Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες: cos sin 1 1 tan sec 1 cot csc 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 4

5 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες (γενικευμένη μορφή): a a sin a cos a a tan a sec acos a a tan 5

6 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Παραδείγματα ολοκληρωμάτων από τον πίνακα ολοκληρωμάτων: csc d cot c d 1 arcsin c 6

7 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Παραδείγματα αντικαταστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: d u tan d sin du 1 7

8 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Παραδείγματα αντικαταστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: d sin u du tan d 1 d 4 sin 4 d cosd cos 8

9 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d 9

10 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d d 5sec 5 d 5tan d 5sec tand 10

11 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d d 5sec 5 d 5tan d 5sec tand tan sec 1 5tan d 5 1 sec d 11

12 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d d 5sec 5 d 5tan d 5sec tand tan sec 1 5tan d 5 1 sec d 5tan 5 c 1

13 Ορισμένα Ολοκληρώματα Θεμελιώδες Θεώρημα της Ολοκλήρωσης: Απόδειξη: df( ) F( ) f ( t) dt f ( ) d a df( ) d lim h0 F( h) h F( ) lim h0 1 h h a f ( t) dt a f ( t) dt lim h 0 h f ( t) dt 13

14 Ορισμένα Ολοκληρώματα Θεμελιώδες Θεώρημα της Ολοκλήρωσης: Απόδειξη: df( ) F( ) f ( t) dt f ( ) d a df( ) d lim h0 F( h) h F( ) lim h0 1 h h a f ( t) dt a f ( t) dt lim h0 h f ( t) dt lim h0 f ( h) f ( ) 14

15 Ορισμένα Ολοκληρώματα Απόδειξη: Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος: b a f ( t) dt F( b) F( a) 15

16 Ορισμένα Ολοκληρώματα 16 Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος: ) ( ) ( ) ( a F b F dt t f b a Απόδειξη: Θέτουμε συνάρτηση G() και έχουμε a d df F d dg dt t F G ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( a F b F G b C b F G b C a F C F G

17 Γενικευμένα Ολοκληρώματα a f ( ) d Μας ενδιαφέρει να δείξουμε αν ένα τέτοιο ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλαδή δεν απειρίζεται. 17

18 Γενικευμένα Ολοκληρώματα a f ( ) d Μας ενδιαφέρει να δείξουμε αν ένα τέτοιο ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλαδή δεν απειρίζεται. Αν a f ( ) d g( ) d a και το ο ολοκλήρωμα συγκλίνει, τότε συγκλίνει και το 1 ο (ισχύει και αντίστροφα). 18

19 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Υπολογίζουμε ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα ως εξής: 1 f ( ) d lim l l 1 f ( ) d lim l F( l) F (1) 19

20 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 1 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: d 1 1 d lim l l 1 d d lim ln l l 0

21 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 0 d 1 1

22 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 0 d 1 d l d lim d limarctan l 1 1 l 0 0 l 0 lim arctan l l arctan 0

23 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 3 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 1 e d 0 3

24 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 3 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 0 1 e d 0 1 e d lim 1 l l 0 e d l 1 0 l l l 0 e lim l l 1 1 lim l e e d le lim 0 4

25 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Τρόπος υπολογισμού ολοκληρωμάτων της μορφής: f ( ) d 5

26 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Τρόπος υπολογισμού ολοκληρωμάτων της μορφής: f ( ) d c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c και στη συνέχεια υπολογίζουμε κάθε ολοκλήρωμα ως συνήθως 6

27 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: d 1 7

28 Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: d 1 0 d d d

29 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

30 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

31 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 015

32 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

33 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.