπτωση που ο όρος της δυναμικής ενέργειας δεν έχει εξάρτηση από το χρόνο η εξίσωση Schrödinger γράφεται στην πιο απλή μορφή της (49) όπου όρους η ολική ενέργεια του σωματίου Για τις τρεις διαστάσεις συμπεριλαμβάνουμε και τους και Οι κυματοσυναρτήσεις και δεν είναι ίδιες ακόμη και στην περίπτωση της μη χρονικής εξάρτησης της δυναμικής ενέργειας Ο λόγος είναι ότι η κυματοσυνάρτηση πάντα συνοδεύεται από έναν ταλαντωτικό όρο η συχνότητα του οποίου είναι 10

ανάλογη της ενέργειας του σωματίου Ισχύει λοιπόν ότι Επομένως η κυματοσυνάρτηση είναι πάντοτε μια μιγαδική ποσότητα ενώ δεν είναι απαραίτητο αυτό για την Στα προβλήματα που δεν εμπλέκουν χρονική εξάρτηση υπολογίζεται η που είναι μια στάσιμη κατάσταση (θα τολμούσαμε να πούμε αντίστοιχη αυτής των στάσιμων μηχανικών κυμάτων με αρκετή δόση ελευθερίας) κι έπειτα υπολογίζεται η ολική κυματοσυνάρτηση Παρατηρείστε ωστόσο ότι πάντα ισχύει 1 Δηλαδή οι δυο κυματοσυναρτήσεις διαφέρουν μόνο ως προς μια φάση Είναι αξιομνημόνευτο το γεγονός ότι αν και ο Schrödinger είναι αυτός που εισήγαγε τον όρο της κυματοσυνάρτησης στην ομώνυμη εξίσωσή του εν τούτοις δεν είχε αντιληφθεί το πραγματικό φυσικό της νόημα Χρειάστηκε η συνδρομή του Μ Born για να καταλήξουμε στην σωστή ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης κι άρα των αποτελεσμάτων της λύσης της εξίσωσης Schrödinger Η ερμηνεία της είναι η εξής: Η ποσότητα είναι η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στο διάστημα μεταξύ και τη χρονική στιγμή Αντίστοιχα η ποσότητα είναι η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στο διάστημα μεταξύ και Αυτό σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση από μόνη της δεν έχει κάποιο φυσικό νόημα εφόσον δεν είναι μετρήσιμη ως μιγαδικό μέγεθος Πρόκειται για το πλάτος πιθανότητας ενώ η ποσότητα είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρούμε το σωματίδιο στο διάστημα μεταξύ και τη χρονική στιγμή, αντίστοιχα Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στο διάστημα μεταξύ και τότε απλά ολοκληρώνουμε την πυκνότητα πιθανότητας σε αυτό το διάστημα, δηλαδή (410) Η κυματοσυνάρτηση ως έκφραση της πιθανότητας πρέπει να είναι, πεπερασμένη, ομαλή και μονότιμη Επίσης η ολοκλήρωσή της σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης πρέπει να ισούται με μονάδα, δηλαδή, Η γνώση της κυματοσυνάρτησης αποτελεί τη βάση για τον υπολογισμό των διαφόρων φυσικών μεγεθών του σωματιδίου (πχ θέση, ορμή, στροφορμή, ενέργεια, κτλ) Με άλλα λόγια, εάν κανείς γνωρίζει την κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος σωματιδίων γενικά ξέρει τα πάντα γι αυτό Ο υπολογισμός των φυσικών ποσοτήτων του συστήματος γίνεται στο παραπάνω πλαίσιο του πιθανοκρατικού υπολογισμού ως υπολογισμός των μέσων τιμών τους Για παράδειγμα η μέση τιμή της θέσης ενός σωματιδίου υπολογίζεται από τη σχέση (411) ενώ για μια οποιαδήποτε φυσική ποσότητα ισχύει αντίστοιχα Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger και η εύρεση της κυματοσυνάρτησης δεν είναι εύκολη υπόθεση κι απαιτεί γνώσεις επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης Ωστόσο για μερικά πολύ απλά συστήματα μερικές λύσεις μπορούν να προκύψουν σχετικά εύκολα 1 Υπενθυμίζεται ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει και Το τελευταίο προκύπτει από την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών 11

