Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Υποενότητα 1
Σκοποί 1 ης υποενότητας Να μάθουν οι φοιτητές να μοντελοποιούν και να επιλύουν με τη μέθοδο simplex ειδικές περιπτώσεις, όπως: η περίπτωση των εναλλακτικών βέλτιστων λύσεων η περίπτωση της καμίας εφικτής λύσης η περίπτωση του μη φραγμένου προβλήματος η περίπτωση όπου οι μεταβλητές δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές τους Να μάθουν οι φοιτητές να μοντελοποιούν και να επιλύουν με τη μέθοδο simplex περιπτώσεις ισοβαθμίσεων 3
Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Καμία εφικτή λύση Μη φραγμένο πρόβλημα Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές Ισοβαθμίσεις στη μέθοδο simplex 4
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (1/9) Έστω το παρακάτω μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 11,7x 1 + 19,5x 2 με περιορισμούς: 25x 1 + 15x 2 7500 3x 1 + 5x 2 1060 x 1 x 2 72 x 1, x 2 0 5
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (2/9) Τελικός πίνακας simplex c B Βάση 11,7 19,5 0 0 0 x 1 x 2 s 1 s 2 e 3 Δεξιό μέλος Πηλίκο 0 s 1 0 0 1-5 10 1480 19,5 x 2 0 1 0 0,125 0,375 105,5 11,7 x 1 1 0 0 0,125-0,625 177,5 z j 11,7 19,5 0 3,9 0 4134 c j -z j 0 0 0-3,9 0 6
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (3/9) Παρατηρούμε ότι το στοιχείο c j -z j για τη μη βασική μεταβλητή e 3 είναι μηδενικό Σε όλες τις λύσεις που έχουμε δει μέχρι τώρα, οι μη βασικές μεταβλητές έχουν στον τελικό πίνακα simplex μη μηδενικό στοιχείο στη σειρά c j -z j, το οποίο στα προβλήματα μεγιστοποίησης πρέπει να είναι αρνητικό 7
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (4/9) Αν ήταν θετικό, αυτό θα σήμαινε ότι υπάρχει περιθώριο βελτίωσης με την είσοδο της εν λόγω μεταβλητής στη βάση Η μεταβλητή e 3 είναι μη βασική, αλλά έχει κόστος μηδενικό Επομένως, για να εισέλθει στη βάση, δε χρειάζεται να βελτιωθεί ο συντελεστής της στην αντικειμενική συνάρτηση 8
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (5/9) Δηλαδή, αν εισέλθει η e 3 στη βάση, η επίδρασή της στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μονάδα αύξησής της είναι μηδενική Άρα, υπάρχει εναλλακτική λύση, στην οποία η e 3 μπορεί να είναι βασική μεταβλητή 9
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (6/9) Για να βρούμε την εναλλακτική λύση, αρκεί να εκτελέσουμε τη μέθοδο simplex ακόμα μία επανάληψη c B Βάση 11,7 19,5 0 0 0 x 1 x 2 s 1 s 2 e 3 Δεξιό μέλος Πηλίκο 0 s 1 0 0 1-5 10 1480 148 19,5 x 2 0 1 0 0,125 0,375 105,5 281,333 11,7 x 1 1 0 0 0,125-0,625 177,5 - z j 10,5 19,5 0 3,9 0 4134 c j -z j 0 0 0-3,9 0 10
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (7/9) Τελικός πίνακας simplex c B Βάση 11,7 19,5 0 0 0 x 1 x 2 s 1 s 2 e 3 Δεξιό μέλος Πηλίκο 0 s 1 0 0 0,1-0,5 1 1480 19,5 x 2 0 1-0,0375 0,312 0 50 11,7 x 1 1 0 0,0625-0,188 0 270 z j 10,5 19,5 0 3,8844 0 4134 c j -z j 0 0 0-3,8844 0 11
