Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ορισμός. Συγκλίνουσες ακολουθίες. Ακολουθίες που απειρίζονται. Φραγμένες ακολουθίες. Μονότονες ακολουθίες. Υπακολουθίες. 4
Ακολουθίες Ως ακολουθία πραγματικών αριθμών ορίζεται μια απεικόνιση από το σύνολο των φυσικών αριθμών N στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R. a Περιγραφή ακολουθιών: a... a, a, a, a,... 1 2 3 4 Παραδείγματα: 2 2 a 2 2 1 1 3 2,,,,... 3 3 11 9 a a 5 1, a 2 2a 1 1 1 5
Σύγκλιση ακολουθιών/η έννοια του ορίου (1/3) a 1 1 1 1 1 1 1 1,,,,,,,... 2 3 4 5 6 7 2 b 1,4,9,16,25,36,49,... όσο αυξάνει η τιμή του, οι όροι πλησιάζουν σε συγκεκριμένη τιμή (την τιμή 0) c οι όροι δεν πλησιάζουν σε συγκεκριμένη τιμή, όσο μεγάλο και αν γίνει το 1 1 1, 1,1, 1,1, 1,... 6
Σύγκλιση ακολουθιών/η έννοια του ορίου (2/3) a a ( 1) 7
Σύγκλιση ακολουθιών/η έννοια του ορίου (3/3) a 2 1 lima 2 8
Συγκλίνουσες ακολουθίες (1/7) Μια ακολουθία (a ) συγκλίνει στον αριθμό L ή έχει όριο τον αριθμό L, όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει ένας Ν(ε) N, τέτοιος ώστε a L < ε για κάθε > Ν. Τότε γράφουμε: lima L ή a L Μια ακολουθία που συγκλίνει στον L R ονομάζεται συγκλίνουσα. Μια συγκλίνουσα ακολουθία λέγεται μηδενική, αν L = 0. Αν μια ακολουθία συγκλίνει, το όριό της είναι μοναδικό. 9
Συγκλίνουσες ακολουθίες (2/7) Οσοδήποτε μικρή επιλεγεί η τιμή του ε, οι όροι της ακολουθίας που αντιστοιχούν σε φυσικούς αριθμούς μεγαλύτερους L + ε του Ν(ε) θα ανήκουν στο διάστημα (L ε, L + ε). L L ε Ν 10
Συγκλίνουσες ακολουθίες (3/7) Παράδειγμα: Να δειχτεί μέσω του ορισμού ότι ε = 0.1 5 2 5 5 2 5 2 ε ε ε 3 3 3 3 = 7 Επιλέγοντας 2 3ε τότε 5 2 5 ε 3 3 11
Συγκλίνουσες ακολουθίες (4/7) Έστω δύο συγκλίνουσες ακολουθίες (a ), (b ), με αντίστοιχα όρια Α, Β. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: lim lim c a A lim b B lim c a c A lim lim a b A B p a b AB a c A p όταν Β 0 όταν p > 0 και a > 0 12
Συγκλίνουσες ακολουθίες (5/7) lim a A * Το αντίστροφο δεν ισχύει, εκτός αν Α = 0: lim a Αν a b για, τότε A B. A Αν M a N για, τότε M A N. lima lim a 0 lima 0 0 A 0 13
Συγκλίνουσες ακολουθίες (6/7) 1 Αν a, τότε Αν a a, τότε Αν a a, τότε Αν a, τότε 1 Αν a 1, τότε lima 0 0, αν 1 a 1 lima 1, αν a1, αν a 1 lima 1 lima 1 lima e2,7182818... 14
Συγκλίνουσες ακολουθίες (7/7) Κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών Έστω τρεις ακολουθίες (a ), (b ), (c ), a 1 1 για τις οποίες ισχύει: lima limc L Αν για 0 ισχύει a b c, τότε και lim. b L b 2 c 1 15
Ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες Παράδειγμα: Να υπολογιστεί αν υπάρχει το όριο si lim Είναι γνωστό ότι: Εφόσον είναι θα ισχύει και 1 si 1 1 si 1 1 1 lim lim 0 si lim 0 16
Σύγκλιση στο Μια ακολουθία a συγκλίνει στο + (στο ) ή έχει όριο το + (το ) ή απειρίζεται θετικά (αρνητικά), όταν για κάθε Μ > 0 υπάρχει ένας Ν N, τέτοιος ώστε a > Μ (a < Μ ) για κάθε > Ν. Τότε lima ή a lima ή a a 2 4 Μ Ν 17
Πράξεις με ακολουθίες που απειρίζονται lim a a, limb lim lima ab b lima limb lim a blima b lima a 0, limb lim lima ab b lima a 0, limb lim lim a ab b lim a, limb lim alim ba b lima, limb limalimb a b lim a, limb lim alim ba b a a lim a a, limb lim lim 0 0 b b 18
