Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 9: Τριπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ορισμός. Ιδιότητες. Τόποι ολοκλήρωσης. Τρόπος υπολογισμού. Εφαρμογές. Υπολογισμός σε κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες. 4

5 Στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της ενότητα, οι φοιτητές: θα έχουν κατανοήσει την έννοια των τριπλών ολοκληρωμάτων, θα μπορούν να υπολογίζουν τριπλά ολοκληρώματα σε Καρτεσιανές συντεταγμένες, θα γνωρίζουν βασικές εφαρμογές των τριπλών ολοκληρωμάτων, θα είναι σε θέση να αξιοποιούν τα συστήματα των κυλινδρικών και σφαιρικών συντεταγμένων. 5

6 Ορισμός (1/2) Έστω μια συνάρτηση w = f (x,y,z), ορισμένη στον τόπο R 3. Θεωρούμε μια διαμέριση Q = { i }, i = 1, 2,, n του, δηλ. 1 2 n =, (int i )(int j ) =. Σχηματίζουμε το άθροισμα n k1 f( x, y, z )ΔV k k k k όπου ΔV k ο όγκος του k. άθροισμα Riemann της f 6

7 Ορισμός (2/2) Αν το άθροισμα Riemann της f έχει όριο την τιμή Κ, όταν η λεπτότητα της διαμέρισης τείνει στο 0, δηλ. αν n lim (,, )Δ k k k k Q 0 k 1 f x y z V K η τιμή αυτή αποτελεί το τριπλό ολοκλήρωμα της f στον τόπο και συμβολίζεται με K f( x, y, z) dv f( x, y, z) dxdydz 7

8 Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις Μια συνάρτηση f (x,y,z) που ορίζεται στον τόπο λέγεται ολοκληρώσιμη σ αυτόν, αν για κάθε ε > 0 υπάρχει διαμέριση Q = { i } του, τέτοια ώστε n Αν μια συνάρτηση f (x,y,z) είναι συνεχής στον τόπο, τότε είναι ολοκληρώσιμη σ αυτόν. Το τριπλό ολοκλήρωμα max f( x, y, z) ΔV min f ( x, y, z) ΔV ε i i i1 i1 n dxdydz τόπου. i i ισούται με τον όγκο του 8

9 Ιδιότητες ολοκληρωμάτων Έστω f (x,y,z), g(x,y,z) ολοκληρώσιμες συναρτήσεις τον τόπο. Αν κ, λ R, τότε Αν { 1, 2,, n } είναι μια διαμέριση του, τότε f( x, y, z) dxdydz f( x, y, z) dxdydz... f( x, y, z) dxdydz Αν f (x,y,z) g(x,y,z), τότε κf( x, y, z) λg( x, y, z) dxdydz κ f( x, y, z) dxdydz λ g( x, y, z) dxdydz 1 n f( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz 9

10 Ορθογώνιοι τόποι z l k a b x c Τ f ( x, y, z ) dxdydz f ( x, y, z ) dxdydz k c a... l d b b d l a c k l b d k a c f( x, y, z) dzdydx f( x, y, z) dydxdz d y 3 διαδοχικά απλά ολοκληρώματα 10

11 Κανονικός τόπος Έστω ο τόπος που περικλείεται από τις επιφάνειες z = f 1 (x,y) και z = f 2 (x,y). Ο τόπος λέγεται κανονικός ως προς z, αν κάθε ευθεία που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του και είναι παράλληλη προς τον άξονα Οz, τέμνει το σύνορο του σε 2 το πολύ σημεία. Τ 11

12 Υπολογισμός ολοκληρώματος (1/4) Αν η συνάρτηση f (x,y,z) είναι ολοκληρώσιμη στον τόπο και υπάρχει το ολοκλήρωμα για κάθε (x,y) T, τότε υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωμα της f (x,y,z) και ισούται με f2 ( x, y) (, ), όπου (, ) (,, ) 1(, ) h x y dxdy h x y f x y z dz T f x y 2 (,, ) (,, ) T f1 x y (, ) Από το προηγούμενο παράδειγμα: f ( x, y) f x y z dxdydz dxdy f x y z dz b g ( x) f ( x, y) f x y z dxdydz dx dy f x y z dz (,, ) 2 2 (,, ) a g1 x f1 x y ( ) (, ) 3 διαδοχικά απλά ολοκληρώματα 12

13 Υπολογισμός ολοκληρώματος (2/4) {( x, y, z): c y d, z ( y) z z ( y), f ( y, z) x f ( y, z)} z = z 1 (y) c z = z 2 (y) Τ d z = z 2 (x) Τ z = z 1 (x) y = f 2 (x,z) x = f 2 (y,z) x = f 1 (y,z) b a y = f 1 (x,z) {( x, y, z): a x b, z ( x) z z ( x), f ( x, z) y f ( x, z)}