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (8/9) Γραφική επίλυση του προβλήματος Η εφικτή περιοχή είναι αυτή για την οποία ισχύει 25x 1 + 15x 2 7500 3x 1 + 5x 2 1060 x 1 x 2 72 x 1, x 2 0 12
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (9/9) Γραφική επίλυση του προβλήματος Η εφικτή περιοχή είναι το τετράπλευρο που ορίζεται από τα σημεία Α(72,0) Β(300,0) Γ(270,50) Δ(177,5, 105,5) Βέλτιστες λύσεις είναι όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Γ και Ε με z=4134 13
Καμία εφικτή λύση (1/6) Έστω το παρακάτω μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 10,5x 1 + 19,5x 2 με περιορισμούς: 25x 1 + 15x 2 9000 3x 1 + 5x 2 1060 x 1 x 2 72 x 1, x 2 0 14
Καμία εφικτή λύση (2/6) Τυποποιημένη μορφή Maximize z = 10,5x 1 + 19,5x 2 + 0e 1 + 0s 2 + 0e 3 Mα 1 Mα 3 με περιορισμούς: 25x 1 + 15x 2 - e 1 + α 1 = 7500 3x 1 + 5x 2 + s 2 = 1060 x 1 x 2 e 3 + α 3 = 72 x 1, x 2, e 1, s 2, e 3, α 1, α 3 0 15
Καμία εφικτή λύση (3/6) Αρχικός πίνακας simplex c B Βάση 10,5 19,5 0 -Μ 0 0 -Μ x 1 x 2 e 1 α 1 s 2 e 3 α 3 Δεξιό μέλος Πηλίκο -Μ α 1 25 15-1 1 0 0 0 9000 360 0 s 2 3 5 0 0 1 0 0 1060 353,333 -Μ α 3 1-1 0 0 0-1 1 72 72 z j -26Μ -14Μ Μ -Μ 0 Μ -Μ -9072Μ c j -z j 10,5+ 26Μ 19,5+ 14Μ -Μ 0 0 -Μ 0 16
Καμία εφικτή λύση (4/6) Τελικός πίνακας simplex c B Βάση 10,5 19,5 0 -Μ 0 0 -Μ x 1 x 2 e 1 α 1 s 2 e 3 α 3 Δεξιό μέλος Πηλίκο -Μ α 1 0-80/3-1 1-25/3 0 0 500/3 0 e 3 0 8/3 0 0 1/3 1-1 844/3 10,5 x 1 1 5/3 0 0 1/3 0 0 1060/3 z j 0 17,5 +80M/3 M -M 3,5+ 25M/3 0 0 3710-500M/3 c j -z j 0 2-80M/3 -M 0-3,5-25M/3 0 -M 17
Καμία εφικτή λύση (5/6) Γραφική επίλυση του προβλήματος Η εφικτή περιοχή είναι αυτή για την οποία ισχύει 25x 1 + 15x 2 9000 3x 1 + 5x 2 1060 x 1 x 2 72 x 1, x 2 0 Ο 1 ος και ο 2 ος περιορισμός δεν μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα και επομένως δεν υπάρχει εφικτή περιοχή 18
Καμία εφικτή λύση (6/6) Τι πρέπει να γίνει για να προκύψει εφικτή λύση; 19
Μη φραγμένο πρόβλημα (1/7) Έστω το παρακάτω μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 500x 1-200x 2 με περιορισμούς: x 1 50 2x 1 - x 2 200 x 1, x 2 0 20
Μη φραγμένο πρόβλημα (2/7) Τυποποιημένη μορφή Maximize z = 500x 1-200x 2 + 0e 1 + 0s 2 Mα 1 με περιορισμούς: x 1 - e 1 + α 1 = 50 2x 1 - x 2 + s 2 = 200 x 1, x 2, e 1, s 2, α 1 0 21
Μη φραγμένο πρόβλημα (3/7) Γραφική επίλυση προβλήματος Η εφικτή περιοχή είναι αυτή για την οποία ισχύει x 1 50 2x 1 - x 2 200 x 1, x 2 0 Η εφικτή περιοχή ορίζεται από την ευθεία x=50, τον άξονα x και την ευθεία x 2 =2x 1-200 Είναι μη φραγμένη από την πάνω πλευρά 22
Μη φραγμένο πρόβλημα (4/7) Αρχικός πίνακας simplex c B Βάση 500-200 0 -Μ 0 x 1 x 2 e 1 α 1 s 2 Δεξιό μέλος Πηλίκο -Μ α 1 1 0-1 1 0 50 50 0 s 2 2-1 0 0 1 200 100 z j -Μ 0 Μ -Μ 0-50Μ c j -z j 500+Μ -200 -Μ 0 0 23
