Δόμηση παράλληλης διδασκαλίας πληροφορικής και μαθηματικών

Τ.Ε.Ι. Α.Μ.Θ. ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Δόμηση παράλληλης διδασκαλίας πληροφορικής και μαθηματικών Κωνσταντίνος Κουμπάκης (Α.Ε.Μ.: 1761) ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δρ. Βασίλειος Χατζής ΣΥΝΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δρ. Βασίλειος Σάλτας ΚΑΒΑΛΑ 2014

2014 Κωνσταντίνος Κουμπάκης All Rights Reserved Σελίδα 2 από 132

Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 8 1.1 Παράλληλη εκπαίδευση...8 1.2 Μοντέλα μαθηματικής εκπαίδευσης... 9 1.3 Διδακτική τεχνολογία...12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ...15 2.1 Βασικές αρχές... 15 2.2 Οι ιδιαιτερότητες εκπαιδευτικών λογισμικών...16 2.3 Η σχέση μαθηματικών και πληροφορικής...19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ... 22 3.1 Γενικά...22 3.2 Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής στο επίκεντρο της παράλληλης εκπαίδευσης... 23 3.3 Το μέλλον της παράλληλης εκπαίδευσης...23 3.4 Αξιολόγηση του κατασκευασμένου λογισμικού... 25 3.5 Πρόταση υλοποίησης της παράλληλης διδασκαλίας... 26 3.6 Γενικές παρατηρήσεις...28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΗ... 31 4.1 Γενικές παρατηρήσεις...31 4.2 Βασικές μαθηματικές...31 4.2.1 Η έννοια της δύναμης... 31 4.2.2 Έννοια της συνάρτησης... 32 4.3 Ασκήσεις...41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5Ο ΎΛΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ... 44 5.1 Γενικές παρατηρήσεις...44 5.2 Δομή επιλογής...44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6Ο ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ... 48 6.1 Γενικές παρατηρήσεις...48 6.2 Περιγραφή λογισμικού προγράμματος...48 6.2.1 Βασικά στοιχεία κώδικα...48 6.2.2 Βασική φόρμα του λογισμικού... 50 6.2.3 Φόρμα εκκίνησης του λογισμικού...52 6.2.4 Διεπαφική Φόρμα του λογισμικού...53 Σελίδα 3 από 132

6.2.5 Είσοδος, έξοδος και εγκυρότητα... 56 6.2.6 Η συνάρτηση mcradificationfrmcalc... 64 6.2.6 Η συνάρτηση mcresultfrmcalc... 66 6.2.7 Η συνάρτηση makegraph...80 6.2.8 Η συνάρτηση makemultigraph... 84 6.2.9 Η βοήθεια του λογισμικού...86 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 88 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 90 Παράρτημα 1ο: Παράθυρα κατασκευασμένου λογισμικού... 90 Παράρτημα 2ο: Κώδικας για ί^μ αίπ...95 Παράρτημα 3ο Κώδικας για frmabout...101 Παράρτημα 4ο: Κώδικας για frmcalc...105 Παράρτημα 5ο: Κώδικας για modbas...106 Παράρτημα 6ο: Κώδικας για modcal...106 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ...132 Βιβλιογραφία... 132 Αναφορές διαδικτύου... 132 Σελίδα 4 από 132

Εισαγωγή Είναι γεγονός πως η δομή του ελληνικού σχολείου δεν άλλαξε ιδιαίτερα από εκείνη που είχε τον περασμένο αιώνα, ότι αφορά τα μαθηματικά και την πληροφορική. Παραμένει στάσιμο η σχεδόν στάσιμο σε πολλές πτυχές του. Για παράδειγμα στις διδακτικές πρακτικές και μεθόδους του, λίγα πράγματα έχουν αλλάξει. Το ελληνικό σχολείο είναι βαθειά δασκαλοκεντρικό όπως και να χει. Αν πάμε παρακάτω και δούμε τα προγράμματα σπουδών και εκεί υπάρχει στασιμότητα. Στασιμότητα στο περιεχόμενο στασιμότητα και στην πρακτική. Ο κορμός των μαθημάτων παραμένει ίδιος και ο «αιώνας της πληροφορίας και των νέων τεχνολογιών» όπως χαρακτηρίζεται αυτός δεν μπορεί να τυγχάνει παρουσία και εξέλιξη στο ελληνικό σχολείο με την μία ώρα την εβδομάδα που δίνεται στο μάθημα της πληροφορικής και αυτή με εκπαιδευτικούς άλλων ειδικοτήτων που καλούνται να διδάξουν στα ελληνόπουλα πληροφορική και νέες τεχνολογίες και πως να ζουν στην κοινωνία της πληροφορίας. Σίγουρα όμως αυτά δεν πρέπει να μας αποστασιοποιήσουν, πρέπει να τα ανατρέψουμε αυτά. Ζούμε στην κοινωνία της πληροφορίας, αυτό δεν αλλάζει. Όλες οι κοινωνίες βέβαια διέθεταν τα δικά τους συστήματα πληροφορίας και επικοινωνίας, αλλά σήμερα αυτά είναι στο επίκεντρο και υπάρχουν σε ποικιλία. Είναι στο επίκεντρο και επιδρούν σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Επιδρούν στη οικονομία, στην εργασία, επιδρούν σε ολόκληρη την κοινωνία. Η εκπαίδευση ως ισχυρός παράγοντας διαμόρφωσης της κοινωνίας επηρεάζεται και αυτή έντονα. Η επίδραση αυτή στην εκπαίδευση γίνεται σε πολλές εκφάνσεις. Αλλάζει τα προγράμματα σπουδών (εισαγωγή μαθημάτων από τους τομείς της πληροφορικής και των επικοινωνιών), ή θα έπρεπε να αλλάζει, αλλάζει τους τρόπους διδασκαλίας όλων των μαθημάτων, εν πολλοίς διαμορφώνει ολόκληρο το εκπαιδευτικό οικοδόμημα πάνω σε άλλες βάσεις. Οπότε θα αποτελούσε παράδοξο εάν αυτό το πολύτιμο εργαλείο που έχουμε στα χέρια μας δεν επηρέαζε και τη μητέρα της διδακτικής επιστήμης, τα μαθηματικά. Επηρεάζει τα μαθηματικά υπό δύο έννοιες. Εισάγονται καινούριες Σελίδα 5 από 132

τεχνικές για τη διδασκαλία των, με τη βοήθεια της τεχνολογίας, και η μαθηματική σκέψη συντάσσεται παράλληλα με την πληροφορική και έννοιες της μίας γίνονται «τροφή» για την προαγωγή της άλλης. Με το παρόν σύγγραμμα συγκεντρώνουμε τις σκέψεις σε δύο τινά: Στην παράλληλη διδασκαλία των μαθηματικών και της πληροφορικής (προτείνεται στην Λ' Τάξη Ενιαίου Λυκείου) Στο πως τα μαθηματικά θα βοηθήσουν στην κατανόηση της πληροφορικής (Αλγόριθμοι), αλλά και το αντίστροφο (πρόγραμμα - software). Στο παρόν ο βασικός στόχος είναι η δημιουργία ενός περιβάλλοντος παράλληλης εκπαίδευσης, όπου οι μαθητές θα ενασχολούνται με έννοιες του μαθήματος της Άλγεβρας κάνοντας χρήση ενός λογισμικού που θα επιλύει ασκήσεις αυτού του μαθήματος με χρήση αλγορίθμων που διδάσκονται στο μάθημα της πληροφορικής. Η προσπάθεια αυτή χωρίζεται σε έξι μέρη - κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο εν ολίγοις εξηγείται ο τίτλος που φέρει το παρόν, αποσαφηνίζοντας τις έννοιες παράλληλη εκπαίδευση, μοντέλο και διδακτική τεχνολογία. Το δεύτερο κεφάλαιο επικεντρώνεται στη διδακτική σχέση μαθηματικών και πληροφορικής. Στις ιδιαιτερότητες που παρουσιάζουν αυτής της φύσης τα εκπαιδευτικά λογισμικά, καθώς και στην αξιολόγησή τους. Το εν λόγω κεφάλαιο, από διδακτικής απόψεως, ολοκληρώνεται με το τρίτο κεφάλαιο στο οποίο παραθέτονται κάποιες σύγχρονες διδακτικές προτάσεις παράλληλης διδασκαλίας μαθηματικών και πληροφορικής και κέντρο πάντα τον εκπαιδευόμενο. Στο τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ύλη της άλγεβρας και της πληροφορικής, αντίστοιχα, οι οποίες πρόκειται να τεθούν σε παραλληλισμό. Στο τελευταίο κεφάλαιο της εν λόγω πτυχιακής εργασίας παρουσιάζεται η υλοποίηση μίας εφαρμογής που επιλύει ασκήσεις από την ύλη της άλγεβρας που παρουσιάστηκε, με την γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic 6. Παρατίθεται επίσης και τεκμηρίωση του κώδικα αυτής. Η πτυχιακή εργασία ολοκληρώνεται με την παράθεση συμπερασμάτων, τη βιβλιογραφία καθώς επίσης και με έξι παραρτήματα, ένα με όλα τα παράθυρα διαλόγου του κατασκευασμένου λογισμικού και ένα με τον κώδικά του. Σελίδα 6 από 132

Τέλος, η εν λόγω εργασία συμπεριλαμβανομένου και του κώδικά της, με άλλα λόγια το κατασκευασμένο λογισμικό πρόγραμμα, υπάρχει στο συνοδευτικό CD - Rom. Σελίδα 7 από 132

Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες της διδακτικής των μαθηματικών 1.1 Παράλληλη εκπαίδευση Πρώτου εξηγήσουμε τον όρο «παράλληλη εκπαίδευση» θα πρέπει να σταθούμε και να αποσαφηνίσουμε την έννοια διαθεματικότητα. Λέγοντας διαθεματικότητα εννοούμε ότι ένα μάθημα ή ένα γνωστικό αντικείμενο δεν προσεγγίζεται από την παραδοσιακή του σκοπιά, αλλά αντιθέτως, θα πρέπει να θεωρείται αποτέλεσμα πολλών επιμέρους επιστημονικών πεδίων. Άλλωστε έχει επικρατήσει τελευταία η άποψη ότι τα μαθήματα δεν πρέπει να αποτελούν μόνο ένα σαφώς καθορισμένο σύνολο γνώσεων για την κατάκτηση συγκεκριμένων και μετρημένων ικανοτήτων. Αντίθετα η διαδικασία της μάθησης θα πρέπει να στηρίζεται στην διεπιστημονική/ διαθεματική προσέγγιση. Πάνω σ αυτά έρχεται λοιπόν η παράλληλη εκπαίδευση άλλοτε ταυτόσημα και άλλες φορές σαν το εργαλείο που μας οδηγεί στο σύγχρονο διαθεματικό / διεπιστημονικό σχολείο ([4], [6]). Θα λέγαμε λοιπόν ότι η παράλληλη εκπαίδευση είναι μία μορφή διδασκαλίας που προωθεί την συνεργατική έρευνα και τη συνεργατική εργασία στο σχολείο. Δηλαδή συγκροτεί ομάδες εργασίας, θεμελιώνει την έννοια των «κοινοτήτων μάθησης» μέσω συνεργασίας σχολείων, προωθεί τη συνεργασία εκπαιδευτικών διαφορετικών ειδικοτήτων, η ακόμα και συνεργασία μεταξύ εκπαιδευτικών και μαθητών με αξιοποίηση των υπαρχόντων προγραμμάτων σπουδών. Οι διαθεματικές δραστηριότητες σε μία φόρμουλα παράλληλης εκπαίδευσης βασίζονται στην αυτενέργεια και την συνεργατική μάθηση. Τούτο σημαίνει πως η παράλληλη εκπαίδευση βρίσκει πρόσφορο έδαφος πρωτεύοντος σε μαθητικοκεντρικές σχολικές τάξεις. Η επιλογή των θεμάτων γίνεται με γνώμονα την εμπλοκή δύο ή και περισσοτέρων μαθημάτων και με βάση τη σχέση τους με τη ζωή και την πραγματικότητα. Στόχος της παράλληλης εκπαίδευσης είναι κατά κύριο λόγο η σύνδεση του σχολείου με το οικονομικό, πολιτιστικό η Σελίδα 8 από 132

κοινωνικό περιβάλλον, και κατόπιν η σύνδεση των καθηγητών που εμπλέκονται στις συγκεκριμένες δραστηριότητες Τα μαθήματα που εμπλέκονται μπορεί να είναι συναφή (π.χ Γλώσσα, Ιστορία, Πολιτική Αγωγή, κτλ) αλλά μπορεί να είναι και διαφορετικά έως και ασύνδετα με την πρώτη ματιά (πχ Πληροφορική, Οικονομικά, Θρησκευτικά, Ιστορία κτλ). Εδώ πρέπει να επισημάνουμε ότι την ευθύνη και το συντονισμό έχει ο εκπαιδευτικός που εισηγείται την παράλληλη διδασκαλία και οι υπόλοιποι καθηγητές συνεργάζονται μαζί του. Στο δικό μας διαθεματικό εγχείρημα έχουμε την παράλληλη εκπαίδευση με την συμμετοχή δύο μαθημάτων, την Άλγεβρα και την Πληροφορική και προσεγγίζει θεματικές ενότητες της Α' Τάξης Ενιαίου Λυκείου (με την όποια επιφύλαξη λόγω της διηνεκούς μετάπλασης). Περισσότερο για αυτό θα μιλήσουμε σε παρακάτω κεφάλαιο. Η παράλληλη διδασκαλία, πολυσυζητημένη από τις αρχές του 20ού αιώνα, προβάλει πλέον ως επιταγή των καιρών μας και βασικό ζητούμενο με βάση το νέο Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών (ΥΠ.Ε.Π.Θ / Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, 2001). Άλλωστε αυτό επιταχύνεται με τις τεχνολογίες της Πληροφορικής (λογισμικό - software) και των Επικοινωνιών (διαδίκτυο - internet). Αυτές οι τεχνολογίες μπορούν να αποτελέσουν πολύτιμα εργαλεία στη διαθεματική προσέγγιση των γνωστικών αντικειμένων, καθώς η εισαγωγή τους στη διδασκαλία όλων των μαθημάτων σύμφωνα με την παράλληλη εκπαίδευση επιτυγχάνει τους σημαντικότερους στόχους ενός μαθητικοκεντρικού παιδευτικού σχηματισμού, όπως για παράδειγμα τη διερευνητική και συνεργατική μάθηση. 1.2 Μοντέλα μαθηματικής εκπαίδευσης Είναι γεγονός ότι η εκπαιδευτική διαδικασία εμπεριέχει ένα πλήθος μαθημάτων που προέρχονται από διαφορετικές γνωστικές (επιστημονικές) περιοχές. Ανάλογα με το υπόβαθρο, την ταξική προέλευση, και άλλους κοινωνικούς παράγοντες που διακατέχουν το μαθητή, ανταποκρίνεται σε κάποια γνωστικά μέρη ικανοποιητικά και σε άλλα δυσκολεύεται λίγο η πολύ. Για να μπορέσει λοιπόν ο εκπαιδευτικός και το εκπαιδευτικό οικοδόμημα συλλήβδην, να κάνουν τη γνώση κατανοητή και φτασμένη, στο σύνολο των Σελίδα 9 από 132

μαθητών, με επιτυχία, παραμερίζοντας τυχών μαθησιακούς αλλά και κοινωνικούς περιορισμούς, έχουμε τη χρήση των λεγόμενων μοντέλων. Με τον όρο μοντελοποίηση εννοούμε τη γνωστική μέθοδο με την οποία, καλά αναπτυγμένες και γνωστές έννοιες από έναν τομέα ή γνωστική περιοχή, αντιπαρατίθενται με μη αναπτυγμένες και άγνωστες έννοιες από κάποιον άλλο τομέα. Δηλαδή οι πρώτες έννοιες χρησιμοποιούνται ως ισχυρό μέσο για την επεξήγηση και την αναπαραγωγή των δεύτερων. Πιο συγκεκριμένα οι γνώσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται για την επεξήγηση, τη μελέτη και την ανάλυση άλλων γνώσεων λέγονται μοντέλα, ενώ οι προς αποσαφήνιση γνώσεις λέγονται πρωτότυπες. Σε αυτό το σημείο αξίζει να επισημάνουμε ότι το μοντέλο περιλαμβάνει μόνο ένα μέρος από τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά του πρωτοτύπου, αλλά αυτές είναι ικανές να προσδώσουν νέες ιδιότητες και χαρακτηριστικά στο πρωτότυπο. Το μοντέλο μπορούμε να πούμε ότι μορφώνεται κατά τέτοιο τρόπο, που κάνει υποθέσεις ή προβλέπει ενδεχόμενες απορίες ή κακοτοπιές που ενδέχεται να αντιμετωπίσει ο μαθητής. Αυτό είναι άλλωστε και το στοιχείο που το κάνει χρήσιμο στο σύγχρονο μαθητικοκεντρικό σχολείο. Άξια αναφοράς είναι και η περιφορά ενός μοντέλου γύρω από τρία τινά. Σε πρώτη φάση το μοντέλο αντανακλά μία αφηρημένη απεικόνιση του εκπαιδευτικού. Από την άλλη το μοντέλο είναι ικανό να φανερώσει την αντίληψη του εκπαιδευτικού για το μαθητή καθώς επίσης και τη στάση του απέναντι σε αυτόν. Τέλος το μοντέλο είναι ικανό να φέρει στο προσκήνιο τη στάση του διδακτικού συστήματος απέναντι η παράλληλα στο μαθητή. Λόγω του ότι αυτά τα ζητήματα ξεφεύγουν από τους στόχους του παρόντος δεν θα συζητηθούν περαιτέρω. Τα συνηθέστερα και πολυχρησιμοποιούμενα μοντέλα είναι αναμφίβολα τα μαθηματικά. Όπως αναφέρει άλλωστε ο Σ. Νεγρεπόντης τα μαθηματικά έχουν αποδειχθεί, μόνα αυτά από όλες τις επιστήμες, ικανά και αποτελεσματικά να εξηγήσουν σε βάθος τα φαινόμενα της φύσης, και να παράγουν μοντέλα βάσει των οποίων γίνονται ακριβείς προβλέψεις ακόμη και για φαινόμενα που βρίσκονται πέραν των αρχικών στόχων και προθέσεων του μοντέλου ( Νεγρεπόντης & Φαρμάκη, 2000). Σελίδα 10 από 132

