Δίνεται ορθή γωνία ˆ xoy =90 0 και Α,Β ςημεία των ημιευθειών Οy, Ox, με ΟΑ=ΟΒ. Η (ε) είναι ευθεία που διζρχεται από την κορυφή Ο και αφήνει τισ ημιευθείεσ Ox, Oy ςτο ίδιο ημιεπίπεδο. Η κάθετοσ από το ςημείο Α ςτην (ε) την τζμνει ςτο Δ και η κάθετοσ από το ςημείο Β ςτην (ε) την τζμνει ςτο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΕΒ είναι ίςα. (Μονάδεσ 7) β) ΑΔ+ΒΕ=ΔΕ. (Μονάδεσ 7) γ) ΜΝ= ΔΕ 2 ΑΒ., όπου ΜΝ είναι το ευθφγραμμο τμήμα που ενώνει τα μζςα των ΔΕ και (Μονάδεσ 7) δ) Το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ορθογώνιο ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 4)
Θεωροφμε ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ςημεία Δ και Ε των πλευρϊν ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, ϊςτε να είναι ΑΔ=ΓΕ. Ζςτω Ο το ςημείο τομήσ των ΓΔ και ΒΕ. α) Να αποδείξτε ότι: i. ΒΕΓ ˆ ΓΔΑ ˆ. (Μονάδεσ 10) 0 ii. ˆ 120. (Μονάδεσ 10) β) Να εξετάςετε αν το τετράπλευρο ΑΕΟΔ είναι εγγράψιμο. Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 5)
Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΔΒ. Ζςτω Μ το μζςο τησ ΑΔ και Ν το ςημείο τομήσ των ΑΕ και ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΝ=ΔΜ. (Μονάδεσ 8) β) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΝΜΑ. (Μονάδεσ 7) γ) Να αποδείξετε ότι: i. ΜΝ ΑΓ (Μονάδεσ 5) ii. ΓΜ ΑΝ (Μονάδεσ 5)
Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στη διαγώνιο ΑΓ θεωροφμε ςημεία Ι, Ο, Η ώςτε. Αν Ε, Θ και Ζ τα μζςα των πλευρών ΔΓ, ΑΒ και ΒΓ αντίςτοιχα να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΟΖΓΕ είναι τετράγωνο. (Μονάδεσ 7) β). (Μονάδεσ 8) 4 γ) Το τετράπλευρο ΙΘΖΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με 2. (Μονάδεσ 10)
Θεωροφμε ζνα ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ 90 ο ), τα μζςα Δ, Ε, Η των πλευρϊν του και το φψοσ του ΑΚ. Ζςτω Θ είναι το ςημείο τομήσ των ΑΗ και ΔΕ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΔΗΕ είναι ορθογϊνιο. (Μονάδεσ 8) ii. ΒΓ ΑΘ = ΘΕ = 4 (Μονάδεσ 7) γ) Αν επιπλζον είναι γωνία ˆΓ =30 ο, i. να βρείτε τη γωνία. (Μονάδεσ 5) ii. να αποδείξετε ότι ΒΓ ΒΚ = 4. (Μονάδεσ 5) Α Γ Θ Δ Β Κ Ε Γ
Σε τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) ιςχφει ΑΒ+ΓΔ=ΑΔ. Αν θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Α τζμνει τθν ΒΓ ςτο Ε και τθν προζκταςθ τθσ ΔΓ ςτο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΔΑΖ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) Το Ε είναι το μζςο τθσ ΒΓ (Μονάδεσ 10) γ) Η ΔΕ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Δ του τραπεηίου. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τραπζηιο ΑΔΕΒ, με ΑΔ//ΒΕ, ςτο οποίο ιςχφει ότι ΑΒ=ΑΔ+ΒΕ, και Ο το μζςον τθσ ΔΕ. Θεωροφμε ςθμείο Ζ ςτθν ΑΒ τζτοιο ώςτε ΑΖ=ΑΔ και ΒΖ=ΒΕ. Αν γωνία ΔΑΖ ˆ φ, α) να εκφράςετε τθ γωνία ΑΖΔ ςε ςυνάρτθςθ με τθ φ. (Μονάδεσ 8) β) να εκφράςετε τθ γωνία ΕΖΒ ςε ςυνάρτθςθ με τθ φ. (Μονάδεσ 8) γ) να αποδείξετε ότι οι ΟΑ και ΟΒ είναι μεςοκάθετοι των τμθμάτων ΔΖ και ΖΕ αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με ΑΒ > ΑΔ. Θεωροφμε ςημεία Κ, Λ, των ΑΔ και ΑΒ αντίςτοιχα ώςτε ΑΚ = ΑΛ. Ζςτω Μ το μζςο του ΚΛ και η προζκταςη του ΑΜ (προσ το Μ) τζμνει τη ΔΓ ςτο ςημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ =ΔΕ. (Μονάδεσ 8) β) ΒΓ + ΓΕ = ΑΒ. (Μονάδεσ 10) γ) 2. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2 ΒΓ. Από τθν κορυφι Α φζρουμε τθν ΑΕ κάκετθ ςτθν ευκεία ΒΓ και Μ, Ν τα μζςα των ΑΒ, ΔΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΒΓΝ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΜΕΓΝ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9) γ) Η ΕΝ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2 ΒΓ, τη γωνία Α αμβλεία και Μ το μζςο τησ ΓΔ. Φζρουμε κάθετη ςτην ΑΔ ςτο ςημείο Α, η οποία τζμνει την ΒΓ ςτο Η. Αν η προζκταςη τησ ΗΜ τζμνει την προζκταςη τησ ΑΔ ςτο Ε, να αποδείξετε ότι: α) Η ΑΜ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΔΑΒ. (Μονάδεσ 9) β) Τα τμήματα ΕΗ, ΔΓ διχοτομοφνται. (Μονάδεσ 8) γ). (Μονάδεσ 8)
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ςτο εξωτερικό του ςχηματίζονται τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδεσ 8) β) ΕΓ = ΒΗ (Μονάδεσ 9) γ) Η ΕΓ είναι κάθετη ςτη ΒΗ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ορκογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τθ γωνία Α ορκι, και τυχαίο ςθμείο Δ τθσ πλευράσ ΑΒ. Ζςτω Κ, Μ, Ν τα μζςα των ΓΔ, ΒΓ, ΒΔ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΚΜΝΔ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΑΚΜΝ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9) γ) Η διάμεςοσ του τραπεηίου ΑΚΜΝ είναι ίςθ με. (Μονάδεσ 8) 2
Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με τθ γωνία του Β να είναι ίςθ με 70 ο του ΑΕ. Ζςτω Η ςθμείο τθσ ΒΓ ϊςτε ΒΕ = ΕΗ. και το φψοσ α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΓΔ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) β) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τραπεηίου ΑΗΓΔ (Μονάδεσ 9) γ) Αν Μ το μζςο του ΒΔ, να αποδείξετε ότι ΕΜ =. (Μονάδεσ 8) 2
Δίνεται ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 90 και 30. Φζρουμε το φψοσ του ΑΔ και τθ διάμεςό του ΑΜ. Από το Γ φζρουμε κάθετθ ςτθν ευθεία ΑΜ, θ οποία τθν τζμνει ςτο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 8) β) ΜΕ=ΜΔ=ΒΓ/4 (Μονάδεσ 9) γ) Το ΑΔΕΓ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Φζρουμε τη διχοτόμο του ΑΚ και ςε τυχαίο ςημείο τησ Ε φζρουμε ευθεία κάθετη ςτη διχοτόμο ΑΚ, η οποία τζμνει τισ ΑΒ και ΑΓ ςτα ςημεία Ζ και Δ αντίςτοιχα και την προζκταςη τησ ΓΒ ςτο ςημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) 90. (Μονάδεσ 7) 2 β) ΖΚ = ΚΔ. (Μονάδεσ 8) γ). (Μονάδεσ 10) 2
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΑΔ και ΓΒ = ΓΔ. Αν Ε το ςημείο τομήσ των προεκτάςεων των ΒΑ και ΓΔ και Ζ το ςημείο τομήσ των προεκτάςεων των ΔΑ και ΓΒ να αποδείξετε ότι: α) Η ΓΑ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΒΓΔ. (Μονάδεσ 7) β) ΓΖ = ΓΕ (Μονάδεσ 9) γ) ΕΖ // ΒΔ (Μονάδεσ 9)
α) Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ θεωροφμε Κ, Λ, Μ, Ν τα μζςα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 15) β) Σε ζνα τετράπλευρο ΑΒΓΔ τα μζςα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίςτοιχα είναι κορυφζσ ρόμβου. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ, πρζπει να είναι απαραίτητα ορθογώνιο; Να τεκμηριώςετε τη θετική ή αρνητική ςασ απάντηςη. (Μονάδεσ 10)
Εκτόσ τριγώνου ΑΒΓ καταςκευάηουμε τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν Μ το μζςο του ΒΓ και Λ ςθμείο ςτθν προζκταςθ τθσ ΑΜ τζτοιο ώςτε ΑΜ = ΜΛ, να αποδείξετε ότι: α) ΓΛ = ΑΕ. (Μονάδεσ 10) β) 0ι γωνίεσ ΑΓΛ και ΕΑΗ είναι ίςεσ. (Μονάδεσ 10) γ) Η προζκταςθ τθσ ΜΑ (προσ το Α) τζμνει κάθετα τθν ΕΗ. (Μονάδεσ 5)
Δυο ίςοι κφκλοι (Ο, ρ) και (Κ,ρ) εφάπτονται εξωτερικά ςτο ςημείο Ε. Αν ΟΑ και ΟΒ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το ςημείο Ο ςτον κφκλο (Κ,ρ) να αποδείξετε ότι: α) ΑΕ = ΒΕ. (Μονάδεσ 9) β) 30. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΑΚΒΕ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8)
