Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης**

ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 23-39 Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης** Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου Πε ρί λη ψη Στο άρ θρο αυ τό πα ρου σιά ζο νται και σχο λιά ζο νται οι νο η τι κοί και οι πρα κτι κοί χει ρι σμοί, τους ο ποί ους α νέ πτυ ξαν μα θη τές και μα θή τριες των πρώ των τά ξε ων του Δη μο τι κού σχο λεί ου κα θώς δια πραγ μα τεύ ο νταν με την ε ρευ νή τρια και την δια με σο λά βη ση του χά ρα κα την Ευ κλείδεια έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής. Όπως δια πι στώ νε ται η κοι νω νι κή γνώ ση για το ρό λο του χά ρα κα, ως πο λι τι σμικά κα θιε ρω μέ νου ερ γα λεί ου χά ρα ξης ευ θειών, κυ ριαρ χεί στη σκέ ψη των υ ποκει μέ νων άλ λο τε ση μα το δο τώ ντας και άλ λο τε α να στέλ λο ντας τη συ γκρό τη ση μιας τυ πι κής, ευ κλεί διας, έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής. Λέ ξεις κλει διά: συ γκρό τη ση εν νοιών, έν νοιες γε ω με τρί ας, κοι νω νι κο πο λι τι σμι κές προ σεγ γίσεις. The formation of an Euclidean concept of a line mediated by the use of straight - edge: Practical and cognitive operations of early elementary school children Abstract In this paper they are presented findings on mental and manual manipulations which were developed by lower primary school children during an activity of drawing lines using a ruler while at the same time negotiating with the researcher the formal concept of a straight line. The main result is that the social knowledge about the ruler as a culturally established tool for drawing straight lines dominated children s thinking supporting or restraining according to the case the formation of a formal Euclidean concept of the straight line. Key words: concept formation, geometry concepts, socio-cultural approaches. * Υποψήφια Διδάκτωρ στην Παιδαγωγική Σχολή του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ** Επίκουρος Καθηγητής στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Αθηνών

24 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης Θε ω ρη τι κό πλαί σιο Η δια με σο λά βη ση των πο λι τι σμι κών ερ γα λεί ων στην αν θρώ πι νη σκέ ψη Μια θε με λιώ δης θέ ση των κοι νω νι κο-ι στο ρι κών προ σεγ γί σε ων της αν θρώ πι νης γνώ σης, οι ο ποί ες εκ κι νούν α πό τις α να λύ σεις του Vygotsky, εί ναι ότι οι νο ητι κές λει τουρ γί ες του αν θρώ που και η συ γκρό τη ση της γνώ σης α ναπτύσ σο νται μέ σα α πό κοι νω νι κά ορ γα νω μέ νες δρα στη ριό τη τες στις ο ποί ες τα πο λι τι σμι κά ερ γα λεί α δια δρα μα τί ζουν έ ναν κρί σι μο ρό λο. Ερ γα λεί α, τα ο ποί α δια με σο λα βούν την αν θρώ πι νη πρα κτι κή στις νο η τι κές λει τουρ γί ες και α ντί στρο φα νο η τι κές λει τουρ γί ες, οι ο ποί ες προ-σχε διά ζουν την αν θρώ πι νη πρα κτι κή, έ χουν α να πτυ χθεί ι στο ρι κά σε κά θε πο λι τι σμό και έ χουν γί νει α να πό σπα στο στοι χεί ο κά θε αν θρώπι νης δρα στη ριό τη τας, λει τουρ γώ ντας ου σια στι κά ως με τα φο ρείς των κοι νω νι κο-πο λι τι σμι κών προ τύ πων και της θεσμο θε τη μέ νης σε μια κοι νω νία γνώ σης στα ά το μα. Στα πο λιτι σμι κά ερ γα λεί α που δια με σο λα βούν την αν θρώ πι νη σκέ ψη πε ριλαμ βά νο νται σύμ φω να με μια δια τύ πω ση του Vygotsky (1981, σ. 137): η γλώσ σα, διά φο ρα συ στή μα τα για α ρίθ μη ση, τε χνι κές μνή μης, αλ γε βρι κά συμ βο λι κά συ στή μα τα, έρ γα τέ χνης, γρα φή, σχή μα τα, δια γράμ μα τα, χάρ τες και μη χα νι κά σχή μα τα. Ό λα τα εί δη των συμ βα τι κών ση μεί ων. Τα πο λι τι σμι κά ερ γα λεί α δο μούν ως δια με σο λα βη τές την αν θρώ πι νη πρα κτική δρα στη ριό τη τα και προ βάλ λο ντας δια φο ρο ποι η μένες νο η τι κές δια δι κα σί ες α να δια μορ φώ νουν ποιο τι κά αυ τή την ί δια την πρα κτι κή δρα στη ριό τη τα. Συ νεπώς τα μέ σα της δια με σο λά βη σης μα ζί με τις νο ητι κές δια δι κα σί ες και τις πρακτι κές δρα στη ριό τη τες δια πλέ κο νται λει τουρ γι κά κα τά την α νά πτυ ξή τους και αλ λη λο δια μορ φώ νο νται σε μια δια λε κτική αλ λη λε ξάρ τη ση. Με α φε τηρί α τη θέ ση αυ τή, ο Zichenko (1985) υ πο στή ρι ξε ό τι μί α πρά ξη διαμε σο λα βη μέ νη α πό ερ γα λεί α πρέ πει να θε ω ρη θεί ως η κα τάλλη λη μο νά δα α νάλυ σης για μί α κοι νω νι κο-ι στο ρι κή α νά λυ ση των αν θρώ πι νων νο η τι κών λει τουργιών, για τί μί α πρά ξη δια με σο λα βη μέ νη α πό ερ γα λεί α και προ σα να το λι σμέ νη σε έ να στό χο, συ μπε ρι λαμ βά νει α πα ραί τη τα και συ μπυ κνώ νει σε μί α ε νό τη τα ό λες τις α μοι βαί α συ σχε τι ζό με νες εν δο-ψυ χο λο γι κές και δια-ψυ χο λο γι κές λειτουρ γί ες ε νός α τό μου. Σύμ φω να με τη θε ώ ρη ση του Vygotsky (1981, σ. 139-140), η συ μπερί λη ψη ε νός ερ γα λεί ου στη δια δι κα σί α της συ μπε ρι φο ράς (α) εισά γει πολ λές νέ ες λει τουρ γί ες που συν δέ ο νται με τη χρή ση του δε δο μέ νου ερ γα λεί ου και τον έ λεγ χό του, (β)κα ταρ γεί και κα θι στά μη α να γκαί ες πολλές φυ σι κές δια δικα σί ες, των ο ποί ων η ερ γα σί α ε κτε λεί ται α πό το ερ γα λεί ο. Αλ λά ζει την πο ρεί α και τα α το μι κά χα ρα κτη ρι στι κά (την έ ντα ση, τη διάρκεια, τη συ νέ χεια κλπ.) ό λων των νο η τι κών δια δι κα σιών που συμ με τέ χουν στη σύν θε ση της ερ γα λεια κής πρά ξης, α ντι κα θι στώ ντας με ρι κές λει τουρ γί ες με άλ λες, (δη λα δή α να δημιουρ γεί και α να διορ γα νώ νει ό λη τη δο μή της συ-