Αυτά προφανώς αποτελούνται από μαθηματικές σχέσεις και κάνουν χρήση (μαθηματικών) συμβόλων. Η διαδικασία που μας οδηγεί σε ένα τέτοιο μοντέλο αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως μαθηματική μοντελοποίηση ή ως μαθηματικός προπλασμός. Η εφαρμογή τέτοιων μοντέλων συναντάται συνήθως στην επίλυση ασκήσεων διαφόρων επιστημονικών κλάδων όπως Φυσικής, Χημείας, Πληροφορικής, ακόμα και Μαθηματικών. Η τελευταία περίπτωση εντάσσεται στην λεγόμενη εξωτερική μοντελοποίηση και εξετάζεται παρακάτω. Όταν μοντέλο και πρότυπο ανακλώνται από τη ίδια επιστήμη (π.χ. τα Μαθηματικά - Γεωμετρία και άλγεβρα, τριγωνομετρία και άλγεβρα κτλ), τότε έχουμε εσωτερική μοντελοποίηση, δηλαδή ένα κομμάτι μίας επιστήμης (των μαθηματικών εν προκειμένω), βοηθά στη κατανόηση ενός άλλου. Από την άλλη σκοπιά τώρα πολλές μαθηματικές ασκήσεις τις συναντάμε σε διάφορες φόρμες και σε ποικίλους επιστημονικούς χώρους. Αυτή είναι η λεγόμενη εξωτερική μοντελοποίηση κατά την οποία συμβαίνουν τα εξής: Γνώσεις και δεξιότητες ενός διδακτικού αντικειμένου χρησιμοποιούνται για την αιτιολόγηση ενός άλλου. Θα μπορούσαμε να πούμε αλλιώς ότι, γνώσεις και δεξιότητες από το ένα διδακτικό αντικείμενο, χρησιμοποιούνται κατά την γέννηση του άλλου αντικειμένου. Αυτήν τη σχέση μπορούμε να την συναντήσουμε και μεταξύ των μαθηματικών και της πληροφορικής για παράδειγμα με ένα μαθηματικό αλγόριθμο (π.χ. το κόσκινο του Ερατοσθένη) ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πληροφορική και συγκεκριμένα στον προγραμματισμό υπολογιστών. Μέσα από την αναφορά των παραπάνω έχει γίνει παραδεκτό ότι η χρήση μοντέλων για την επίτευξή των στόχων της είναι επιτυχημένη. Καλό θα είναι να δούμε ένα παράδειγμα για να γίνει τούτο ακόμη πιο ξεκάθαρο. Ας δούμε ένα παράδειγμα από τη γεωμετρία (Νεγρεπόντης & Φαρμάκη 2000). Θεωρούμε το τρίγωνο Α ΒΓ με πλευρές (5, 5, 8) και το τρίγωνο ΔΕΖ με πλευρές (4.95, 4.95, 7). Στην συνέχεια θέτουμε το ερώτημα ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν.κάθε πλευρά του τριγώνου Α είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη πλευρά του τριγώνου Β. Για κάθε πρακτικά σκεπτόμενο άνθρωπο Σελίδα 11 από 132

το τρίγωνο Α, με μεγαλύτερες μία προς μία τις πλευρές του σε σχέση με εκείνες του τριγώνου Β, φαίνεται ότι περιέχει το τρίγωνο Β, δηλαδή φαίνεται να έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από το τρίγωνο Β. Όμως ένας στοιχειώδης υπολογισμός, με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα, δείχνει, αντίθετα από την πρακτική διαίσθηση, ότι το μεν τρίγωνο Α έχει εμβαδόν 12, ενώ το ύψος υ του τριγώνου Β, ως προς τη βάση β=7, είναι μεγαλύτερο του 3.5 (εφόσον, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, υ2=(4,95)2 - (3,5)2 = 24,5025-12,25 =12,2525>12,25= (3,5) ), και άρα το εμβαδόν του τριγώνου Β είναι μεγαλύτερο από 12 και συγκεκριμένα είναι β*υ/2=3,5χ3,5=12,25. Βασιζόμενοι στον παραπάνω γενικευμένο ορισμό και το προηγούμενο παράδειγμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι μοντελοποίηση με την στενή έννοια είναι η έμπρακτη, χρήσιμη και εργαλειακή εφαρμογή της αριθμητικής και των συντακτικών της κανόνων για την επίλυση προβλημάτων. Μολονότι τα μοντέλα στηρίζονται στην εμπλοκή δύο (ή και παραπάνω) γνωστικών χώρων κρίνονται ως το πλέον κατάλληλο εργαλείο για την εφαρμογή της παράλληλης διδασκαλίας. Τα μοντέλα θα λέγαμε ότι είναι φύσιν διαθεματικά. 1.3 Διδακτική τεχνολογία Τα σχολεία δεν έγιναν για να εξυπηρετούνται οι εκπαιδευτικοί, αλλά για να μαθαίνουν οι μαθητές. Κατά συνέπεια, αυτό που πρέπει να θεωρείται σημαντικό στην εκπαίδευση δεν είναι το πόσα ξέρει ο δάσκαλος αλλά το τι τελικά μαθαίνουν οι μαθητές (Φράγκος, 1986). Για να γίνει αυτό πραγματικότητα θα πρέπει ο εκπαιδευτικός να βρει εκείνες τις τεχνικές /τεχνάσματα που θα πραγματοποιήσουν τον παραπάνω σκοπό. Και αναφερόμενοι σε αυτό πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι δεν μιλάμε για στρατηγικές διδασκαλίας, αλλά στεκόμαστε ένα βήμα πριν. Βρισκόμαστε εκεί όπου ο εκπαιδευτικός ψάχνει τα εργαλεία που θα στηρίξουν τις στρατηγικές του, στην λεγόμενη διδακτική τεχνολογία. Όταν λέμε διδακτική τεχνολογία πολύ απλά εννοούμε τα μέσα που χρησιμοποιεί ο εκπαιδευτικός για να υποστηρίξει την εκπαιδευτική διαδικασία. Αυτά μπορεί να είναι υλικά όπως π.χ. ο γνωστός μαυροπίνακας η ακόμα και στοιχεία της προσωπικότητας του καθηγητή, για παράδειγμα η φωνή του. Σελίδα 12 από 132

Ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας ιδιαίτερα σε δασκαλοκεντρικές εκφάνσεις του λειτουργούσε κυρίως (η ακόμα αποκλειστικά) με την ομιλία του δασκάλου (προφορικός λόγος). Αυτή είναι η παραδοσιακότερη και ίσως αρχαιότερη μορφή διδακτικής τεχνολογίας. Αναμφίβολα ακόμα και σήμερα αυτή η «πρωτόγονη τεχνολογία» είναι στο προσκήνιο και αν δουλευτεί σωστά μπορεί να φανεί αποτελεσματική. Για να είναι χρήσιμος και επίκαιρος ο προφορικός λόγος θα πρέπει να εξασφαλίζει τέσσερεις παράγοντες. Αρχικά θα πρέπει να έχει καθορισμένο σκοπό. Ο προφορικός λόγος μπορεί να πληροφορήσει να πείσει ή ακόμα και να διασκεδάσει τον ακροατή. Αμέσως μετά τον καθορισμό του σκοπού ακολουθεί η συγκέντρωση του υλικού που θα υποστηρίξει τις ιδέες του ομιλητή. Το υλικό αυτό μπορεί να προέρχεται από προσωπικές γνώσεις του εκπαιδευτικού, από ζύμωση αυτών με άλλες έπειτα από συζητήσεις, η από βιβλία. Κατόπιν θα πρέπει να μπει οργανωτικό πλαίσιο. Αυτό θα αφορά κυρίως το χρόνο, τη θεματολογία. Τέλος απαραίτητη κρίνεται η ταξινόμηση των κεντρικών ιδεών σε ένα περίγραμμα. Ένα άλλο κομμάτι της διδακτικής τεχνολογίας που χρησιμοποιείται ευρέως είναι ο γραπτός λόγος. Αυτή η μορφή διδακτικής τεχνολογίας πράττεται με βοηθητικές σημειώσεις του εκπαιδευτή αλλά ακόμα και στον πίνακα που συγκεντρώνονται τα κυριότερα σημεία που θα διδαχτούν. Για να είναι αποτελεσματική αυτή η τεχνολογία θα πρέπει να προσεχτεί η οργάνωση η καταλληλότητα και η ορθότητα του γραπτού. Τελευταία αλλά όχι ασήμαντη κατηγορία της διδακτικής τεχνολογίας είναι το λεγόμενο υλικό υποστήριξης. Το υλικό υποστήριξης βοηθά τον εκπαιδευτικό να δώσει έμφαση (διευκρινίσει) σε σημαντικά σημεία της ύλης και να κάνει το μάθημα πιο ελκυστικό στους μαθητές του. Αυτό το υλικό μπορεί να είναι: επιπρόσθετη βιβλιογραφία, αναφορές στο διαδίκτυο κ.α. τέτοια. Μπορεί να είναι ακόμα και συστήματα ασκήσεων ή προβλημάτων, λυμένων ή προτεινόμενων για λύση. Σε αυτήν την κατηγορία της διδακτικής τεχνολογίας εντάσσεται και το λογισμικό παράλληλης διδασκαλίας που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια του παρόντος. Σελίδα 13 από 132

Έχοντας κάνει μία ανασκόπηση των συνηθέστερων μορφών διδακτικής τεχνολογίας, έτσι όπως εμφανίζονται διαχρονικά, να πούμε κοντολογίς πως το πλέον σύγχρονο και επίκαιρο εργαλείο διδακτικής τεχνολογίας είναι ο ηλεκτρονικός υπολογιστής. Η διαφορά και συνάμα το πλεονέκτημα αυτού του εργαλείου ως διδακτικό μέσο, είναι η ικανότητά του να αναπαριστά φαινόμενα και όχι απλά σχήματα. Σελίδα 14 από 132

