Ασκήσεις υναµικής 4 η ενότητα: Συστήµατα σωµατιδίων 1. To αστυνοµικό αυτοκίνητο Α ταξίδευε ανατολικά µε ταχύτητα 95 km/h σε µια επείγουσα κλήση όταν συγκρούστηκε στη διασταύρωση της εικόνας από ένα αυτοκίνητο Β που ταξίδευε νότια µε µεγάλη ταχύτητα. Αφού τα δύο αυτοκίνητα κύλισαν µαζί µετά τη σύγκρουση πάνω στο βρεγµένο οδόστρωµα συγκρούστηκαν εκ νέου µε έτερο αστυνοµικό αυτοκίνητο C που κατευθυνόταν βόρεια µε ταχύτητα 70 km/h. Συσσωµατωµένα τα τρία αυτοκίνητα χτύπησαν στον τοίχο του σχήµατος και σταµάτησαν στο D. Γνωρίζοντας ότι η µάζα του αυτοκινήτου B έχει µάζα 1600 kg, τα άλλα δύο µάζα 1300 kg το καθένα και ότι ο αστυνοµικός στο C παρατήρησε ότι βρισκόταν 19 m από τη διασταύρωση όταν συνέβη η πρώτη σύγκρουση, προσδιορίστε: (α) την ταχύτητα του αυτοκινήτου Β, (β) το χρόνο που µεσολαβεί από την πρώτη σύγκρουση µέχρι την κατάληξη στο σηµείο D. (Αγνοήστε δυνάµεις τριβών µε το βρεγµένο οδόστρωµα). 2. Ένα βλήµα µάζας 1.2 kg κινείται κάθετα προς έναν τοίχο όταν στο σηµείο D εκρήγνυται σε τρία κοµµάτια A, B, C µάζας 300 gr, 400 gr και 500 gr αντίστοιχα. Γνωρίζοντας ότι τα κοµµάτια χτυπούν τον τοίχο στα σηµεία που εικονίζεται και ότι υ Α =490 m/sec, προσδιορίστε την ταχύτητα v 0 του βλήµατος πριν εκραγεί.
3. ύο µικρές σφαίρες Α και Β µάζας m και 2m αντίστοιχα συνδέονται µε άκαµπτη ράβδο µήκους l και αµελητέας µάζας. Το όλο σύστηµα βρίσκεται ακίνητο σε οριζόντια, άτριβη επιφάνεια όταν στην σφαίρα Α ξαφνικά προσδίδεται ταχύτητα r r v0 = υ 0 i. Προσδιορίστε (α) τη γραµµική και τη γωνιακή ορµή του συστήµατος περί το κέντρο µάζας G, (β) τις ταχύτητες των Α και Β αφού η ράβδος ΑΒ έχει περιστραφεί κατά 180 ο.
4. Σε µια παρτίδα µπιλιάρδου, στη µπάλα Α προσδίδεται αρχική ταχύτητα v 0 µε οριζόντια διεύθυνση και χτυπάει διαδοχικά τις µπάλες Β και C που βρίσκονταν σε ηρεµία. Οι µπάλες Α και C χτυπούν στις πλευρές του τραπεζιού κάθετα στα σηµεία A και C αντίστοιχα, ενώ η µπάλα Β χτυπά στο B υπό γωνία. Γνωρίζοντας ότι v 0 =3 m/sec, v A =1.2 m/sec και α=2.1 m προσδιορίστε (α) τις ταχύτητες v B και v C (β) το σηµείο C που η µπάλα χτυπάει στο τραπέζι. Υποθέστε άτριβες επιφάνειες και πλήρως ελαστικές κρούσεις. 5. Το ακροφύσιο της εικόνας ρίχνει νερό µε ρυθµό 1.2 m 3 /min. Γνωρίζοντας ότι v A =v B =50 m/sec και αµελώντας το βάρος της βάνας προσδιορίστε τη δύναµη και το ζεύγος δυνάµεων (ροπή) που πρέπει να ασκηθεί στο C για να συγκρατεί τη βάνα στη θέση της.
6. Τα τρία βαγόνια κινούνται πάνω στις ράγες µε τις ταχύτητες που φαίνονται στο σχήµα. Μετά την κρούση τα βαγόνια ενώνονται και ταξιδεύουν µε κοινή ταχύτητα u. Τα βαγόνια Α, Β και C έχουν αντίστοιχα µάζες 65 Mg, 50 Mg και 75 Mg. Υπολογίστε την κοινή ταχύτητα u και το ποσοστό η της ενέργειας που χάθηκε λόγω της κρούσης. 7. ύο σιδερένιες µπάλες µάζας m η καθεµία είναι ενωµένες µε µία ράβδο µήκους L και αµελητέας µάζας και βρίσκονται σε ηρεµία πάνε σε λεία επιφάνεια. Μία δύναµη F ασκείται ξαφνικά στη ράβδο όπως φαίνεται στο σχήµα. Βρείτε (α) την στιγµιαία επιτάχυνση α του κέντρου µάζας G και (β) την αντίστοιχο ρυθµό µεταβολής & θ µε τον οποίο η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος µε κέντρο το σηµείο G αλλάζει µε το χρόνο. Απ: α = F/2m και & 2 θ = 2Fb/mL 8. Το ελικόπτερο της εικόνας έχει µάζα 12 Μg όταν είναι άδειο και µπορεί να παράγει µέγιστη κάθετη ταχύτητα 30 m/s µέσα στο καθοδικό ρεύµα µε διάµετρο 16 m. Εάν υποθέσουµε ότι ρ = 1.21 kg/m 3 η πυκνότητα του αέρα, υπολογίστε το µέγιστο φορτίο (καύσιµο και ωφέλιµο φορτίο) που µπορεί να φέρει το ελικόπτερο ενώ αιωρείται στον αέρα.