α) Σε ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ κεωροφμε Κ, Λ, Μ, Ν τα μζςα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 13) β) Σε ζνα τετράπλευρο ΑΒΓΔ τα μζςα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίςτοιχα είναι κορυφζσ ρόμβου. Για να ςχθματίηεται ρόμβοσ το ΑΒΓΔ πρζπει να είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο; Να αιτιολογιςετε πλιρωσ τθ κετικι ι αρνθτικι απάντθςι ςασ. (Μονάδεσ12)
α) Σε ρόμβο ΑΒΓΔ θεωροφμε Κ, Λ, Μ, Ν τα μζςα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 13) β) Να αποδείξετε ότι τα μζςα των πλευρών ενόσ ορθογωνίου είναι κορυφζσ ρόμβου. (Μονάδεσ 12)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ, ΒΕ τα φψη του. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΓ =2 ΕΔ. (Μονάδεσ 6) β). (Μονάδεσ 7) 2 γ) Το τετράπλευρο ΑΕΔΒ είναι εγγράψιμο. (Μονάδεσ 6) δ). (Μονάδεσ 6)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, τυχαίο ςημείο Μ τησ βάςησ του ΒΓ και το φψοσ του ΒΗ. Από το Μ φζρουμε κάθετεσ ΜΔ, ΜΕ και ΜΘ ςτισ ΑΒ, ΑΓ και ΒΗ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΕΗΘ είναι ορθογϊνιο. (Μονάδεσ 9) β) ΒΘ = ΔΜ (Μονάδεσ 9) γ) Το άθροιςμα ΜΔ+ΜΕ=BH. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ > ΑΒ και Δ, Ε, Ζ τα μζςα των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίςτοιχα. Αν η διχοτόμοσ τησ γωνίασ Β τζμνει την ΖΕ ςτο ςημείο Μ και την προζκταςη τησ ΔΕ ςτο ςημείο Ν, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΖΕΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 7) β) Τα τρίγωνα ΒΖΜ και ΜΕΝ είναι ιςοςκελή. (Μονάδεσ 10) γ) ΒΖ + ΝΕ =ΔΓ (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΜ διάμεςόσ του και Κ το μζςο του ΑΜ. Αν η προζκταςη τησ ΒΚ τζμνει την ΑΓ ςτο ςημείο Ν, και Λ είναι το μζςο του ΓΝ, να αποδείξετε ότι: α) Το ςημείο Ν είναι μζςο του ΑΛ. (Μονάδεσ 9) β) (Μονάδεσ 9) γ) ΒΚ = 3ΚΝ (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 2ΑΓ. Ζςτω ΑΜ διάμεςοσ του ΑΒΓ και Κ, Λ τα μζςα των ΜΓ και ΑΒ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α). (Μονάδεσ 7) β) ΜΛ = ΜΚ. (Μονάδεσ 9) γ) Η ΑΜ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΓΔ και Μ, Ν, Κ τα μζςα των ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ αντίςτοιχα. Αν οι προεκτάςεισ των ΑΒ και ΔΓ τζμνουν την προζκταςη τησ ΜΝ ςτα ςημεία Ε και Ζ αντίςτοιχα να αποδείξετε ότι: α) ΜΚ = ΚΝ. (Μονάδεσ 13) β). (Μονάδεσ 12)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ςτην προζκταςη τησ ΑΔ θεωροφμε ςημείο Ε τζτοιο ώςτε ΔΕ = ΔΓ ενώ ςτην προζκταςη τησ ΑΒ θεωροφμε ςημείο θεωροφμε ςημείο Η τζτοιο ώςτε ΒΗ = ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i.. (Μονάδεσ 10) ii. τα ςημεία Η, Γ, Ε είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 10) β) Ζνασ μαθητήσ για να αποδείξει ότι τα ςημεία Η, Γ, Ε είναι ςυνευθειακά ανζπτυξε τον παρακάτω ςυλλογιςμό. «Ζχουμε: τζμνονται από τη ΗΕ) και (ωσ εντόσ εκτόσ και επι τα αυτά μζρη των παραλλήλων ΔΕ και ΒΓ που ΔΓ). (ωσ εντόσ εναλλάξ των παραλλήλων ΔΕ και ΒΓ που τζμνονται από την Όμωσ 180 (ωσ άθροιςμα των γωνιών του τριγώνου ΔΕΓ). Άρα ςφμφωνα με τα προηγοφμενα: 180. Οπότε τα ςημεία Η, Γ, Ε είναι ςυνευθειακά.» Όμωσ ο καθηγητήσ υπζδειξε ζνα λάθοσ ςτο ςυλλογιςμό αυτό. Να βρείτε το λάθοσ ςτο ςυγκεκριμζνο ςυλλογιςμό. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή. Φζρουμε τη διάμεςό του ΑΜ και ςε τυχαίο ςημείο Κ αυτήσ φζρουμε κάθετη ςτην ΑΜ η οποία τζμνει τισ ΑΒ και ΑΓ ςτα ςημεία Δ και Ε αντίςτοιχα. Αν Η είναι το μζςο του ΔΕ να αποδείξετε ότι: α). (Μονάδεσ 8) β). (Μονάδεσ 9) γ) Η ευθεία ΑΗ τζμνει κάθετα τη ΒΓ. (Μονάδεσ 8)
ΘΕΜΑ Δίνονται ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ με ΒΓ και ΑΔ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: 90, 90 και Μ, Ν τα μζςα των α) ΑΜ = ΜΔ. (Μονάδεσ 10) β) Η ΜΝ είναι κάθετη ςτην ΑΔ. (Μονάδεσ 10) γ). (Μονάδεσ 5)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Δ, Ε τα μζςα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. Στην προζκταςη τησ ΔΕ (προσ το Ε) θεωροφμε ςημείο Λ ώςτε ΕΛ = ΑΕ και ςτην προζκταςη τησ ΕΔ (προσ το Δ) θεωροφμε ςημείο Κ τζτοιο ώςτε ΔΚ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) ΚΔ = ΛΕ. (Μονάδεσ 6) β) Τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ορθογώνια. (Μονάδεσ 9) γ) Τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 10)
Θεωροφμε κφκλο κζντρου Ο, με διάμετρο ΒΓ. Από ςημείο Α του κφκλου φζρουμε την εφαπτομζνη (ε) του περιγεγραμμζνου κφκλου του τριγϊνου. Από τα ςημεία Β και Γ φζρουμε τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα ςτην ευθεία (ε). α) Να αποδείξετε ότι ΒΑ και ΓΑ είναι διχοτόμοι των γωνιϊν και αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 8) β) Αν ΑΖ είναι φψοσ του τριγϊνου, να αποδείξετε ότι. (Μονάδεσ 8) γ) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και από το μέσο Μ του ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο με το ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο με το ΓΑ (τα σημεία Δ και Ε είναι στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη ΒΓ και το σημείο Α). Να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10) β) Η περίμετρος του τριγώνου ΜΔΕ είναι ίση με την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) γ) Όταν ένας καθηγητής έθεσε το ερώτημα αν τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά στους μαθητές του, ένας από αυτούς έκανε το παρακάτω σχήμα και απάντησε ως εξής: (εντός εναλλάξ των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΑΖ) Α ˆ Ζ = Ε ˆΑΒ (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ) Όμως (άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΔΖ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε: Ε ˆΑΒ + Β ˆΑΓ + ˆΑΖ =180 0. Οπότε Δ,Ε,A συνευθειακά. Όμως ο καθηγητής είπε ότι υπάρχει λάθος στο συλλογισμό. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος του μαθητή; (Μονάδες 6)
Δίνονται δυο παράλλθλεσ ευκείεσ (ε) και (η), και μια τρίτθ που τισ τζμνει ςτα ςθμεία Α και Β αντίςτοιχα. Θεωροφμε τισ διχοτόμουσ των εντόσ και επί τα αυτά μζρθ γωνιών που ςχθματίηονται, οι οποίεσ τζμνονται ςε ςθμείο Δ. Αν Μ είναι το μζςον του ΑΒ, να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΔΑ είναι ορκι. (Μονάδεσ 9) β) 2 (Μονάδεσ 8) γ) ΜΔ // ε (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και Μ τυχαίο ςημείο τησ πλευράσ ΒΓ. Φζρουμε τισ διχοτόμουσ γωνιών ΒΜΑ και ΑΜΓ οι οποίεσ τζμνουν τισ ΑΒ και ΑΓ ςτα ςημεία Δ και Ε αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι, η γωνία ΔΜΕ είναι ορθή. (Μονάδεσ 12) β) Αν Κ το μζςο του ΔΕ, να αποδείξετε ότι ΜΚ = ΚΑ (Μονάδεσ 13)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και ΑΜ η διάμεςόσ του. Από το Μ φζρουμε ΜΚ κάθετη ςτην ΑΒ και ΜΛ κάθετη ςτην ΑΓ. Αν Ν, Ρ είναι τα μζςα των ΒΜ και ΓΜ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδεσ 7) β) Η ΜΚ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΝΜΑ. (Μονάδεσ 9) γ) ΑΜ = ΚΝ + ΛΡ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εντόσ αυτοφ ιςόπλευρο τρίγωνο ΜΒΓ. Αν η προζκταςη τησ ΑΜ τζμνει την ΒΔ ςτο ςημείο Ε, να αποδείξετε ότι: α) 15. (Μονάδεσ 8) β) Τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΔΕΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 8) γ) Η ΓΕ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΔΓΜ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ = ΑΔ + ΒΓ. Αν θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Δ τζμνει τθν ΑΒ ςτο ςθμείο Μ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΜ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) γ) Η ΓΜ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Γ του τραπεηίου. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ςημείο Δ ςτην προζκταςη τησ ΒΓ. Από το Δ φζρουμε ΔΚ κάθετη ςτην ΑΒ και ΔΕ κάθετη ςτην προζκταςη τησ ΑΓ. Από το ςημείο Γ φζρουμε ΓΗ κάθετη ςτην ΑΒ και ΓΖ κάθετη ςτην ΚΔ. Να αποδείξετε ότι: α) H γωνία ΖΓΔ είναι ίςη με τη γωνία Β. (Μονάδεσ 4) β) Η ΓΔ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΖΓΕ. (Μονάδεσ 4) γ) Το τρίγωνο ΔΖΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) δ) ΔΚ ΔΕ = ΗΓ (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ και ΑΕ αντίςτοιχα η εςωτερική και η εξωτερική διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α (Δ, Ε ςημεία τησ ευθείασ ΒΓ). Φζρουμε ΒΖ κάθετη ςτην ΑΔ και ΒΗ κάθετη ςτην ΑΕ και θεωροφμε Μ το μζςο του ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΖΒΗ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 5) β) Η γωνία ΗΖΑ είναι ίςη με τη γωνία ΖΑΓ. (Μονάδεσ 6) γ) Η ευθεία ΗΖ διζρχεται από το Μ. (Μονάδεσ 6) δ). (Μονάδεσ 8) 2
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ και ΑΕ αντίςτοιχα η εςωτερική και η εξωτερική διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α (Δ, Ε ςημεία τησ ευθείασ ΒΓ). Φζρουμε ΒΖ κάθετη ςτην ΑΔ και ΒΗ κάθετη ςτην ΑΕ και θεωροφμε Μ το μζςο του ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΖΒΗ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 5) β) Η γωνία ΗΖΑ είναι ίςη με τη γωνία ΖΑΓ. (Μονάδεσ 6) γ) Η ευθεία ΗΖ διζρχεται από το Μ. (Μονάδεσ 6) δ). (Μονάδεσ 8) 2
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, η διχοτόμοσ του ΑΔ και ευθεία (ε) παράλληλη από το Β προσ την ΑΓ. Από το μζςο Μ τησ ΒΓ φζρουμε ευθεία παράλληλη ςτην ΑΔ η οποία τζμνει την ΑΓ ςτο ςημείο Ζ, την ευθεία (ε) ςτο ςημείο Λ και την προζκταςη τησ ΒΑ ςτο ςημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΒΛΕ είναι ιςοςκελή. (Μονάδεσ 8) β) ΒΛ =ΓΖ. (Μονάδεσ 9) γ) ΑΕ=ΑΓ-ΒΛ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ςτην προζκταςη τησ ΓΒ (προσ το Β) θεωροφμε ςημείο Δ τζτοιο ώςτε ΒΔ = ΒΓ, ενώ ςτην προζκταςη τησ ΒΓ (προσ το Γ) θεωροφμε ςημείο Ε τζτοιο ώςτε ΓΕ = ΒΓ. Φζρουμε την κάθετη ςτην ΕΔ ςτο ςημείο Ε, η οποία τζμνει την προζκταςη τησ ΔΑ ςτο Ζ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ των τριγώνων ΓΑΕ και ΒΔΑ. (Μονάδεσ 8) β) Να αποδείξετε ότι η ΓΖ είναι μεςοκάθετοσ του ΑΕ. (Μονάδεσ 12) γ) Να αποδείξετε ότι ΑΒ//ΓΖ. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεςοί του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΖΕ (προσ το Ε) κατά τμήμα ΕΗ = ΖΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΕΗΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) Η περίμετροσ του τριγώνου ΑΔΗ είναι ίςη με το άθροιςμα των διαμζςων του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9) γ) Οι ευθείεσ ΒΕ και ΔΗ τριχοτομοφν το τμήμα ΖΓ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ορθογώνιο τραπζηιο ΑΒΓΔ ( 90 ) με ΒΓ = ΓΔ = 2ΑΒ και Κ, Λ τα μζςα των ΒΓ και ΓΔ. Η παράλλθλθ από το Κ προσ τθν ΑΒ τζμνει τθν ΑΛ ςτο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΓ = 2 ΔΖ. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΖΚΓΛ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 9) γ) 90. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), και τυχαίο ςημείο Μ τησ πλευράσ ΒΓ. Από το ςημείο Μ φζρουμε ευθεία κάθετη ςτην πλευρά ΒΓ που τζμνει τισ ευθείεσ ΑΒ και ΑΓ ςτα ςημεία Ε και Θ αντίςτοιχα. Αν ΑΔ και ΑΗ τα φψη των τριγϊνων ΑΒΓ και ΑΘΕ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) 90. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΑΘΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) γ) ΜΘ+ΜΕ = 2ΑΔ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται κφκλοσ κζντρου Ο και δυο μη αντιδιαμετρικά ςημεία του Α και Β. Φζρουμε τισ εφαπτόμενεσ του κφκλου ςτα ςημεία Α και Β οι οποίεσ τζμνονται ςτο ςημείο Γ. Φζρουμε επίςησ και τα φψη ΑΔ και ΒΕ του τριγϊνου ΑΒΓ τα οποία τζμνονται ςτο ςημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 9) γ) Τα ςημεία Ο, Η, Γ είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ςτην προζκταςη τησ ΓΒ (προσ το Β) θεωροφμε ςημείο Δ τζτοιο ώςτε ΒΔ =ΑΒ ενώ ςτην προζκταςη τησ ΒΓ (προσ το Γ) θεωροφμε ςημείο Ε τζτοιο ώςτε ΓΕ = ΓΑ. Αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τζμνουν τισ ΑΔ και ΑΕ ςτα ςημεία Κ και Λ αντίςτοιχα, και η ΚΛ τζμνει τισ ΑΒ και ΑΓ ςτα ςημεία Μ και Ν αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Τα ςημεία Κ και Λ είναι μζςα των ΑΔ και ΑΕ αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 8) β) Τα τρίγωνα ΚΜΑ και ΑΝΛ είναι ιςοςκελή. (Μονάδεσ 9) γ) ΚΛ = 2 (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο ςημείο Ε ςτην πλευρά ΔΓ. Φζρουμε τη διχοτόμο ΑΖ τησ γωνίασ ΕΑΒ και την ΔΗ κάθετη από το Δ προσ την ΑΖ, η οποία τζμνει την ΑΕ ςτο Μ και την ΑΒ ςτο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΔΝ και ΑΒΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 8) β) ΑΜ=ΑΝ και ΔΕ=ΕΜ. (Μονάδεσ 10) γ) ΑΖ = ΔΕ + ΒΖ (Μονάδεσ 7)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Μ το μζςο τησ πλευράσ ΔΓ. Φζρουμε κάθετη ςτην ΑΜ ςτο ςημείο τησ Μ, η οποία τζμνει την ευθεία ΑΔ ςτο ςημείο Ρ και την ΒΓ ςτο Σ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΡ = ΣΓ. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΑΡΣ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) γ) ΑΣ = ΑΔ + ΓΣ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μζςο τησ διαμζςου ΒΔ. Στην προζκταςη τησ ΑΕ θεωροφμε ςημείο Ζ τζτοιο ώςτε ΕΖ=ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) γ) Το ςημείο Θ είναι βαρφκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και το φψοσ του ΓΕ. Στην προζκταςη τησ ΓΒ (προσ το Β) θεωροφμε ςημείο Δ τζτοιο ϊςτε ΒΔ = ΖΘ // ΒΓ:. Αν η ευθεία ΔΕ τζμνει την ΑΓ ςτο Ζ και 2 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ιςοςκελζσ και το τρίγωνο ΑΘΖ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 10) β) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΘΕΖ. (Μονάδεσ 5) γ) Να αποδείξετε ότι ΑΕ = 2 ΘΖ. (Μονάδεσ 5) δ) Να αποδείξετε ότι 3ΑΒ = 4ΘΒ. (Μονάδεσ 5)