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 25 μπε ρι φο ράς α κρι βώς ό πως ένα τε χνι κό ερ γα λεί ο α να δη μιουρ γεί ό λη τη δο μή της λει τουρ γί ας ε νός ερ γαστη ρί ου. Πα ράλ λη λα, η δια με σο λά βηση της αν θρώ πι νης νο η τι κής συ μπε ρι φο ράς α πό τη χρή ση πο λι τι σμι κών ερ γαλεί ων, ό πως τέ θη κε α πό το Vygotsky πα ρέ χει τη σύνδε ση ή τη γέ φυ ρα α πό τη μια με τα ξύ των συ γκε κρι μένων πρά ξε ων που ε κτε λούνται α πό ά το μα και ο μά δες και των πο λι τι σμι κών, θε σμι κών και ι στο ρι κών πε ριβαλ λό ντων α πό την άλ λη (Wertsch, del Rio & Alvarez 1995, σ. 21) ή α πλού στε ρα του α τό μου και της κοι νω νί ας. Ο δια με σο λα βη τι κός ρό λος των ερ γα λεί ων στη μά θη ση και στην χρή ση των μα θημα τι κών εν νοιών Τα μα θη μα τι κά και ως ε πι στή μη και ως σχο λι κό μά θη μα πε ριλαμ βά νουν έ να με γά λο πλή θος συμ βο λι κών και υ λι κών ερ γα λεί ων δια φό ρων τύπων. Α πό την ο πτι κή της α νά λυ σης μας, ως ερ γα λεί α των μα θη μα τι κών που διαμε σο λα βούν την πρα κτι κή του α τό μου στις νο η τι κές λει τουρ γί ες του και οργα νώ νουν τη μα θη μα τι κή του σκέ ψη μπο ρεί να θε ω ρη θούν, οι θε με λιώ δεις-γε νε σιουρ γές έννοιες των μα θη μα τι κών, τα βα σικά θε ω ρή μα τα (π.χ. πυ θα γό ρειο θε ώ ρη μα), οι μέ θο δοι (π.χ. αλ γο ρίθ μοι πρά ξε ων, μέ θο δοι α πό δει ξης), τα συ στή μα τα συμ βολι κών πα ρα στά σε ων (δε κα δι κό σύ στημα α ρίθ μη σης, σύ στη μα συ ντε ταγ μέ νων, δια νύ σμα τα), τα υ λι κά όρ γα να (χά ρα κας, δια βή της, γνώ μων, υ πο λο γι στές). Στις δρα στη ριό τη τες του σχο λι κού πε ρι βάλλο ντος η χρή ση των ερ γα λεί ων αυ τών ο ριο θε τεί ται και προσ διο ρί ζε ται α πό τα μα θη μα τι κά ως ε πι στη μο νι κή πρα κτική και τη θέ ση που κα τέ χουν στη συ γκε κρι μέ νη κοι νω νί α και πα ράλ λη λα α πό το συ γκε κρι μέ νο σχο λι κό πλαί σιο, αφού α πο τε λούν α ντι κεί με νο μά θη σης και χρή σης στην ε πί λυ ση προ βλη μά των. Οι μα θη τές συμ με τέ χουν ταυ τό χρο να και σε μια μα θη σια κή δια δι κα σί α της μα θη μα τι κής δρα στη ριό τη τας αλ λά και στον κα τάλ λη λο χει ρι σμό των μα θη μα τι κών ερ γα λεί ων. Το Πυ θα γό ρειο Θε ώ ρη μα, για πα ρά δειγ μα, μπο ρεί να θε ω ρη θεί ως έ να ση μα ντι κό α πο τέ λε σμα-συ μπέρα σμα μί ας ε ρευ νη τι κής δρα στη ριό τη τας ή ως έ να ερ γα λεί ο κα τάλ λη λο για την ε πίλυ ση προ βλη μά των που α παι τούν το συν δυα σμό γε ω με τρι κών και α ριθ μη τικών δε δο μέ νων. Έ νας ση μα ντι κός α ριθ μός ε μπει ρι κών με λε τών διε ρευ νά το δια με σο λα βη τικό ρό λο των πο λι τι σμι κών ερ γα λεί ων στη μά θη ση των μα θη μα τι κών και στη χρήση τους για την ε πί λυ ση προ βλη μά των, οι ο ποί ες ό πως ε πι ση μαί νει μί α ε πισκό πη ση τους (Abreu 2000) μπο ρεί θε μα το λο γικά να δια κρι θούν σε τέσ σε ρις κα τη γο ρίες. Έ ρευ νες της υ λι κής δο μής ή/και της λο γι κής ορ γά νω σης των διά φο ρων μαθη μα τι κών ερ γα λεί ων, έ ρευ νες της επί δρα σης συ γκε κρι μέ νων ερ γα λεί ων στον πε ριο ρι σμό ή στην ε μπλου τι σμό των δυ να το τή των ε κτέ λε σης ε νός μα θη μα τι κού έρ γου, έ ρευ νες για τους πε ριορι σμούς στη χρή ση συ γκε κρι μέ νων ερ γα λεί ων, οι ο ποί οι ε πι βάλ λο νται α πό συγκε κρι μέ νες κοι νω νι κές πρα κτι κές και έ ρευ νες για

26 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης τη χρή ση «πα λιών» ερ γα λεί ων σε «νέ α» πε ρι βάλ λο ντα, ό πως των υ πο λο γι στών. Τα στοι χεί α που πα ρου σιά ζο νται στην πα ρού σα ει σή γη ση προέρ χο νται α πό μια ευ ρύ τε ρη έ ρευ να για την υ λι κή δο μή διά φο ρων ερ γα λεί ων και την ορ γά νω ση της μα θη μα τι κής δρα στη ριό τη τας στην ο ποί α χρη σι μο ποιού νται. Πιο συ γκε κριμέ να διε ρευ νά ται η ε πί δρα ση των χα ρα κτη ρι στι κών συγκε κρι μέ νων ερ γα λεί ων στις στρα τη γι κές που χρη σι μο ποιεί έ να πρό σω πο για να σκε φτεί και να λύ σει έ να μα θη μα τι κό πρό βλη μα (Chassapis 1999). Η κα τα νό η ση της δο μής των διά φο ρων ερ γα λεί ων και της ορ γάνω σης της μαθη μα τι κής δρα στη ριό τη τας την ο ποί α υ πο βάλ λουν εί ναι έ να ερευ νη τι κό αί τη μα που αι τιο λο γεί ται α πό τη θε ω ρη τι κή θέ ση ό τι η δο μή και το πε ριε χό με νο της μαθη μα τι κής σκέ ψης δεν βρί σκε ται στον α το μι κού νου στον ο ποί ο σε κά θε συ γκεκρι μέ νη πε ρί πτω ση α να πτύσ σε ται, αλ λά στους τρό πους με τους ο ποί ους έ χουν ε πι νο η θεί συ γκε κρι μέ να μα θη μα τι κά ερ γα λεί α και έ χει ορ γα νω θεί κοι νω νι κοπο λι τι σμι κά η χρή ση τους. Τα χα ρα κτη ρι στι κά συγκε κρι μέ νων μα θη μα τι κών εργα λεί ων, η υ λι κή δο μή και η λο γι κή ορ γά νω ση αυτών των χα ρα κτη ρι στι κών, οι σχέ σεις με τα ξύ δια φο ρε τι κών μα θη μα τι κών εργα λεί ων, κα θώς και η ε πί δρα ση των χα ρα κτη ρι στι κών συ γκε κρι μέ νων ερ γα λεί ων στις στρα τη γι κές που χρη σιμο ποιεί έ να πρό σω πο για να σκε φτεί και να λύ σει έ να μα θη μα τι κό πρό βλη μα α πο τε λούν τα πιο χα ρα κτη ρι στι κά ε ρω τή ματα αυ τής της ε ρευ νη τι κής προ σπάθειας. Αυ θόρ μη τες και ε πι στη μο νι κές έν νοιες της ευ θεί ας γραμμής Στην θε ω ρη τι κή ο πτι κή που προ α να φέρ θη κε, ό λα τα εί δη των κα θη με ρι νών εννοιών, οι ο ποί ες δεν α να πτύσ σο νται κα τά τη δια δι κα σί α οι κειο ποί η σης ε νός συ στή μα τος γνώ σε ων ό πως αυ τές με τα δί δο νται στο παι δί από την εκ παί δευ ση, αλ λά δια μορ φώ νο νται κα τά τη δια δι κα σί α της πρα κτι κής του δρα στη ριό τη τας και της ά με σης ε πα φής με τους αν θρώ πους του πε ρι βάλ λοντός του α πο κα λούνται αυ θόρ μη τες έν νοιες. Α ντί θε τα, ε πι στη μο νι κές θε ωρού νται οι έν νοιες οι ο ποί ες συ γκρο τού νται με τη δια με σο λά βη ση συμ βο λικών ερ γα λεί ων, πρω τί στως της γλώσ σας και τε χνι κών ερ γα λεί ων, δια νύ ο ντας κα τά τη συ γκρό τη ση τους μια ε ξε λι κτι κή πο ρεί α.. Ό πως υ πο στη ρί χτη κε α πό το Vygotsky (1988) (α) οι ε πι στη μο νι κές έν νοιες του παι διού δεν προ σλαμ βά νο νται και δε μα θαί νο νται, δεν κα τα γρά φο νται α πό τη μνή μη, αλ λά γεν νιού νται και δια μορ φώ νο νται με ε ξαι ρε τι κή έ ντα ση ό λης της δρα στη ριό τη τας της σκέψης του (σ. 226), (β) οι ε πι στη μο νι κές έν νοιες του παιδιού κα τά την πο ρεί α της έ ρευ νας δεν φα νε ρώ νουν μό νο χα ρα κτη ρι στικά α ντίθε τα σ αυ τά των αυ θόρ μη των εν νοιών, αλ λά και κοι νά με τού τες (σ. 227) και (γ) οι ε πι στη μο νι κές έν νοιες α νώ τα του τύ που δεν μπο ρούν να δη μιουρ γη θούν αλ λιώς πα ρά α πό τους ή δη υ παρ κτούς κα τώ τε ρους και στοι χειω δέ στε ρους τύπους της γε νί κευ σης αλ λά με κα νέ να τρό πο δεν ει σά γο νται στη συ νεί δη ση του παι διού απ έ ξω (σ. 228).

