Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Thles Worksho, 1-3 July 015 The isomorhism function from S3(L(,1)) to the free module Boštjn Gbrovšek
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.
The isomorhism function from S 3 (L,1 ) to the free module Boštjn Gbrovšek (joint work with Mciej Mroczkowski) July 1, 015 July 1, 015 1 / 16
The bsis of S 3 (T ) nd S 3 (L,1 ) Let B = {t i 1 k1...t is k s : s N, k 1 <.. < k s Z, i 1..i s N} { } be the bsis of S 3 (T ). k 1 k k s 1 k s Let B = {t i 1 k1...t is k s : s N, k 1 <.. < k s Z, < k 1 <.. < k s, i 1..i s N} { } July 1, 015 / 16
Min theorem Theorem Let D be the set of (rrow) digrms in T. There exists m tht induces n isomorhism H : D RB. H : S 3 (L,1 ) B July 1, 015 3 / 16
Proerties of H The theorem will be roven if we show tht there exists m H such tht: 1 H is well-defined, H resects the HOMFLY-PT reltions, 3 H is invrint under Ω 1, Ω, Ω 3, Ω 4, nd Ω 5 4 H is invrint under Ω (). July 1, 015 4 / 16
Constrution of H Let H T (L) the exression of L in S 3 (T ) exressed s liner combintion of digrms. Let H be liner m D if D is digrm of n element in B, H(D) = H(H T (Ω () (D))) if D is digrm of n element in B \ B, H(H T (D)) otherwise, where D D nd Ω () is erformed on the boslute mximl comonent (with reference to tke the "negtive" comonent). July 1, 015 5 / 16
H resects the HOMFLY-PT reltions Let L +, L, nd L 0 be digrms, such tht v 1 L + vl zl 0 = 0. It holds: H(v 1 L + vl zl 0 ) = v 1 H(L + ) vh(l ) zh(l 0 ) = v 1 H(H T (L + )) vh(h T (L )) zh(h T (L 0 )) = H(H T (v 1 L + vl zl 0 ) = H(0) = 0 July 1, 015 6 / 16
H is invrint under Ω 1, Ω, nd Ω 3 Agin this follows from the fct tht H T is invrint under these moves: H T (L) = H T (Ω 1 (L)) H(H T (L)) = H(H T (Ω 1 (L))) H(L) = H(Ω 1 (L)),. H T (L) = H T (Ω 5 (L)) H(H T (L)) = H(H T (Ω 5 (L))) H(L) = H(Ω 5 (L)), July 1, 015 7 / 16
H is invrint under Ω () Proosition: H is invrint under Ω () if it is invrint under ll stndrd Ω () moves. A stndrd Ω () move involves mking n Ω () move on n element of B with n dded ovl. 3 = (v +v z ) + v z 3 = (v +v z ) + v z Remrks. In this rocess the number of rrows does not increse! We cnnot revert the freezed ovl. July 1, 015 8 / 16
H is invrint under Ω () Let D be stndrd digrm. We wnt to show H(D) = H(Ω () (D)), where Ω () is erformed on the extr comonent e. k 1 k k s b e Ω () k 1 k k s b D Ω () (D) Proof by induction on n = mx ( k 1 +... + k s + b, k 1 +... + k s + b ) nd l = k 1 +... + k s. July 1, 015 9 / 16
n = 0 : no such cse. l = 0 (n N) : ll comonentes excet e re trivil, so they m to elements in R, thus H(D) = H(Ω () D) holds by definition. Cse 1: D hs n rrows, Ω () (D) hs less thn n rrows (b > ). Let d be the comonent of D where H T mkes the slide move. If d = e, H(D) = H(Ω () D) holds by definition. if d e: d b e Ω () d b H(D) Ω () (D) July 1, 015 10 / 16
b - b H D Ω () -b H(D) Ω (D) () Ω () Ω () - b = -b E E July 1, 015 11 / 16
rrows +1-1 - +1 +1-b Ω 5 -b Ω -b Sme under H by induction Ω () -1 - +1 b-1 rrows if odd b- rrows if even +1-b Ω 5 Ω () -b Ω (D) () b-1 rrows if odd b- rrows if even -1 rrows if odd rrows if even E July 1, 015 1 / 16
The fct tht H(D) = H(E) cn be shown in the sme mnner, excet tht we exchnge roles of c nd d. On the left we ush ovls inside e, on the right we ush them outside e. July 1, 015 13 / 16 Cse : D hs less thn n rrows, Ω () (D) hs n rrows (b < ). k 1... k s b Ω () k 1... k s -b D Ω (D) () Ω,4,5 Ω,4,5 b b-1 A1 k 1 k s... + A k 1 k s... +... -b -b+1 k 1 k s k 1 k s... A1 + A... +... Ω () Cse 1 Ω () induction on l
Cse 3: Both D nd Ω () (D) hve n rrows. Ω () Ω 4 This occurs when is odd nd e hs rrows. Cse b =, > : We use similr construction s in Cse 1. Cse b = (bd rrows), ): Holds by definition. Cse b = (good rrows), ): We use similr construction s in Cse. July 1, 015 14 / 16
- H D Ω () H(D) Ω (D) () Ω () Ω () - = E E July 1, 015 15 / 16
+1 - -1 Ω 5 Ω Sme under H by induction or Cse 1 Ω () - -1 + / or less rrows -1 Ω 5 Ω () Ω (D) () + / - rrows E July 1, 015 16 / 16
Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.