Σε μια ευθεία (ε) θεωροφμε διαδοχικά τα ςθμεία Α, Β, Γ ζτςι ώςτε ΑΒ = 2 ΒΓ και ςτο ίδιο θμιεπίπεδο θεωροφμε ιςόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ. Αν Η είναι το μζςο του ΑΔ και θ ευθεία ΔΕ τζμνει τθν ευθεία (ε) ςτο ςθμείο Ζ να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΒΗΔΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΓΖΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΗΕΓΑ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ το ςθμείο τομισ των διαγωνίων του. Φζρουμε ΑΗ κάκετθ ςτθν ΒΔ και ςτθν προζκταςθ τθσ ΑΗ (προσ το Η) κεωροφμε ςθμείο Ε τζτοιο ώςτε ΑΗ = ΗΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΚΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ορκογώνιο. (Μονάδεσ 9) γ) Το τετράπλευρο ΔΒΓΕ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και του ΑΔ και ςημείο Ε ςτην προζκταςη τησ ΑΒ τζτοιο ϊςτε ΒΕ = ΒΔ. 2. Φζρουμε το φψοσ α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΒΔΕ. (Μονάδεσ 9) β) Να αποδείξετε ότι: i. BE = 2 (Μονάδεσ 8) ii. ΑΕ = ΓΔ (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίεσ Β και Γ οξείεσ και Δ, Μ και Ε τα μζςα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίςτοιχα. Στισ μεςοκάθετεσ των ΑΒ και ΒΓ και εκτόσ του τριγώνου ΑΒΓ θεωροφμε ςημεία Ζ και Η αντίςτοιχα, τζτοια ώςτε ΔΖ = και ΕΗ =. 2 α) Να αποδείξετε ότι: 2 i. Το τετράπλευρο ΒΔΜΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 5) ii. Τα τρίγωνα ΖΔΜ και ΕΜΗ είναι ίςα. (Μονάδεσ 10) β) Αν τα ςημεία Ζ, Δ, Ε είναι ςυνευθειακά, να αποδείξετε ότι η γωνία Α=90 ο. (Μονάδεσ 10)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A=90 o ). Φζρουμε τη διάμεςο του ΑΜ την οποία προεκτείνουμε (προσ το μζροσ του Μ) κατά τμήμα ΜΔ = ΑΜ. Θεωροφμε ευθεία ΔΚ κάθετη ςτη ΒΓ, η οποία τζμνει τη διχοτόμο τησ γωνίασ Β ςτο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι ορθογώνιο (Μονάδεσ 8) α) 90 2 (Μονάδεσ 8) β) ΔΕ = ΒΔ (Μονάδεσ 9)
Στο παρακάτω τετράπλευρο ΑΒΓΔ ιςχφουν:,, και ΑΒ ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ είναι ιςοςκελι. (Μονάδεσ 8) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) γ) Αν επιπλζον ιςχφει ότι ΓΔ=3ΑΒ και Κ, Λ τα μζςα των διαγωνίων ΒΔ και ΑΓ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι ορκογώνιο παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ορθογϊνιο τρίγωνο ( 90 ) και 30 με Μ και Ν τα μζςα των πλευρϊν ΒΓ και ΑΒ αντίςτοιχα. Ζςτω ότι η μεςοκάθετοσ τησ πλευράσ ΒΓ τζμνει την ΑΓ ςτο ςημείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i) η ΒΕ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ. (Μονάδεσ 6) ii). (Μονάδεσ 6) 2 iii) η ΒΕ είναι μεςοκάθετοσ τησ διαμζςου ΑΜ. (Μονάδεσ 7) β) Αν ΑΔ είναι το φψοσ του τριγϊνου που τζμνει την ΒΕ ςτο Η, να αποδείξετε ότι τα ςημεία Μ, Η και Ν είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 6)
Από εξωτερικό ςθμείο Ρ ενόσ κφκλου κζντρου Ο φζρουμε τα εφαπτόμενα τμιματα ΡΑ, ΡΒ και τθ διακεντρικι ευκεία ΡΟ που τζμνει τον κφκλο ςτα ςθμεία Δ και Γ αντίςτοιχα. Η εφαπτομζνθ του κφκλου ςτο ςθμείο Γ τζμνει τισ προεκτάςεισ των ΡΑ και ΡΒ ςτα ςθμεία Ε και Ζ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) B (Μονάδεσ 8) β) ΕΑ=ΖΒ (Μονάδεσ 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΒΓ και η διχοτόμοσ ΒΕ τησ γωνίασ B. Αν ΑΖ ΒΕ, όπου Ζ ςημείο τησ ΒΓ και Μ το μζςον τησ ΑΓ, να αποδείξετε ότι : α) Το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) ΔΜ//ΒΓ και ΔΜ = B 2 (Μονάδεσ 10) γ) B E, όπου B η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 8) 2
Στο παρακάτω ςχιμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, θ διχοτόμοσ Βx τθσ γωνίασ Β του τριγώνου ΑΒΓ και θ διχοτόμοσ Βy τθσ εξωτερικισ γωνίασ Β. Αν Δ και Ε είναι οι προβολζσ τθσ κορυφισ Α του τριγώνου ΑΒΓ ςτθν Βx και Βy αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΔΒΕ είναι ορκογώνιο. (Μονάδεσ 7) β) Η ευκεία ΕΔ είναι παράλλθλθ προσ τθ ΒΓ και διζρχεται από το μζςο Μ τθσ ΑΓ. (Μονάδεσ 10) γ) Το τετράπλευρο ΚΜΓΒ είναι τραπζηιο και θ διάμεςόσ του είναι ίςθ με όπου α=βγ. (Μονάδεσ 8) 3, 4
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωροφμε ςημεία Ε, Ζ, Η, Θ ςτισ πλευρζσ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίςτοιχα, με ΑΕ=ΓΗ και ΒΖ=ΔΘ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΓΗ είναι παραλληλόγραμμο. (6 μονάδεσ) β) Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. (10 μονάδεσ) γ) Τα τμήματα ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΖΘ διζρχονται από το ίδιο ςημείο. (9 μονάδεσ)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ςημεία Κ, Λ τησ διαγωνίου του ΒΔ, τζτοια ώςτε να ιςχφει ΒΚ=ΚΛ=ΛΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΓΛ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 10) β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβοσ, τότε και το ΑΚΓΛ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) γ) Ποιά πρζπει να είναι η ςχζςη των διαγωνίων του αρχικοφ παραλληλογράμμου ΑΝΓΔ, ώςτε το ΑΚΓΛ να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ και ζςτω Ο το ςθμείο τομισ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. Φζρνουμε τθν ΑΕ κάκετθ ςτθν διαγώνιο ΒΔ. Εάν Ζ είναι το ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τθν διαγώνιο ΒΔ, τότε να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) ΖΓ = 2ΟΕ. (Μονάδεσ 9) γ) Το ΒΔΖΓ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Στην προζκταςη τησ πλευράσ ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΒΕ=ΑΒ και ςτην προζκταςη τησ πλευράσ ΑΔ τμήμα ΔΖ=ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τετράπλευρα ΒΔΓΕ και ΒΔΖΓ είναι παραλληλόγραμμα. (Μονάδεσ 7) ii. Τα ςημεία Ε, Γ και Ζ είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 9) β) Αν Κ και Λ είναι τα μζςα των ΒΕ και ΔΖ αντίςτοιχα, τότε ΚΛ// ΔΒ και ΚΛ = 3 ΔΒ. 2 (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και το φψοσ του ΑΜ. Φζρουμε ΜΔ κάθετη ςτην ΑΓ και θεωροφμε Η το μζςο του τμήματοσ ΜΔ. Από το Η φζρουμε παράλληλη ςτη ΒΓ η οποία τζμνει τισ ΑΜ και ΑΓ ςτα ςημεία Κ και Ζ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΗΖ = 4 (Μονάδεσ 9) β) ΜΖ // ΒΔ (Μονάδεσ 8) γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη ςτη ΒΔ. (Μονάδεσ 8)
Ζςτω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α, για την οποία ιςχύει Θ ΔΕ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΑΔΒ και η ΔΗ παράλληλη ςτην ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:. α) Τα τμήματα ΕΔ και ΑΓ είναι παράλληλα. (Μονάδεσ 9) β) Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) γ) Τα τμήματα ΑΔ και ΕΗ διχοτομούνται. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=60 ο. Φζρνουμε τα φψθ ΑΔ και ΓΕ που τζμνονται ςτο Η. Φζρνουμε ΚΖ διχοτόμο τθσ γωνίασ ΕΗΑ και ΘΗ κάκετο ςτο φψοσ ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Για το τμιμα ΖΕ ιςχφει ΖΗ=2ΕΖ. (Μονάδεσ 9) β) Το τρίγωνο ΘΖΗ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΘΗΚΒ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ςημείο Ε ζτςι ώςτε. Στην προζκταςη τησ ΑΒ (προσ το Β) θεωροφμε ΑΕ=ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ θεωροφμε ςημείο Δ ζτςι ώςτε. Αν τα τμήματα ΔΕ και ΒΓ τζμνονται ςτο Κ και η προζκταςη τησ ΑΚ τζμνει την ΕΓ ςτο Μ. Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδεσ 6) β) (Μονάδεσ 7) γ) Η ΑΚ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α. (Μονάδεσ 6) δ) Η ΑΜ είναι μεςοκάθετοσ τησ ΕΓ. (Μονάδεσ 6) ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά: Γεωμετρία ΤΥΠΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. Ε. Λ.
