ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΚΤΩΜΕΝΗ ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΚΡΟ ΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ
= μ, T = =L ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ AΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (, ( L, si (1 ( ANAZHTOYME ΤΗ ΛΥΣΗ (, ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ k m ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ
ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ k m F( F( F cos ΑΡΧΙΖΕΙ ΕΝΑΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΔΥΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ!
H ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΘΕΛΕΙ ΝΑ ΕΠΙΒΑΛΕΙ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ω. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΘΕΛΕΙ ΝΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΕΙ ΤΗΝ ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΑΡΧΗ ΕΧΟΥΜΕ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. ΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΑ «ΠΕΘΑΙΝΟΥΝ» ΛΟΓΩ ΑΠΟΣΒΕΣΕΩΝ. ΤΟ ΑΡΧΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΝΥΠΑΡΞΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ.
ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΑΝ ΑΓΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ; F( k m m d ( d k F cos d ( F cos d m F ( m cos k m
d ( F ( cos d m F m F A k A ΓΙΑΤΙ;
ΣΥΖΗΤΑΜΕ ΜΕ ΤΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ! ΠΡΟΣΠΑΘΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΤΑΛΑΒΟΥΜΕ ΤΙΣ ΑΔΥΝΑΜΙΕΣ ΤΟΥΣ.
F ( m cos ΚΑΤΙ ΔΕΝ ΠΑΕΙ ΚΑΛΑ! Για = ( F m ΑΓΝΟΕΙΤΑΙ Η ΑΔΡΑΝΕΙΑ! ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΜΕ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΑΚΑΡΙΑΙΑ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΕ ΘΕΤΙΚΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ!
F ( m cos ΚΑΤΙ ΔΕΝ ΠΑΕΙ ΚΑΛΑ! Για = F ( m ΠΑΡΑΒΙΑΖΕΤΑΙ Ο Θ.Ν.Δ! ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΑΚΑΡΙΑΙΑ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΑΠΟ ΔΥΝΑΜΗ ΑΝΤΙΘΕΤΗΣ ΦΟΡΑΣ!
F ( m cos ΔΕΝ ΜΑΣ ΔΙΗΓΕΙΤΑΙ ΟΛΗ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ! Η ΔΙΗΓΗΣΗ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ.
m F d d cos ] ( ( [ ] ( ( [ 1 1 m F d d cos ( ( 1 1 ( ( d d Έστω ότι έχουμε βρει μια λύση: Έστω ότι έχουμε βρει μια λύση της εξίσωσης της Ελεύθερης Ταλάντωσης.
B m F cos cos / ( } cos {cos / ( m F 1 cos 1 cos 1 1 ( m F ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ = : = / d d
ΑΠΟ ΤΙ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ;
ΑΣ ΕΠΑΝΕΛΘΟΥΜΕ ΣΤΟ ΚΥΡΙΟ ΘΕΜΑ ΜΑΣ.
Υ Π Ο Θ Ε Σ Ε Ι Σ T F F, F d, d dm d d ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ; (, d, dm T (,
ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ Δ.Ε:, ( 1, ( Η ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ Η (,
Η ΛΥΣΗ (, ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ(1 ΚΑΙ (. (, 1 (, (3 (, (1 ( L, si (
ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ Δ.Ε:,, 1 (, ( f, ( 1, (
ΟΠΟΥ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΝΤΑΜΕ ΤΗΝ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΑΥΤΟ ΘΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΣΥΝΤΟΜΙΑΣ ΓΡΑΦΗΣ
ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: (, f ( si ΤΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΕΙ ΜΙΑ ΤΕΤΟΙΑ ΛΥΣΗ; ΓΙΑΤΙ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΤΕΤΟΙΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ; ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΤΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ω ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΛΥΣΗ: ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΤΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ f(; (, f ( cos
(, f ( si TEΛΙΚΑ ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΕΙΝΑΙ Η f( ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ!