Μη φραγμένο πρόβλημα (5/7) Πίνακας simplex μετά την 1 η επανάληψη c B Βάση 500-200 0 -Μ 0 x 1 x 2 e 1 α 1 s 2 Δεξιό μέλος Πηλίκο 500 x 1 1 0-1 1 0 50-0 s 2 0-1 2-2 1 200 50 z j 500 0-500 500 0 25000 c j -z j 0-200 500-500-M 0 24
Μη φραγμένο πρόβλημα (6/7) Πίνακας simplex μετά τη 2 η επανάληψη c B Βάση 500-200 0 0 x 1 x 2 e 1 s 2 Δεξιό μέλος Πηλίκο 500 x 1 1-0,5 0 0,5 100-0 e 1 0-0,5 1 0,5 50 - z j 500-250 0 250 50000 c j -z j 0 50 0-250 25
Μη φραγμένο πρόβλημα (7/7) Συμπέρασμα Όταν σε κάποιο πίνακα simplex όλοι οι συντελεστές της εισερχόμενης μεταβλητής είναι αρνητικοί ή μηδέν, τότε το πρόβλημα είναι μη φραγμένο Για να φτάσουμε στο συμπέρασμα αυτό, δεν είναι απαραίτητο να εντοπίσουμε τον τελικό πίνακα simplex, διότι το πρόβλημα που δημιουργείται δεν μας αφήνει να φτάσουμε στον τελικό πίνακα 26
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (1/9) Θα ελεγχθεί η περίπτωση όπου, σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, κάποιες μεταβλητές μπορούν να πάρουν και αρνητικές τιμές (ή μόνο αρνητικές τιμές) Όταν κάποιες μεταβλητές δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές ή δε φράσσονται ούτε προς τα πάνω ούτε προς τα κάτω 27
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (2/9) Έστω το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Maximize z = 14x 1 + 6x 2 + 8x 3 με περιορισμούς 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 400 10x 1 + 8x 2 + 7x 3 1200 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 500 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 400 x 1, x 2, x 3 0 28
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (3/9) Έστω ότι η μεταβλητή x 2 μπορεί να πάρει και θετικές και αρνητικές τιμές (δεν περιορίζεται ως προς το πρόσημο) Μια τέτοια μεταβλητή μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη χρήση δύο βοηθητικών μεταβλητών Θα θεωρήσουμε τη μεταβλητή x 2 ως διαφορά δύο άλλων θετικών μεταβλητών x 2 και x 2 : x 2 = x 2 - x 2, x 2, x 2 0 29
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (4/9) Αν μια μεταβλητή παίρνει τιμές μικρότερες ή ίσες του μηδενός ο μετασχηματισμός που πρέπει να γίνει είναι ο εξής: x j = -x j, x j 0 30
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (5/9) Νέα κανονική μορφή Maximize z = 14x 1 + 6(x 2 - x 2 ) + 8x 3 με περιορισμούς 3x 1 + 2(x 2 - x 2 ) + 2x 3 400 10x 1 + 8(x 2 - x 2 ) + 7x 3 1200 5x 1 + 2(x 2 - x 2 ) + 3x 3 500 2x 1 + 3(x 2 - x 2 ) + 2x 3 400 x 1, x 2, x 2, x 3 0 31
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (6/9) Νέα τυποποιημένη μορφή Maximize z = 14x 1 + 6x 2-6x 2 + 8x 3 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 με περιορισμούς 3x 1 + 2x 2-2x 2 + 2x 3 +s 1 = 400 10x 1 + 8x 2-8x 2 + 7x 3 +s 2 = 1200 5x 1 + 2x 2-2x 2 + 3x 3 +s 3 = 500 2x 1 + 3x 2-3x 2 + 2x 3 +s 4 = 400 x 1, x 2, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3, s 4 0 32