Κεφάλαιο 2 Διδακτική και επιστημονική σχέση μαθηματικών και πληροφορικής 2.1 Βασικές αρχές Για πολλούς είναι κοινά παραδεκτό, πως η εισαγωγή των ηλεκτρονικών υπολογιστών στην εκπαίδευση, συνιστά εξέλιξη, ανάλογη με τη μετάβαση της επιστημονικής γραφής από τον πάπυρο στην τυπογραφία. Η δημιουργία, χρήση και εδραίωση του εκπαιδευτικού λογισμικού στο σήμερα ενισχύει αυτήν την πεποίθηση και τονίζεται ακόμα περισσότερο όταν μιλάμε για εκπαιδευτικό λογισμικό στοχευμένο στη παράλληλη εκπαίδευση. Η έρευνα που αφορά τη χρήση των υπολογιστών στην εκπαίδευση είναι στο προσκήνιο και αυτή βάζει την τεχνολογία σε δύο ρόλους, συχνά ταλαντευόμενους. Άλλοτε ο υπολογιστής τίθεται ως ισότιμο μέλος του παράλληλου εκπαιδευτικού εγχειρήματος και άλλες φορές ως μέσο (εργαλείο) διεκπεραίωσής του. Η ταλάντευση αυτή υπήρχε συνεχώς και η επίδοξη παράλληλη διδασκαλία που παρουσιάζεται στον παρόν δεν ξέφυγε αυτής. Αυτό θυμίζει άλλωστε και τη φράση του υπεύθυνου για την εισαγωγή της Πληροφορικής στο Εκπαιδευτικό σύστημα των Η.Π.Α στον τότε Σοβιετικό ομόλογό του, με την εξής φράση «το μεγαλύτερο σφάλμα είναι ότι ξεκινήσαμε το όλο εγχείρημα (της εισαγωγής της Πληροφορικής στην εκπαίδευση) από το μαθητή και όχι από τον Καθηγητή». Το λάθος αυτό φυσικά μεταδόθηκε ίδιο όπως ήταν αναμενόμενο και στην ελληνική εκπαιδευτική πραγματικότητα. Γίνεται λοιπό κατανοητό πως ο υπολογιστής στην εκπαίδευση και οι ιδιαιτερότητες των εκπαιδευτικών λογισμικών αυτής της φύσης, σε συνδυασμό με το δύσβατο περιβάλλον που τα συνοδεύει (δεν είναι σαφής ο ρόλος του υπολογιστή) χρίζουν προσοχής και αξίζει να σημειωθούν. Αυτό φυσικά αφορά ανεξαιρέτως όλα τα γνωστικά πεδία που θα μπορούσαν να συμμετέχουν σε ένα εγχείρημα παράλληλης διδασκαλίας. Σελίδα 15 από 132

Οι δυσκολίες αυτές ενδέχεται να οξύνονται όταν επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον υπολογιστή (ένα λογισμικό) στη διδασκαλία των μαθηματικών και ταυτόχρονα τα μαθηματικά ως «τροφή» για την υλοποίηση αλγορίθμων και εν συνεχεία κάποιου εκπαιδευτικού πακέτου. Τέλος καλό θα ήταν να εξετάσουμε το κατά πόσο διεπιστημονικές προσεγγίσεις είναι εφαρμόσιμες (στην Ελλάδα κυρίως), αν ευνοούνται από τα αναλυτικά προγράμματα, σε ποιες βαθμίδες, κατά πόσο οι εκπαιδευτικοί είναι προετοιμασμένοι για τέτοιου είδους εγχειρήματα (και αν όχι προς τα πια κατεύθυνση θα πρέπει να κινηθούμε) και να διαπιστώσουμε αν ο υπολογιστής μπορεί να παίξει πρωταγωνιστικό και συνάμα ουσιαστικό ρόλο ή αν απλά προσφέρει μόνο μια κακεντρεχή ωραιοποίηση σε κάθε τι βαριεστημένο, ανούσια εν τέλει. 2.2 Οι ιδιαιτερότητες εκπαιδευτικών λογισμικών Το πρώτο πράγμα που θα ρωτούσε ένας ανεξαρτήτου ειδικότητας μέσος εκπαιδευτικός αν τον πρότασσες να συμμετέχει σε μία παράλληλη διδασκαλία και μάλιστα με την υποστήριξη ενός λογισμικού, θα ήταν τι έχει να κερδίσει ο μαθητής από αυτό. Η επόμενη σκέψη του θα ήταν αν τελικά ο υπολογιστής βελτιώνει την ευφυΐα (intelligent quality ) του μαθητή ([5]). Με βάση αυτά που ξέρουμε ως σήμερα δεν διαφαίνεται κάτι τέτοιο και σε αντιδιαστολή πιθανολογείται να συρρικνώνει την συναισθηματική του νοημοσύνη (Goleman, 2000). Πάντως τούτο σε καμία περίπτωση δεν γίνεται δεκτό αυθύπαρκτα. Σε αυτό το σημείο θα προσπαθήσουμε να δούμε τις ιδιαιτερότητες των λογισμικών σαν και αυτό που διαπραγματευτήκαμε στο Κεφάλαιο 4, μέσα από τις οποίες θα δούμε πλεονεκτήματα καθώς και αδυναμίες. Η προσέγγιση αυτή θα γίνει με γνώμονα το παρόν προϊόν και θα επεκταθεί σε τέτοια παρόμοια, ανεξάρτητα από τα γνωστικά πεδία που τίθενται σε παραλληλισμό σε συνδυασμό με την αρχική σκέψη της παραγράφου. Η συγκέντρωση του συλλογισμού μας γύρω από τα μαθηματικά και την πληροφορική, που είναι και το πρώτιστο μέλημα μας, θα πραγματοποιηθεί στην επόμενη παράγραφο. Σελίδα 16 από 132

Όλοι μας γνωρίζουμε ότι η καθημερινή μελέτη για τους περισσότερους μαθητές είναι πολλές φορές μία ανιαρή διαδικασία. Σε μία εποχή που ο μαθητής ζει καθημερινά την εξέλιξη στην τεχνολογία, οι μέθοδοι εκπαίδευσης δεν έχουν αλλάξει εδώ και αρκετές δεκαετίες. Το εκπαιδευτικό λογισμικό παράλληλης εκπαίδευσης φιλοδοξεί να ενθαρρύνει το μαθητή να μάθει διότι τρόπον τινά συμμετέχει στην παραγωγή της και οι αυτές παρατιθέμενες κάτω από διεπιστημονικό πρίσμα γίνονται περισσότερο ελκυστικές και ενδιαφέρουσες τραβώντας την προσοχή του. Θα λέγαμε επίσης πως βλέπει τη σχέση μεταξύ δύο βασικών επιστημών των μαθηματικών και της πληροφορικής και αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο. Συνεπώς αυξάνονται τα κίνητρα του μαθητή και αυτά μάλιστα είναι εσωτερικά (πηγαία). Ένα άλλο στοιχείο που τα κάνει σημαντικά είναι η τόνωση της αυτοπεποίθησης του μαθητή, όντας συμμέτοχος στη γνώση και πολλές φορές σε συνεργασία με τους συμμαθητές του, προωθώντας έτσι την συνεργατική μάθηση. Ακόμα μπορούμε να πούμε ότι αυτό έχει ως αποτέλεσμα να συνδυάζεται μαζί με τη μάθηση η διασκέδαση (edutainment). Δεν μπορεί κανείς να αμφισβητήσει πως η διεπαφή ενός προγράμματος (user interface) είναι πιο διασκεδαστική και ευχάριστη από έναν «φτωχό» μαυροπίνακα. Μια άλλη σημαντική δυνατότητα που παρέχει στο μαθητή ένα τέτοιο λογισμικό, είναι η διατύπωση εικασιών για κάποια σχέση, η οποία μπορεί να συνδέει μεγέθη που μεταβάλλονται. Η δυνατότητα αυτή ενισχύεται από την φύση του υπολογιστή, να πραγματοποιεί μετρήσεις, καθώς μεταβάλλονται τα μεγέθη στην οθόνη. Το εκπαιδευτικό λογισμικό είναι μία ζωντανή οντότητα που προσελκύει το μαθητή με τον ίδιο τρόπο που θα τον προσέλκυε ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι. Οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι να μαθαίνουν έτσι καθώς και να αποκτούν βιώματα με αυτόν τον τρόπο. Βέβαια από το σημείο της υλοποίησης ενός τέτοιου προϊόντος μέχρι τη στιγμή που αυτό θα χρησιμοποιηθεί στην εκπαίδευση και θα φέρει θεμιτά αποτελέσματα η απόσταση είναι μεγάλη. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι οι σχεδιαστές του δεν επέτυχαν τους στόχους τους η ακόμα και ότι υπήρχε απουσία οργανωμένης στοχοθεσίας. Σελίδα 17 από 132

