מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו (זהו גם מקור השם "").. האלכסונים חוצים זה את זה (כלומר כל אלכסון מחלק את האלכסון האחר לשני חלקים שווים). 3. דרכים להוכחה כי מרובע כלשהו הוא (דרכים שונות מספיק להוכיח לפי אחת מהדרכים בלבד) מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא. שטח שטח מחושב כמכפלת צלע בגובה לאותה הצלע. לפי האיור שלעיל, הגובה הוא לצלע ואורכו h ולכן מתקיים:. S h -1-
תכונה 1 ב כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. תהי כלשהי. לפי הגדרת ה, כל זוג צלעות נגדיות בה שוות זו לזו ולכן מתקיים: ו-. שרטוט עזר: נעביר את האלכסון. נסתכל על המשולשים ו-. משולשים אלה חופפים לפי משפט החפיפה צ.צ.צ. (צלע:, צלע:, צלע: צלע משותפת). ולכן מתקיים שוויון הזוויות הבא: בהתאמה, לכן לפי (4) ישנה החפיפה.,, זווית מורכבת מצמד הזויות ו- ולכן מתקיים: +. זווית מורכבת מצמד הזויות ו- ולכן מתקיים: +.,, ולכן עבור (6) ו- (7) נקבל את השוויון הבא: לפי (5) מתקיים. + + +, כלומר כל שתי זוויות לפי (5) מתקיים כלומר. מ. - (8) ו- (9) נקבל כי ב מתקיים וגם נגדיות שוות זו לזו..9 10 --
תכונה ב כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו. α β β α תהי כלשהי. לפי תכונה 1, ב כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו, ולכן מתקיים: נסמן: α ו- β. היא סוג של מרובע, ולכן סכום הזוויות ב הוא. וגם 360. מכאן כי מתקיים: + + + 360 α + β + α + β 360 α + β 360 α + β 180 180 α β לפי משפט: אם נתונים שני ישרים הנחתכים על ידי ישר שלישי, ואם קיים: זוג אחד של זוויות מתאימות שוות או זוג אחד של זוויות מתחלפות שוות או זוג אחד של זוויות חד צדדיות שסכומן 180, אזי הישרים מקבילים. לפי הגדרה: זוויות חד-צדדיות הן שתי זוויות הנמצאות מאותו צד של החותך ומשני צידי הנחתכים. סכום זוויות אלה שווה ל- 180. ב הנחתכים הם הצלעות ו- והחותך הוא הצלע (או הצלע.( לפי (6) נקבל כי α ו- β הן זוויות חד-צדדיות. לפי (5) נקבל כי. ב הנחתכים הם הצלעות ו- והחותך הוא הצלע (או הצלע.( לפי (6) נקבל כי α ו- β הן זוויות חד-צדדיות. לפי (5) נקבל כי. לפי (7) ו- (8) נקבל כי ב מתקיים וגם, כלומר כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו..9-3-
תכונה 3 ב האלכסונים חוצים זה את זה. תהי. לפי תכונה ב כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו, ולכן וגם. נעביר את האלכסונים ו- ונסמן ב- את נקודת מפגש האלכסונים. לפי () ו- (3) נקבל כי מתקיים שוויון הזוויות כזוויות מתחלפות, וגם שוויון הזוויות כזוויות מתחלפות. לפי הגדרת ה, כל זוג צלעות נגדיות בה שוות זו לזו ולכן מתקיים: ו-. לפי (4) ו- (5) נקבל כי המשולשים ו- חופפים לפי משפט ז.צ.ז. (זווית:.( זווית:, צלע:,, ולכן מתקיים שוויון הצלעות הבא: בהתאמה. לפי (6) מתקיים., לפי (7) מתקיימים השוויונות: ו- ולכן ב האלכסונים חוצים זה את זה. -4-
דרך 1 מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא. כאן אין ממש מה להוכיח מכיוון שזוהי הגדרת ה, לכן אם מרובע כלשהו מקיים את הגדרת ה, אז הוא. דרך מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא. יהי מרובע כלשהו, בו יש זוג צלעות מקבילות ושוות. כלומר., שרטוט עזר נעביר את האלכסון. לפי (1) מתקיים, ובעזרת () נקבל כי וגם כזוויות מתחלפות. נסמן: β, α. לפי משפט, במשולש יש,180 ולכן מתקיים 180 α β. לפי משפט ז.צ.ז (זווית - α, צלע - לפי (4) ו- (5) נקבל כי מתקיים.( 180 α β - זווית,, והצלע ולכן מתקיים שוויון הצלעות בהתאמה. לפי (6) מתקיים היא צלע משותפת. לפי (7) נקבל כי המרובע מקיים כי כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו, וזוהי הגדרת ה, ולכן הוא. -5-