ΣΤΟΧΟΙ του Π.Σ. των οποίων η υλοποίηςη ελζγχεται μζςω τησ δραςτηριότητασ Τ2 Τ3 Ενδεικτική Απάντηση 4.1 4.2 ΘΕΜΑ 4 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ τησ δραςτηριότητασ
Δίνεται κφκλοσ με κζντρο Ο και ακτίνα ρ. Ζςτω ςθμείο Α εξωτερικό του κφκλου και τα εφαπτόμενα τμιματα ΑΒ και ΑΓ ϊςτε να ιςχφει 60 εφαπτόμενθ του κφκλου ςτο Δ τζμνει τισ ΑΒ και ΑΓ ςτα Ε και Η αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι:. Ζςτω ότι θ α) Το τετράπλευρο ΑΒΟΓ είναι εγγράψιμο με ΟΑ=2ΟΒ. (Μονάδεσ 6) β) Το τρίγωνο ΑΕΗ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 6) γ) 2 (Μονάδεσ 7) δ) Το τετράπλευρο ΕΗΒΓ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται κφκλοσ (Ο, ρ) και ΑΓ μια διάμετρόσ του. Θεωροφμε τισ χορδζσ ΑΔ=ΒΓ. Ζςτω Κ και Λ τα μζςα των χορδών ΔΓ και ΒΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδζσ ΑΒ και ΔΓ είναι παράλληλεσ. (Μονάδεσ 6) β) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 6) γ) Η ΒΔ είναι διάμετροσ του κφκλου. (Μονάδεσ 7) δ) Το τετράπλευρο ΟΛΓΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 6)
Στισ πλευρζσ x' και Ax γωνίασ Λ x ' Ax κεωροφμε ςθμεία Β και Γ ώςτε ΑΒ=ΑΓ. Οι κάκετεσ ςτισ Αx και Αx ςτα ςθμεία Β και Γ αντίςτοιχα, τζμνονται ςτο Δ. Αν οι θμιευκείεσ Ay και Az χωρίηουν τθ γωνία Λ x ' Ax ςε τρεισ ίςεσ γωνίεσ και τζμνουν τισ ΒΔ και ΔΓ ςτα ςθμεία Ε και Ζ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο Δ EAZ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) β) Το Δ ανικει ςτθ διχοτόμο τθσ γωνίασ Λ x ' Ax. (Μονάδεσ 8) γ) Οι γωνίεσ ΓΒΔ και ΓΑΔ είναι ίςεσ. (Μονάδεσ 9)
Θζμα 4 Στο παρακάτω ςχιμα το ορκογώνιο ΕΗΘΘ παριςτάνει ζνα τραπζηι του μπιλιάρδου. Ζνασ παίκτθσ τοποκετεί μια μπάλα ςτο ςθμείο Α το οποίο ανικει ςτθ μεςοκάκετθ τθσ ΘΘ και απζχει από αυτι απόςταςθ ίςθ με ΘΘ. Όταν ο παίκτθσ χτυπιςει τθ μπάλα αυτι ακολουκεί τθ διαδρομι Α Β Γ Δ Α χτυπώντασ ςτουσ τοίχουσ του μπιλιάρδου ΕΘ, ΘΘ, ΗΘ διαδοχικά. Για τθ διαδρομι αυτι ιςχφει ότι κάκε γωνία πρόςπτωςθσ ςε τοίχο (π.χ θ γωνία ΑΒΕ) είναι ίςθ με κάκε γωνία ανάκλαςθσ ςε τοίχο (π.χ θ γωνία ΘΒΓ) και θ κάκε μια απ αυτζσ είναι 45 ο. α) Να αποδείξετε ότι: i. Θ διαδρομι ΑΒΓΔ τθσ μπάλασ είναι τετράγωνο. (Μονάδεσ 9) ii. Το ςθμείο Α ιςαπζχει από τα τισ κορυφζσ Ε και Η του μπιλιάρδου. (Μονάδεσ 8) β) Αν θ ΑΗ είναι διπλάςια από τθν απόςταςθ του Α από τον τοίχο ΕΗ, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΑΕΗ. (Μονάδεσ 8)
Σε τρίγωνο οι διχοτόμοι των γωνιών και τζμνονται ςτο Δ. Η εξωτερικι διχοτόμοσ τθσ Β τζμνει τθν προζκταςθ τθσ ΓΔ ςτο Ε. Δίνεται ότι 70 2 α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου. (Μονάδεσ 8) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΒΕ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 9) γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΒΕ είναι ιςοςκελζσ (Μονάδεσ 8)
Ζςτω ορθογώνιο τρίγωνο με 90. Στθν πλευρά ΒΓ θεωροφμε τα ςθμεία Κ, Μ, Λ ώςτε. Αν τα ςθμεία Δ και Ε είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΕΛΚ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 13) 3 β) Η διάμεςοσ του τραπεηίου ΚΔΑΜ ιςοφται με 8. ( Μονάδεσ 12)
Ζςτω ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) με 2 και. 2 Φζρουμε τθ διχοτόμο τθσ γωνίασ, θ οποία τζμνει το ΔΓ ςτο Κ και θ κάθετθ από το Κ προσ το ΒΓ το τζμνει ςτο Μ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του ΑΒΓΔ. (Μονάδεσ 10) β) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΚΔ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) ii. Το ςθμείο Μ είναι το μζςο του ΒΓ. (Μονάδεσ 7)
Ζςτω τετράγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μζςο τθσ πλευράσ ΔΑ. Προεκτείνουμε το τμιμα ΔΑ (προσ τθν πλευρά του Α)κατά τμιμα ΑΝ=. Φζρουμε τα τμιματα ΓΜ και ΒΝ και 2 κεωροφμε τα μζςα τουσ Κ και Λ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΝΒΓ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΑΔΚΛ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΜΚΛ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8)
Ζςτω κφκλοσ με κζντρο Ο και δφο κάθετεσ ακτίνεσ του ΟΒ και ΟΓ. Ζςτω Α το μζςον του τόξου ΒΓ. Από το Α φζρω κάθετεσ ςτισ ακτίνεσ ΟΒ και ΟΓ που τισ τζμνουν ςτα Δ και Ε αντίςτοιχα. Οι προεκτάςεισ των ΑΔ και ΑΕ τζμνουν τον κφκλο ςτα ςθμεία Η και Θ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΗ=ΑΘ. (Μονάδεσ 4) α) Το ΑΔΟΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 7) β) Τα ςθμεία Η και Θ είναι αντιδιαμετρικά. (Μονάδεσ 7) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΘΗ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 7)
Ζςτω παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB = 2BG. Στθν προζκταςθ του ΒΓ (προσ το Γ) κεωροφμε τμιμα. Θεωροφμε ςθμείο Ε ςτθ ΑΒ, τζτοιο ώςτε ΕΓ=ΓΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Θ γωνία ΒΕΗ είναι ορκι. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΑΕΓΔ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΑΓΗΔ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΚ διχοτόμο τησ γωνίασ Α. Στην προζκταςη τησ ΑΚ θεωροφμε ςημείο Δ ώςτε. Η παράλληλη από το Δ προσ την ΑΒ τζμνει τισ ΑΓ και ΒΓ ςτα Ε και Ζ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) β) Η ΕΚ είναι μεςοκάθετοσ τησ ΑΔ. (Μονάδεσ 6) γ) Τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΚΔΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 7) δ) Το τετράπλευρο ΑΖΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προζκταςη του φψουσ του ΑΚ θεωροφμε ςημείο Δ ϊςτε. Ζςτω Λ, Μ, Ν τα μζςα των πλευρϊν ΑΒ, ΑΓ και ΒΔ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) Το τετράπλευρο ΒΛΚΝ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 9) γ) (Μονάδεσ 9)