Άρα οι λόγοι αποτυχίας μίας παράδοσης στην τάξη δεν διαφέρουν κατά πολύ από αυτούς που προκάλεσαν ένα «άστοχο» εκπαιδευτικό λογισμικό. Αν το κοιτάξουμε αυτό όμως βαθύτερα θα δούμε ότι ο λόγος αποτυχίας μπορεί να είναι όχι η έλλειψη στόχων αλλά η εμπλοκή ατόμων κατά το σχεδιασμό που προέρχονται αποκλειστικά από τις τάξεις των ανθρώπων της πληροφορικής χωρίς να έχουν γνώσεις παιδαγωγικής και διδακτικής με αποτέλεσμα να βλέπουν τους μαθητές σαν πελάτες του προϊόντος τους. Αυτό είναι λοιπόν το κρίσιμο σημείο το οποίο αξίζει μνείας. Θα πρέπει να αποσαφηνιστεί σε αυτό το σημείο ότι τα κριτήρια που πρέπει να πληρή ένα λογισμικό δεν θα πρέπει να είναι τεχνοκρατικά και άσχετα με την μαθησιακή διαδικασία (π.χ. οικονομικά), αλλά θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη όλα τα δεδομένα εκείνα που αφορούν τη διδασκαλία της γνωστικής επιστήμης που θα υπηρετήσει. Το εκπαιδευτικό λογισμικό μπορεί να γίνεται με τον ίδιο τρόπο που γίνονται τα πάσης φύσεως λογισμικά, αλλά το κοινό που απευθύνονται καθώς επίσης η χρηστικότητά τους διαφέρει κατά πολύ. Συνοψίζοντας μπορούμε να σταθούμε στις κύριες και επίκαιρες ιδιαιτερότητες αυτής της φύσης λογισμικών και στα κριτήρια επιλογής των. Ως προς την παιδαγωγική αντίληψη που υλοποιούνται μπορούν να βασίζονται στην αντίληψη της κατασκευής της γνώσης η οποία εστιάζει στην προσωπική διαδικασία μάθησης ή στην αντίληψη της μετωπικής διδασκαλίας στην οποία παρουσιάζεται απλώς η διδακτέα ύλη. Σε σχέση με το βαθμό ωριμότητας μπορούμε να έχουμε πιλοτικά προϊόντα τα οποία είναι μικρής κλίμακας και υποστηρίζουν εκπαιδευτικές δραστηριότητες για μικρό αριθμό ωρών. Ο Διόφαντος, το πρόγραμμα το οποίο υλοποιήσαμε ανήκει σε αυτήν την κατηγορία. Επίσης υπάρχουν τα ολοκληρωμένα προϊόντα, είναι μεγάλης κλίμακας παρέχουν ολοκληρωμένη λειτουργικότητα η / και μεγάλο όγκο υλικού, καλύπτοντας αξιόλογο εύρος στόχων του προγράμματος σπουδών. Σχετικά με το είδος της λειτουργίας που επιτελούν έχουμε: ηλεκτρονικά βιβλία, προσομοιωτές, μοντελοποιήσεις, εκπαιδευτικά παιχνίδια, λογισμικά εξάσκησης και λογισμικά παρουσίασης. Η εφαρμογή του παρόντος σχετίζεται ως επί το πλείστον με προσομοίωση και μοντελοποίηση. Σελίδα 18 από 132

Ως προς τις καλλιεργούμενες δεξιότητες μπορούμε να έχουμε: Διαχείριση πληροφορίας, συμβολική αναπαράσταση (π.χ. Function Probe), έλεγχος υποθέσεων, γραπτή έκφραση και επικοινωνία. Όσο αφορά το ρόλο του υπολογιστή σε σχέση με το μαθητή και τη μάθηση μπορούμε να έχουμε: τον υπολογιστή ως εκπαιδευτικό (συμπεριφορισμός), τον υπολογιστή ως εργαλείο μάθησης (εποικοδομήτισμός) και τέλος τον υπολογιστή ως μαθητή (προγραμματισμός υπολογιστή από το μαθητή π.χ. γλώσσα Logo) Τέλος πρέπει να επισημάνουμε ότι η ένταξη των προϊόντων εκπαιδευτικού λογισμικού στις πιο πάνω κατηγορίες δεν μπορεί να γίνεται με αυστηρό τρόπο. Τα περισσότερα λογισμικά συνδυάζουν σε κάποιο βαθμό δύο ή περισσότερα είδη λειτουργίας ή καλλιεργούμενες δεξιότητες. Το ίδιο συμβαίνει φυσικά και με την εφαρμογή Διόφαντος. 2.3 Η σχέση μαθηματικών και πληροφορικής Αναμφίβολα τα μαθηματικά είναι μία επιστήμη πολύ παλιότερη από την πληροφορική. Η πληροφορική πάντως βασίζεται σε πολύ μεγάλο βαθμό πάνω σε βασικές αρχές των μαθηματικών και της μαθηματικής σκέψης και επίσης λόγω της ύπαρξης της, γέννησε καινούρια ενδιαφέροντα σε κάποιους μαθηματικούς κλάδους και δημιούργησε άλλους. Επίσης αξίζει να τονίσουμε πως τα μαθηματικά συνεπάρθηκαν από την πληροφορική (και άλλες σύγχρονες επιστήμες πχ βιολογία) και άρχισαν να αποκτούν και πρακτική αξία. Σημειώνουμε ότι αν δεν υπήρχαν οι Η/Υ πολλά μαθηματικά προβλήματα δεν θα είχαν λυθεί ποτέ (ο πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής ο ENIAC υλοποιήθηκε για την επίλυση χρονοβόρων μαθηματικών προβλημάτων). Είναι λοιπόν ξεκάθαρο πως υπάρχει μεγάλη αλληλεπίδραση ανάμεσα στα μαθηματικά και την πληροφορική. Μέσα λοιπόν σε όλα αυτά τίθεται το ερώτημα: «Πώς μπορεί να επηρεάσει η πληροφορική την διδασκαλία αλλά και την διδακτική μεθοδολογία των μαθηματικών γενικότερα, καθώς και το αντίστροφο;» Είναι κοινά παραδεκτό πως η τεχνολογία αλλάζει τον τρόπο πρόσβασης στην πληροφορία, επαναπροσδιορίζοντας τον τρόπο που μαθαίνουμε αλλά και τον ρόλο του Σελίδα 19 από 132

εκπαιδευτικού. Πιο συγκεκριμένα η δυνατότητα δημιουργίας και μελέτης προσομοιώσεων ενός φαινομένου επαναπροσδιορίζει όλες τις συνιστώσες της μάθησης. Επαναπροσδιορίζει ακόμα το μαθητή που αναζητά και διεκπεραιώνει τη γνώση, τον ρόλο του εκπαιδευτικού και την διδακτική τεχνολογία. Για το μαθητή οι προσομοιώσεις αποτελούν ένα μέσο να προσεγγίσει τα Μαθηματικά που σχετίζονται με το φαινόμενο, να επέμβει σε αυτό, να πειραματιστεί και να επέμβει μέσα από την εφαρμογή τους. Έτσι λοιπόν ο μαθηματικός τοποθετεί τους μαθητές του σε ρόλο πληρώματος στο ταξίδι της γνώσης και όχι σε ρόλο επιβάτη. Με βάση τα παραπάνω θα λέγαμε ότι η πληροφορική αλλάζει την διδακτική τεχνολογία που χρησιμοποιείται στο μάθημα των μαθηματικών. Σχετικά με την αναπαράσταση μαθηματικών σχημάτων με ένα λογισμικό, μπορούμε να πούμε ότι τα μαθηματικά αντικείμενα που προκύπτουν είναι ποιοτικότερα από αυτά που αναπαρίστανται με συμβατικά μέσα (Μολύβι και χάρακας). Η σημαντικότερη διαφορά τους εντοπίζεται στο ότι ο μαθητής μπορεί πλέον να χειρίζεται φαινόμενα, ενώ στο χαρτί χειρίζεται εικόνες. Συνοψίζοντας τα σημεία σύγκλισης και απόκλισης των Μαθηματικών και της Πληροφορικής μπορούμε να πούμε τα εξής: > Η πληροφορική τεχνολογία ξεκίνησε με σκοπό να βοηθήσει την διαδικασία επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων καθοριστικής σημασίας για την ανθρωπότητα. Βασίστηκε στην υπάρχουσα αποδεδειγμένη μαθηματική θεώρηση και λογική και την εφήρμοσε. > Στα μαθηματικά η επίλυση ενός προβλήματος πραγματοποιείται με την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση ενός αλγορίθμου. > Στον προγραμματισμό ηλεκτρονικών υπολογιστών η επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί με έναν αλγόριθμο ο οποίος ενθυλακώνει το κομμάτι της επανάληψης. Συνέπεια αυτού είναι η διαφοροποίηση των δύο επιστημών σε 5 τινά που σχετίζονται με την ταχύτητα: ^ Στην ταχύτητα λήψης μίας απόφασης, ^ την ταχύτητα λήψης συμπερασμάτων, ^ την ακρίβεια, Σελίδα 20 από 132

την επαναληψημότητα ^ την αξιοπιστία. > Τα μαθηματικά μοντελοποιούν τον κόσμο, αλλά η πληροφορική παρουσιάζει ένα πιο εύληπτο μοντέλο που κρύβει μέσα του τα μαθηματικά. > Ο υπολογιστής και το λογισμικό του δεν παράγουν από μόνα τους μαθηματικά και μαθηματική σκέψη γενικότερα. Η μαθηματική σκέψη παράγεται μόνο μέσω του στοχασμού, η οποία μπορεί όμως να υποβοηθηθεί και να βελτιωθεί αλληλεπιδρώντας με το λογισμικό. Σελίδα 21 από 132