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 27 Δια χω ρι στι κή γραμ μή, ε πο μέ νως, α νά με σα στην ε ξέ λι ξη των επι στη μο νι κών και των αυ θόρ μη των εν νοιών δεν υ πάρ χει. Κι νού νται διαρ κώς ε ξε λι κτι κά και βρί σκο νται σε μια κα τά στα ση συ νε χούς αλ λη λε πί δρα σης. Είναι άρ ρη κτα συν δεδε μέ νες με τα ξύ τους, α φού ε νώ η ω ρί μαν ση των αυ θόρ μη των εν νοιών α πο τε λεί νο η τι κό ε φαλ τή ριο για την ε ξέ λι ξη των ε πι στη μο νι κών εννοιών, οι ε πι στη μο νικές έν νοιες δεν μπο ρεί πα ρά να ε πη ρε ά ζουν και να προ κα λούν δια φο ρο ποι ήσεις στη δο μή των προ γε νέ στε ρα δια μορ φω μέ νων αυ θόρμη των εν νοιών. Για την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής, η ο ποί α ε δώ μας εν δια φέ ρει διε ρευ νούμε τον με τα σχη μα τι σμό των αυ θόρ μη των εν νοιών της στην ευ κλεί δεια έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής, η ο ποί α α πο τε λεί μια μα θη μα τι κά α πο δε κτή έν νοια. Ό πως α να φέ ρε ται α πό τους Ascher & Ascher (1986), η αυ θόρ μη τη έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής συ γκρο τή θη κε στο Δυ τι κό πο λι τι σμό με α να φο ρά στη φύ ση, στο Θε ό, στην ε πί τευ ξη στό χων και στην ε ξέ λι ξη του αν θρώ που, ε νώ πα ράλ ληλα εί ναι μια έν νοια εν στι κτω δώς ρι ζω μέ νη στην κι ναι σθη τι κή των αν θρώ πων και στις ο πτι κές τους ει κό νες. Το σώ μα μας αι σθά νε ται το βά δι σμα του σε ευθεί α και τα μά τια μας βλέ πουν τους άλ λους να περ πα τούν σε πο ρεί α ευ θεί ας γραμ μής. Η αλ λη λε πί δρα ση των δύ ο αυ τών αι σθή σε ων μας δί νει την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής, ως μιας στα θε ράς η ο ποί α μας ε πι τρέ πει να την χει ρι στού με νο ε ρά σαν να ή ταν έ να πραγ μα τι κό α ντι κεί με νο που θα το χει ρι ζό μα σταν με τα χέρια μας. Έ να παι δί, λοι πόν, με γα λώ νο ντας ε σω τε ρι κεύ ει την έν νοια της ευ θείας γραμ μής σε τέ τοιο βαθ μό που να θε ω ρεί ό τι πρό κει ται για έ να αιώ νιο νο ητι κό α ντι κεί με νο. Μια αιώ νια α λή θεια η ο ποί α υ πήρ χε πά ντο τε και κά θε φορά α να κα λεί ται στην αν θρώ πι νη νό η ση ή αν το ό νο μά του δεν εί ναι Πλάτω νας, αλλά Α ρι στο τέ λης, φα ντά ζε ται ό τι η ευ θεί α γραμ μή εί ναι μια πτυ χή της φύ σης, δη λα δή μί α α φαί ρε ση που έ χει πα ρα τη ρή σει στον κό σμο των φυ σι κών α ντικει μέ νων. Σε μια α πό τις ε λά χι στες έ ρευ νες οι ο ποί ες ά με σα ή έμ με σα ανα φέ ρο νται στη συ γκρό τη ση των αυ θόρ μη των και στην οι κειο ποί η ση των ε πιστη μο νι κών εν νοιών της ευ θεί ας γραμ μής, η Prokova (2005) διε ρεύ νη σε τη σχέ ση α νά μεσα στην ι στο ρι κή ε ξέ λι ξη της ε πι στη μο νι κής έν νοιας του ση μεί ου, της ευ θεί ας γραμμής και της με τα ξύ τους σχέ σης (φυ λο γέ νε ση) και την α νά πτυ ξη των εννοιών αυ τών σε παι διά η λι κί ας 9-18 χρο νών (ο ντο γέ νε ση). Υ πο στη ρί ζει συ μπερα σματι κά, ό τι σε γε νι κές γραμ μές, οι μα θη τές φαί νε ται να συ γκρο τούν αυ θόρμη τες έν νοιες του ση μεί ου, της ευ θεί ας και της με τα ξύ τους σχέ σης πα ρόμοιες με τις ι δέ ες που δια τυ πώ θη καν α πό τους μα θη μα τι κούς δια φό ρων ε πο χών κα τά την ι στο ρι κή ε ξέ λι ξη των εν νοιών αυ τών. Στην ευ κλεί δεια γε ω με τρί α η έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής θε ω ρεί ται αρ χική έν νοια, ό πως και η έν νοια του ση μεί ου και του ε πι πέ δου. Στα «Στοι χεί α» του Ευ κλεί δη (2001) ο ρί ζε ται ό τι «ευ θεί α γραμ μή εί ναι ε κεί νη η γραμ μή η ο ποί α κείται εξ ί σου προς τα ση μεί α της» (ο ρι σμός 4), ε νώ «γραμ μή εί ναι αυ τό που έ χει

28 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης μή κος χω ρίς πλά τος» (ο ρι σμός 2) και «ση μεί ο εί ναι κά θε τι που δεν έ χει μέ ρη» (διαστά σεις) (ο ρι σμός 1). Σύμ φω να, ε πί σης, με τα αι τή μα τα της ευ κλεί δειας γεω μετρί ας α πό έ να δο θέν ση μεί ο του χώ ρου σε έ να άλ λο ση μεί ο εί ναι δυ να τόν να χαρα χθεί μια μο να δι κή ευ θεί α γραμ μή (αί τη μα 1), η ο ποί α μπο ρεί να προ ε κταθεί α πε ριό ρι στα και α πό τα δύ ο μέ ρη, που ο ρί ζουν τα δύ ο ση μεί α της (αί τη μα 2). Η ευ κλεί δεια ευ θεί α γραμ μή, ε πο μέ νως, εί ναι μί α γραμ μή χω ρίς αρ χή και τέ λος, η ο ποί α χα ρά ζε ται με τα ξύ δύ ο ση μεί ων. Η μέ θο δος της έ ρευ νας Ε πι διώ κο ντας να διε ρευ νη θεί η ε πί δρα ση της δια με σο λά βησης του χά ρα κα, στη συ γκρό τη ση της μα θη μα τι κής έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής πα ρου σιά ζο νται στην πα ρού σα ει σή γη ση δε δο μέ να μιας ευ ρύ τε ρης έ ρευ νας, τα ο ποί α α φο ρούν στους πρα κτι κούς και νο η τι κούς χει ρι σμούς που α να πτύσσουν μα θη τές και μαθή τριες των πρώ των τά ξε ων του Δη μο τι κού Σχο λεί ου κατά τον χει ρι σμό του χά ρα κα για την χά ρα ξη ευ θειών. Τα ε μπει ρι κά δε δο μέ να της έ ρευ νας προ έρ χο νται από έ να πεί ρα μα, το ο ποί ο πε ρι λάμ βα νε δύ ο φά σεις. Στην πρώ τη φά ση του πει ράμα τος, η ε ρευ νή τρια ζήτη σε α πό τα υ πο κεί με να της έ ρευ νας να χα ρά ξουν με μολύ βι μια ευ θεί α γραμμή σε έ να χαρ τί, ε νώ στη δεύ τε ρη να κό ψουν με ψα λί δι ένα χαρ τί σε ευ θεί α γραμ μή. Στην πα ρού σα ει σή γη ση πα ρου σιά ζο νται και σχο λιά ζο νται δε δο μέ να α πό την πρώ τη φά ση του πει ρά μα τος. Στη διά θε ση των υ ποκει μέ νων της έ ρευνας υ πήρ χαν έ νας χά ρα κας, έ να ψα λί δι, μο λύ βια και χαρ τιά, κα θώς ε πί σης και α ντι κεί με να κα θη με ρι νής χρή σης, ό πως σχοι νά κια, ξύ λι νες ρά βδοι και άλ λα που μπο ρεί να χρη σι μο ποι η θούν ως βο η θη τι κά μέ σα για τη χά ρα ξη ευ θειών. Το πεί ρα μα διε νερ γή θη κε τον Α πρί λιο του σχο λι κού έ τους 2003-2004 σε Δη μο τι κό σχο λεί ο της Θεσ σα λο νί κης και συμ με τεί χαν σ αυ τό μα θητές και μα θή τριες της πρώ της και της δεύ τε ρης τά ξης. Για την κα τα γρα φή των δε δο μέ νων του πει ράμα τος χρη σι μο ποι ή θη κε α πό την ε ρευ νή τρια μα γνη τό φωνο και τη ρή θη καν α ναλυ τι κές ση μειώ σεις. Α νά λυ ση των ε μπει ρι κών δε δο μέ νων Α πό την α νά λυ ση των ε μπει ρι κών δε δο μέ νων της έ ρευ νας διαπι στώ νο νται τρεις δια φο ρε τι κού τύ που νο η τι κοί χει ρι σμοί των παι διών κα τά τη δρα στη ριό τη τα χάρα ξης ευ θειών με τη χρή ση του χά ρα κα, οι ο ποί οι περι γρά φο νται με εν δει κτι κά πα ρα δείγ μα τα στη συ νέ χεια. (i) Η κυ ριαρ χί α της πρα κτι κής δρα στη ριό τη τας στην χά ρα ξη της ευ θεί ας γραμ μής Ο πρώ τος τύ πος πε ρι λαμ βάνει νο η τι κούς χει ρι σμούς ερ γα λεια κού χα ρα κτή ρα, οι ο ποί οι κα τευ θύ νουν τις πρά ξεις των μα θη τών και μα θη τριών, κυ ρί ως Α τά