Παραδείγματα 41 Κυματοσυνάρτηση επίπεδου κύματος Εδώ θα εξετάσουμε τη λύση της εξίσωσης Schrödinger για το ελεύθερο σωμάτιο Για ένα ελεύθερο σωμάτιο η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν (και προφανώς ανεξάρτητη του χρόνου) κι άρα η σχέση 49 γράφεται πιο απλά ως όπου ο κυματάριθμος σχετιζόμενος με το μήκος κύματος de Broglie (είναι ) Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι η εξής (όπως μπορείτε να διαπιστώσετε με αντικατάσταση στη διαφορική εξίσωση κι εκτέλεση των πράξεων) (ή στην πιο οικεία σε σας μορφή Η χρονικά εξαρτώμενη κυματοσυνάρτηση γράφεται ως ) που βέβαια είναι οι λύσεις του γνωστού επίπεδου κύματος 42 Δέσμιες καταστάσεις και καταστάσεις συνεχούς Σε αυτό το παράδειγμα θα παραθέσουμε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά των κυματοσυναρτήσεων για την συνάρτηση δυναμικής ενέργειας του διπλανού σχήματος (που περιγράφει την ελκτική δυναμική ενέργεια ενός διατομικού μορίου) Διακρίνουμε τα εξής χαρακτηριστικά: Για αρνητική ολική ενέργεια δηλαδή η κίνηση του σωματιδίου περιορίζεται στο χώρο του δυναμικού με αποτέλεσμα την κβάντωση της ενέργειάς των καταστάσεών Για το λόγο αυτό ονομάζονται δέσμιες καταστάσεις και χαρακτηρίζονται από το διακριτό φάσμα τους Η ύπαρξη διακριτού φάσματος για ένα τέτοιο πρόβλημα δεν προβλέπεται από την Κλασική Φυσική Η κίνηση του σωματίου επιτρέπεται σε περιοχές κλασικά απαγορευμένες Πράγματι στην Κλασική Μηχανική η κίνηση ενός σωματίου περιορίζεται από την συνάρτηση του δυναμικού του ενώ στην περίπτωση της Κβαντομηχανικής το σωμάτιο επιτρέπεται να βρεθεί και πέρα από το "τείχος" του δυναμικού Με άλλα λόγια η πυκνότητα πιθανότητας το σωμάτιο να βρεθεί πέρα από τα όρια της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας δεν είναι μηδέν, αλλά μειώνεται εκθετικά με τη απόσταση Η χαμηλότερη δυνατή διακριτή ενέργεια, γνωστή ως θεμελιώδης κατάσταση, δεν αντιστοιχεί στην τιμή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας Εάν αυτό συνέβαινε τότε το σωμάτιο θα ήταν ακίνητο στη θέση, που σημαίνει απόλυτη γνώση της θέσης και ορμής του Ως αποτέλεσμα θα έχουμε μηδενική απροσδιοριστία στη θέση και την ορμή, δηλαδή, κι άρα παραβιάζοντας την αρχή απροσδιοριστίας 12