Φραγμένες ακολουθίες (1/3) Μια ακολουθία (a ) ονομάζεται άνω φραγμένη, όταν υπάρχει ένας αριθμός Μ R, τέτοιος ώστε a M για κάθε N. Μια ακολουθία (a ) ονομάζεται κάτω φραγμένη, όταν υπάρχει ένας αριθμός m R, τέτοιος ώστε a m για κάθε N. Μια ακολουθία (a ) ονομάζεται φραγμένη, όταν είναι και άνω και κάτω φραγμένη. 19
Φραγμένες ακολουθίες (2/3) Παράδειγμα Έστω ακολουθία με Τότε: a a 3 5 5 8 3 5 3 3 3 58 58 5 5 a 3 5 2 2 58 58 13 Άρα η συγκεκριμένη ακολουθία είναι φραγμένη. 20
Φραγμένες ακολουθίες (3/3) Μια οποιαδήποτε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει. a 1 Παράδειγμα: a ( 1) Η ακολουθία με a 3 5 5 8 είναι φραγμένη. 21
Μονοτονία (1/2) Μια ακολουθία a είναι: αύξουσα (γνησίως αύξουσα), αν και μόνο αν ισχύει a a +1 (a < a +1 ) για κάθε N. φθίνουσα (γνησίως φθίνουσα), αν και μόνο αν ισχύει a a +1 (a > a +1 ) για κάθε N. Μια ακολουθία που είναι είτε (γνησίως) αύξουσα, είτε (γνησίως) φθίνουσα, ονομάζεται (γνησίως) μονότονη. 22
Μονοτονία (2/2) Παράδειγμα: Να δειχτεί ότι η ακολουθία με a 3 5 5 8 είναι γν. μονότονη. a 1 a 3( 1) 5 3 5 5( 1) 8 5 8 32 35 513 58 2 2 15 14 16 15 14 65 49 0 που ισχύει για κάθε N. Άρα η ακολουθία είναι γν. αύξουσα. 23
Μονότονες ακολουθίες Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα. Αν m είναι ένα κάτω φράγμα μιας φθίνουσας ακολουθίας (a ), τότε lima m Αν Μ είναι ένα άνω φράγμα μιας αύξουσας ακολουθίας (a ), τότε lima M Μια μονότονη και μη φραγμένη ακολουθία συγκλίνει: στο +, αν είναι αύξουσα, στο, αν είναι φθίνουσα. 24
Άνω και κάτω πέρας ακολουθίας Άνω πέρας (supremum) μιας άνω φραγμένης ακολουθίας (a ) ονομάζεται το ελάχιστο των άνω φραγμάτων της. Κάτω πέρας (ifimum) μιας κάτω φραγμένης ακολουθίας (a ) ονομάζεται το μέγιστο των κάτω φραγμάτων της. Αν μια ακολουθία έχει άνω ή κάτω πέρας, τότε αυτό είναι μοναδικό. Μια ακολουθία που είναι αύξουσα και άνω φραγμένη (φθίνουσα και κάτω φραγμένη) συγκλίνει στο άνω (κάτω) πέρας της. 25
Μονότονες και φραγμένες ακολουθίες Παράδειγμα: Να δειχτεί ότι η ακολουθία με a 2 1 είναι γν. μονότονη. Η ακολουθία είναι γν. φθίνουσα: 1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 a a 1 2 1 1 1 1 1 0 που ισχύει για κάθε N. Η ακολουθία είναι κάτω φραγμένη: a Άρα η ακολουθία είναι συγκλίνουσα. 0 26
Υπακολουθίες (1/2) Έστω μια ακολουθία (a ). Μερικές υπακολουθίες της είναι οι ακόλουθες: (a 2κ ) = {a 2, a 4, a 6, a 8, } (a 2κ + 1 ) = {a 1, a 3, a 5, a 7, } (a 2κ ) = {a 2, a 4, a 6, a 8, } (a 5k 1 ) = {a 4, a 9, a 14, a 19, } (a κ! ) = {a 1, a 2, a 6, a 24, } Μια ακολουθία (a κ ) αποτελεί υπακολουθία της (a ), αν η ακολουθία (κ ) είναι γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών (δηλ. κ 1 < κ 2 < κ 3 < ). 27
Υπακολουθίες (2/2) Αν μια ακολουθία (a ) έχει όριο τον a R, τότε κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στην ίδια τιμή. Κάθε ακολουθία περιέχει μια μονότονη υπακολουθία. Θεώρημα Bolzao-Weierstrass: Κάθε φραγμένη ακολουθία περιέχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία. 28
Τέλος Ενότητας 29
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ζυγκιρίδης Θεόδωρος. «Μαθηματική Ανάλυση Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte259/ 30
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommos.org/liceses/by-c-d/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 31
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 32