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 29 ξης του Δη μο τι κού σχολεί ου. Στις ε νέρ γειές των παι διών αυ τών ε πι κρα τεί η τάση της πρα κτι κής δρα στη ριό τη τας, η ο ποί α αι τιο λο γεί ται α πό την κοι νω νι κή τους γνώ ση για το λει τουρ γι κό ρό λο του χά ρα κα στη χά ρα ξη της ευ θεί ας γραμμής, με α ντί στοι χα αυ θόρ μη τους α στα θείς εν νοιο λο γι κούς ο ρι σμούς της ευ θεί ας γραμ μής. Στο πα ρά δειγ μα που α κολου θεί ο μα θη τής δεν ο ρί ζει την γραμ μή ως ευ θεί α ε πει δή εί ναι κα τα σκευα σμέ νη με χά ρα κα, αλ λά ε πει δή εί ναι χα ραγ μέ νη σε ο ριζό ντια διεύ θυν ση. Συγ χέει και ταυ τί ζει τη με ρι κή έν νοια της ο ρι ζό ντιας ευ θεί ας γραμ μής με την γε νι κή έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής και δεν έ χει κα τα νο ή σει το ρό λο του χάρα κα στην κα τα σκευ ή και την α να πα ρά στα ση της ευ θεί ας γραμ μής. Α πλά ε πι στρα τεύ ει την κοι νω νι κή του γνώ ση ό τι ο χά ρα κας ως ερ γα λεί ο χρη σιμο ποιεί ται για να χα ρά ζου με ευ θεί ες γραμ μές. Ε: Βαγ γέ λη θέ λω να μου φτιά ξεις μια ευ θεί α. Μ: γραμ μή; Ε: Ναι. Τι θα χρεια στείς; Μ:Τον χά ρα κα και το μο λύβι. Ο μα θη τής χρη σι μο ποιώ ντας το χά ρα κα χα ρά ζει τη γραμ μή (α) (ει κό να 1) Ει κό να 1 Ε: Βαγ γέ λη αυ τή που έ φτια ξες με το χά ρα κα εί ναι μια ευ θεί α γραμ μή, θα μπο ρού σες τώ ρα να φτιά ξεις και μια ευ θεί α γραμ μή χω ρίς το χά ρα κα; Ο μα θη τής χα ρά ζει με το χέρι τη γραμ μή (β) (ει κό να 1) Ε: Εί ναι αυ τή η γραμ μή ευ θεί α; Μ: Ό χι Ε: Για τί δεν εί ναι ευ θεί α; Μ: Λυ γί ζει α πό ε κεί.(και δεί χνει με το δά χτυ λό του την α νο δική πο ρεί α της γραμ μής εν νο ώ ντας ό τι δεν εί ναι ο ρι ζό ντια) Ε: Δη λα δή η ευ θεί α γραμ μή πως εί ναι; Μ: Ί σια ό πως αυ τή. Ε πι κα λού με νος την ι δέ α του για την ευ θεί α γραμ μή υ πο δει κνύ ει μια ο ρι ζό ντια

30 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης γραμ μή. Ε: Αν ή θε λες α πο δεί ξεις σε κά ποιον ό τι αυ τή η γραμ μή (β) δεν εί ναι ευ θεί α, τι θα έ κα νες; Πως θα το έδει χνες; Μ:.. Ε: Αν έ βα ζες το χά ρα κα δί πλα σ αυ τή τη γραμ μή (β), τι πα ρα τη ρείς; Μ:Ό τι εί ναι στρα βή, λυγί ζει. Εν νο εί ό τι η γραμ μή που χά ρα ξε δεν εί ναι ευ θεί α και δεν εί ναι ο ρι ζό ντια. Δεν κά νει, δη λα δή, διά κριση του χα ρα κτη ρι στι κού, το ο ποί ο ο ρί ζει την ευ θεί α γραμ μή. Οι μα θη τές και οι μα θή τριες της κα τη γο ρί ας αυ τής χρη σι μο ποιούν το χά ρακα για να χα ρά ξουν μια ευ θεί α γραμ μή, αλ λά στη συ νέ χεια α δυ να τούν να α ντιστρέψουν νο η τι κά τον πρα κτι κό χει ρι σμό τους και να χρη σι μο ποι ή σουν το χάρα κα για να ε πι χει ρη μα το λο γή σουν κατ αρ χήν και να α πο δεί ξουν στη συ νέχεια ό τι μί α γραμ μή δεν εί ναι ευ θεί α ό ταν δεν ε φαρ μό ζει σ αυ τήν ο χά ρακας. Α δυ νατούν, δη λα δή, να δια κρί νουν τα χα ρα κτη ρι στι κά γνω ρί σμα τα της ευθεί ας γραμμής χω ρίς την κα θο δή γη ση της ε ρευ νή τριας. Σύμ φω να με ό λες τις εν δεί ξεις, δεν ε ντο πί ζε ται κα νέ να στοι χεί ο συ γκρό τη σης μιας έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής και δεν δια κρί νε ται στην σκέ ψη των παι διών μια, έ στω υπο τυ πώ δης, συ γκρό τηση ε νός εν νοιο λο γι κού συ στή μα τος ε ντός του ο ποί ου νοη μα το δο τεί ται μια ευκλεί δεια έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής. Ό μως, οι μα θη τές και οι μα θή τριες της κα τη γο ρί ας αυ τής ε νώ δεν κα τά φε ραν στην πρώ τη φάση του πει ρά μα τος να διακρί νουν τα χα ρα κτη ρι στι κά της ευ θεί ας γραμ μής, στη συ νέ χεια υ πο βο η θή θη καν α πό τη χρή ση του χά ρα κα και τον προ σα να το λι σμένο διά λο γο με την ε ρευ νήτρια να ε πι ση μά νουν χα ρα κτη ρι στι κά γνω ρί σμα τα της ευ θεί ας γραμ μής. Ε: Θέ λω τώ ρα Βαγ γέ λη να μου φτιά ξεις μια ευ θεί α γραμ μή αλ λά να εί ναι έ τσι (η ε ρευ νήτρια δεί χνει μια λο ξή διεύ θυν ση). Ο μα θη τής χρη σι μο ποιώ ντας το χά ρα κα χα ρά ζει μια ευ θεί α γραμ μή (ει κό να 2) Ει κό να 2