Για θετική ολική ενέργεια δηλαδή η κίνηση του σωματιδίου δεν περιορίζεται στο χώρο του δυναμικού με αποτέλεσμα το σωμάτιο να μπορεί να διαφύγει από το ελκτικό δυναμικό και να "απλώσει" την κυματοσυνάρτησή του σε όλο των χώρο Ως αποτέλεσμα το ενεργειακό φάσμα του δεν είναι πλέον διακριτό αλλά συνεχές και οι καταστάσεις ονομάζονται καταστάσεις συνεχούς Το φαινόμενο Σήραγγας Θεωρούμε το φράγμα δυναμικού του διπλανού σχήματος όπου η δυναμική ενέργεια είναι παντού μηδενική εκτός από μια περιοχή μήκους που έχει σταθερή τιμή Έστω τώρα ότι ένα σωματίδιο κινείται προς το φράγμα από τα αριστερά Σύμφωνα με την Κλασική Φυσική το σωμάτιο μετά την πρόσκρουση στο φράγμα θα ανακλαστεί προς την αντίθετη κατεύθυνση Ωστόσο, στην Κβαντομηχανική, και με βάση όσα αναφέραμε στο παράδειγμα 42, υπάρχει μια μικρή πιθανότητα διείσδυσης στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή όπως παραστατικά φαίνεται κι από την κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου στο διπλανό σχήμα Όπως είπαμε η πιθανότητα να βρεθεί στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή μειώνεται εκθετικά με την απόσταση και μηδενίζεται πρακτικά πολύ γρήγορα Όμως για μικρές αποστάσεις η τιμή της δεν είναι αμελητέα Έτσι, στο παράδειγμά μας, για μήκη φράγματος αρκούντως μικρά το σωματίδιο μπορεί να διέλθει του φράγματος! Αυτό είναι το φαινόμενο σήραγγας Το αντίστοιχο κλασικό φαινόμενο θα ήταν να περάσει κανείς μέσα από ένα τοίχο, η δοκιμή του οποίου δεν συνιστάται Μάλιστα ο συντελεστής διέλευσης, που αντιστοιχεί στην πιθανότητα διέλευσης, στην περίπτωση ενός υψηλού κι ευρέως φράγματος, όπου η πιθανότητα διέλευσης είναι μικρή, περιγράφεται από τη σχέση (412) Παρατηρούμε ότι το φαινόμενο σήραγγας παρουσιάζει εκθετική ευαισθησία στα μεγέθη του μήκους του φράγματος, της μάζας του σωματίου και της ενεργειακής διαφοράς Για παράδειγμα αναμένεται τα ηλεκτρόνια ως τα ελαφρύτερα σωματίδια να υπόκεινται πολύ ευκολότερα σε συνθήκες σήραγγας από ότι για παράδειγμα τα πρωτόνια Το μέτρο του συνδυασμού των παραπάνω τιμών καθορίζεται από τη σταθερά του Planck Το φαινόμενο δεν έχει απλά ακαδημαϊκό ενδιαφέρον αλλά είναι η βάση της εξήγησης πολλών φυσικών φαινομένων όπως για παράδειγμα η εκπομπή πυρηνικής ακτινοβολίας άλφα, ο δεσμός υδρογόνου και η αναστροφή του μορίου της αμμωνίας Μια εξαιρετικά σημαντική εφαρμογή είναι το μικροσκόπιο σήραγγας Η αρχή λειτουργίας του φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Τα ηλεκτρόνια του υλικού είναι δεσμευμένα σε δυναμικό μέτρου ίσου με το έργο εξόδου Η κυματοσυνάρτησή τους θα είναι όπως του σχήματος 8α Πλησιάζοντας μια φορτισμένη ακίδα σε ατομικές αποστάσεις από την επιφάνεια (βλέπε σχήμα 8γ) δημιουργείται ένα φράγμα δυναμικής ενέργειας Η κυματοσυνάρτηση τότε αναπροσαρμόζεται σε αυτήν του σχήματος 8β Η πιθανότητα τα ηλεκτρόνια να διέλθουν από την επιφάνεια στην ακίδα εξαρτάται από το μήκος του φράγματος Καθώς λοιπόν η ακίδα σαρώνει την επιφάνεια σε μια διάσταση τα ηλεκτρόνια που διέρχονται του φράγματος σε κάθε σημείο της σάρωσης 13