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (7/9) Αρχικός πίνακας simplex c B Βάση 14 6-6 8 0 0 0 0 x 1 x 2 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 s 4 Δεξιό μέλος Πηλίκο 0 s 1 3 2-2 2 1 0 0 0 400 400/3 0 s 2 10 8-8 7 0 1 0 0 1200 120 0 s 3 5 2-2 3 0 0 1 0 500 100 0 s 4 2 3-3 2 0 0 0 1 400 200 z j 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c j -z j 14 6-6 8 0 0 0 0 33
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (8/9) Πίνακας simplex μετά την 1 η επανάληψη c B Βάση 14 6-6 8 0 0 0 0 x 1 x 2 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 s 4 Δεξιό μέλος Πηλίκο 0 s 1 0 0,8-0,8 0,2 1 0-0,6 0 100 125 0 s 2 0 4-4 1 0 1-2 0 200 50 14 x 1 1 0,4-0,4 0,6 0 0 0,2 0 100 250 0 s 4 0 2,2-2,2 0,8 0 0-0,4 1 200 90,91 z j 14 5,6-5,6 0 0 0 0 0 1400 c j -z j 0 0,4-0,4-0,4 0 0-2,8 0 34
Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές (9/9) Πίνακας simplex μετά τη 2 η επανάληψη (τελικός πίνακας) c B Βάση 14 6-6 8 0 0 0 0 x 1 x 2 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 s 4 Δεξιό μέλος Πηλίκο 0 s 1 0 0 0 0 1-0,2-0,2 0 60 6 x 2 0 1-1 0,25 0 0,25-0,5 0 50 14 x 1 1 0 0 0,5 0-0,1 0,4 0 80 0 s 4 0 0 0 0,25 0-0,55 0,7 1 90 z j 14 6-6 8,5 0 0,1 2,6 0 1420 c j -z j 0 0 0-0,5 0-0,1-2,6 0 35
Ισοβαθμίσεις στη μέθοδο simplex 1 η περίπτωση: όταν σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) η μεγαλύτερη θετική (μικρότερη αρνητική) τιμή στη σειρά c j z j, η οποία καθορίζει την εισερχόμενη μεταβλητή, εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές 2 η περίπτωση: όταν το ελάχιστο πηλίκο, που καθορίζει την εξερχόμενη μεταβλητή, εμφανίζεται σε περισσότερες από μία σειρές 36
Ισοβάθμιση στην εισερχόμενη μεταβλητή Η περίπτωση αυτή αντιμετωπίζεται επιλέγοντας αυθαίρετα μία από τις υποψήφιες εισερχόμενες μεταβλητές Η μέθοδος simplex θα συγκλίνει στο ίδιο τελικό αποτέλεσμα, όποιο κι αν είναι αυτό 37
Ισοβάθμιση στην εξερχόμενη μεταβλητή Η περίπτωση αυτή αντιμετωπίζεται επιλέγοντας αυθαίρετα μία από τις υποψήφιες εξερχόμενες μεταβλητές Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μηδενιστούν κάποιες βασικές μεταβλητές στην επόμενη επανάληψη, οι οποίες ονομάζονται εκφυλισμένες Μία βασική εφικτή λύση η οποία έχει τουλάχιστον μία μηδενική βασική μεταβλητή ονομάζεται εκφυλισμένη λύση 38
Τέλος Υποενότητας 1
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 40
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 42
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Επιχειρησιακή Έρευνα. Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt1 19. 43
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 44