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 31 Ε: Εί ναι ευ θεί α αυ τή η γραμμή; Μ: Εί ναι λο ξή. Ε: Μας πει ρά ζει που εί ναι λο ξή; Μ: Ναι Ε: Και τι μας πει ρά ζει, τι εί πα με ε μείς, μια γραμ μή πό τε εί ναι ί σια; Μ: Ό ταν δεν λυ γί ζει. Η έκ φρα ση «δεν λυ γί ζει» α ποκτά ε δώ δια φο ρε τι κή ση μα σί α α πό ό τι εί χε αρ χι κά (πλά για ευ θεί α) και πε ριορί ζε ται τώ ρα στην έν νοια της «ευ θειό τη τας», δη λα δή στη στα θε ρό τη τα μιας διεύ θυν σης της γραμ μής (Πα τρώ νης 2001) Ε: Αυ τή λυ γί ζει; Αν βά λου με το χά ρα κα τι πα ρα τη ρού με; Με τη βο ή θεια του χά ρα κα το παι δί κά νει έ να νο η τι κό άλ μα και συ γκρο τώντας την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής α πα ντά: Μ: Εί ναι ευ θεί α. Ο Βαγ γέλης κα τα φέρ νει με τη βο ή θεια του χά ρα κα να πε τύ χει την α φαί ρε ση και τη γενί κευ ση των χα ρα κτη ρι στι κών της έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής και να κα τανο ή σει ε πι πλέ ον ό τι η έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής εί ναι α νε ξάρ τη τη α πό την θέ ση της στο ε πί πε δο. Με τον ό ρο γε νί κευ ση στο θε ω ρη τι κό πρό τυ πο του Vygotsky εν νο ού με έ να σχή μα ε μπλου τι σμού της πραγ μα τι κό τη τας με τους πολλα πλούς συ σχε τι σμούς μιας έν νοιας με μί α ή πε ρισ σό τε ρες άλ λες έν νοιες. Σε άλ λους μα θη τές και μα θή τριες της ί διας ο μά δας δεν πα ρα τη ρή θη κε πα ρόμοια εν νοιο λο γι κή αλ λα γή. Διέ κρι ναν μεν το χα ρα κτη ρι στι κό της ευ θειό τη τας με τη δια με σο λά βη ση του χά ρα κα, δεν κα τά φε ραν ό μως να α πο συν δέ σουν την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής α πό την ο ρι ζό ντια θέ ση της στο ε πί πε δο. Ε: Δη λα δή αν τη γραμ μή την έ γρα φες με το χά ρα κα έ τσι (η ε ρευ νή τρια το ποθε τεί το χάρα κα λο ξά ) τό τε η γραμ μή αυ τή εί ναι ευ θεί α; Μ: Ό χι Ε: Για φτιά ξε μου Μα ρί α σ αυ τό το χαρ τί μια ευ θεί α γραμ μή. Μ: Χω ρίς χά ρα κα; Ε: Θες ο πωσ δή πο τε χά ρα κα ε; Μ: Ναι. Ε: Για τί ε πι λέ γεις να βά λεις το χά ρα κα έ τσι (ο ρι ζό ντια) και ό χι αλ λιώς; Μ: Δη λα δή πως; Δ:Να έ τσι (και προ τεί νει η δα σκά λα την λο ξή θέ ση του χά ρα κα). Μ:Για τί έ τσι εί ναι ευ θεί α, ε νώ έ τσι εί ναι λο ξά. Η μα θή τρια δια τη ρεί α ναλ λοί ω τη την ι δέ α της ό τι δεν εί ναι δυ να τόν μί α ευ θεί α γραμ μή να εί ναι πλά για και α δυ να τεί, ε πο μέ νως, να προ χω ρή σει σε μια γε νι κή έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής.

32 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης (ii) Η πρα κτι κή δρα στη ριό τη τα θε ω ρητι κο ποιεί ται α πό τον ρό λο του χά ρα κα στην χά ρα ξη της ευ θεί ας γραμ μής Στους νο η τι κούς χει ρι σμούς των μα θη τών και μα θη τριών της κα τη γο ρί ας αυ τής, κυ ρί ως Β τά ξης του Δη μο τι κού σχο λεί ου, εί ναι εμ φα νής η κυ ριαρχί α της κοινω νι κής γνώ σης τους για το λει τουρ γι κό ρό λο του χά ρα κα, ό χι μόνο στη χά ρα ξη ευ θειών, αλ λά και στην υ πο στή ρι ξη των αυ θόρ μη των εν νοιών τους ή γε νι κό τε ρα των ι δε ών τους για την ευ θεί α γραμ μή. Α πό την θε ω ρη τι κή οπτι κή μας, η κα τάστα ση αυ τή θε ω ρεί ται ως η έ ναρ ξη μιας δια δι κα σί ας αλ ληλε πί δρα σης με τα ξύ των αυ θόρ μη των εν νοιών και της ε πι στη μο νι κής έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής κα τά την διάρ κεια της πρα κτι κής δρα στη ριό τη τας των παι διών, η ο ποί α α πο τελεί και έ να πρώ το στά διο στη συ γκρό τη ση μιας τυ πικής-ευ κλεί δειας έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής. Ε Μα ρί α θέ λω να φτιά ξεις μια ευ θεί α γραμ μή, τι θα χρη σι μο ποι ή σεις; Μ: Έ να μο λύ βι και έ να χαρ τί Ει κό να 3 Χα ρά ζει μια γραμ μή με το χέ ρι, αλ λά δεν εί ναι ι κα νο ποι η μένη και σχο λιά ζει: Μ:Μάλ λον χρεια ζό μουν και έ ναν χά ρα κα. Ε: Πο λύ ω ραί α, για τί λες ό τι χρεια ζό σουν χά ρα κα; Μ:Για τί με ρι κές φο ρές την ευ θεί α την κά νω στρα βά Ε:Δη λα δή τι εν νο είς; Μ: Δεν την κά νω α κρι βώς ί σια. Ε: Και τι έ χει αυ τή η ευ θεί α, δη λα δή, και δεν εί ναι α κρι βώς ί σια; Μ:Ε δώ πέ ρα εί ναι λί γο κυ μα τι στό.

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 33 Ε φαρ μό ζει το χά ρα κα στη γραμ μή που χά ρα ξε για να δεί ξει ότι δεν εί ναι ευθεί α. Στην πρά ξη αυ τή δια κρί νου με στοι χεί α α να λυ τι κής σκέψης, σκέ ψης δηλα δή η ο ποί α συ σχε τί ζει τα ε πι μέ ρους συ στα τι κά στοι χεί α μιας έν νοιας με τα ξύ τους. Ε: Δη λα δή ε μείς για να κά νου με μια ευ θεί α τι χρεια ζό μα στε; Μ: Χά ρα κα Οι μα θη τές και οι μα θή τριες της κα τη γο ρί ας αυ τής, αν και ανα γνω ρί ζουν τον πο λι τι σμι κά κα θιε ρω μέ νο ρό λο του χά ρα κα, ως ερ γα λεί ου χάρα ξης ευ θειών, προ τι μούν να α πο τυ πώ σουν τις ι δέ ες τους για την ευ θεί α γραμ μή χω ρίς α να φορές στη χρή ση του χά ρα κα και αρ χι κά κι νού νται έ ξω α πό ένα σύ στη μα εν νοιών. Ό πως υ πο στη ρί ζουν οι Piaget και Inhelder (1956, p.156) η δια φο ρά α νά με σα στο να α να γνωρί ζουν τα παι διά την ει κό να της ευ θεί ας γραμ μής και στο να χα ρά ζουν ευ θείες γραμ μές εί ναι ου σια στι κή και εν δει κτι κή μιας α συ στη μα τοποί η της σκέψης. Στο πεί ρα μά που ε κτί θε ται ε δώ πα ρα τη ρού με ό τι στα δια κά ο χά ρα κας ως ερ γα λεί ο χά ρα ξης ευ θειών βο η θά τα παι διά να συ στη μα το ποι ήσουν την σκέ ψη τους και να ει σά γουν στους συλ λο γι σμούς τους έ να συ να φές εν νοιο λο γι κό σύ στη μα. Κα τά τον Vygotsky (1988, σ. 258) «το σύ στη μα και η συ νει δη τό τη τα που συν δέε ται μ αυ τό δεν εισά γε ται α πό τα έ ξω στη σφαί ρα των παι δι κών εν νοιών α πω θώντας τον ι διό μορφο τρό πο του παι διού να σχη μα τί ζει και να χρη σι μο ποιεί έν νοιες αλ λά ό τι η συ νει δη τό τη τα προ ϋ πο θέ τει ή δη την ύ παρ ξη σχε τι κά πλού σιων και ώ ρι μων παι δι κών εν νοιών και ό τι το α να πτυσ σό με νο σύ στη μα στην πε ριο χή των α ναπτυσ σό με νων εν νοιών δο μι κά με τα φέ ρε ται και στην πε ριο χή των κα θη με ρινών εν νοιών, ό που τις με τα σχη μα τί ζει και με τα βάλ λει την ε σω τε ρι κή υ φή τους κα τά κά ποιο τρό πο α πό τα πά νω». Αυ τή η αλ λη λε ξαρ τώ με νη σχέση ε πι βο λής και υ πο βο λής των αυ θόρ μη των και των ε πι στη μο νι κών εν νοιών, απορ ρέ ει α πό την χα ρα κτη ρι στι κή σχέ ση που α να πτύσ σε ται α νά με σα σε έ να αντι κεί με νο και στην ε πι στη μο νι κή του έν νοια. Η σχέ ση αυ τή στη ρί ζε ται στο γε γο νός ό τι μια ε πι στη μο νι κή έν νοια με τα δί δε ται μέ σω μιας άλ λης έν νοιας και συ νε πώς πε ριέχει ταυ τό χρο να με την σχέ ση της προς το α ντι κεί με νο και την σχέ ση της με μιαν άλ λη έν νοια, πε ριέ χει δη λα δή τα πρώ τα στοι χεί α ενός εν νοιο λο γι κού συ στή ματος. Κά ποιοι μα θη τές και μα θή τριες της κα τη γο ρί ας αυ τής, χρη σι μο ποιώ ντας τον χά ρα κα προ βάλ λουν στοι χεί α α να λυ τι κής σκέ ψης κα θώς ε πι ση μαί νουν και γενι κεύ ουν χα ρα κτη ρι στι κά της ευ θεί ας γραμ μής. Ε:Αν βά λου με το χά ρα κα έ τσι, να στρί βει λί γο ο χά ρα κας και μου φτιάξεις μια γραμ μή έ τσι «στριμ μέ νη»; Η ε ρευ νή τρια το πο θε τεί τον χά ρα κα πλά για στο χαρ τί. Μ: (γέ λιο) Θα βγει ό μως ί σια. Ε: (δεί χνο ντας μια πλά για γραμ μή) Αυ τή εί ναι στριμ μέ νη γραμ μή ή ί σια;