Θεωροφμε τρίγωνο ΑΒΓ και τισ μεςοκαθζτουσ μ1, μ2 των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ, οι οποίεσ τζμνονται ςτο μζςο Μ τησ ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ii. iii. 90. (Μονάδεσ 5) Το τετράπλευρο ΑΛΜΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο., όπου Θ το ςημείο τομήσ των ΑΜ και ΚΛ. 4 δ) Αν Ι ςημείο τησ ΒΓ τζτοιο ώςτε (Μονάδεσ 7) (Μονάδεσ 6), να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΘΙΒ 4 είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ με //, 4 και 2. Θεωροφμε ςθμείο Ζ τθσ ΓΔ, ϊςτε. Αν θ γωνία Γ είναι 60 0 και ΒΕ το φψοσ του τραπεηίου, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 8) γ) Τα τρίγωνα ΔΑΖ και ΓΑΕ είναι ίςα. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ με και ΒΖ κάκετα ςτισ διαγώνιεσ ΒΔ και ΑΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: // και ΑΔ= ΒΓ =ΑΒ. Φζρουμε τμιματα ΑΕ α) Τα ςθμεία Ζ και Ε είναι μζςα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 5) β) ΑΕ =ΒΖ. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΑΕΖΒ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 7) δ) Η ΒΔ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Δ. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ τζτοιο ώςτε αν φζρουμε την κάθετη ςτην ΑΓ ςτο κζντρο του Ο, αυτή τζμνει την προζκταςη τησ ΑΔ ςε ςημείο Ε τζτοιο ώςτε ΔΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) Το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 9) γ) Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στθν προζκταςθ τθσ ΒΓ (προσ το Γ) κεωροφμε τμιμα. Αν Μ, Κ και Λ είναι τα μζςα των πλευρών ΒΓ, ΑΒ και ΑΔ αντίςτοιχα τότε: α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΒΑΔ. (Μονάδεσ 7) β) Να αποδείξετε ότι: i) Το τετράπλευρο ΚΛΓΜ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο με τθ μεγάλθ βάςθ διπλάςια από τθ μικρι. (Μονάδεσ 8) ii) Το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ορκογώνιο. (Μονάδεσ 10)
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ο περιγεγραμμζνοσ του κφκλοσ (Ο, ρ) ϊςτε η διαγϊνιοσ του ΔΒ να είναι διάμετροσ του κφκλου. Η γωνία Β είναι διπλάςια τησ γωνίασ Δ και οι πλευρζσ ΑΒ και ΒΓ είναι ίςεσ. Φζρουμε κάθετη ςτη ΒΔ ςτο Ο, η οποία τζμνει τισ πλευρζσ ΑΔ και ΓΔ ςτα Ε και Ζ αντίςτοιχα. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τετραπλεφρου ΑΒΓΔ. (Μονάδεσ 6) β) Να ςυγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΑΒ και ΔΓΒ. (Μονάδεσ 6) γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΟ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 7) γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΟΕ είναι εγγράψιμο ςε κφκλο. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ 90 με ΒΔ διχοτόμο και ΑΚ φψοσ, που τζμνονται ςτο Ε. Η κάθετη από το Ε ςτην ΑΒ τζμνει τισ ΑΒ και ΒΓ ςτα Η και Ζ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 6) ii. το τρίγωνο ΒΚΗ είναι ιςοςκελζσ τρίγωνο. (Μονάδεσ 6) iii. Οι ΑΖ και ΒΔ είναι κάθετεσ. (Μονάδεσ 7) β) Αν επιπλζον το ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ιςοςκελζσ, να αποδείξετε ότι η ΓΕ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ Γ. (Μονάδεσ 6) ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά: Γεωμετρία ΤΥΠΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. Ε. Λ. ΣΤΟΧΟΙ του Π.Σ. των Τ3 ΠΤ3 οποίων η υλοποίηςη ελζγχεται μζςω τησ δραςτηριότητασ
Ενδεικτική Απάντηση ΘΕΜΑ 4 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ τησ 4.1 4.2 δραςτηριότητασ
Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Με βάςθ τθν ΑΒ καταςκευάηουμε ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΔΒ, εκτόσ του τριγώνου ΑΒΓ, με γωνία Η των πλευρών ΑΔ και ΑΓ αντίςτοιχα. 120. Θεωροφμε τα μζςα Ζ και α) Να αποδείξετε ότι θ ΔΓ είναι μεςοκάκετοσ του ΑΒ. (Μονάδεσ 8) β) Αν θ ΔΓ τζμνει τθν ΑΒ ςτο Θ, να αποδείξετε ότι θ γωνία είναι ορκι. γ) Αν θ ΖΚ είναι θ κάκετθ ςτθν ΑΒ από το ςθμείο Ζ, να αποδείξετε ότι (Μονάδεσ 9). 4 (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) και Ο το ςθμείο τομισ των διαγωνίων του. Η ΑΓ είναι κάκετθ ςτθν ΑΔ και θ ΒΔ είναι κάκετθ ςτθν ΒΓ. Θεωροφμε τα μζςα Μ, Ε και Ζ των ΓΔ, ΒΔ και ΑΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΕ=ΜΖ. (Μονάδεσ 6) β) Η ΜΖ είναι κάκετθ ςτθν ΑΓ. (Μονάδεσ 6) γ) Τα τρίγωνα και είναι ίςα. (Μονάδεσ 7) δ) Η ΟΜ είναι μεςοκάκετοσ του ΕΖ. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο και τα μζςα Δ, Ε και Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίςτοιχα. Στην προζκταςη του ΜΔ (προσ το Δ) θεωροφμε τμήμα ΔΖ=ΔΜ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα και είναι ίςα. (Μονάδεσ 6) β) Το τετράπλευρο ΖΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 6) γ) Τα τμήματα ΖΕ και ΑΔ τζμνονται κάθετα και διχοτομοφνται. (Μονάδεσ 7) δ) Η ΒΖ είναι κάθετη ςτη ΖΑ. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται τρίγωνο με ΑΒ<ΑΓ. Φζρνουμε τμήμα ΒΔ κάθετο ςτην ΑΒ και με και τμήμα ΓΕ κάθετο ςτην ΑΓ με. Θεωροφμε τα μζςα Ζ και Θ των ΑΔ και ΑΕ καθώσ και τη διχοτόμο ΑΔ τησ γωνία. α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδεσ 9) β) Αν Κ τυχαίο ςημείο τησ διχοτόμου Αδ, να αποδείξετε ότι το Κ ιςαπζχει από τα μζςα Ζ και Θ. (Μονάδεσ 9) γ) Αν το Κ είναι ςημείο τησ διχοτόμου Αδ τζτοιο ώςτε ΚΖ=ΑΖ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΖΚΘ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται οξυγϊνιο ιςοςκελζσ τρίγωνο με ΑΒ=ΑΓ. Φζρνουμε τμήμα ΑΔ κάθετο ςτην ΑΒ και τμήμα ΑΕ κάθετο ςτην ΑΓ με ΑΔ=ΑΕ. Θεωροφμε τα μζςα Η, Θ και Μ τα μζςα των ΔΒ, ΕΓ και ΒΓ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ii. Το τρίγωνο και είναι ίςα. (Μονάδεσ 7) είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) iii. Θ ΑΜ είναι μεςοκάθετοσ του ΗΘ. (Μονάδεσ 7) β) Ζνασ μαθητήσ ςυγκρίνοντασ τα τρίγωνα «1. ΑΔ=ΑΕ από υπόθεςη 2. ΑΒ=ΑΓ πλευρζσ ιςοςκελοφσ τριγώνου 3. = ωσ κατακορυφήν και ζγραψε τα εξήσ: Άρα τα τρίγωνα είναι ίςα ζχοντασ δφο πλευρζσ ίςεσ μια προσ μια και την περιεχόμενη γωνία ίςη». Ο καθηγητήσ είπε ότι αυτή η λφςη περιζχει λάθοσ μπορείσ να το εντοπίςεισ; (Μονάδεσ 5)