, ( 1, ( f si (, ( ( ( f d f d cos( si( ( B A f
(, f ( si f ( Asi( Bcos( (, { Asi( B cos( }si ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ
(, { Asi( B cos( }si ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ Α, Β; ΘΑ ΚΑΘΟΡΙΣΤΟΥΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΥΟ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ-ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
(, { Asi( B cos( }si ΠΡΩΤΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ: (, (, { Asi( Bcos( }si Bsi (, B = { Asi( }si
A }si si( {, ( L A L si }si si( {, ( ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ L si, (
( L, { Asi( L}si si A L si(
cos( si( ( B A f f si (, ( B = L si si( si(, ( si( L A Σ Υ Ν Ο Ψ Η
TI ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΥΤΗ; ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΚΥΜΑ; L si si( si(, ( (, ( f ( (, ( T X
(, si( si( L si( ΕΣΤΩ ΣΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΧΟΡΔΗ ΙΔΙΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ω: μ Τ k k (, si( L si( si
(, si( L si( si TI AΠEIKONIZEI ΤΟ λ; (, si( kl si( ksi TI AΠEIKONIZEI ΤΟ k;
(, si( L si( si (, si( kl si( ksi ΜΙΑ ΜΟΡΦΗ ΛΥΣΗ! ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω
(, si( L si( si (, si( kl si( ksi si( kl ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω
L 8 9 L si si(, ( L 9 8 L si si( si(, (
L 8 9 L si si(, ( L 9 8 L L 9 8, 9 4,,, Δ Ε Σ Μ Ο Ι L L 9 6, 9 3, Κ Ο Ι Λ Ι Ε Σ
(, si( L si( si ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ: Η ΣΧΕΣΗ ΙΣΧΥΕΙ ΓΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΗΔΕΝΙΖΟΥΝ ΤΟΝ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ. ΕΞΑΙΡΟΥΝΤΑΙ ΟΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ: L si( kl
ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΟΤΑΝ L si( kl
AΠΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΠΛΑΤΟΣ! MΠΟΡΕΙ ΝΑ ΣΥΜΒΕΙ ΑΥΤΟ;
1.Η ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΣΕ ΠΡΟΤΥΠΟ ΧΟΡΔΗΣ. ΣΤΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ L ΠΑΡΑΒΙΑΖΟΝΤΑΙ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ! ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ Η, ( 1, ( ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ Η ΛΥΣΗ (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ L si si( si(, (
(ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ. Απώλεια ενέργειας στο εσωτερικό της χορδής. 3. Απώλεια ενέργειας λόγω σύζευξης με αλλα συστήματα. Ακτινοβολία ηχητικών κυμάτων. 4. Ισχυρή αλληλεπίδραση με τον διεγέρτη που οδηγεί σε παραμόρφωση της αρμονικής διαταραχής που αυτός θέλει να αναγκάσει να κάνει το άκρο της χορδής.
Η ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΕΤΙΣΗΣ L si( kl ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΙΦΥΛΑΞΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΑΜΕ
L si( L L T L L si si( si(, (
si( si si( si( L L L L L si si( si(, (
(, si( si( si T L L L ΙΔΙΟ-ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΕΣ
ΕΝΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Η ΧΟΡΔΗ ΕΧΕΙ ΑΠΕΙΡΕΣ. ΤΙ ΚΟΙΝΟ ΕΧΟΥΝ; EINAI IΔΙΟ-ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
= 1 L 1 L 1 L ΠΑΡΑΔΟΞΟ!
ΠΑΡΑΔΟΞΟ! = L L = 3
(, si( si( si Τ ΠΛΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΚΟΙΛΙΕΣ ΑΠΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΚΑΙ ΓΙΑ
ΠΡΟΣΟΧΗ! T L L L = L=λ
L L
Η ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΣΑΣ ΤΙ ΛΕΕΙ; H EMΠΕΔΗΣΗ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ;
ΜΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
( = =L ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (, ( L, ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (, ( u (, (,
(, A si cos( L L ΕΙΝΑΙ ΤΥΧΑΙΟ ΠΟΥ ΑΝΑΠΤΥΣΟΣΟΝΤΑΙ ΤΕΤΟΙΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ;
ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: ΕΧΟΥΜΕ ΕΣΤΙΑΣΕΙ ΣΤΗΝ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ. ΕΧΟΥΜΕ ΑΓΝΟΗΣΕΙ ΤΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ!
AΛΛΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
= μ Τ = =L (, (1 u ( L, ( L, u cos ( ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ-ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ Δ.Ε: (, 1 (, (3 (, (1 u ( L, ( L, u cos ( Η ΛΥΣΗ (, THΣ (3 ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΙΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ(1 ΚΑΙ (.
H ΛΥΣΗ ΕΙΝΑΙ: u (, si( si si( L T L L L
MIΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΜΙΑ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗ u (, si( L si( si (, si( L si( si
AΛΛΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
F F έ dm ή dm ( L, ( L, dm F έ dm F ή dm F έ dm ( ( dm L, F F ή dm έ dm
F F έ dm ή dm ( T{, } F έ dm (, { Asi( }si TA( cos( Lsi F A F ktcos( kl F (, si( ksi( ktcos( kl si
F (, si( ksi( ktcos( kl cos( kl 1 kl 1,,3,... Σ Υ Ν Τ Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ f L 1 4 L. 1 4 4 L
=1 L 1 4 L. 4
=13 L 1 4 L. 4
Η ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΣΑΣ ΤΙ ΛΕΕΙ; H EMΠΕΔΗΣΗ ΣΤΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ; ΣΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ;
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Τίτλος Ενότητας 7
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.. Αιτιολόγηση της κρατικής παρέμβασης 74
Σημείωμα Αναφοράς Coprigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Κωνσταντίνος Ευταξίας 15. «Εισαγωγή στην Κυματική. Διέγερση χορδής που είναι πακτωμένη στο ένα άκρο της». Έκδοση: 1.. Αθήνα 15. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opecourses.uoa.gr/courses/phys11/ Αιτιολόγηση της κρατικής παρέμβασης 75
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] hp://creaivecommos.org/liceses/b-c-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Αιτιολόγηση της κρατικής παρέμβασης 76
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αιτιολόγηση της κρατικής παρέμβασης 77
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Οι Εικόνες, τα Σχήματα, τα Διαγράμματα και οι Φωτογραφίες που χρησιμοποιούνται στο παρόν έργο αποτελούν αντικείμενο πνευματικής ιδιοκτησίας (coprigh Αιτιολόγηση της κρατικής παρέμβασης 78