34 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης Μ: Ί σια. Η ε ρευ νή τρια προ βάλ λο ντας «ε πι χει ρή μα τα» προ σπα θεί να αμ φι σβη τή σει την ι δέ α του μα θη τή για την έννοια της ευ θεί ας γραμ μής. Ε: Ί σια γραμ μή εί ναι; Α φού γέρ νει, δεν την βλέ πεις ό τι γέρ νει; Πως εί ναι ί σια; Ο μα θη τής παίρ νει το χά ρα κα, τον ε φαρ μό ζει πά νω στην γραμ μή. Μ: Ο ρί στε εί ναι ί σια. Άλ λοι μα θη τές και μα θή τριες, ε νώ κά νουν διά κρι ση των χα ρακτη ρι στι κών της ευ θεί ας γραμ μής με τη βο ή θεια του χά ρα κα, συ νε χί ζουν να ι σχυ ρί ζο νται ό τι μια γραμ μή κα τα σκευα σμέ νη με χά ρα κα σε πλά για θέ ση δεν εί ναι ευ θεί α γραμ μή. Ο χά ρα κας και η διά κρι ση του χα ρα κτη ρι στι κού της «ευ θειό τη τας» δεν αρ κούν για να υ πο στη ρί ξουν τη συ γκρό τη ση μιας τυ πι κής έννοιας της ευ θεί ας γραμμής. Ε: Αν βά λου με το χά ρα κα έ τσι (βά ζει η ε ρευ νή τρια το χά ρα κα δια γώ νια στο χαρ τί) μπο ρού με να φτιά ξου με μια ευ θεί α γραμ μή; Μ: Ό χι Ε: Φτιά ξε την πρώ τα και με τά μου α πα ντάς. Φτιά ξε μί α γραμ μή έ τσι (η ε ρευ νή τρια προ τεί νει την πλά για θέ ση του χά ρα κα στο χαρ τί), εί ναι αυ τή η γραμ μή μας ευ θεί α; Μ: Ναι γέρ νει λί γο, για τί.ο χά ρα κας δεν ή ταν ευ θεί ος έ τσι (δεί χνει την ο ριζό ντια θέση του χά ρα κα). Ε: Δη λα δή αυ τή η λο ξή γραμ μή δεν εί ναι ευ θεί α λες, ε; Μ: Ό χι Ε: Προ η γου μέ νως ό μως τι εί πα με ό τι εί ναι ευ θεί α γραμ μή; Μ: Εί πα με ό τι ευ θεί α εί ναι η γραμ μή που δεν έ χει ζικ-ζακ. Ε: Αυ τή η γραμ μή έ χει ζικ-ζακ; (δεί χνει την πλά για γραμ μή που κα τα σκευάστη κε με το χά ρα κα) Μ: Ό χι. Ε: Εί ναι ευ θεί α; Μ: Ό χι Ε: Ε πει δή γέρ νει; Μ: Ναι. Στα παι διά αυ τά, που η α φε τη ρί α των νο η τι κών τους λει τουρ γιών α πορ ρέ ει α πό την κοι νω νι κή τους γνώ ση για το λει τουρ γι κό χαρα κτή ρα του χά ρα κα φαί νε ται να εί ναι βα θιά ρι ζω μέ νη η ι δέ α ό τι μια ευ θεί α γραμ μή εί ναι ο πωσ δή πο τε και ο ρι ζό ντια. Πα ρα τηρού με, ό τι και στις δύ ο προ η γού με νες κα τη γο ριο ποι ή σεις, δη λαδή και στην εργα λεια κού χα ρα κτή ρα κυ ριαρ χί α της πρα κτι κής δρα στη ριότητας και στην κυ ριαρ χί α της κοι νω νι κής γνώ σης για τον ρόλο του χά ρα κα στην χά ρα ξη της ευ θεί ας γραμ μής, η σκέ ψη των παι διών πα ρα μέ νει προ σκολ λη μέ νη

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 35 στην ψευ δο-έννοια της ευ θεί ας γραμ μής. Μια ψευ δο-έν νοια οι κο δο μεί ται α πό τα παι διά στο πλαί σιο μιας πο λύ πλο κης σύν δε σης πραγ ματι κών α ντι κει μέ νων που φαι νο με νι κά πα ρα πέ μπουν στην μορ φή των πραγ ματι κών εν νοιών και η συ γκρό τη ση της αυ τή δια φέ ρει α πό την γε νε τι κή και ε ξελι κτι κή πο ρεί α της συγκρό τη σης των εν νοιών κα θώς και α πό τις αι τιώ δεις-δυ να μι κές βά σεις που δομούν μια έν νοια. Στη σκέψη με ρι κών μα θη τών και μα θη τριών της ί διας κα τη γο ρί ας φαί νε ται να ε πι κρα τούν πλου σιό τε ρες σχέ σεις γε νι κό τη τας, δη λα δή σχέ σεις μιας έν νοιας με μια ή πε ρισ σό τε ρες άλ λες έν νοιες, στο νο η τι κό χει ρι σμό της ευ θεί ας γραμμής. Μια μα θή τρια της Α τά ξης, στη ρι ζό με νη στην αυ θόρ μη τη έν νοιά της για την ευ θεί α γραμ μή δια κρί νει και κά νει α φαί ρε ση του χα ρα κτη ρι στι κού της ευθειότη τας: Μ:Δεν μπο ρώ να την φτιά ξω τό σο ί σια, και γνω ρί ζει και ε πι κα λεί ται το ρό λο του χά ρακα στη χά ρα ξη ευ θειών: Ε. Τι θα χρεια στείς για να τη φτιά ξεις. Μ: Χά ρα κα Πα ρό λα αυ τά, η μα θή τρια πα ρα λεί πει το χά ρα κα και σχε διά ζει την ευ θεί α γραμ μή με το χέ ρι της, γε γο νός που ερ μη νεύ ε ται ως μη συ νει δη το ποί η ση του λει τουρ γικού ρό λου του χά ρα κα. Η μα θή τρια παίρ νει το χαρ τί και το μο λύ βι και ρω τά την ε ρευ νή τρια: Μ: Έ τσι ή έ τσι; (εν νο ώ ντας να φτιά ξει την ευθεί α γραμ μή σε κα τα κό ρυ φη ή σε ο ρι ζό ντια θέ ση) Εί ναι φα νε ρό, ό τι η αυ θόρ μη τη έν νοια αυ τού του παι διού για την ευ θεί α γραμμή εί ναι πλου σιό τε ρη και γε νι κό τε ρη, πε ριο ρι σμέ νη, ό μως, α πό τα συ στή ματα α ναφο ράς (ο ρι ζό ντιου και κα τα κό ρυ φου) του φυ σι κού πε ρι βάλ λο ντος. Για την Ντε Με ρε ντιέ (1991) η έν νοια της ο ρι ζό ντιας γραμ μής στο παι δι κό σχέ διο ξεκι νά ει α πό την α νά γκη του παι διού να ο ρί σει δύ ο στα θε ρά συ στή μα τα α να φοράς, τη γη και τον ου ρα νό, και κα τά τον Κα ντίν σκι (1996) τα αρ χέ τυ πα εί δη των ευ θειών εί ναι τρί α: η ο ρι ζό ντια, η κα τα κό ρυ φη και η δια γώ νια ευ θεί α γραμ μή. Οι υ πόλοι πες γραμ μές εί ναι πα ραλ λα γές αυ τών των τριών ει δών. Έ να πα ρό μοιο στοιχεί ο προ κύ πτει α πό τις πρα κτι κές και νο η τι κές δρα στη ριό τη τες των παι διών για τη χά ρα ξη μιας ευ θεί ας γραμ μής που πε ρι γρά φο νται ε δώ. Ε: Αυ τή η γραμ μή (ευ θεί α χα ραγ μέ νη δια γώ νια στο χαρ τί) εί ναι ευ θεί α γραμ μή; Μ: Εί ναι. Ε: Α φού γέρ νει, μας πει ρά ζει; Μ: Εί ναι στο πλά ι Ε: Εί ναι ευ θεί α γραμ μή; Μ: Ναι.