14 Υπολογισμός ολοκληρώματος (3/4) Παράδειγμα Να δοθούν περιγραφές του τόπου, για τα σημεία του οποίου ισχύει z x y z 1 z 1 x y 2 2 y 1 x x 2 y y 1x 2 {( x, y, z): 1 x 1, x y 1 x, x y z 1 x y } z 1 x y

15 Υπολογισμός ολοκληρώματος (4/4) z y 1 x z 2 2 z 1x x 2 y z 1 x 2 {( x, y, z): 1 x 1, x z 1 x, x z y 1 x z } y 1 x z

16 Εφαρμογές (1/2) Μέση τιμή μιας συνάρτησης f (x,y,z) στον τόπο : 1 fdxdydz fdxdydz dxdydz Μάζα υλικού τόπου με πυκνότητα δ(x,y,z): M δ( x, y, z) dxdydz Πρώτη ροπή ως προς το επίπεδο xy: Mxy zδ( x, y, z) dxdydz Πρώτη ροπή ως προς το επίπεδο yz: Πρώτη ροπή ως προς το επίπεδο xz: Myz Mxz xδ( x, y, z) dxdydz yδ( x, y, z) dxdydz 16

17 Εφαρμογές (2/2) Κέντρο μάζας υλικού τόπου με πυκνότητα δ(x,y,z): Myz M M xz x0, y0, z0 M M M xy Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα x: Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα y: Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα z: I y z δ x y z dxdydz x y ( 2 2 ) (,, ) I x z δ x y z dxdydz z ( 2 2 ) (,, ) I x y δ x y z dxdydz ( 2 2 ) (,, ) 17

18 Αλλαγή μεταβλητών (1/2) Έστω οι συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις x = x(u,v,z), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) που ορίζουν μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του τόπου * του χώρου Οuvw στον τόπο του χώρου Οxyz. Οι παραπάνω σχέσεις ορίζουν μια αλλαγή μεταβλητών και μπορούν να λυθούν ως προς u, v, w: u = u(x,y,z), v = v(x,y,z), w = w(x,y,z). 18

19 Αλλαγή μεταβλητών (2/2) w x x( u, v, w) z Δ* y y( u, v, w) z z( u, v, w) Δ v y u x ( x, y, z) f( x, y, z) dxdydz f( x( u, v, w), y( u, v, w), z( u, v, w)) dudvdw ( u, v, w) * 19

20 Αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες (1/3) z θ P(ρ,θ,z) z y x ρcosθ y ρsinθ z z ρ x ( x, y, z) ( ρ, θ, z) cosθ sinθ 0 ρsinθ ρcosθ 0 ρ * f( x, y, z) dxdydz f( ρcos θ, ρsin θ, z) ρdρdθdz 20

21 Αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες (2/3) Παράδειγμα: Να περιγραφεί το στερεό που περικλείεται από τις επιφάνειες x2 + y2 = a2, z = 0, z = b, σε κυλινδρικές συντεταγμένες. b z {( ρ, θ, z): 0 ρ a, 0 θ2 π, a a y 0 zb} x 21

22 Αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες (3/3) z = u 2 (ρ,θ) D {( ρ, θ): α θ β, h ( θ) ρ h ( θ)} 1 2 V V {( ρ, θ, z):( ρ, θ) D, u ( ρ, θ) z u ( ρ, θ)} 1 2 ρ z = u 1 (ρ,θ) ρ I V f( ρ, θ, z) dv u ( ρθ, ) 1 2 D u ( ρθ, ) β h ( θ) u ( ρ, θ) 2 2 α h ( θ) u ( ρ, θ) 1 1 f( ρ, θ, z) dz f( ρ, θ, z) ρdzdρdθ 22

23 Αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες (1/2) z φ r P(r,θ,φ) x rcosθsinφ y rsinθsinφ z rcosφ x θ y ( x, y, z) ( r, φθ, ) r 2 sinφ f( x, y, z) dxdydz 2 fr ( cosθsin φ, rsinθsin φ, rcos φ) r sinφdrdθdφ * 23

24 Αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες (2/2) Παράδειγμα Να περιγραφεί ο σφαιρικός τόπος x 2 + y 2 + z 2 a 2 σε σφαιρικές συντεταγμένες. z a x a a y {( r, θ, φ): 0 r a, 0 θ2 π, 0 φπ} 24

25 Τέλος Ενότητας 25

26 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ζυγκιρίδης Θεόδωρος. «Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte260/ 26

27 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ ς Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 27

28 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 28