Δίνεται τρίγωνο με Αδ τθ διχοτόμο τθσ γωνίασ. Θ μεςοκάκετοσ (μ) τθσ πλευράσ ΒΓ τζμνει τθν Αδ ςτο ςθμείο Δ. Από το Δ φζρνουμε τισ ΕΔ και ΗΔ κάκετεσ ςτισ ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΒΕ=ΓΗ. (Μονάδεσ 10) ii. Το τετράπλευρο ΒΗΓΕ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 10) β) Κάποιοσ μακθτισ ζκανε τον εξισ ςυλλογιςμό: «Τα τρίγωνα 1. ΑΔ κοινή και ζχουν 2. λόγω μεσοκαθζτου 3. Γωνίες λόγω διχοτόμου. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα σφμφωνα με το κριτήριο Πλευρά-Γωνία-Πλευρά» Ζχει δίκιο ι όχι ο μακθτισ; Να δικαιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ. (Μονάδεσ 5)
Ζςτω ιςοςκελζσ τρίγωνο με 120. Φζρουμε ημιευθεία Αx κάθετη ςτην ΑΓ ςτο Α, η οποία τζμνει τη ΒΓ ςτο Δ. Ζςτω Λ το μζςο του ΑΒ και Κ το μζςο του ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ (Μονάδεσ 8) β) 2 (Μονάδεσ 8) γ) // (Μονάδεσ 5) δ) ΑΚ=2ΛΔ (Μονάδεσ 4)
Έςτω ορθογώνιο τρίγωνο με 90 και 60. Η διχοτόμοσ τησ γωνίασ τζμνει την ΑΓ ςτο Ζ. Τα ςημεία Μ και Κ είναι τα μζςα των ΒΖ και ΒΓ αντίςτοιχα. Αν το τμήμα ΓΛ είναι κάθετο ςτη διχοτόμο Βδ να αποδείξετε: α) Το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) β) Το τετράπλευρο ΑΜΚΖ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 6) γ) 2 (Μονάδεσ 7) δ) (Μονάδεσ 6)
Ζςτω τρίγωνο με διάμεςο ΑΜ τζτοια ϊςτε ΑΜ=ΑΒ. Φζρουμε το φψοσ του ΑΚ και το προεκτείνουμε (προσ το Κ) κατά τμήμα ΑΜ (προσ το Μ) κατά τμήμα ΜΕ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι:. Προεκτείνουμε τη διάμεςο α) και 2 (Μονάδεσ 7) β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 6) γ) Το τετράπλευρο ΑΒΔΜ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 6) δ) Θ προζκταςη τησ ΔΜ τζμνει το ΑΓ ςτο μζςον του Η. (Μονάδεσ 6)
Ζςτω κφκλοσ με κζντρο Ο και διάμετρο ΚΛ. Ζςτω Α ςημείο του κφκλου ώςτε η ακτίνα ΟΑ να είναι κάθετη ςτην ΚΛ. Φζρουμε τισ χορδζσ. Ζςτω Δ και Ε τα ςημεία τομήσ των προεκτάςεων των ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα με την ευθεία τησ διαμζτρου ΚΛ. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΑΓ είναι 120 ο. (Μονάδεσ 7) β) Τα ςημεία Β και Γ είναι μζςα των ΑΔ και ΑΓ αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 9) γ). (Μονάδεσ 9)
Θεωροφμε ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ, και την ευθεία ε τησ εξωτερικήσ διχοτόμου τησ γωνίασ Α. Θ κάθετη ςτην πλευρά ΑΒ ςτο Β τζμνει την ε ςτο Κ και την ευθεία ΑΓ ςτο Η. Θ κάθετη ςτην πλευρά ΑΓ ςτο Γ τζμνει την ε ςτο Λ και την ευθεία ΑΒ ςτο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i. AZ=AE (Μονάδεσ 8) ii. ΑΚ=ΑΛ (Μονάδεσ 9) β) Ζνασ μαθητήσ κοιτϊντασ το ςχήμα, διατφπωςε την άποψη ότι η ΑΘ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α του τριγϊνου ΑΒΓ, όπου Θ το ςημείο τομήσ των ΚΗ και ΕΛ. Συμφωνείτε με την παραπάνω ςκζψη του μαθητή ή όχι; Δικαιολογήςτε πλήρωσ την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 8)
Δίνονται δυο ίςα ιςοςκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΑΒΔ (ΑΒ=ΑΔ), τζτοια ώςτε οι πλευρζσ τουσ ΑΓ και ΒΔ να είναι κάθετεσ. Τα ςημεία Κ και Λ είναι τα μζςα των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΕΔ=ΕΓ. (Μονάδεσ 7) β) ΔΓ//ΑΒ. (Μονάδεσ 8) γ) Το τρίγωνο ΕΚΛ είναι ιςοςκελζσ και ΚΛ//ΑΒ. (Μονάδεσ 10)
Ζςτω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Ο το ςημείο τομήσ των διαγωνίων του και Κ το μζςο του ΓΔ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΟΚ κατά τμήμα διαγώνιο ΑΓ ςτο Θ. Να αποδείξετε ότι:. Θ ΒΗ τζμνει τη α) Τα τμήματα ΟΓ και ΒΗ διχοτομοφνται. (Μονάδεσ 8) β). (Μονάδεσ 9) γ) Τα τρίγωνα και είναι ίςα. (Μονάδεσ 8)
Ζςτω ιςοςκελζσ τρίγωνο με. Προεκτείνουμε το ΒΓ (προσ το Γ) κατά τμήμα. Φζρουμε τισ διαμζςουσ ΑΕ και ΓΗ του τριγώνου τζμνονται ςτο Θ. Το ΒΘ προεκτεινόμενο, τζμνει το ΑΓ ςτο Κ και το ΑΔ ςτο Θ. Να αποδείξετε ότι: α) Το ΗΚΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 9) β). (Μονάδεσ 9) γ) ΑΘ=2ΗΘ. (Μονάδεσ 7) που
Ζςτω κφκλοσ με κζντρο Ο και διάμετρο ΑΒ. Φζρνουμε χορδή τησ. Από το Δ φζρνουμε το τμήμα ΔΕ κάθετο ςτη ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: // με Κ το μζςο α) Το τετράπλευρο ΚΓΟΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β). (Μονάδεσ 12) 2 γ). (Μονάδεσ 5)
Ζςτω ορθογώνιο τρίγωνο με 90 και Δ, Ε και Ν τα μζςα των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίςτοιχα. Στο τμήμα ΒΓ θεωροφμε ςημεία Κ και Λ ώςτε. Να αποδείξετε ότι: α) 2 και και 2. (Μονάδεσ 10) β) Το τετράπλευρο ΔΕΛΚ είναι παραλληλόγραμμο με 2. γ ) (Μονάδεσ 8) (Μονάδεσ 7) 4
Ζςτω τρίγωνο ( ), ΑΔ το φψοσ του και Μ το μζςο του ΑΒ. Η προζκταςη τησ ΜΔ τζμνει την προζκταςη τησ ΑΓ ςτο ςημείο Ε ϊςτε Να αποδείξετε ότι:. α). (Μονάδεσ 8) β) 2. (Μονάδεσ 10) γ) ΓΕ<ΑΓ. (Μονάδεσ 7)
Ζςτω τρίγωνο, ΑΔ η διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α και Μ το μζςον τησ ΑΒ. Η κάθετη από το Μ ςτην ΑΔ τζμνει το ΑΓ ςτο Ε. Η παράλληλη από το Β ςτο ΑΓ τζμνει την προζκταςη τησ ΑΔ ςτο Κ και την προζκταςη τησ ΕΜ ςτο Λ Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΜ, ΜΒΛ και ΑΒΚ είναι ιςοςκελή. (Μονάδεσ 15) β) Το τετράπλευρο ΑΛΒΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 10)
Ζςτω ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ ( 90 ). Με διάμετρο την πλευρά του ΑΓ φζρουμε κφκλο που τζμνει την υποτείνουςα ΒΓ ςτο Δ. Απο το Δ φζρουμε εφαπτόμενο τμήμα το οποίο τζμνει την ΑΒ ςτο Μ. Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδεσ 9) β) Το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) γ) Το Μ είναι το μζςο του ΑΒ. (Μονάδεσ 7)