36 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης Ε: Δεν μας πει ρά ζει που εί ναι στο πλά ι; Μ: Ό χι. Με τά α πό κά ποιες δρα στη ριό τη τες και συ ζη τή σεις. Ε: Ε μείς τι ξέ ρου με για την ευ θεί α γραμ μή, ε πο μέ νως, τι μας βο ή θη σε ο χάρα κας να κα τα λά βου με; Μ: Ευ θεί α εί ναι αυ τή που κά νου με με το χά ρα κα.(ε πι μέ νει στο λει τουρ γι κή χρή ση του χά ρα κα) Ε: Τι κα τα φέρ νου με δη λα δή να κά νου με με το χά ρα κα; Τι εί δους γραμ μή; Μ: Γραμ μή που να μην έ χει λακ κού βες. Ε: Να εί ναι δη λα δή; Μ:Ί σια, ο λό ι σια. Οι μα θη τές και οι μα θή τριες της κα τη γο ρί ας αυ τής αρ χι κά συ ναρ τούν και συγχέ ουν την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής με την θέ ση της στο ε πί πε δο και στη συ νέ χεια αρ χί ζουν να δια μορ φώ νουν μια έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής, η ο ποί α έ χει πολ λά στοι χεί α με την ευ κλεί δεια έν νοια, μέ σα α πό τη δια με σο λά βη ση της σκέ ψης τους ή της μνή μης τους α πό τα λει τουρ γι κά χαρα κτη ρι στι κά του χά ρακα. (iii) Η δια με σο λά βη ση του χά ρα κα στην συ γκρό τη ση μιας έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής Στην κα τη γο ρί α αυ τή κα ταχω ρή θη καν οι πρα κτι κοί χει ρι σμοί μιας ο μά δας μαθη τών και μα θη τριών, οι οποί οι στη ρί ζο νταν αρ χι κά σε έ να συν δυα σμό διαι σθητι κών συλ λο γι σμών και α να λυ τι κής σκέ ψης. Ε:Πα να γιώ τη θέ λω να μου φτιά ξεις μια ευ θεί α Μ: Τι ευ θεί α, γραμ μή; Με χά ρα κα; Ε Ό πως νο μί ζεις ό τι θα μπο ρέ σεις να την φτιά ξεις. Ο Πα να γιώ της παίρ νει μια κόλ λα χαρ τί και μο νο λο γεί «θα τα κα τα φέ ρω με πολύ προσπά θεια..»και σύ ρει τη μύ τη του μο λυ βιού του ε λέγ χο ντας συγχρό νως την ευ θύ τη τα της γραμ μής. Στο τέ λος α να φω νεί: Μ: Να μια ευ θεί α γραμ μή Ε: Εί σαι σί γου ρος ό τι αυ τή εί ναι μια ευ θεί α γραμ μή; Μ: Ό χι κά πως στρα βή Ε: Πως μπο ρού με να εί μα στε σί γου ροι ό τι η γραμ μή σου εί ναι ευ θεί α ; Ο Πα να γιώ της προ τεί νει στην αρ χή την ο πτι κή μέ θο δο για την α πό δει ξη της ευ θύ τη τας. Μ: Με το μά τι (συγ χρό νως σκύ βει, κοι τά ζει και ε ξη γεί ό τι δια κρί νει μέ ρη της γραμ μής που ξε φεύ γουν) εί ναι λί γο α πό δω και λί γο α πό κει.. Οι χα ρα κτη ρι σμοί α κρι βώς ί σια, λί γο κυ μα τι στό, κά πως στρα βή που χρη σιμο ποιούν συ στη ματι κά οι μα θη τές και οι μα θή τριες της κα τη γο ρί ας αυ τής φα νερώ νουν μια νο ημα τι κά πλη ρέ στε ρη, αλ λά πά ντα αυ θόρ μη τη, έν νοια της ευ θεί ας

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 37 γραμ μής. Στη σκέ ψη τους εί ναι εμ φα νής η έν νοια της ευ θειό τη τας, αλ λά για να υ πο στη ρίξουν την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής χρη σι μο ποιούν τον λει τουρ γι κό ρό λο του χά ρα κα. Ε: Για να ή ταν ευ θεί α η γραμ μή, πως έ πρε πε να εί ναι; Μ: Με χά ρα κα, να έ τσι (παίρ νει το χά ρα κα και τον ε φαρ μό ζει πάνω στην γραμ μή που έ γρα ψε). Η ε πι λο γή τους να χρη σι μο ποιούν το χά ρα κα για την κα τα σκευ ή της ευ θεί ας γραμ μής ο φεί λε ται στην κοι νω νι κή τους γνώση για το χά ρα κα, ως ερ γα λεί ο χά ρα ξης ευ θειών: «εί ναι έ να πράγ μα που μας βο η θά ει να κά νου με μια ευ θεί α γραμ μή». Πρέ πει να ση μειώ σου με ό τι η ευ θεί α γραμ μή που σχεδιά ζουν κά θε φο ρά τα παι διά της κα τη γο ρί ας αυ τής, τεί νει να έ χει ο ρι ζό ντια θέ ση. Αυ τό μας ε πι τρέ πει να δια τυ πώ σου με την υ πό θε ση ό τι τα παι διά της κα τη γο ρί ας αυ τής δια τη ρούν α κό μη ί χνη της αι σθη τη ρια κής τους α ντί λη ψης για την ευ θεί α γραμ μή. Ε: Για δες η ευ θεί α σου δεν εί ναι ε ντε λώς ί σια, γέρ νει λί γο. Μ: Δεν μας πει ρά ζει αυ τό, αρ κεί να μη προ ε ξέ χει (κοι τά ζει τα ζικ-ζακ)και ε φαρ μό ζει το χά ρα κα. Οι μα θη τές της κα τη γο ρί ας αυ τής κά νουν ε κτι μή σεις, δια κρί σεις, ε πι χει ρη ματο λο γούν και κι νού νται α πο δει κτι κά, χρη σι μο ποιώ ντας τον χά ρα κα για να υ ποστη ρί ξουν την αυ θόρ μη τη ι δέ α τους για την έν νοια της ευ θεί ας γραμ μής. Ό λοι αυ τοί οι πρα κτι κοί και νο η τι κοί χει ρι σμοί τους οδη γούν στο συ μπέ ρα σμα ό τι προ σεγ γί ζουν στη συ γκρό τη ση μιας τυ πι κής έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής α ξιοποιώ ντας τη χρή ση του χά ρα κα για τη χά ρα ξη ευ θειών, με ταυ τό χρο νη ι διο ποί ηση των χα ρα κτη ρι στι κών του για τον ο ρι σμό μιας ευ θεί ας γραμ μής. Συ μπε ρα σμα τι κά Στην ει σή γη ση αυ τή ε κτί θε ται μί α διε ρεύ νη ση των νο η τι κών και πρα κτι κών χειρι σμών, τους ο ποί ους α νέ πτυ ξαν μα θη τές και μα θή τριες της πρώ της σχο λι κής η λι κί ας α ξιο ποιώ ντας το χά ρα κα ως ερ γα λεί ο για τη χάρα ξη ευ θειών. Μα θη τές και οι μα θή τριες του πει ρά μα τος μας, κυ ρί ως Α τά ξης του Δη μο τικού σχο λεί ου, (1 η κα τη γο ρί α) χρη σι μο ποιώ ντας το χά ρα κα για την χά ρα ξη μιας ευθεί ας γραμ μής, α να πτύσ σουν μια σκέ ψη η ο ποί α έ χει πρα κτι κή κα τεύ θυν ση και χα ρα κτή ρα α να πα ρα γω γής κα θιε ρω μέ νων κοι νω νι κά πρα κτι κών χρή σης του χά ρα κα. Στους χει ρι σμούς μα θη τών και μαθη τριών, κυ ρί ως Β τά ξης του Δη μοτι κού σχο λεί ου (2 η κα τη γο ρί α), δια κρί νο νται στοι χεί α α νά πτυ ξης μιας εν νοιολογι κής σκέ ψης, τα ο ποί α υ πο κι νού νται α πό τη δια με σο λά βη ση του χά ρα κα στη χά ρα ξη της ευ θεί ας γραμ μής. Μέ σα α πό την πρα κτι κή, δη λα δή, δρα στη ριό τητα χρή σης του χά ρα κα για τη χά ρα ξη ευ θειών υ πο κι νεί ται μια δια δι κα σί α συγκρότη σης μιας τυ πι κής έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής. Λει τουρ γί ες ε πι κέ ντρω σης της προ σο χής, σύ γκρι σης, διά κρι σης και γε νί κευ σης του χα ρα κτη ρι στι κού της ευ