9. Ένα ποτιστικό κήπου έχει τέσσερα περιστρεφόµενα ακροφύσια, όπου το καθένα αποτελείται από δύο οριζόντια τµήµατα σωλήνα που σχηµατίζουν γωνία 120 ο µεταξύ τους όπως φαίνεται στο σχήµα. Κάθε ακροφύσιο εκτοξεύει νερό µε ρυθµό 19 lit/min και ταχύτητα 18 m/s σε σχέση µε το ακροφύσιο. Γνωρίζοντας ότι η τριβή µεταξύ των κινούµενων και ακίνητων εξαρτηµάτων του ποτιστικού είναι Μ = 0.375 Νm, υπολογίστε τον σταθερό ρυθµό µε τον οποίο περιστρέφεται το ποτιστικό.
10. Η ρουκέτα του σχήµατος χρησιµοποιείται για την εκτόξευση ενός δορυφόρου µάζας 540 kg και έχει σχεδιαστεί έχοντας δύο ορόφους τον Α και τον Β µάζας 9500 kg ο καθένας, όπου τα 8900 kg είναι καύσιµο. Το καύσιµο καταναλωνεται µε ρυθµό 225 kg/s και εκτοξεύεται µε σχετική ταχύτητα 3600 m/s. Εάν γνωρίζουµε ότι όταν ο Α όροφος καταναλώσει και την τελευταία σταγόνα καυσίµου αποχωρίζεται απο την υπόλοιπη ρουκέτα,να βρείτε (α) την ταχύτητα της ρουκέτας εκείνη τη στιγµή και (β) τη µέγιστη ταχύτητα που προσδώθηκε στον δορυφόρο. 11. Το σύστηµα των 8 συµµετρικά τοποθετηµένων σφαιρών, µάζας 2 kg η καθεµιά, στρέφεται ελεύθερα ως προς τον z-άξονα µε ρυθµό Ν=120 rev/min. Οι εξωτερικές σφαίρες είναι συγκολληµένες στο άκρο της ράβδου. Η µάζα της ράβδου θεωρείται αµελητέα. Οι εσωτερικές σφαίρες είναι τοποθετηµένες όπως φαίνεται στο σχήµα, αλλά είναι ελεύθερες να κινούνται προς τα άκρα των ράβδων. Καθορίστε το νέο ρυθµό Ν τη στιγµή που οι σφαίρες έχουν µετακινηθεί κατά 250 mm, και ισσοροπούν σε σχέση µε τις σφαίρες εξωτερικά. Επίσης καθορίστε την απώλεια της κινητικής ενέργειας Τ και ερµηνεύστε την απώλεια αυτή. Οι σφαίρες µπορούν να θεωρηθούν σηµειακές.
12. Ένα αεριωθούµενο αεροσκάφος µε συνολική µάζα m πετάει µε σταθερή ταχύτητα υ, καταναλώνει αέρα µε ρυθµό m α και αποβάλλει καυσαέρια µε ρυθµό m g και µε ταχύτητα u αυτή του αεροσκάφους. Τα καύσιµα δαπανώνται µε ρυθµό m f. Οι συνολικές αεροδυναµικές δυνάµεις που ενεργούν στο αεροσκάφος είναι ίσες µε το L, κάθετο στη διεύθυνση κίνησης του αεροσκάφους και η αντίσταση D µε φορά αντίθετη αυτής της κίνησης. Οποιαδήποτε άλλη δύναµη στις επιφάνειες εισαγωγής του αέρα και εξαγωγής των καυσαερίων θεωρείται ότι συµπεριλαµβάνεται στο D. Να γραφεί η εξίσωση κίνησης του αεροσκάφους και να βρεθεί η ώθησή του Τ.
13. Ένα µικρό πυραυλωθούµενο όχηµα έχει µια αρχική µάζα 60 kg συµπεριλαµβανοµένων 10 kg καυσίµου. Το καύσιµο καίγεται µε σταθερό ρυθµό 1 kg/s, ενώ η ταχύτητα των καυσαερίων είναι 120 m/s. Κατά την εκτόξευση το όχηµα αφήνεται από την ηρεµία και υπό κλίση 10 o. Υπολογίστε τη µέγιστη ταχύτητα υ που πιάνει το όχηµα. Αγνοήστε κάθε δύναµη τριβής. Απ: θ = 4.84 m/sec 14. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται ένα σύστηµα που χρησιµοποιείται για να ακινητοποιήσει ένα αεροπλάνο το οποίο προσγειώνεται σε ένα αεροπλανοφόρο. Η µάζα του αεροπλάνου είναι m και κινείται ελεύθερα µε ταχύτητα u 0 έως τη στιγµή που πιάνεται από ένα γάντζο που τραβάει τα δυο άκρα των αλυσίδων, κάθε µία από τις οποίες έχουν µήκος L και µάζα ρ ανα µήκος, όπως φαίνεται στο σχήµα. Ένας συντηρητικός υπολογισµός της αποτελεσµατικότητας του µηχανισµού αγνοεί την επιβράδυνση λόγω της τριβής της αλυσίδας µε το έδαφος και άλλης αντίστασης στην κίνηση του αεροσκάφους. Με αυτές τις υποθέσεις, υπολογίστε την ταχύτητα u του αεροπλάνου, τη στιγµή που και ο τελευταίος κρίκος της αλυσίδας τίθεται σε κίνηση. Επίσης καθορίστε τη σχέση µεταξύ του µετατόπισης x και τη στιγµής t µετά την επαφή µε την αλυσίδα. Αγνοήστε το γεγονός ότι κάθε κρίκος της αλυσίδας αποκτά ταχύτητα απότοµα από την επαφή µε τους κινούµενους δεσµούς της.