Ζςτω ιςοςκελζσ τρίγωνο ( ) και ΑΔ διάμεςοσ. Στο τμιμα ΑΔ κεωροφμε τυχαίο ςθμείο Κ από το οποίο φζρνουμε τα τμιματα ΚΗ και ΚΕ κάκετα ςτισ ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i.. (Μονάδεσ 6) ii. Το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) iii. Το τετράπλευρο ΗΕΓΒ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 7) β) Ζνασ μακθτισ ςτο (αi.) ερώτθμα ζδωςε τθν εξισ απάντθςθ: «Το τμήμα ΑΔ είναι διάμεςοσ ςτη βάςη ιςοςκελοφσ άρα φψοσ και διχοτόμοσ του τριγϊνου είναι ιςοςκελζσ. και μεςοκάθετοσ του ΒΓ. Οπότε και το τρίγωνο Τα τρίγωνα, ζχουν 1. 2. επειδή ΑΚ διχοτόμοσ τησ 3. ωσ διαφορζσ ίςων γωνιϊν ιςοςκελϊν τριγϊνων. Άρα τα τρίγωνα είναι ίςα βάςη του κριτηρίου Γωνία Πλευρά Γωνία.» Ο κακθγθτισ είπε ότι θ απάντθςι του είναι ελλιπισ. Να ςυμπλθρώςετε τθν απάντθςθ του μακθτι ώςτε να ικανοποιεί το κριτιριο Γωνία Πλευρά- Γωνία διατθρώντασ τισ πλευρζσ ΒΚ και ΚΓ. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και το φψοσ του ΑΗ. Αν Δ, Ε και Ζ είναι τα μζςα των ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι : α) το τετράπλευρο ΔΕΖΗ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) β) οι γωνίεσ ΗΔΖ και ΗΕΖ είναι ίςεσ. (Μονάδεσ 8) γ) οι γωνίεσ ΕΔΖ και ΕΗΖ είναι ίςεσ. (Μονάδεσ 9)
Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ ( = 90 o ) και ΔΒΓ ( 90 ) (όπου Α και Δ εκατζρωθεν τησ ΒΓ) και το μζςο Μ τησ ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΑΜΔ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) β) 2 (Μονάδεσ 9) γ) (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Στην πλευρά ΑΓ θεωροφμε ςημείο Ε τζτοιο ϊςτε ΑΕ = ΑΒ. Να αποδείξετε ότι : α) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίςα. (Μονάδεσ 7) β) η ευθεία ΑΔ είναι μεςοκάθετοσ του τμήματοσ ΒΕ. (Μονάδεσ 9) γ) αν το φψοσ από την κορυφή Β του τριγϊνου ΑΒΓ τζμνει την ΑΔ ςτο Η τότε η ευθεία ΕΗ είναι κάθετη ςτην ΑΒ. (Μονάδεσ 9)
Ζςτω ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μζςο τησ ΒΓ. Φζρουμε ΓΔ ΒΓ με ΓΔ=ΑΒ ( Α,Δ εκατζρωθεν τησ ΒΓ ). Nα αποδείξετε ότι: α) ΑΜ // ΓΔ (Μονάδεσ 6) β) η ΑΔ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ˆ. (Μονάδεσ 7) γ) ˆ ˆ 45 (Μονάδεσ 7) 2 δ) ΑΔ < 2 ΑΒ (Μονάδεσ 5)
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Από το Β φζρουμε κάθετθ ςτθν διχοτόμο ΑΜ τθσ γωνίασ Α, θ οποία τζμνει τθν ΑΜ ςτο Η και τθν ΑΓ ςτο Δ. Στθν προζκταςθ τθσ ΑΗ θεωροφμε ςθμείο Ζ τζτοιο ώςτε ΑΗ = ΗΖ και ζςτω Θ το μζςο τθσ πλευράσ ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 9) β) το τετράπλευρο ΗΒΖΘ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 9) γ) θ διάμεςοσ του τραπεηίου ΗΒΖΘ είναι ίςθ με. (Μονάδεσ 7) 4
Στο παρακάτω ςχήμα φαίνονται οι θζςεισ ςτο χάρτη πζντε χωριών Α, Β, Γ, Δ και Ε και οι δρόμοι που τα ςυνδζουν. Το χωριό Ε ιςαπζχει από τα χωριά Β, Γ και επίςησ από τα χωριά Α και Δ. α) Να αποδείξετε ότι: i. η απόςταςη των χωριών Α και Β είναι ίςη με την απόςταςη των χωριών Γ και Δ. (Μονάδεσ 5) ii. αν οι δρόμοι ΑΒ και ΓΔ ζχουν δυνατότητα να προεκταθοφν, να αποδείξετε ότι αποκλείεται να ςυναντηθοφν. (Μονάδεσ 5) iii. τα χωριά Β και Γ ιςαπζχουν από τον δρόμο ΑΔ. (Μονάδεσ 8) β) Να προςδιορίςετε γεωμετρικά το ςημείο του δρόμου ΑΓ που ιςαπζχει από τα χωριά Α και Δ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΑΔ και οι διχοτόμοι των γωνιών του ΑΡ, ΒΕ, ΓΣ και ΔΤ (όπου Ρ, Ε ςτην ΔΓ και Σ, Τ ςτην ΑΒ) τζμνονται ςτα ςημεία Κ, Λ, M και N όπωσ φαίνεται ςτο παρακάτω ςχήμα. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΔΕΒΤ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 7) β) το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 8) γ) ΛΝ // ΑΒ (Μονάδεσ 5) δ) ΛΝ = ΑΒ ΑΔ (Μονάδεσ 5)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, εγγεγραμμζνο ςε κφκλο με κζντρο Ο. Θεωροφμε το μζςο Μ του κυρτογϊνιου τόξου ΒΓ και το φψοσ ΑΔ του τριγϊνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΔΑΟ. (Μονάδεσ 8) β) (Μονάδεσ 9) γ) (Μονάδεσ 8)
Ζςτω ΑΒΓΔ ορθογώνιο με ΑΒ>ΒΓ τζτοιο ώςτε οι διαγώνιοί του να ςχθματίηουν γωνία 60. Από το Δ φζρουμε ΔΜ κάθετθ ςτθν ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. το ςθμείο Μ είναι μζςο του ΑΟ όπου Ο το κζντρο του ορθογωνίου. (Μονάδεσ 8) ii. ΑΜ= 1 ΑΓ (Μονάδεσ 7) 4 β) Αν από το Γ φζρουμε ΓΝ κάθετθ ςτθ ΒΔ, να αποδείξετε ότι το ΜΝΓΔ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 10)
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) φζρουμε τη διχοτόμο του ΑΔ. Eςτω ΔΚ και ΔΡ οι προβολζσ του Δ ςτισ ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. Η κάθετη τησ ΒΓ ςτο ςημείο Δ τζμνει την πλευρά ΑΓ ςτο Ε και την προζκταςη τησ πλευράσ ΑΒ (προσ το Β) ςτο ςημείο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι: i. (Μονάδεσ 8) ii. ΔΕ=ΔΒ (Μονάδεσ 8) β) Να υπολογίςετε τη γωνία ΔΓΖ (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φζρουμε τα φψη ΑΚ και ΓΛ. Αν Ε το μζςο τησ πλευράσ ΑΓ τότε : α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΛ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 10) β) Αν η γωνία Β είναι 80 0, να αποδείξετε ότι η ΚΛ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΒΚΕ. (Μονάδεσ 15)
Σε ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α 90 0 ) ζχουμε ότι 0 Β 30. Φζρουμε το φψοσ ΑΗ και τη διάμεςο ΑΜ του τριγϊνου ΑΒΓ. Από την κορυφή Β φζρνουμε κάθετη ςτη διάμεςο ΑΜ, η οποία την τζμνει ςτο ςημείο Ε όπωσ φαίνεται ςτο παρακάτω ςχήμα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ ΒΕ, (Μονάδεσ 7) 2 β) ΑΗ=ΒΕ, (Μονάδεσ 7) γ) το τετράπλευρο ΑΗΕΒ είναι εγγράψιμο, (Μονάδεσ 6) δ) ΕΗ//ΑΒ. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμζνο ςε κφκλο (Ο,R). Ζςτω ςημείο Δ του τόξου ΑΒ τζτοιο ώςτε ΔΒ ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ ΑΓ. (Μονάδεσ 8) β) Ζςτω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΒΗ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 9) γ) Αν Μ το μζςον τησ ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΟΜ=. (Μονάδεσ 8) 2
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεςόσ του ΑΔ. Ζςτω Ε, Η και Θ είναι τα μζςα των ΒΔ, ΑΔ και ΑΓ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 10) β) Να βρείτε τη ςχζςη των πλευρών ΑΒ και ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ, ώςτε το παραλληλόγραμμο ΔΕΗΘ να είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 10) γ) Στην περίπτωςη που το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (η γωνία Β ορθή), να βρείτε το είδοσ του παραλληλογράμμου ΔΕΗΘ. (Μονάδεσ 5)