38 Νικολέττα Ισπυρλίδου & Δημήτρης Χασάπης θειό τη τας ση μα το δο τούν την έ ναρ ξη μιας τέ τοιας δια δι κα σί ας. Άλ λοι μα θη τές και μα θή τριες του πει ρά μα τος μας, Α και Β τά ξης (3 η κα τη γο ρί α), που ε πι στρατεύ ουν αρ χι κά διαι σθη τι κές με θό δους εν νοιο λο γι κής προ σέγ γι σης της ευ θεί ας γραμ μής φαίνε ται να έ χουν συ γκρο τη μέ νες πλη ρέ στε ρες αυ θόρ μη τες έν νοιες, τις ο ποί ες κα θώς δια πραγ μα τεύ ο νται νο η τι κά με τη δια με σο λά βη ση του χά ρα κα και λεκτι κά με την ε ρευ νή τρια ο δη γού νται σε μια πο ρεί α συ γκρό τη σης μιας τυπι κής έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής. Αυ τή η δια φο ρο ποί η ση των πρα κτι κών και νοη τι κών χει ρι σμών των παι διών μπο ρεί να ερ μη νευ θεί α πό το θε τι κό ρό λο της εκ παί δευ σης στη συ γκρό τη ση των ε πι στη μο νι κών εν νοιών (Λού ρια 1995). Τα δε δο μέ να της έ ρευ νας υ πο γραμ μί ζουν τη συμ βο λή της δια με σο λά βη σης των πο λι τι σμι κών ερ γα λεί ων στη συ γκρό τη ση των μα θη μα τι κών εν νοιών και παράλλη λα προ βάλ λουν τον κοι νω νι κό χα ρα κτή ρα των νο η τι κών διερ γα σιών. Οι μαθη τές και οι μα θή τριες του πει ρά μα τος μας αλ λη λε πι δρώ ντας με το χά ρακα για την χά ρα ξη ευ θειών και την ε ρευ νή τρια στη συ ζή τη ση για τη δρα στη ριό τη τα αυ τή δια πραγ μα τεύ τη καν ε ποι κο δο μη τι κά τις ι δέ ες τους για την ευθεί α γραμ μή. Α νέ πτυ ξαν νο η τι κούς και πρα κτι κούς χει ρι σμούς στους ο ποί ους κυ ριαρ χού σε, κα τά πε ρί πτω ση, η κοι νω νι κή γνώ ση τους για το ρό λο του χά ρακα ως ερ γα λεί ου χά ρα ξης ευ θειών, μί α ε μπει ρι κή μέ θο δος την ο ποί α υ πο στήρι ζαν ε ντέ λει με τη δια με σο λά βη ση του χά ρα κα ή μια α να λυ τι κού τύ που σκέ ψη, η ο ποί α συ νι στούσε ε πι χεί ρη μα και α πό δει ξή της ορ θό τη τας των ε νερ γειών τους υ πο στη ρι ζό μενη α πό τη δια με σο λά βη ση του χά ρα κα. Συ μπε ρα σμα τι κά, ο ρό λος του χά ρα κα α πο τε λού σε το κυ ρί αρ χο στοι χεί ο των νο η τι κών και πρακτι κών χει ρι σμών και ε ντέ λει της σκέ ψης των παι διών στη συ γκε κρι μέ νη δραστη ριό τη τα. Η κοι νω νι κή γνώ ση για το ρό λο του χά ρα κα, ως κα θιε ρω μέ νου ερ γα λεί ου χά ρα ξης ευ θειών, κυ ριαρ χεί στη σκέ ψη τους, άλ λο τε ση μα το δο τώ ντας και άλ λο τε α να στέλ λο ντας τη συ γκρό τη ση μιας τυ πι κής, ευ κλεί δειας, έν νοιας της ευ θεί ας γραμ μής.

Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση του χάρακα: Πρακτικοί και νοητικοί χειρισμοί μαθητών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου 39 Βιβλιογραφικές αναφορές Abreu, G. De (2000). Relationships between macro and micro socio-cultural contexts: implications for the study of interactions in the mathematics classroom, Educational Studies in Mathematics, 41, 1 29. Ascher, M. & Ascher, R.(1986), Ethnomathematics, History of Science,24, 125-144. Chassapis, D. (1999). The mediation of tools in the development of formal mathematical concepts: The compass and the circle as an example, Educational Studies in Mathematics, 37, 275-293. Ευκλείδη, Στοιχεία, (2001). Τόμος Ι, Αθήνα.: Έκδοση Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ. Καντίνσκι, Β. (1996). Σημείο, Γραμμή, Επίπεδο συμβολή στην ανάλυση των ζωγραφικών στοιχείων, εκδόσεις, Αθήνα- Γιάννινα: Δωδώνη. Λούρια, Α. (1995). Γνωστική ανάπτυξη, Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. Ντε Μερεντιέ Φλοράνς (1991). Το παιδικό σχέδιο, Αθήνα: Υποδομή. Πατρώνης, Τ. (2001). Θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες και παιδική σκέψη, Αθήνα: Δίπτυχο. Piaget J.& Inhelder B. (1956). The child s conception of space, London: Routledge and Kegan Paul. Vygotsky, L.S.(1988). Σκέψη και Γλώσσα, Αθήνα: Γνώση, Vygotsky, L.S.(1997). Νους στην Κοινωνία, Αθήνα: Gutenberg, Vygotsky, L. S. (1981). The instrumental method in psychology (originally written in 1930). Στο J. V. Wertsch,.(Ed. & Trans.), The concept of activity in soviet psychology, N.Y.: M. E. Sharpe, Armonk., 134-143. Wertsch, J. V., Del Rio, P. & Alvarez, A. (1995). Sociocultural studies: history, action and mediation. Στο Wertsch, J. V., Del Rio, P. & Alvarez, A. (Eds.), Sociocultural studies of mind, New York: Cambridge University Press, 1-34. Zichenko, V.P. (1985). Vygotsky s ideas about units for the analysis of mind. Στο J.V. Wertsch (ed.), Culture, Communication and Cognition: Vygotskian Perspectives, Cambridge: Cambridge University Press, 94 118. Prokopová, M.(2005), Public and Personal Interpretation of a Point, a Straight Line and their Relation: A Comparison of Phylogenesis and Ontogenesis. Στο B. Hudson, and K. Enser (eds), Researching the teaching and learning of mathematics, Trauner Verlag, Linz, 160-175.