דרך 3 מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא. α β β α יהי מרובע כלשהו בו כל זוג זוויות נגדיות שוות זו לזו. כלומר ו-. לפי משפט, אם נתונים שני ישרים הנחתכים על ידי ישר שלישי, ואם קיים: זוג אחד של זוויות מתאימות שוות, או - זוג אחד של זוויות מתחלפות שוות, או - זוג אחד של זוויות חד צדדיות שסכומן 180, אזי הישרים מקבילים. לפי משפט זה נקבל כי הצלעות ו- נחתכות ע"י הצלע (או,( וכן הצלעות.( (או נחתכות ע"י הצלע ו-, הן זוויות מתחלפות. הן זוויות מתחלפות, וגם הזוויות, לפי (1) הזויות לפי () ו- (3) נקבל כי וגם. שרטוט עזר נעביר את האלכסון. לפי (4) מתקיים, ובעזרת (5) נקבל כי וגם כזוויות מתחלפות., צלע היא לפי משפט ז.צ.ז (זווית - לפי (6) נקבל כי מתקיים.( צלע משותפת, זווית -, והצלע ולכן מתקיים שוויון הצלעות בהתאמה. לפי (7) מתקיים היא צלע משותפת. לפי (8) נקבל כי המרובע מקיים כי כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו, וזוהי הגדרת ה, ולכן הוא..9-6-
דרך 4 מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא. יהי מרובע כלשהו שאלכסוניו חוצים זה. כלומר ו-. מתקיים שוויון הזויות ו- כזוויות קודקודיות. לפי משפט צ.ז.צ. (צלע -, זווית - לפי (1) ו- () נקבל כי מתקיים לפי משפט צ.ז.צ. (צלע - וכן מתקיים,( - צלע,.( - צלע,, זווית - ולכן מתקיים שוויון הצלעות, ו- בהתאמה. לפי (3) מתקיים, ולכן מתקיים שוויון הצלעות כמו כן לפי (3) מתקיים.. ו- לפי (4) נקבל כי במרובע מתקיים ו-, כלומר המרובע מקיים כי כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו, וזוהי הגדרת ה, ולכן הוא. -7-
שטח שטח מחושב כמכפלת צלע בגובה לאותה הצלע. M N תהי. לפי הגדרת ה, כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו ולכן מתקיים 1. ו-. שרטוט עזר: נוריד את הגבהים במקבילים ונסמן אותם כ- N ו-.M. לפי הגדרת הגובה, הגובה יוצר זווית ישרה עם הצלע אליה הוא יורד, ולכן לפי () מתקיים N ו- 3..M לפי (3) נקבל כי המשולשים N ו- M הם משולשים ישרי-זווית. 4. לפי תכונות ה, ב כל זוג זוויות נגדיות שוות זו לזו ולכן מתקיים. 5. 180, נקבל כי מתקיים N M. לפי (4) ו- (5) ולפי המשפט שאומר כי במשולש יש 6. לפי (5) (1), ו- (6) נקבל כי מתקיים N M לפי משפט ז.צ.ז. (זווית -, צלע -.( N M - זווית, לפי תכונות החפיפה, אם הוכחה חפיפת שני משולשים, אז כל הצלעות והזוויות שלהם שוות בהתאמה. לפי 8., N M, N M (7) הוכחה החפיפה N M ולכן הצלעות הבאות שוות בהתאמה:. שרטוט עזר: נאריך את וניצור את הצלע כך שמתקיים. N M כעת נעביר את הצלע 9.. 10.לפי תכונות ה, כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו, כלומר מתקיים:., לפי,(9) מכיוון שהארכנו את, אז מתקיים, ובפרט. N N ו- N כזוויות מתחלפות. 11.לפי (10) נקבל כי N, צלע צלע 1.לפי (11) נקבל כי מתקיים N לפי ז.צ.ז. (זווית - משותפת, זווית - N.( 13.לפי תכונות החפיפה, אם הוכחה חפיפת שני משולשים, אז כל הצלעות והזוויות שלהם שוות בהתאמה. לפי, N (1) הוכחה החפיפה N ולכן כל הצלעות שוות בהתאמה, כלומר מתקיים:. N. מכיוון שלמשולשים חופפים יש שטח N 14.לפי (7) ולפי (1) נקבל כי מתקיים M. זהה לשטח ה M כלומר שטח המרובע, S S N S M שווה נקבל כי, ולפי (4) N 15.לפי (3) מתקיים N ו-.M לפי (14) מתקיים M המשולשים N ו- M הם משולשים ישרי-זווית. מכאן כי גם המשולש הוא משולש ישר זווית, ובמרובע M כל הזוויות ישרות. 16.שרטוט עזר: נעביר את האלכסון. 17.לפי (16) נקבל שני משולשים ישרי זווית: M ו-. -8-
18.שטח משולש מחושב לפי הנוסחה: צלע * הגובה לצלע /. במשולש ישר זווית כל אחד מהניצבים הוא M M. S M, S הגובה לניצב השני, ולכן מתקיים: 19.לפי (17) ו- (18) נקבל כי שטחו של המרובע :M M M M M +. SM S M + S + 0.לפי (8) מתקיים, N M לפי (13) מתקיים, N כלומר מתקיים. N M לפי (9) מתקיים N M ולכן לפי חשבון ישרים מתקיים M + M וגם, M + M אז מכיוון שמתקיים, N M נקבל:. M + M M + M לפי (1) מתקיים ולכן נקבל: a M. M 1.לפי (19) ו- (0) נקבל: M M + M M + M SM M M M + M M M.לפי (8) מתקיים. N M לפי () N הוא גובה לצלע. לפי (14) שטח המרובע M זהה לשטח ה. לכן שטח ה הוא,M כלומר מכפלת צלע בגובה היורד אליה. סיכום קצר על דרך ההוכחה: בהינתן, הורדנו את הגבהים N ו-.M אז נוצרו משולשים ישרי זווית חופפים: N M. את משולש M הזזנו שמאלה כך שהיתר שלו חפף עם היתר של משולש N וקיבלנו מרובע M השווה בשטחו לשטח ה וכל זוויותיו ישרות. העברנו את האלכסון וקיבלנו שני משולשים ישרי זווית M ו-. SM חישבנו את שטח כל אחד מהמשולשים הללו, ומהחפיפות שכבר נעשו, נשארנו עם הביטוי M וזהו שטח ה מכפלת הצלע בגובה היורד אליה. -9-