Κεφάλαιο 3ο Διδακτικές προτάσεις 3.1 Γενικά Θα ξεκινήσω την σκέψη μου με μία φράση που έχει ξαναειπωθεί στο παρόν. Από το σημείο που θα υλοποιηθεί (σε θεωρητικό επίπεδο) και θα προταθεί μέχρις ότου να εφαρμοστεί στο σχολείο, μία παράλληλη διδασκαλία, η απόσταση είναι μεγάλη. Σίγουρα πάντως απαγορευτική δεν είναι. Απαγορευτική ενδέχεται να γίνει αν επιθυμήσουμε όχι απλά να εφαρμόσουμε κάτι ρηξικέλευθο, όπως είναι η παράλληλη εκπαίδευση στην εκπαιδευτική διαδικασία, αλλά να επιτύχουμε και αποτελέσματα, δεν αρκούν οι εντυπωσιασμοί. Αποτελέσματα ουσιαστικά και προς πάσα κατεύθυνση. Επιπροσθέτως όταν η εκπαιδευτική πρακτική που βάζουμε σε μία διαθεματική προσέγγιση συνθέτεται και με ένα εκπαιδευτικό λογισμικό τα πράγματα εμπλέκονται περισσότερο. Το εκπαιδευτικό λογισμικό διαφέρει από τα λογισμικά γενικού σκοπού. Μία εφαρμογή ως προϊόν αρκεί να είναι καλοσχεδιασμένη, καλογραμμένη, φιλική ως προς το χρήστη (user friendly) και να κάνει την δουλεία του ευκολότερη. Για ένα λογισμικό που θα χρησιμοποιηθεί στην εκπαίδευση δεν αρκούν αυτά. Μαζί με τούτα πρέπει και να έχει να δώσει κάτι παραπάνω από αυτά που προσφέρουν οι συμβατικοί μέθοδοι διδασκαλίας. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει λόγο ύπαρξης. Τις προτεραιότητες που πρέπει να θέτει ένα λογισμικό για την εκπαίδευση τις έχουμε ήδη επισημάνει. Αυτές στην εφαρμογή που κατασκευάσαμε και εν συνεχεία θα παρουσιάσουμε, καλύφθηκαν κατά το δυνατό. Εάν όμως δε δοκιμαστεί και δουλευτεί σε πραγματικό περιβάλλον με τους άμεσους δέκτες αυτού, η όποια ωραιοποίηση σχετικά με τη χρηστικότητα και την ουσία του θα ήταν αφελής. Σελίδα 22 από 132

Κάτω από κανονικές συνθήκες μέσα στην τάξη, με κριτές τους μαθητές και τους καθηγητές λαμβάνοντας υπόψη όλους τους παράγοντες που επιδρούν στο περιβάλλον του σχολείου θα μπορούσαμε να έχουμε ορθά και ειλικρινή συμπεράσματα. 3.2 Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής στο επίκεντρο της παράλληλης εκπαίδευσης Η ανάγκη χρήσης και αξιοποίησης του ηλεκτρονικού υπολογιστή στην αίθουσα διδασκαλίας ως διαχειριστή των σύγχρονων μέσων διδασκαλίας, για την υποβοήθηση του εκπαιδευτικού και πρωτίστως του μαθητή στη συνείδηση όλων μας και γίνεται πράξη στο βαθμό βέβαια που το επιτρέπει το διαθέσιμο software / hardware και πολύ περισσότερο το διαθέσιμο humanware! Με γνώμονα τούτο ο ηλεκτρονικός υπολογιστής μπορεί να τύχει πρωταγωνιστικού ρόλου, στην υλοποίηση μίας παράλληλης διδακτικής πρακτικής ([4], [6]). Δυστυχώς όμως μέχρι τώρα, η αξιοποίηση του Η/Υ στην εκπαίδευση στέκεται συνήθως στη δημιουργία ηλεκτρονικών βιβλίων. Στην κατασκευασμένη, πρωταρχικός στόχος ήταν να αποφευχθεί αυτή η κακοτοπιά και να δημιουργηθεί ένα πιο ουσιαστικό και πολύπλευρο εργαλείο στα χέρια των μαθητών και του δασκάλου. Η αμφίδρομη σχέση μαθητή -προγράμματος καθιστά τον υπολογιστή ένα ελκυστικό «παιχνίδι». Παρόλο αυτά σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να αντικαταστήσει ή να υποβαθμίσει το ρόλο του δασκάλου και οπωσδήποτε δεν αναπληρώνει την διαδικασία επίλυσης ασκήσεων στον πίνακα. Είναι γεγονός ότι, στο λογισμικό παρατηρούμε φαινόμενα ενώ στο χαρτί σχήματα, παρά ταύτα για την βαθειά κατανόηση του φαινομένου, χρειάζεται χαρτί και μολύβι. Μη λησμονούμε λοιπόν ότι υπολογιστές δεν είναι μαγικά εργαλεία και ότι από μόνα τους δεν μπορούν να αλλάξουν τη μαθησιακή διαδικασία. Μπορούν όμως να συμβάλουν προς αυτήν την κατεύθυνση. 3.3 Το μέλλον της παράλληλης εκπαίδευσης Αναρωτιόμαστε αν το σχολείο είναι κατάλληλο και ώριμο να κάνει ρηξικέλευθα βήματα. Σίγουρα δεν είναι ίδιο με την δεκαετία του 70. Δεν είναι Σελίδα 23 από 132

ίδια τα χρώματα και τα κάδρα στους τοίχους. Ακόμη, υπάρχουν και κάποια εργαστήρια με υπολογιστές. Η όψη τρόπον τινά άλλαξε, οι πρακτικές λίγο όμως μετακινήθηκαν. Το ελληνικό σχολείο παραμένει βαθειά δασκαλοκεντρικό και απεχθάνεται τα τολμηρά διδακτικά τεχνάσματα. Συνεπώς σκεπτόμενοι αν το ελληνικό σχολείο είναι έτοιμο να χρησιμοποιήσει παράλληλες μορφές διδασκαλίας, συνεπαρμένοι και από την προηγούμενη φράση, θα απαντήσουμε εύκολα πως όχι. Αλλά ας το δούμε πιο συγκεκριμένα, ξεκινώντας από τα βιβλία. Για να πραγματοποιήσουμε παράλληλη διδασκαλία, θα πρέπει τα βιβλία των προς παραλληλισμό αντικειμένων να προδιαθέτουν κάτι τέτοιο. Διαθεματική προσέγγιση δεν τυγχάνει κανένα υπάρχον σχολικό εγχειρίδιο. Εξαίρεση μπορεί να θεωρηθούν τα βιβλία της πληροφορικής στα οποία διαφαίνεται μια «κλεφτή ματιά» για το τι υπάρχει στον περιβάλλοντα χώρο και στις γύρω επιστήμες. Το κλίμα όμως γενικά είναι αποθαρρυντικό. Δεύτερον οι καθηγητές δεν φαίνεται να είναι καταρτισμένοι μα ούτε καν ενημερωμένοι για τέτοια θέματα. Η εκπαίδευση των εκπαιδευτικών σε θέματα διαθεματικής προσέγγισης των γνωστικών αντικειμένων όσο υπάρχει φαίνεται ασαφής, άλλοτε μη ικανοποιητική και τις περισσότερες φορές μη υπάρχουσα. Ασαφής η μη ικανοποιητική επιμόρφωση υπό την έννοια ότι παρά την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών από το Υπουργείο Παιδείας την τελευταία 5αετία, στην αξιοποίηση των τεχνολογιών στην εκπαίδευση, δεν έγινε κάποια συσχέτιση της διαθεματικής προσέγγισης της γνώσης και της τεχνολογίας ειδικότερα. Από την άλλη να δούμε το πράγμα από τη μεριά των μαθητών. Είναι έτοιμοι αυτοί να δεχτούν παράλληλα μοντέλα διδασκαλίας; Αν υποθέσουμε ότι το παράλληλο εγχείρημα που επιχειρήσαμε στο παρόν σε θεωρητικό επίπεδο για την Α' Λυκείου, εφαρμοζόταν στην πράξη θα τύγχανε αποδοχής; Πιθανώς οι μαθητές της ηλικίας των 15-16 χρονών θα θεωρούσαν εντελώς ξένο και απόμακρο κάτι τέτοιο διότι από τα 6 τους ή και πιο πριν, έμαθαν να σκέφτονται διαφορετικά. Συνήθισαν να αντιμετωπίζουν τις γνώσεις και τα μαθήματα μονόπλευρα σε όλη τη σχολική τους πορεία. Άλλωστε οι τομές και οι αλλαγές στην παιδεία σε όλα τα αναπτυγμένα κράτη γίνονται στην αρχή της Σελίδα 24 από 132

πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης και όχι στο τέλος της δευτεροβάθμιας όπως κάνουν χρόνια τώρα οι εκάστοτε υπουργοί παιδείας. Μπορεί βέβαια το περιβάλλον να μοιάζει αποθαρρυντικό, αλλά η διαθεματικότητα στην ελληνική εκπαιδευτική πραγματικότητα μοιάζει αναγκαία και πιο επίκαιρη από ποτέ. Στην εποχή που το 10% αυτών που μαθαίνουμε αλλάζει και γίνεται άχρηστη γνώση μέσα σε ένα χρόνο, οι μαθητές δεν αρκεί να μαθαίνουν με στατικό τρόπο. Είναι απαράβλητη ανάγκη να μάθουν να μαθαίνουν. Η παράλληλη εκπαίδευση λόγω της φύσης της και των χαρακτηριστικών που τη διέπουν κρίνεται ικανή να βοηθήσει προς αυτήν την κατεύθυνση. Στρεφόμενοι και λίγο παρακάτω στην εργασία, όπου θα βρεθούν στο μέλλον οι σημερινοί μαθητές, με την παγκοσμιοποίηση και την μετάλλαξη του τρόπου και των μέσων παραγωγής, απαιτούνται άνθρωποι με γνώσεις από διάφορα γνωστικά αντικείμενα πέραν του δικού τους, για να επικοινωνήσουν με συναδέλφους τους διαφορετικών κλάδων. Για να τους καταστήσουμε ικανούς να ανταπεξέλθουν σε αυτό τον ιδιόρρυθμο και πολύπλευρο τρόπο εργασίας, πρέπει να τους προετοιμάσουμε από το σχολείο. Η διαθεματική θεώρηση των πραγμάτων και ειδικότερα η παράλληλη διδακτική πρακτική μπορεί να προετοιμάσει αυτό το κλίμα ευμενώς. Βλέπουμε λοιπόν ότι, στην συνεχώς μεταβαλλόμενη κοινωνία που ζούμε, ο ρόλος του σχολείου είναι μείζονος σημασίας. Σε ένα σχολείο που θα τοποθετεί τους μαθητές σε ρόλο κριτή και παραγωγού της γνώσης (εποικοδομητικό μοντέλο διδασκαλίας), διαθεματικές προσεγγίσεις αποκτούν αναμφίβολα βαρύνουσα σημασία και τις έχουμε ανάγκη. 3.4 Αξιολόγηση του κατασκευασμένου λογισμικού Ολοκληρώνοντας κάλο θα ήταν να δούμε σε ρόλο παρατηρητή το εκπαιδευτικό λογισμικό που κατασκευάσαμε και τα εκπαιδευτικά λογισμικά (που επιδιώκουν μια παράλληλη προσέγγιση) γενικότερα. Θα επιχειρήσουμε να κάνουμε μια αξιολόγηση και μελλοντικές προτάσεις σχετικά με αυτά ([5], [6]). Ο παράγων χρόνος είναι κυρίαρχο ζήτημα. Η παραγωγή λογισμικού απαιτεί πολύ χρόνο. Για παράδειγμα η ενέργεια «Οδύσσεια» που είναι υπεύθυνη Σελίδα 25 από 132

για την παραγωγή εκπαιδευτικών πακέτων για τα ελληνικά σχολεία, σε πολλά έργα της παρουσίασε καθυστερήσεις ή παρέδωσε προϊόντα ελλειπή και αυτό διότι το ΥΠΕΠΘ έδινε μικρά περιθώρια για την υλοποίηση των πρώτων πιλοτικών εγχειρημάτων. Οι προσπάθειες να μπουν τέτοια πακέτα στο σχολείο ήταν ανοργάνωτες και πολλές φορές βεβιασμένες. Σε συνδυασμό με το προηγούμενο να σημειώσουμε ότι, η παραγωγή ενός εκπαιδευτικού λογισμικού δεν ακολουθείται αυτομάτως από διάθεση του στα σχολεία. Η διάθεση στα σχολεία εμποδίζεται από διάφορους παράγοντες, όπως: α) Περιορισμοί δικαιωμάτων (για αρκετά προϊόντα το Υπουργείο Παιδείας δε διαθέτει δικαιώματα χρήσης σε περισσότερα από 300 σχολεία). β) εμπόδια θεσμικού χαρακτήρα (τα προϊόντα αυτά αποτελούν εκπαιδευτικό υλικό και ως τέτοιο η διάθεσή του πρέπει να υπακούει σε ορισμένους κανόνες. γ) Ενδέχεται να υπάρχουν και πρακτικές δυσκολίες (συνήθως δεν προβλέπονται κονδύλια για την αναπαραγωγή και διανομή των CDs και των συνοδευτικών εγχειριδίων στα σχολεία). Αφότου ένα πρόγραμμα διατεθεί, το επόμενο στάδιο είναι η αξιοποίηση του. Για να γίνει αυτό απαιτείται παροχή τεχνικής, καθώς και παιδαγωγικής στήριξης. Για την αποτελεσματική αξιοποίηση των προϊόντων στα σχολεία είναι απαραίτητες ορισμένες υποστηρικτικές δομές, όπως τεχνική στήριξη στα σχολικά εργαστήρια, λειτουργία help desk όπου μπορούν να καταφεύγουν οι εκπαιδευτικοί και βεβαίως η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών τόσο σε βασικό επίπεδο (χρήση νέων τεχνολογιών) όσο και πάνω στα συγκεκριμένα εκπαιδευτικά λογισμικά που θα θελήσουν να αξιοποιήσουν στις τάξεις τους. 3.5 Πρόταση υλοποίησης της παράλληλης διδασκαλίας Σε αυτό το σημείο θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μία διδακτική πρόταση, σχετική με τα γνωστικά αντικείμενα που διαπραγματεύεται το παρόν. Θα δείξουμε δηλαδή ένα παράδειγμα παράλληλης εκπαίδευσης των μαθηματικών και της πληροφορικής, από αυτά που υλοποιήθηκαν στο παρόν. Σελίδα 26 από 132

Οι απαιτήσεις πραγμάτωσης αυτού καλό θα είναι να παρουσιαστούν σε αυτό το σημείο. Θα χρειαστούμε τρεις ώρες από το μάθημα της πληροφορικής και δύο από το μάθημα των μαθηματικών. Το αντικείμενο διαπραγμάτευσης στα μαθηματικά είναι η εξίσωση ί(χ)=αχ2 +βχ+γ, α^0. Την 1η ώρα θα γίνει μία εισαγωγή και επίλυση απλών παραδειγμάτων υπολογισμού της διακρίνουσας και των ριζών της και την 2η και 3η ώρα περισσότερη ενασχόληση με μεγαλύτερης δυσκολίας παραδείγματα και πειραματισμός με το κατασκευασμένο λογισμικό. Ο μαθηματικός επίσης θα επιχειρήσει την δημιουργία ενός αλγορίθμου (ψευδοκώδικα) ή ακόμα και ενός διαγράμματος ροής, σε συνεργασία με τους μαθητές, για την καλύτερη κατανόηση του μαθήματος. Στο μάθημα της πληροφορικής θα διδαχθεί η δομή επιλογής (if) σε απλή μορφή και οι φωλιασμένες επιλογές. Την 1η ώρα θα γίνει μία εισαγωγή σε αυτές τις έννοιες και η παράθεση απλών παραδειγμάτων. Κατά την 2η ώρα θα γίνει ένα αυξημένης δυσκολίας παράδειγμα που θα είναι η δημιουργία ενός αλγορίθμου για τον υπολογισμό της διακρίνουσας και των ριζών της. Οι γνώσεις για αυτές τις έννοιες θα είναι γνωστές στους μαθητές από το μάθημα της άλγεβρας. Το εν λόγω παράδειγμα θα το υλοποιήσουν οι μαθητές στον υπολογιστή με τη γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic 6.0. Στο τέλος της 3ης ώρας θα πραγματοποιηθεί ένα δεκάλεπτο τεστ αξιολόγησης που θα καλύπτει το τρίωρο αυτό αλλά και εν μέρει το δίωρο στο μάθημα της άλγεβρας που πραγματοποιήθηκε παράλληλα. Η όλη δομή του προγράμματος «Διόφαντος» πρέπει να προϋπάρχει, να έχει δημιουργηθεί από τους μαθητές με τη βοήθεια του καθηγητή πληροφορικής. Ότι αφορά τα υπόλοιπα παραδείγματα που υπάρχουν στην εργασία αυτή, προτείνεται να υλοποιούνται σε άλλο διδακτικό χρόνο, κατά τη διάρκεια της σχολικής ημέρας ή εκτός αυτής. Κάποια απ αυτά μπορεί να δίνονται και ως εργασία για το σπίτι. Προτείνεται επίσης η σειρά δημιουργίας των αντίστοιχων προγραμμάτων, όπως αυτά αναφέρονται στο κατασκευασμένο λογισμικό, να είναι η ακόλουθη: 1, 2.1, 2.2, 2.3, 4, 2.9, 10, 2.4, 7, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.6, 3, 5, 8, 9, 2.10, 6, 12, και 13. Αυτά είτε λύνονται στην τάξη είτε προτείνονται για ατομική λύση - εργασία για το σπίτι. Σελίδα 27 από 132