καταγράφονται ως ρεύμα και φέρουν την πληροφορία της γεωμετρικής δομής της επιφάνειας (βλέπε σχήμα 8γ) Με την τεχνική αυτή καταγράφονται εικόνες με διακριτική ικανότητα έως και 1 Å, δηλαδή με ακρίβεια ενός ατόμου όπως παρουσιάζεται και στο σχήμα 9 όπου 48 άτομα σιδήρου έχουν τοποθετηθεί σε κύκλο πάνω σε επιφάνεια χαλκού Οι εσωτερικοί κυματισμοί στην εικόνα αντιστοιχούν σε κύματα de Broglie ηλεκτρονίων που είναι παγιδευμένα μέσα σε αυτό το "κβαντικό μαντρί" Σχήμα 8 Σχήμα 9 14

Προβλήματα 1 Συγκρίνετε τη συχνότητα και την ενέργεια ενός φωτονίου στο ορατό φάσμα (λ=500 nm) με αυτή ενός φωτονίου ακτίνων Χ (λ=10 pm) Οι ενέργειες να εκφραστούν σε ev 2 Κάποιο μέταλλο έχει έργο εξαγωγής 42 ev Βρείτε τη συχνότητα και το μήκος κύματος ακτινοβολίας κατωφλίου για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Υπολογίστε τη μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων εάν φωτίσουμε το μέταλλο με φως μήκους κύματος 200 nm 3 Θέλουμε να μελετήσουμε το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο χρησιμοποιώντας το μέγιστο εκπομπής του ηλιακού φωτός Το μήκος κύματος όπου εμφανίζεται το μέγιστο αυτό είναι 500 nm Τα έργα εξόδου των μετάλλων Li, Be και Hg είναι 23, 39 και 45 ev αντίστοιχα Ποιο μέταλλο πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να παρατηρήσουμε φωτοηλεκτρόνια; 4 Ακτίνες Χ μήκους κύματος 10 pm σκεδάζονται από στόχο άνθρακα Η σκεδαζόμενη δέσμη παρατηρείται στις 90 o (α) Ποια η μετατόπιση Compton Δλ; (β) Ποια η % μείωση της ενέργειας του φωτονίου; 5 Ελεύθερο ηλεκτρόνιο έχει ενέργεια 4 ev Βρείτε τη συχνότητα και το αντίστοιχο μήκος κύματος de Broglie 6 Ένα ηλεκτρόνιο έχει ταχύτητα ίση με 10 6 m/sec (α) Πόσο είναι το μήκος κύματος de Broglie; β) Πόση είναι η αβεβαιότητα στη θέση του εάν η αβεβαιότητα στη ταχύτητά του είναι 3x10 5 m/sec; 7 Σωματίδιο μάζας m είναι εγκλωβισμένο σε μια περιοχή διαστάσεων L Εντός της περιοχής αυτής δεν του ασκούνται δυνάμεις Χρησιμοποιώντας την Αρχή της Απροσδιοριστίας βρείτε το κατώτατο όριο της μηχανικής του ενέργειας Εφαρμογή: (α) m=1 g, L=1 cm (σώμα και περιοχή εγκλωβισμού μακροσκοπικά), (β) m=9 10-31 kg, L=10-10 m (ηλεκτρόνιο εγκλωβισμένο στις διαστάσεις ενός ατόμου) 8 Η αβεβαιότητα στην ορμή ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε μια διάσταση είναι Δp x =10-25 kg m/sec Πόση είναι περίπου η διάσταση του μικρότερου «κουτιού» στο οποίο μπορούμε να το περιορίσουμε; 9 Ποια η ελάχιστη κινητική ενέργεια του πρωτονίου όταν βρίσκεται εγκλωβισμένο εντός ενός ατομικού πυρήνα τυπικών διαστάσεων 10-14 m; m p =17x10-27 kg 10 Σωματίδιο μάζας m και κινητικής ενέργειας Κ πλησιάζει σε ορθογώνιο φράγμα δυναμικού πάχους L και ύψους U 0 Ποια θα είναι η κινητική του ενέργεια εάν διέλθει του φράγματος μέσω του φαινομένου σήραγγας; Να βρείτε το συντελεστή διέλευσης T στις παρακάτω περιπτώσεις: a Πρωτόνιο (m p =17x10-27 kg) κινητικής ενέργειας 3 MeV, L=10 fm και U 0 =10 MeV (πυρηνική α-διάσπαση) b Πρωτόνιο κινητικής ενέργειας 05 ev, L= 10 pm και U 0 =06 ev (δεσμός υδρογόνου) c Ηλεκτρόνιο (m e =91x10-31 kg) κινητικής ενέργειας 05 ev, L=10 pm και U 0 =06 ev d Σώμα μάζας 1 g, ενέργειας 1 mj, L=1 cm και U 0 =2 mj 15