Η δομή της όλης αυτής εργασίας καθώς και η δόμηση του λογισμικού που παρουσιάζεται στην εν λόγω πτυχιακή εργασία και πάντα σε συνεργασία των δύο εκπαιδευτικών, μπορεί να διαρκεί και όλη τη σχολική χρονιά. Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές θα έχουν διδαχτεί ένα ολοκληρωμένο και αρκετά περιεκτικό πρόγραμμα - κώδικα στη γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic 6.0, με ταυτόχρονη διευκρίνιση σημαντικών μαθηματικών εννοιών. Βέβαια εκτός από τις αυτές τις επτά (σχολικές) ώρες διδασκαλίας, θα πρέπει να έχει προηγηθεί και μία δίωρη συνάντηση του μαθηματικού και του πληροφορικού. Η συνάντηση είναι απαραίτητη για την ομαλή εξέλιξη αυτής της προσπάθειας. Με αυτήν θα μπορέσουν να σκαρώσουν το σχέδιο μαθήματος με σκοπό να αποφθεχθούν οι όποιες αστοχίες και κακοτοπιές. Ακόμη αυτή η συνάντηση θα φέρει και έναν χρήσιμο διάλογο που ενδέχεται να προβάλει παρατηρήσεις εκατέρωθεν για έναν ιδανικό κατά το δυνατό παιδευτικό παραλληλισμό. Συνάντηση απαιτείται και μετά το πέρας της παράλληλης αυτής διδασκαλίας με απώτερο σκοπό την ανταλλαγή απόψεων μεταξύ εκπαιδευτών και εκπαιδευόμενων, σχετικών με το νέο αυτό διδακτικό μοντέλο. Τέλος να πούμε ότι πέρα του χρόνου, για την υλοποίηση θα χρειαστεί και το εργαστήριο υπολογιστών του σχολείου και αν είναι δυνατόν ένας υπολογιστής για κάθε εκπαιδευόμενο. 3.6 Γενικές παρατηρήσεις Για να μπορέσουν όλα αυτά να γίνουν πραγματικότητα και να προχωρήσουν στο μέλλον χρειάζεται πολύ δουλεία και συστηματική μάλιστα, από όλους τους εμπλεκόμενους. Το πρώτο βήμα που πρέπει να γίνει είναι μία εμπεριστατωμένη μελέτη της υφισταμένης κατάστασης σε ότι αφορά το διαθέσιμο λογισμικό, τις εκπαιδευτικές ανάγκες που καλύπτονται από το αυτό το υλικό (π.χ. παράλληλη εκπαιδευτική προσέγγιση) και αυτές που μένει ή επιδιώκουμε να καλυφθούν. Απαραίτητη είναι συνάμα η ενεργοποίηση της ευρύτερης εκπαιδευτικής κοινότητας (εκπαιδευτικοί, επιμορφωτές, σχολικοί σύμβουλοι, πανεπιστήμια κτλ) για την ανάπτυξη ολοκληρωμένων εκπαιδευτικών πακέτων. Κεντρικό ρόλο στο Σελίδα 28 από 132

κομμάτι αυτό μπορούν να παίξουν οι μάχιμοι εκπαιδευτικοί, αρκεί η όρεξη που έχουν να συνδυαστεί με την κατάλληλη επιμόρφωση. Η κινητοποίηση των εκπαιδευτικών θα διασφαλίσει την ένταξη των πακέτων στην καθημερινή εκπαιδευτική πρακτική και θα καλλιεργήσει στην εκπαιδευτική κοινότητα γνώσεις, δεξιότητες και στάσεις της κοινωνίας της πληροφορίας, με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν πιέσεις για την προσαρμογή των προγραμμάτων στα νέα δεδομένα. Μια άλλη προοπτική που μπορεί να καρποφορήσει είναι η διερεύνηση της υπάρχουσας κατάστασης στον χώρο του ανοικτού κώδικα (open-source λογισμικού) και των δυνατοτήτων εκπαιδευτικής αξιοποίησής του. Γενικότερα η δημιουργία open-source λογισμικού για εκπαιδευτική αξιοποίηση θα πρέπει να ενθαρρυνθεί. Είναι όμως καλό να τονιστεί ότι για την εκπαιδευτική κοινότητα μεγαλύτερο ενδιαφέρον έχει όχι η επέμβαση στον κώδικα αλλά η επέμβαση στο περιβάλλον του λογισμικού και η δυνατότητα δημιουργίας νέων μοντέλων και εκπαιδευτικών σεναρίων. Επίσης χρειάζεται συνεχής παρακολούθηση των εξελίξεων στις νέες τεχνολογίες και της εκπαιδευτικής αξιοποίησής τους σε παγκόσμιο επίπεδο. Η υιοθέτηση του σύγχρονου και του καινοτόμου θα πρέπει να γίνεται με περίσκεψη, ώστε να καταλήγουμε σε εργαλεία που είναι αρκετά ώριμα αλλά όχι ξεπερασμένα. Ένα άλλο σημείο που χρίζει ιδιαίτερης προσοχής είναι η προσεκτική μελέτη της σταδιακής προσαρμογής των προγραμμάτων σπουδών. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης προτάθηκε ευθαρσώς να τεθεί σε νέες βάσεις ο ρόλος των νέων τεχνολογιών των παράλληλων μορφών διδασκαλίας, με τη βοήθεια αυτών γενικότερα και του λογισμικού της εκπαίδευσης ειδικότερα στο σχολείο του αύριο. Τελευταίο αλλά όχι δευτερευούσης σημασίας, είναι η γεφύρωση του κενού ανάμεσα στην παραγωγή του λογισμικού και την χρήση και αξιοποίηση στην τάξη. Στο πλαίσιο αυτό θα πρέπει να στηθούν μόνιμοι μηχανισμοί στο Υπουργείο Παιδείας για τη συστηματική και έγκαιρη πιστοποίηση των λογισμικών, την αναπαραγωγή τους όταν χρειάζεται και τη διανομή τους στα σχολεία. Ωστόσο, ο οποιοσδήποτε μηχανισμός πιστοποίησης δεν πρέπει να Σελίδα 29 από 132

αποκλείσει από τους εκπαιδευτικούς την δυνατότητα να δοκιμάζουν, με δική τους ευθύνη, προϊόντα λογισμικού στην τάξη τους, δυνατότητα που αναμένεται να ενισχυθεί στο μέλλον καθώς σημαντικό μέρος του λογισμικού θα μπορεί να διανεμηθεί μέσω του διαδικτύου. Θα πρέπει τέλος να οργανωθεί σε ευρεία και διαρκή βάση η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών και να παρέχεται τεχνική και παιδαγωγική υποστήριξη στα σχολικά εργαστήρια και τους εκπαιδευτικούς αντίστοιχα. Σελίδα 30 από 132

Κεφάλαιο 4ο Μαθηματική ύλη 4.1 Γενικές παρατηρήσεις Η διαθεματική μας προσέγγιση όπως αναφέραμε αφορά τα μαθήματα της Άλγεβρας και της Πληροφορικής στην Λ' Τάξη του Ενιαίου Λυκείου. Χρήσιμο θα ήταν οι έννοιες των ενοτήτων που θα μας απασχολήσουν να παρατεθούν σε αυτό το σημείο. Δε θα γίνει διεξοδική ανάλυση αλλά απλή αναφορά και αυτό χρίζει επισήμανσης. Βεβαίως θα γίνει αναφορά στις ενότητες της Άλγεβρας αλλά και σε αυτές της Πληροφορικής που χρειάζονται για να διεξαχθεί η παράλληλη διδασκαλία που επιθυμούμε στο παρόν. Λς ξεκινήσουμε λοιπόν με την Άλγεβρα, οι ενότητές που μας ενδιαφέρουν είναι οι εξής τρεις: > Η έννοια της δύναμης > Η έννοια της συνάρτησης > Γραφική παράσταση συνάρτησης > Λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης θα της αναφέρουμε στις παρακάτω παραγράφους προσεγγιστικά σε σχέση με την παράθεση αυτών στο βιβλίο Άλγεβρα Λ' Ενιαίου Λυκείου των ελληνικών σχολείων και επικουρικά βάσει του βιβλίου «Μαθηματικά Ι: Θεωρία και πράξη», του Βασιλείου Σάλτας ([7]). 4.2 Βασικές μαθηματικές 4.2.1 Η έννοια της δύναμης Λν α>0, ν>1, νεν, ν - άρτιος αριθμός, τότε ψα =χ, όπου χ>0, είναι η θετική λύση της εξίσωσης χν=α και τότε ψα λέγεται νιοστή ρίζα του πραγματικού αριθμού α. Ο φυσικός αριθμός ν λέγεται δείκτης και ο α λέγεται υπόριζη ποσότητα. Σελίδα 31 από 132

Αν α<0 τότε η νιοστή ρίζα ψα υπάρχει για ν - περιττό. Υπάρχουν οι ακόλουθες ιδιότητες ριζών και συγκεκριμένα: 1) Φ =0, ν>1, ν ε Ν 2) ψτ =1, ν>1, ν ε Ν 3) = α, ν>1, νεν 4) ψα.β = ^ α.φ β, α > 0, β > 0, ν>1, νε Ν 5) V α ν α β #, α> 0, β>0, ν>1, νε Ν 6) ( ^ γ = ν[ α, α> 0, ν>1, μ>1, ν ε Ν, με Ν 7 ) = ν' φ, α> 0, ν>1, μ>1, νε Ν, με Ν 8) = κ4 α κμ, α> 0, ν>1, μ>1, ν ε Ν, με Ν, κε Ν 4.2.2 Έννοια της συνάρτησης 4.2.2.1 Ορισμός συνάρτησης Ορισμός 1: Έστω ότι δίνονται δύο σύνολα Α και Β με πραγματικά στοιχεία. Κάθε απεικόνιση ί του συνόλου Α στο σύνολο Β λέγεται συνάρτηση με πεδίο, ορισμού το σύνολο Α και πεδίο τιμών το Β. Με άλλα λόγια, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου Β. Αν χ είναι τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α και υ είναι η αντιστοίχησή του, με τη βοήθεια της ί, που ανήκει στο σύνολο Β, γράφεται γ=ί(χ). Το γράμμα χ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γ λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Η προαναφερόμενη απεικόνιση συμβολίζεται ως εξής: ί:α ^ Β ή χ ^ ί(χ) ή χ ^ γ Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ί(χ) συνηθίζεται να συμβολίζεται με Όί. Το πεδίο τιμών της Β συμβολίζεται με ί(α) και ισούται με: ί(α)={γ/γ=ί(χ), για κάποιο χ ε Όί) Σελίδα 32 από 132